6.1 平方根、立方根-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（沪科版2024）

2 6.1　平方根、立方根 第1课时 平 方 根 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·亳州期末)9的平方根是 ( ) A. ±3 B. 3 C. 9 D. ±9 2. (2024·合肥蜀山期中)下列各式计算正确 的是 ( ) A. 36=±6 B. ± 16=±4 C. (-5)2=-5 D. -100=10 3. 若a2=b,则 ( ) A. b是a的平方根 B. a有两个平方根 C. a的平方根是b D. b=|a| 4. (2024·广东)完全相同的4个正方形面积之 和是100,则正方形的边长是 ( ) A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 5. 289的算术平方根是 . 6. (2024·上海)已知 2x-1=1,则x= . 7. (2024·宣城宣州期中)一个正数的平方根是 a+2和2a-17,那么这个数是 . 8. ★求下列各数的平方根、算术平方根,并用式 子表示: (1) 100. (2) 16 121. (3) (-6)2. (4) 43. 9. (2024·济宁邹城期末)若(x-2)2=9,则x 的值是 ( ) A. -1 B. 5 C. 5或-1 D. 5或1 10. (2024·合肥长丰期中)两个连续的正整数, 前一个数的算术平方根是a,则后一个数的 算术平方根是 ( ) A. a+1 B. a2+1 C. a+1 D. a2+1 11. (2024·淮南八公山期末)若 a=2,b=3, 则ab的平方根为 . 12. (2024·淮南田家庵期中)已知 2019≈44.93,201.9≈14.21,则 20.19≈ . 13. (2024·安庆大观期末)若x,y满足|2x+ 1|+ 9+2y=0,则xy 的算术平方根为 . 14. (1) 如果一个数的算术平方根等于这个数 本身,那么这个数是 . (2) 若 2-a2=2-a2,则a= . 15. (2024·桐城期末)已知有理数a, b,c,d,e,若a,b互为倒数,c,d互 为相反数,e的算术平方根为3,求 ab+ (c+d)2+e的平方根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(沪科版)七年级下 第6章　实　数 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋注:标“★”的题目设有“方法归纳”或“易错警示”,详见“答案与解析”. 3 第2课时 立 方 根 ▶ “答案与解析”见P1 1. (2024·安庆期末)8的立方根是 ( ) A. ±2 B. 2 C. -2 D. 2 2. (2024·滁州凤阳期末)- 64的立方根是 ( ) A. -4 B. ±4 C. ±2 D. -2 3. 若一个正方体的体积是27,则它的棱长是 ( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 下列说法中,正确的是 ( ) A. 16=±4 B. 0.09的平方根是0.3 C. 1的立方根是±1 D. 0的立方根是0 5. (2024·马鞍山和县期末)364的平方根是 . 6. (2024· 合肥庐江期中)已知 31+2b 与 33b-5相等,则b的值为 . 7. 一个正数a的两个平方根是m+7和2m- 1,则m-a的立方根为 . 8. 求下列各数的立方根: (1) -216. (2) -0.343. (3) (-4)3. (4) -278 2 . 9. 3512的立方根是 ( ) A. 8 B. 4 C. 2 D. 16 10. (2024·合肥瑶海期中)已知368.8≈4.098, 36.88≈1.902,则36880约等于 ( ) A. 19.02 B. 190.2 C. 40.98 D. 409.8 11. (核心素养 · 抽象能力)已知 3 x-1=x-1,则x2-x的值为 ( ) A. 0或 1 B. 0 或 2 C. 0或 6 D. 0或2 或 6 12. (2024·合肥蜀山期中)把两个半径分别 为1cm和37cm的铅球熔化后做成一个 更大的铅球,则做成的大铅球的半径是 cm 球的体积公式:V=43πr3,其 中r是球的半径 . 13. ★已知3x-2的平方根是±2, 2x+3y 的立方根是4, 1 2a 2bx-z 与-a2b7是同类项,求z-x-y的立方根. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　实　数 第6章　实　数 6.1　平方根、立方根 第1课时 平 方 根 1. A 2. B 3. D 4. B 5. 17 [解析] 因为 289=17,17 的算术平方根是 17,所以 289的 算术平方根是 17. 6. 1 [解析] 由 2x-1=1,得 2x-1=1,解得x=1. 7. 49 [解析] 因为一个正数的平方 根是a+2和2a-17,所以a+2+ (2a-17)=0,解得a=5.所以a+ 2=7.所以这个数是72=49. 8. (1) 因为(±10)2=100, 所以100的平方根是±10,算术平方 根是10,即± 100=±10, 100=10. (2) 因为 ±411 2 =16121 , 所以16 121 的平方根是±411 ,算术平方 根是4 11 ,即± 16121=± 4 11 , 16 121= 4 11. (3) (-6)2=36. 因为(±6)2=36, 所以36的平方根是±6,算术平方根 是6,也就是(-6)2 的平方根是±6, 算术平方根是6,即± (-6)2 = ±6, (-6)2=6. (4) 43=64. 因为(±8)2=64, 所以64的平方根是±8,算术平方根 是8,也就是43的平方根是±8,算术 平方根是8,即± 43=±8,43=8. 求一个正数的算术平方根 和平方根的方法 求一个正数a的平方根时,可 以先找出一个平方后等于这个正 数a的正数,即a的算术平方根 a,再确定负的平方根- a,从而 合并写出平方根± a.一个正数的 平方根有两个,它们互为相反数, 其中正的平方根就是这个正数的 算术平方根. 9. C [解析] 因为(x-2)2=9,所以 x-2=±3.所以x=5或-1. 10. D [解析] 因为两个连续的正整 数,前一个数的算术平方根是a,所以 前一个数是a2,则后一个数是a2+1. 所以后一个数的算术平方根是 a2+1. 11. ±6 [解析] 因为 a=2,b=3, 所以a=4,b=9.所以 ± ab = ± 36=±6,即ab的平方根为±6. 12. 4.493 [解析] 因为被开方数的 小数点每向左移动2位时,算术平方 根的小数点向相应的方向移动1位, 所 以 由 2019 ≈ 44.93,可 得 20.19≈4.493. 13. 3 2 [解析] 因为|2x+1|+ 9+2y=0,所以2x+1=0,9+ 2y=0,解得x=- 1 2 ,y=- 9 2. 所以 xy= - 1 2 × - 9 2 = 94.所以 xy= 9 4= 3 2. 14. (1) 0或1 (2) ±2 或 ±1 [解析] 因 为 2-a2=2-a2,2-a2≥0,所以2- a2=0或2-a2=1.所以a2=2或 a2=1.所以a=±2或±1. 15. 因为a,b互为倒数, 所以ab=1. 因为c,d互为相反数, 所以c+d=0. 因为e的算术平方根为3, 所以e=9. 所以 ab+ (c+d)2+e= 1+ 9=1+3=4. 所以原式的平方根为±2. 第2课时 立 方 根 1. B 2. D [解析] 因为- 64=-8,-8 的立方根是-2,所以- 64的立方根 是-2. 3. A [解析] 设这个正方体的棱长 是a,则a3=27.所以a=3. 4. D [解析] 因为 16=4,所以A 错误.因为0.09的平方根是±0.3,所 以B错误.因为1的立方根是1,所以 C错误.因为0的立方根是0,所以D 正确. 5. ±2 [解析] 因为 364=4,4的平 方根为±2,所以 364的平方根是 ±2. 6. 6 [解析] 由题意,得1+2b= 3b-5,解得b=6. 7. -3 [解析] 因为一个正数a的 两个平方根是m+7和2m-1,所以 m+7+2m-1=0,解得m=-2.所 以a=(-2+7)2=52=25.所以m- a=-2-25=-27.因为(-3)3= -27,所以m-a的立方根为-3. 8. (1) 因为(-6)3=-216, 所 以 -216 的 立 方 根 是 -6,即 3-216=-6. (2) 因为(-0.7)3=-0.343,所以 -0.343 的 立 方 根 是 -0.7,即 3-0.343=-0.7. (3) 易知(-4)3 的立方根是-4,即 3(-4)3=-4. (4) 因为 -278 2 =72964 , 9 4 3 = 729 64 , 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1 所以729 64 的立方根是 9 4 ,也就是 -278 2 的 立 方 根 是 9 4 ,即 3 -278 2 =94. 9. C 10. A [解析] 因为被开方数的小数 点每向右移动3位,立方根的小数点 向相应的方向移动1位,所以由 36.88 ≈1.902,可 得 36880 ≈ 19.02. 11. B [解析] 因为立方根等于本身 的数有0,±1,所以x-1=0或x- 1=±1,解得x=1或0或2.所以 x2-x的值为0 或2. 12. 2 [解析] 设将两个铅球熔化后 做成的更大铅球的半径为rcm,则 4 3πr 3=43π×1 3+43π× (37)3= 4 3×8π. 所以r3=8.所以r=38=2. 13. 由题意,得 3x-2=4, 2x+3y=64, x-z=7, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 解得 x=2, y=20, z=-5. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 所以z-x-y=-5-2-20=-27. 所以z-x-y的立方根是-3. 防止混淆立方根、平方根 当一个题目中同时出现立方 根、平方根、算术平方根时,要注意 分清它们之间的不同,防止出现混 淆导致错误. 6.2　无理数和实数 第1课时 实数的相关概念及分类 1. B 2. C 3. C 4. B [解析] 因为82=64,92=81, 64<72<81,所以8< 72<9.所以 6< 72-2<7. 5. 答案不唯一,如2 6. 1 7. (1) ②⑤. (2) ①⑦. (3) ⑤⑦. (4) ③④⑥⑧. 对无理数的概念理解 不透彻导致答案错误 此类题易把无理数与无限小 数及带根号的数混为一谈,造成这 种错误的原因是没有理解“无限不 循环小数叫作无理数”这一概念. 在判断一个数是不是无理数时,一 定要根据概念,看它是不是“无限” 且“不循环”的小数. 8. C 9. D 10. D [解析] 无 理 数 有 0.1020020002…(每相邻两个2之 间依次增加一个0),-π2,349,共 3个.所以x=3.有理数有3.14159, 3343, 0.1030030003, 169, 0.326 ∙∙ ,(-0.5)3, 12-1 2 ,共 7个.所以y=7.非负数有3.14159, 3343,0.1020020002…(每相邻两 个 2 之 间 依 次 增 加 一 个 0), 0.1030030003, 169,349,0.326 ∙∙ , 1 2-1 2 ,共8个.所以z=8.所 以x+y+z=3+7+8=18. 11. 8 [解析] 因为100≤x≤999,所 以 12.2< 1.5x <38.72.因 为 1.5x= 32x 为整数,所以开根号 的结果为3的倍数.所以 1.5x= 15,18,21,24,27,30,33,36.所以满足 题意的x的值共有8个. 12. 2 [解析] p= 2+3+3 2 =4 ,由三 角形 面 积 的 计 算 方 法,得 S = 4×(4-2)×(4-3)×(4-3)= 8. 因为2<8<3,而面积S介于整数n 和n+1之间,所以n=2. 13. (1) 正方形ABCD 的面积为5× 5-4×12×1×4=17. (2) 设正方形ABCD的边长为x(x> 0),则x2=17. 所以x= 17. 因为17不是完全平方数, 所以 17是无理数,即正方形ABCD 的边长是无理数. 14. (1) 2. (2) 1,0. 理由:若输入算术平方根等于本身的 数,则求得的算术平方根总是有理数, 始终输不出y的值. 因为算术平方根等于本身的数只有1 和0, 所以所有满足要求的x的值为1,0. (3) 答案不唯一,如3和9. 15. 3993 [解析] 因为12=1,22= 4,32=9,…,452=2025,所以 1=1, 4=2,9=3,…, 2025=45.所以 在这2025个自然数的算术平方根 中,共有45个有理数.所以无理数有 2025-45=1980(个).因为13=1, 23=8,33=27,…,123=1728,133= 2197,所以31=1,38=2,327= 3,…,31728=12,32197=13.所 以在这2025个自然数的立方根中, 共有12个有理数.所以无理数有 2025-12=2013(个).所以在这 2025个自然数的算术平方根和立方 根中,无理数共有1980+2013= 3993(个). 16. 假设 3是有理数,那么存在两个 互质的正整数m,n,使得 3=nm ,于 是有3m2=n2. 因为3m2是3的倍数, 所以n2也是3的倍数. 所以易得n是3的倍数. 设n=3t(t是正整数),则n2=9t2,即 9t2=3m2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2