6.2 无理数和实数-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

所以729 64 的立方根是 9 4 ,也就是 -278 2 的 立 方 根 是 9 4 ,即 3 -278 2 =94. 9. C 10. A [解析] 因为被开方数的小数 点每向右移动3位,立方根的小数点 向相应的方向移动1位,所以由 36.88 ≈1.902,可 得 36880 ≈ 19.02. 11. B [解析] 因为立方根等于本身 的数有0,±1,所以x-1=0或x- 1=±1,解得x=1或0或2.所以 x2-x的值为0 或2. 12. 2 [解析] 设将两个铅球熔化后 做成的更大铅球的半径为rcm,则 4 3πr 3=43π×1 3+43π× (37)3= 4 3×8π. 所以r3=8.所以r=38=2. 13. 由题意,得 3x-2=4, 2x+3y=64, x-z=7, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=2, y=20, z=-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以z-x-y=-5-2-20=-27. 所以z-x-y的立方根是-3. 防止混淆立方根、平方根 当一个题目中同时出现立方 根、平方根、算术平方根时,要注意 分清它们之间的不同,防止出现混 淆导致错误. 6.2　无理数和实数 第1课时 实数的相关概念及分类 1. B 2. C 3. C 4. B [解析] 因为82=64,92=81, 64<72<81,所以8< 72<9.所以 6< 72-2<7. 5. 答案不唯一,如2 6. 1 7. (1) ②⑤. (2) ①⑦. (3) ⑤⑦. (4) ③④⑥⑧. 对无理数的概念理解 不透彻导致答案错误 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈,造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫作无理数”这一概念. 在判断一个数是不是无理数时,一 定要根据概念,看它是不是“无限” 且“不循环”的小数. 8. C 9. D 10. D [解析] 无 理 数 有 0.1020020002…(每相邻两个2之 间依次增加一个0),-π2,349,共 3个.所以x=3.有理数有3.14159, 3343, 0.1030030003, 169, 0.326 ∙∙ ,(-0.5)3, 12-1 2 ,共 7个.所以y=7.非负数有3.14159, 3343,0.1020020002…(每相邻两 个 2 之 间 依 次 增 加 一 个 0), 0.1030030003, 169,349,0.326 ∙∙ , 1 2-1 2 ,共8个.所以z=8.所 以x+y+z=3+7+8=18. 11. 8 [解析] 因为100≤x≤999,所 以 12.2< 1.5x <38.72.因 为 1.5x= 32x 为整数,所以开根号 的结果为3的倍数.所以 1.5x= 15,18,21,24,27,30,33,36.所以满足 题意的x的值共有8个. 12. 2 [解析] p= 2+3+3 2 =4 ,由三 角形 面 积 的 计 算 方 法,得 S = 4×(4-2)×(4-3)×(4-3)= 8. 因为2<8<3,而面积S介于整数n 和n+1之间,所以n=2. 13. (1) 正方形ABCD 的面积为5× 5-4×12×1×4=17. (2) 设正方形ABCD的边长为x(x> 0),则x2=17. 所以x= 17. 因为17不是完全平方数, 所以 17是无理数,即正方形ABCD 的边长是无理数. 14. (1) 2. (2) 1,0. 理由:若输入算术平方根等于本身的 数,则求得的算术平方根总是有理数, 始终输不出y的值. 因为算术平方根等于本身的数只有1 和0, 所以所有满足要求的x的值为1,0. (3) 答案不唯一,如3和9. 15. 3993 [解析] 因为12=1,22= 4,32=9,…,452=2025,所以 1=1, 4=2,9=3,…, 2025=45.所以 在这2025个自然数的算术平方根 中,共有45个有理数.所以无理数有 2025-45=1980(个).因为13=1, 23=8,33=27,…,123=1728,133= 2197,所以31=1,38=2,327= 3,…,31728=12,32197=13.所 以在这2025个自然数的立方根中, 共有12个有理数.所以无理数有 2025-12=2013(个).所以在这 2025个自然数的算术平方根和立方 根中,无理数共有1980+2013= 3993(个). 16. 假设 3是有理数,那么存在两个 互质的正整数m,n,使得 3=nm ,于 是有3m2=n2. 因为3m2是3的倍数, 所以n2也是3的倍数. 所以易得n是3的倍数. 设n=3t(t是正整数),则n2=9t2,即 9t2=3m2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 所以3t2=m2. 所以易得m也是3的倍数. 所以m,n都是3的倍数,不互质,与 假设矛盾. 所以假设错误,即3不是有理数. 第2课时 实数的运算及大小比较 1. C 2. B [解析] 由数轴,得-2<a< -1,2<b<3.因为-2<a<-1,所 以A错误.由-2<a<-1,得1< -a<2.又因为2<b<3,所以b> -a.所以B正确.由-2<a<-1, 2<b<3,得0<a+b<2,所以C错 误.因为a<0,b>0,所以ab<0.所以 D错误. 3. B [解析] 23+(2- 3)=2+ 3,是无理数,故A不符合题意;(5+ 3)+(2-3)=7,是有理数,故B符 合题意;2+(2- 3)=2+ 2- 3, 是无理数,故 C不符合题意;(5- 3)+(2- 3)=7-23,是无理数, 故D不符合题意. 4. > [解析] 因为( 10)2=10, 22 7 2 = 48449 ,10 > 48449 ,所 以 10>227. 5. 3 6. (1) 3-1 (2) 2- 3或 3+2 [解析] 因为 |a|= 3,所以a=± 3.当a= 3 时,|a-2|=|3-2|=2- 3;当 a=- 3时,|a-2|=|- 3-2|= 3+2.综上所述,|a-2|=2- 3或 3+2. 因盲目去掉绝对值符号 导致答案错误 去绝对值符号时,首先要判断 绝对值里面的数是正数,0,还是负 数.负数的绝对值去绝对值符号 时,要变成原数的相反数. 7. (1) 原式≈-1.04. (2) 原式≈3.27. 8. A [解析] 因为正方形的面积为 3,所以正方形的边长为 3,即圆的半 径为3.所以点A表示的数为1-3. 9. A 10. C [解析] 因为实数a的立方根 与4的倒数相等,4=2,2的倒数是 1 2 ,所以3a=12. 所以a=18. 11. A [解析] 2×(4※6)=2× 4+2×6=2×4=8. 12. 5 [解析] 因为 5-2>0,5- 3<0,(-4)2=16,所以原式= 5- 2-(5-3)+4= 5-2+3- 5+ 4=5. 13. > [解析] 6-1 3 - 2 5 = 56-5-6 15 = 56-11 15 . 因 为 (56)2=150,112=121,150>121,所 以56>11.所以56-11>0.所以 56-11 15 >0. 所以 6-1 3 > 2 5. 14. (1) 因为3< 11<4, 所以 11的整数部分是3,小数部分 是 11-3. 所以x=3,y= 11-3. 所以2x-y+ 11=6-( 11- 3)+ 11=9. (2) 因为1<3<2, 所以3<2+3<4. 所以a=3,b=2+3-3=3-1. 所以a-b=3-(3-1)=4-3. 15. (1) 无理 [解析] 因为a,b是两 个有理数,所以b-a是有理数.所以 2 2 (b-a)是无理数.所以a+ 22 (b- a)是无理数,即c是无理数. (2) a<c<b [解析] 因为b-a>0, 所以 2 2 (b-a)>0.又因为c=a+ 2 2 (b-a),所以c>a.因为b-a>0, 所以a-b<0.所以c-b=a+ 2 2 (b-a)-b=2-22 a- 2-2 2 b= 2-2 2 (a-b)<0.所以c<b.所以 a<c<b. 16. (1) 2. (2) ① 0. ② 1- 5. [解析] 因 为-1对应的点与3对应的点重合, 所以 “折 痕 点”所 表 示 的 数 为 -1+3 2 =1.① 设2对应的点与x对 应的点重合.由题意,得2+x2 =1 ,解 得x=0.所以2对应的点与0对应的 点重合.② 设5+1对应的点与y对 应的点重合.由题意,得 5+1+y2 = 1,解得y=1-5.所以5+1对应的 点与1-5对应的点重合. (3) 若将点A 沿数轴向右移动(4- 3)个单位长度,所得到的点表示的 数为a+4-3,则a+(a+4-3)= 0,解得a= 3-42 . 若将点A沿数轴向左移动(4-3)个 单位长度,所得到的点表示的数为 a-(4-3)=a-4+3,则a+(a- 4+3)=0,解得a=4-32 . 综上所述,a的值为 3-42 或4-3 2 . 专题特训（一）　实数大小 比较的常用方法 1. A 2. > [解析] - 82 = 82 , -32 = 3 2. 因为 8<3,所以 82< 3 2. 所以- 82>- 3 2. 3. 因为3≈1.732,2≈1.414, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3 4 6.2　无理数和实数 第1课时 实数的相关概念及分类 ▶ “答案与解析”见P2 1. 下列各数属于负数的是 ( ) A. |-1| B. 3-1 C. (-1)2 D. (-1)2024 2. (2024·烟台)下列实数中属于无理数的是 ( ) A. 2 3 B. 3.14 C. 15 D. 364 3. (2024·六安霍邱期末)-5不是 ( ) A. 负数 B. 无理数C. 有理数D. 实数 4. (2024·六安金寨期末)估计 72-2的值在 ( ) A. 5和6之间 B. 6和7之间 C. 7和8之间 D. 8和9之间 5. (2024·广西)写出一个比 3大的整数,可以 是 . 6. 在π 3 ,- 2,227 ,- 214 ,-38,0.3232,33 , 0,-212 中,负无理数有 个. 7. ★将下列实数前的序号填入相应的括号内. ① 1 3 ,② 2,③ 3,④ -6.1010010001…(每 相邻两个1之间依次增加一个0),⑤ -11, ⑥ π 5 ,⑦ -0.1,⑧ 39. (1) 整数:{ …}. (2) 分数:{ …}. (3) 负有理数:{ …}. (4) 无理数:{ …}. 8. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 无理数包括正无理数、零和负无理数 B. 无限小数都是无理数 C. 正实数包括正有理数和正无理数 D. 实数可以分为正实数和负实数两类 9. 下列说法正确的是 ( ) A. (4-3)2是无理数 B. 33 3 是有理数 C. 121是无理数 D. 3-216是有理数 10. 给 出 下 列 实 数:3.14159, 3343, 0.1020020002…(每相邻两个2之间依次 增加一个0),0.1030030003,-π2,169, 349,0.326 ∙∙ ,(-0.5)3, 12-1 2 .其中,无 理数有x 个,有理数有y 个,非负数有 z个,则x+y+z的值为 ( ) A. 12 B. 13 C. 14 D. 18 11. 已知 1.5x为整数,且x是三位数,则满足 题意的x的值共有 个. 12. (2024·合肥蜀山期末)我国南宋时期数 学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求 面积的公式,即三角形的三边长分别为a, b,c,记p= a+b+c 2 ,那么其面积S= p(p-a)(p-b)(p-c).如果某个三角 形的三边长分别为2,3,3,其面积S介于整 数n和n+1之间,那么n的值是 . 13. (2023·安庆二十校期末)如图,正方形网格 中每个小正方形的边长都为1,正方形 ABCD的顶点都在格点(网格线的交点)上. (1) 求正方形ABCD的面积. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 5 (2) 判断正方形ABCD 的边长是有理数还 是无理数. (第13题) 14. 如图所示为一个数值转换器. (1) 当输入的x的值为256时,输 出的y的值为 . (2) 若输入有效的x 的值后,始终输不出 y的值,请写出所有满足要求的x的值,并 说明理由. (3) 若输出的y的值是3,请写出两个满足 要求的x的值. (第14题) 15. (核心素养·运算能力)在1,2, 3,…,2025这2025个自然数的算 术平方根和立方根中,无理数共有 个. 16. (核心素养·推理能力)阅读材料,并解答 问题. 试说明:2不是有理数. 假设2是有理数,那么存在两个互质的正 整数m,n,使得 2=nm ,于是有2m2=n2. 因为2m2是偶数,所以n2也是偶数.所以n 是偶数.设n=2t(t是正整数),则n2=4t2, 即4t2=2m2.所以2t2=m2.所以m 也是偶 数.所以m,n都是偶数,不互质,与假设矛 盾.所以假设错误,即2不是有理数. 用类似的方法 ,请说明 3不是有理数 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　实　数 6 第2课时 实数的运算及大小比较 ▶ “答案与解析”见P3 1. (2024·合肥包河一模)在实数0,-2,5,2 中,最大的是 ( ) A. 0 B. -2 C. 5 D. 2 2. (2024·北京石景山二模)实数a,b在数轴上 的对应点的位置如图所示,下列结论中正确 的是 ( ) (第2题) A. a>-1 B. b>-a C. a+b<0 D. ab>0 3. (2024·合肥庐江期中)下列各数中,与2- 3的和为有理数的是 ( ) A. 23 B. 5+3 C. 2 D. 5-3 4. (2024·安徽)我国古代数学家张衡将圆周率 取值为 10,祖冲之给出圆周率的一种分数 形式的近似值为22 7. 比较大小:10 22 7 (填“>”或“<”). 5. (2023·安徽)计算:38+1= . 6. (1) 实数1-3的相反数是 . (2) ★若|a|=3,则|a-2|= . 7. 近似计算(精确到0.01): (1) -2+5-2+π-3. (2) (-2)2+(-1)2023× 49+|3-10|. 8. (2024·马鞍山花山期末)如图,将面积为3 的正方形的一个顶点放在数轴上表示1的位 置上,以表示实数1的点为圆心,正方形的边 长为半径作圆,交数轴于点A,B,则点A 表 示的数为 ( ) (第8题) A. 1-3 B. 3-1 C. -3-1 D. 3+1 9. (2024·合肥蜀山期中)下列各组数中互为相 反数的是 ( ) A. -3与 (-3)2 B. -327与3-27 C. -3与-1 3 D. |-3|与3 10. (2023·合肥瑶海期末)实数a的立方根与 4的倒数相等,则a的值为 ( ) A. 8 B. -8 C. 1 8 D. -18 11. 定义新运算“※”的运算法则:当a>0,b>0 时,a ※b = a+2b,例 如 6※4= 6+2×4= 14.2×(4※6)的值是 ( ) A. 8 B. 48 C. 10 D. 214 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 7 12. 计算:|5-2|+|5-3|+ (-4)2= . 13. 比较大小:6-1 3 2 5 (填“>”“<” 或“=”). 14. (2024·安庆大观期中)无理数是 无限不循环小数,例如2,5等.我 们可以用 2-1表示 2的小数部 分,5-2表示 5的小数部分.请解答下列 问题: (1) 若x表示 11的整数部分,y表示 11 的小数部分,求2x-y+ 11的值. (2) 已知a+b=2+3,a为整数,0<b<1, 求a-b的值. 15. (核心素养·推理能力)已知a,b是两个有 理数,且c=a+ 22 (b-a). (1) c是 数(填“有理”或“无理”). (2) 若b-a>0,则a,b,c的大小关系为 (用“<”连接). 16. (核心素养·几何直观)如图,在纸 面上有一数轴. (1) 折叠纸面,使1对应的点与-1 对应的点重合,则-2对应的点与 对应的点重合. (2) 折叠纸面,使-1对应的点与3对应的 点重合,回答以下问题: ① 2对应的点与 对应的点重合. ② 5+1对应的点与 对应的点 重合. (3) 已知点A在数轴上表示的数是a,将点 A沿数轴移动(4- 3)个单位长度,此时点 A表示的数和a互为相反数,求a的值. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　实　数