专题04幂的运算与整式乘法易错必刷题型专项训练(21大题型共计74道题)2025-2026学年沪科版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦幂的运算与整式乘法高频易错点，通过正向运算与逆用结合、易错点精准剖析的方法体系，构建从基础到综合的知识逻辑链，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算（题型1-11）|11类|同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等正向运算及逆用技巧，负指数幂转化方法|从单一运算到混合运算，结合科学记数法，形成“概念-运算-应用”递进链| |整式乘法（题型12-21）|10类|单项式乘单项式、多项式乘多项式（含(x+p)(x+q)型）及化简求值、参数求解策略|从单项式到多项式乘法，通过不含某项、规律性问题提升符号意识与模型观念|

专题04幂的运算与整式乘法易错必刷题型专项训练 本专题汇总幂的运算与整式乘法章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.幂的乘方运算 题型04.幂的乘方的逆用 题型05.积的乘方运算 题型06.积的乘方的逆用 题型07.负整数指数幂 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.科学记数法表示绝对值小于1的数 题型12.计算单项式乘单项式 题型13.单项式乘法求字母或代数式的值 题型14.计算单项式乘多项式及求值 题型15.单项式乘多项式求字母的值 题型16.计算多项式乘多项式 题型17.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型18.多项式乘积不含某项求字母值 题型19.多项式乘多项式--化简求值 题型20.多项式乘法种的规律性问题 题型21.整式乘法混合运算 易错必刷题型01.同底数幂相乘 典题特征：底数相同的幂进行乘法计算 易错点：①指数相加误算为相乘 ②负数底数符号判定失误 1．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，且，则的值为______． 3．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．计算：． 易错必刷题型02.同底数幂乘法的逆用 典题特征：逆向拆分幂式，凑出同底数结构计算 易错点：①指数拆分逻辑混乱 ②底数统一转换出错 5．如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．计算：______． 7．计算：_____ 8．按要求完成各题： (1)若，，求的值． (2)若，求的值． 易错必刷题型03.幂的乘方运算 典题特征：多层幂式整体乘方运算 易错点：①指数相乘误算为相加 ②负号幂次符号判断错误 9．已知，则________． 10．已知，则和的数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知，，则__________． 12．计算下列各题： (1)； (2)． 易错必刷题型04.幂的乘方的逆用 典题特征：拆分高次幂，逆向套用乘方公式 易错点：①指数反向拆分错误 ②忽略奇偶次符号变化 13．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．若，则_______． 15．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 16．阅读下面例题的解题过程．例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为，，所以． (1)一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； (2)解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示． 易错必刷题型05.积的乘方运算 典题特征：多个因式乘积整体乘方计算 易错点：①漏算单个因式乘方 ②系数乘方运算疏漏 17．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 18．______． 19．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 20．化简： 易错必刷题型06.积的乘方的逆用 典题特征：重组因式，逆向合并积的乘方形式 易错点：①因式分组搭配不当 ②指数分配不均 21．巧算：______． 22．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 23．计算：． 易错必刷题型07.负整数指数幂 典题特征：含负指数的幂式化简计算 易错点：①指数正负转换错误 ②与零指数幂概念混淆 24．计算：______． 25．如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 26．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 27．计算： 易错必刷题型08.同底数幂的除法运算 典题特征：同底数幂开展除法运算求解 易错点：①指数相减误算为相加 ②忽略底数不为零限制 28．若，则的值为__________． 29．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 30．若整数a，b，c满足，则______． 31．计算： (1) (2) 易错必刷题型09.同底数幂除法的逆用 典题特征：逆向拆分幂式，转化除法结构 易错点：①指数推导方向出错 ②运算顺序颠倒 32．已知，则下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 33．若，则的值为________． 34．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么________； （2）如果，，那么________． 35．将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． 易错必刷题型10.幂的混合运算 典题特征：多种幂运算法则综合计算 易错点：①运算顺序混乱 ②各类运算法则混用 36．已知，则_______． 37．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型11.科学记数法表示绝对值小于1的数 典题特征：小数转化为标准科学记数法 易错点：①负指数数值计算偏差 ②数位计数出错 39．氦气是一种重要的战略资源．1亿个氦原子的质量约为，则1个氦原子的质量为________g．（用科学记数法表示） 40．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 41．已知一个小立方体的棱长为． (1)这个小立方体的体积为多少立方米？（用科学记数法表示） (2)用多少个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体？ 易错必刷题型12.计算单项式乘单项式 典题特征：两个及多个单项式相乘化简 易错点：①系数符号运算错误 ②遗漏单独字母因式 42．计算：=______． 43．的结果为（   ） A． B． C． D． 44．计算： (1)； (2)； (3)． 易错必刷题型13.单项式乘法求字母或代数式的值 典题特征：依据乘积结果反推未知参数 易错点：①同类项系数对应错位 ②等式等量关系判断失误 45．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 46．若，则________． 47．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 易错必刷题型14.计算单项式乘多项式及求值 典题特征：单项式与多项式相乘后代入计算 易错点：①漏乘多项式内单项 ②负号相乘符号出错 48．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 49．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 50．计算： (1)； (2)． 易错必刷题型15.单项式乘多项式求字母的值 典题特征：根据运算结果求解未知字母参数 易错点：①合并同类项出错 ②参数对应项判定不准 51．要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 52．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 53．已知等式成立，求的值． 易错必刷题型16.计算多项式乘多项式 典题特征：两个多项式逐项展开相乘化简 易错点：①展开过程漏项 ②交叉项符号处理错误 54．已知，则的结果是（　　） A． B．5 C．7 D．13 55．已知，那么 ____________． 56．若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 57．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 易错必刷题型17.(x+p)(x+q)型多项式乘法 典题特征：固定结构二项式快速运算 易错点：①一次项系数求和错误 ②常数项符号判定失误 58．若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 59．若，则________． 60．（1）计算： ①； ②． （2）分别求的值： ①； ②． （3）已知，、为正整数，求的值． 易错必刷题型18.多项式乘积不含某项求字母值 典题特征：根据缺项条件计算参数范围 易错点：①同类项合并不彻底 ②缺项等量条件转换错误 61．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 62．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 63．若的积不含项，则___________． 64．若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 易错必刷题型19.多项式乘多项式--化简求值 典题特征：先展开化简，再代入数值计算结果 易错点：①化简步骤计算失误 ②数值代入运算出错 65．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 66．若，，则的值是________． 67．若规定符号的意义是：，则当时，的值为_____． 68．先化简，再求值：，其中，． 易错必刷题型20.多项式乘法种的规律性问题 典题特征：观察算式规律，推导通用运算式子 易错点：①规律总结片面 ②项数与符号归纳偏差 69．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算：__________． 70．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 71．探索题： (1)观察以上各式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的猜想解答下面的问题： 计算： 易错必刷题型21.整式乘法混合运算 典题特征：单项式、多项式乘法综合运算 易错点：①整体运算顺序错乱 ②符号与同类项合并频繁出错 72．如果，那么的值为______． 73．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 74．计算： (1)． (2)． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04幂的运算与整式乘法易错必刷题型专项训练 本专题汇总幂的运算与整式乘法章节考试高频、易失分、易混淆经典题型，梳理对应易错扣分关键点，针对性刷题练习，扫清考试易错盲区 题型01.同底数幂相乘 题型02.同底数幂乘法的逆用 题型03.幂的乘方运算 题型04.幂的乘方的逆用 题型05.积的乘方运算 题型06.积的乘方的逆用 题型07.负整数指数幂 题型08.同底数幂的除法运算 题型09.同底数幂除法的逆用 题型10.幂的混合运算 题型11.科学记数法表示绝对值小于1的数 题型12.计算单项式乘单项式 题型13.单项式乘法求字母或代数式的值 题型14.计算单项式乘多项式及求值 题型15.单项式乘多项式求字母的值 题型16.计算多项式乘多项式 题型17.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型18.多项式乘积不含某项求字母值 题型19.多项式乘多项式--化简求值 题型20.多项式乘法种的规律性问题 题型21.整式乘法混合运算 易错必刷题型01.同底数幂相乘 典题特征：底数相同的幂进行乘法计算 易错点：①指数相加误算为相乘 ②负数底数符号判定失误 1．下列运算中，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：对于选项A ∵ 与 不是同类项，不能合并， ∴ A错误． 对于选项B ∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，， ∴ B正确． 对于选项C ∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘，， ∴ C错误． 对于选项D ∵ 积的乘方等于各因式乘方的积， ， ∴ D错误． 2．已知，，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法及已知条件求出的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， ∴， ∴． 3．若正整数满足，则下面关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法法则和乘法的意义．熟记法则是解题的关键．左边9个相加表示为，右边9个相乘表示为，利用幂的运算性质化简后比较指数． 【详解】解：∵左边， 右边， ， ∴， 即． 故选：A． 4．计算：． 【答案】 【分析】先根据同底数幂乘除法，积的乘方计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型02.同底数幂乘法的逆用 典题特征：逆向拆分幂式，凑出同底数结构计算 易错点：①指数拆分逻辑混乱 ②底数统一转换出错 5．如果，，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用同底数幂的乘法的逆运算进行计算即可. 【详解】解：∵，， ∴. 6．计算：______． 【答案】 【分析】首先逆用同底数幂的乘法法则把转化成，再逆用积的乘方法则把转化成，再根据乘方的法则进行计算． 【详解】解： . 7．计算：_____ 【答案】/ 【详解】解： ． 8．按要求完成各题： (1)若，，求的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则即可； （2）逆用幂的乘方运算法则对进行变形即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：，，， ，， 或，， 当时，； 当时，； 或． 易错必刷题型03.幂的乘方运算 典题特征：多层幂式整体乘方运算 易错点：①指数相乘误算为相加 ②负号幂次符号判断错误 9．已知，则________． 【答案】 【分析】先求出，再将所求式子变形为，计算同底数幂的乘法、负整数指数幂即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 10．已知，则和的数量关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则，对变形，根据底数相同的幂相等则指数相等，即可得到和的关系． 【详解】解：∵， ，， ∴， ∴， 即． 11．已知，，则__________． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 12．计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】解：（1）原式； （2）． 易错必刷题型04.幂的乘方的逆用 典题特征：拆分高次幂，逆向套用乘方公式 易错点：①指数反向拆分错误 ②忽略奇偶次符号变化 13．已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再根据指数相同、底数大于1时，底数越大幂越大的性质比较大小． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 14．若，则_______． 【答案】 【分析】本题利用幂的乘方和同底数幂的除法运算法则，将所求式子变形为含已知条件的形式，再代入数值计算即可． 【详解】解： 将代入得 原式 15．定义：如果，那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③；④若，则， A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了学生的数的乘方的计算能力，理解新定义的意义是解题的关键． 先理解新定义，再结合乘方以及其逆用的运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①∵，∴，故说法①正确，符合题意； ②设，，则，， ∴， ∴，即②正确； ③设，，则，， ∴，即， ∴， ∴，即，故③正确，符合题意； ④设，则，， ∴， ∴， ∴，解得，故④说法正确，符合题意． 综上，正确的说法有个． 故选：D． 16．阅读下面例题的解题过程．例：已知，，请你用含m，n的代数式表示． 解：因为，，所以． (1)一位同学发现解答此例题还有另一种思路，请你补全解题答案：______； (2)解决问题：若，，试用含a，b的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂的乘方与同底数幂的乘法法则，将和用、表示，代入即可得到结果． （2）先将转化为，再根据积的乘方变形为，最后结合幂的乘方将其转化为含、的代数式． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 易错必刷题型05.积的乘方运算 典题特征：多个因式乘积整体乘方计算 易错点：①漏算单个因式乘方 ②系数乘方运算疏漏 17．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，A错误； ，B正确； ，C错误； 与不是同类项，不能合并，D错误． 18．______． 【答案】 【分析】根据积的乘方运算法则进行计算即可； 【详解】解：． 19．若，则的值为（    ） A．-1 B．1 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，掌握幂的乘方中底数不变、指数相乘，以及等式两边同底数幂的指数相等是解题的关键． 根据指数运算法则，将等式两边化简，通过比较指数得到关于和的方程，求解后代入计算． 【详解】解：∵ ， 且等式右边为 ， ∴ ， 即 ， 比较指数得： ，， 解得 ，， ∴ 故选：D． 20．化简： 【答案】 【详解】解： ． 易错必刷题型06.积的乘方的逆用 典题特征：重组因式，逆向合并积的乘方形式 易错点：①因式分组搭配不当 ②指数分配不均 21．巧算：______． 【答案】 【详解】解： ． 22．计算的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】原式变形为，再逆用积的乘方法则计算． 【详解】解：． 23．计算：． 【答案】 【分析】利用负整数指数幂、零指数幂和积的乘方的逆运算分别化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 易错必刷题型07.负整数指数幂 典题特征：含负指数的幂式化简计算 易错点：①指数正负转换错误 ②与零指数幂概念混淆 24．计算：______． 【答案】8 【分析】利用负指数幂及零指数幂进行计算即可． 【详解】解：． 25．如果，，，那么，，三数的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方，先根据零指数幂，负整数指数幂，有理数乘方的计算法则求出三个数的值，再比较大小即可得到答案，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：． 26．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 27．计算： 【答案】4 【分析】分别计算有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂和立方运算，再按照运算顺序进行加减运算． 【详解】解： ． 易错必刷题型08.同底数幂的除法运算 典题特征：同底数幂开展除法运算求解 易错点：①指数相减误算为相加 ②忽略底数不为零限制 28．若，则的值为__________． 【答案】64 【分析】由得，再根据同底数幂除法法则计算． 【详解】解：， ， ． 29．对于有理数，定义一种新运算．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义得出，根据同底数幂的除法得出，进而求得的值，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 解得： 30．若整数a，b，c满足，则______． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算（积的乘方、同底数幂的乘法与除法），解题关键是将各项底数分解，根据幂的运算法则将等式转化为关于的方程组，求解后计算 将方程左边各分数分解为质数的幂的形式，利用幂的运算法则化简，通过比较指数建立方程组，解出整数a、b、c的值，再计算． 【详解】， 又， ， ， 解得， ． 故答案为． 31．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算负整数指数幂，零次幂，乘方，最后进行加法运算即可． （2）依次计算同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方和同底数幂的除法，再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 易错必刷题型09.同底数幂除法的逆用 典题特征：逆向拆分幂式，转化除法结构 易错点：①指数推导方向出错 ②运算顺序颠倒 32．已知，则下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，代入，， ，A错误； B、，代入已知得，等式成立，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 33．若，则的值为________． 【答案】343 【分析】先根据已知等式得出 的值，再根据，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 34．若，则（且，，是正整数）． （1）如果，那么________； （2）如果，，那么________． 【答案】 1 【分析】（1）根据底数相同的两个数相等，只需指数也相等，列出关于待求字母的方程求解； （2）运用逆用同底数幂相除，逆用幂的乘方，整体代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， 故答案为：． （2）当，时， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了有理数的乘方的逆用，一元一次方程的其他应用，同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用，解题关键是学会同底数幂相除的逆用，幂的乘方的逆用的运用求解． 35．将幂的运算逆向思维可得， ，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)若，，求的值； (2)若，求x的值； (3)若，求的值； (4)若，，，直接写出a，b，c之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)14 (4) 【分析】（1）逆用同底数幂的除法即可求解； （2）将分别变形成底数为2的幂，再运用同底数幂的乘法及一元一次方程即可求解． （3）由已知等式得到，将所求代数式变形，代入计算即可； （4）将72变形，根据幂的乘方逆运算变形计算即可 【详解】（1）解：∵ ，， ； （2）解：， ， ． （3）解：∵， ∴ ∴ （4）解：∵，，， ∴ ， ∴ 易错必刷题型10.幂的混合运算 典题特征：多种幂运算法则综合计算 易错点：①运算顺序混乱 ②各类运算法则混用 36．已知，则_______． 【答案】 【分析】此题考查了幂的运算，根据幂的运算法则得到和得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 37．若，则的值（ ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】将原式所有幂统一转化为以3为底的幂，再用幂的乘方、同底数幂的乘除法则化简，根据同底数幂相等则指数相等列方程求解． 【详解】解：∵ ，，， ∴ 原式可变形为：， 根据幂的乘方法则 化简得： ， 根据同底数幂的乘除法则计算左侧指数： ， ， ∵ 底数相同的幂相等，底数不为1，则指数相等， ∴ ，解得 ． 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，幂的乘方和积的乘方． （1）先算乘方，然后再算乘法； （2）先算乘方和乘法，再算加法； （3）先算乘法和乘方，再算加减法； （4）先算积的乘方，再算加法． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 易错必刷题型11.科学记数法表示绝对值小于1的数 典题特征：小数转化为标准科学记数法 易错点：①负指数数值计算偏差 ②数位计数出错 39．氦气是一种重要的战略资源．1亿个氦原子的质量约为，则1个氦原子的质量为________g．（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】先将1亿转化为科学记数法，再根据1个氦原子的质量总质量原子个数，计算即可； 【详解】解：1亿， ∴1个氦原子的质量 ． 40．2025年，成都青羊金沙遗址文物保护团队运用纳米无损检测技术，精准复原三千年前古蜀金器纹样．已知1纳米0.000000001米，该文物扫描精度可达100纳米，则100纳米用科学记数法可表示为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】先将100纳米换算为以米为单位的数，再根据科学记数法的要求整理得到结果，科学记数法形式为，要求满足，n为整数． 【详解】解：∵1纳米米米， ∴100纳米米， 整理得：米． 41．已知一个小立方体的棱长为． (1)这个小立方体的体积为多少立方米？（用科学记数法表示） (2)用多少个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体？ 【答案】(1)立方米 (2)个 【分析】本题考查了负整数指数幂、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，熟练掌握负整数指数幂的运算是解题关键． （1）根据负整数指数幂的运算、科学记数法的定义即可得； （2）利用一个大正方体的体积除以一个小立方体的体积即可得． 【详解】（1）解：（立方米）， 答：这个小立方体的体积为立方米． （2）解：∵一个棱长为的大正方体的体积为（立方米）， ∴（个）， 答：用个这种小立方体才能摆成一个棱长为的大正方体． 易错必刷题型12.计算单项式乘单项式 典题特征：两个及多个单项式相乘化简 易错点：①系数符号运算错误 ②遗漏单独字母因式 42．计算：=______． 【答案】 / 【分析】本题考查单项式乘单项式运算及同底数幂的乘法法则，按照单项式乘单项式的运算法则计算即可． 【详解】． 43．的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了单项式乘以单项式．先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可． 【详解】解： 故选：A 44．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 易错必刷题型13.单项式乘法求字母或代数式的值 典题特征：依据乘积结果反推未知参数 易错点：①同类项系数对应错位 ②等式等量关系判断失误 45．已知，则代数式的值为（    ） A．0 B．2 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，先求出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 46．若，则________． 【答案】2 【分析】本题考查单项式乘单项式，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于m，n的方程，解得，的值后代入中计算即可． 【详解】解：， 则，， 解得：，， 那么， 故答案为：2． 47．化简求值： (1)当a＝2022时，求－3a2(a2－2a－3)＋3a(a3－2a2－3a)＋2022的值． (2)求xn(xn＋9x－12)－3(3xn+1－4xn)的值，其中x＝－2，n＝3． 【答案】(1)2022 (2)x2n，64 【分析】（1）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求值即可； （2）先根据单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】（1）解：原式= =2022； （2）解：原式= =； 当x＝－2，n＝3时，则 ； 【点睛】本题考查了整式的化简求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序． 易错必刷题型14.计算单项式乘多项式及求值 典题特征：单项式与多项式相乘后代入计算 易错点：①漏乘多项式内单项 ②负号相乘符号出错 48．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单项式乘多项式法则，将单项式分别乘多项式的每一项即可． 【详解】解：原式 49．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，单项式乘多项式．根据题意，列出式子，再将变形为，整体代入求出结果． 【详解】解：由题意得 ． ∵， ∴， ∴原式． 故答案为：． 50．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算乘方、负整数指数幂和零指数幂，再加减即可； （2）先计算单项式乘多项式，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 易错必刷题型15.单项式乘多项式求字母的值 典题特征：根据运算结果求解未知字母参数 易错点：①合并同类项出错 ②参数对应项判定不准 51．要使中不含有的四次项，则等于（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式．先算乘法，再合并，然后根据原多项式中不含有x的四次项，可得，即可求解． 【详解】解： ， 原多项式中不含有x的四次项， ， ， 故选：A． 52．若关于x的多项式的结果与x的取值无关，则a的值是_______． 【答案】2 【分析】先把原式进行化简，再根据结果与x的取值无关列方程并解方程即可． 【详解】解： ∵多项式的结果与的取值无关， ∴含项的系数为0， 即， 解得：． 53．已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 易错必刷题型16.计算多项式乘多项式 典题特征：两个多项式逐项展开相乘化简 易错点：①展开过程漏项 ②交叉项符号处理错误 54．已知，则的结果是（　　） A． B．5 C．7 D．13 【答案】C 【分析】先展开等式左边，再根据多项式相等对应项系数相等求出和的值，最后计算即可． 【详解】解：， 又， 对应项系数相等，可得 ，，即， ． 55．已知，那么 ____________． 【答案】27 【详解】解：∵， ∴ 56．若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于的最高次项是，而的最高次项是，因此可设 ，将按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可． 熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键． 【详解】设， ， ， 解得，，，， ， 故选：A． 57．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法运算及整式的加减运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加，之后合并同类项化简． （1）需要运用多项式乘法的分配律，将第一个多项式的每一项与第二个多项式的每一项相乘，再合并同类项； （2）可以通过多项式乘法展开后合并同类项； （3）先计算多项式乘法，再去括号，最后合并同类项，注意去括号时符号的变化； （4）运用多项式乘法的分配律，将和分别与后面的三项式相乘，再合并同类项． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 易错必刷题型17.(x+p)(x+q)型多项式乘法 典题特征：固定结构二项式快速运算 易错点：①一次项系数求和错误 ②常数项符号判定失误 58．若，则的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】展开等式左边，合并同类项后对比右侧多项式对应项系数，即可求出和的值． 【详解】解：∵左边， 又， 对比等式两边对应项系数，可得，． 59．若，则________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则计算，即得出，，解出m和n的值，即可求解． 【详解】解：根据多项式乘多项式法则展开左侧：， ∵， ∴， ∴，， 解得：，， ∴． 60．（1）计算： ①； ②． （2）分别求的值： ①； ②． （3）已知，、为正整数，求的值． 【答案】（1）①，②；（2）①，． ②，；（3）满足题意的为：37，20，15，13，12． 【分析】（1）依据题意，根据多项式与多项式相乘即可得解； （2）依据题意，先根据常数项相等求出，再根据一次项系数相同进而求出； （3）依据题意，列出关于，的方程，再结合，为正整数，进而可以得解． 【详解】解：（1）①原式； ②原式． （2）①， ，． ，． ②， ，． ，． （3）由题意得，， ，． ，为正整数， ，；，；，；，；，；，； ，；，；，． 满足题意的为：37，20，15，13，12． 【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，解题时要熟练掌握相关变形是关键． 易错必刷题型18.多项式乘积不含某项求字母值 典题特征：根据缺项条件计算参数范围 易错点：①同类项合并不彻底 ②缺项等量条件转换错误 61．若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则化简，令项系数为0即可计算的值． 【详解】解： 不含项， ， ， 故选：D ． 62．已知的展开式中不含有和的项，那么________． 【答案】42 【分析】利用多项式乘以多项式进行展开，然后问题可求解． 【详解】解： = =； ∵展开式中不含有和的项， ∴， 解得：， ∴． 63．若的积不含项，则___________． 【答案】 【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a． 【详解】解： = = ∵的积不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 64．若关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， (1)求与的值； (2)化简，并求值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，令含项的系数为0，常数项为8，从而建立关于a、b的方程，解方程即可得到答案； （2）根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ∵关于的多项式与的乘积展开式中不含项，且常数项为8， ∴， ∴； （2）解： ， ∵， ∴原式． 易错必刷题型19.多项式乘多项式--化简求值 典题特征：先展开化简，再代入数值计算结果 易错点：①化简步骤计算失误 ②数值代入运算出错 65．已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ∴， 即， ∴． 66．若，，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查的是整式的乘法运算-化简求值，先根据整式混合运算的法则把原式化为的形式是解答此题的关键．先根据整式乘法运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【详解】解：， ，， 原式． 故答案为：． 67．若规定符号的意义是：，则当时，的值为_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的值，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得： ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：9． 68．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时， 原式． 易错必刷题型20.多项式乘法种的规律性问题 典题特征：观察算式规律，推导通用运算式子 易错点：①规律总结片面 ②项数与符号归纳偏差 69．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律， 利用上述规律计算：__________． 【答案】160000 【分析】观察可得的系数为，，，，，与的各项系数一致，由此计算即可得出结果． 【详解】解：观察可得：，其各项系数依次为，，，，， ∴观察的系数为，，，，，与的各项系数一致， ∴ ． 70．仔细观察，探究规律：，，，，则算式值的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先根据已知等式总结规律，化简所求算式，再找出个位数字的循环规律，即可计算出结果的个位数字． 【详解】解：观察已知等式可得规律： ， 变形得 ， 令，，则： ， ∵的个位数字依次为，每次为一个循环， ， ∴的个位数字与的个位数字相同，为， ∴的个位数字为， 即所求算式的个位数字为． 71．探索题： (1)观察以上各式并猜想： ①__________； ②__________； (2)请利用上面的猜想解答下面的问题： 计算： 【答案】(1)①；②； (2)． 【分析】（1）①根据已有等式进行类比即可解答；②根据已有等式进行类比、归纳即可解答； （2）先将原式写成，然后利用（1）的规律解答即可． 【详解】（1）解：①由， ， ， ， 则； 故答案为：． ②由， ， ， ， ， …… ． 故答案为：． （2）解： ． 易错必刷题型21.整式乘法混合运算 典题特征：单项式、多项式乘法综合运算 易错点：①整体运算顺序错乱 ②符号与同类项合并频繁出错 72．如果，那么的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的求值和整式的乘法，熟练掌握整式乘法运算是解题的关键． 先化简再代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：． 73．对于任何一个数，我们规定符号的意义是，按照这个规定计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答．根据定义列出式子，然后根据整式的运算规则进行计算即可． 【详解】解：由题意可知， 故选：C． 74．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则以及运算顺序是解此题的关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得解； （2）先计算幂的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算加减即可得解． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $