第3章 概率初步 复习-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

因为2 3= 2 3 , 所以小颖的观点是对的. 10. (1) 因为180<200, 所以小明购物180元,不能获得转动 转盘的机会,小明获得奖金的概率 为0. (2) 小德购物210元,能获得一次转 动转盘的机会, 获得奖金的概率是6 16= 3 8. (3) 设需要将x 个无色区域涂上 绿色, 则有x+3 16 = 1 4 ,解得x=1. 所以需要将1个无色区域涂上绿色. 专题特训（六）　概率的计算 1. D 2. 7 10 3. (1) 因为发行奖券3000张,其中 设一等奖2张, 所以这名顾客获得一等奖的概率是 2 3000= 1 1500. (2) 因为发行奖券3000张,其中设一 等奖2张、二等奖8张、三等奖40张、 四等奖200张、五等奖1000张, 所 以 这 名 顾 客 获 奖 的 概 率 为 2+8+40+200+1000 3000 = 5 12. 4. D [解析]因为木板的总面积为 4×4=16,涂色部分的面积为4×3- 1 2× (1×2+2×3+2×4)=4,所以 飞镖落在涂色部分的概率是4 16= 1 4. 5. 1250 [解析]设这个鱼塘中鱼的 数量为x 条,则x50= 50 2 ,解得x= 1250.所以估计这个鱼塘中鱼的数量 为1250条. 6. 分别求出四个小组石子落在草地 内的次数与石子落在长方形内的次数 的比: 一 组: 112 112+28 = 0.80 ;二 组: 92 92+24≈0.79 ;三 组: 177 177+43≈ 0.80;四组: 128128+32=0.80. 所以石子落在草地内的概率约为0.8. 因为0.8×5×4=16(平方米), 所以草地的大致面积为16平方米. 第三章复习 ［知识体系构建］ 常数 mn ［高频考点突破］ 典例1 C [跟踪训练] 1. A [解析] “任意掷 一枚质地均匀的骰子,朝上一面的点 数是3”是随机事件,故A选项正确; 某篮球运动员2次罚球,投中一个,这 是一个随机事件,不能断定他罚球命 中的概率一定为50%,故B选项错 误;小明在上一个路口遇到绿灯,则他 在下一个路口不一定遇到绿灯,是随 机事件,故C选项错误;某种彩票中 奖的概率是1%,买100张该种彩票 不一定会中奖,是随机事件,故D选 项错误. 典例2 0.2 [解析]由题表,知杯口 朝上的频率逐渐稳定在0.20左右,所 以估计任意抛掷一只纸杯,杯口朝上 的概率为0.2. [跟踪训练] 2. C [解析]由题图, 得频率稳定在0.3左右.一副扑克牌 去掉大小王后,从中任抽一张牌是红 桃的概率为13 52= 1 4 ,故A选项不符合 题意;任意掷一枚质地均匀的硬币,结 果是正面朝上的概率为1 2 ,故B选项 不符合题意;从标有数字1,2,3的三 张卡片中任抽一张,抽出的卡片标有 数字3的概率是13≈0.33 ,故C选项 符合题意;任意掷一枚质地均匀的骰 子,掷出的点数是偶数的概率为1 2 , 故D选项不符合题意. 典例3 C [解析] 乙手中共4张 牌,其中能与甲手中牌组成一对的有 5,8,共2种情况,所以甲从乙手中随 机抽取一张,恰好与手中牌组成一对 的概率=24= 1 2. [跟踪训练] 3. (1) 不公平. 理由:P(图图获胜)=24= 1 2 , P(小杰获胜)=23. 因为1 2< 2 3 , 所以小杰获胜的概率大. 所以获胜规则对双方不公平. (2) 设计的规则不唯一,如只转动转 盘A,若转出偶数,则图图获胜;若转 出奇数,则小杰获胜. ［综合素能提升］ 1. D [解析]抛掷一枚质地均匀的硬 币,正面朝上,是随机事件,故A选项 不符合题意;随意翻到一本书的某页, 这一页的页码是偶数,是随机事件,故 B选项不符合题意;打开电视机,正在 播放广告,是随机事件,故C选项不 符合题意;从两个班级中任选三名学 生,至少有两名学生来自同一个班级, 是必然事件,故D选项符合题意. 2. C [解析]用1,2,3这三个数字随 机组成一个无重复数字的三位数出现 的等可能结果有123,132,213,231, 312,321,共6种,其中恰好是“平稳 数”的有123,321,共2种,所以恰好 是“平稳数”的概率为2 6= 1 3. 3. 20 [解析]由题图,可知摸出黑球 的概率约为0.2.因为黑球有5个,所 以盒子里球的总个数为 5 0.2=25. 所 以白球的个数为25-5=20. 4. 2 9 [解析]因为任取一点C(除点 A,B)共有4×5-2=18(种)等可能 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 的结果,其中能使三角形ABC 的面 积为1的结果有4种,所以使三角形 ABC的面积为1的概率为418= 2 9. 5. 因 为 纸 箱 中 原 有 10÷ 25 = 25(个)球, 所以黄球有25-10=15(个). 所以再往纸箱中放20个白球,随机取 出 1 个 球 是 黄 球 的 概 率 为 15 25+20= 1 3. 6. (1) 9 10 ;7 25. [解析]设标有8元 的小球有x个,则标有2元的小球有 (2x-1)个.由题意,得x+2x-1+ 4+5=50,解得x=14.所以2x-1= 27.所以小明获得奖品的概率为 50-5 50 = 9 10 ,获得8元奖品的概率为 14 50= 7 25. (2) 设需要把y个标有2元的小球改 为8元的小球. 由题意,得y+14 50 = 2 5 , 解得y=6. 所以需要把6个标有2元的小球改为 8元的小球. 第四章　三 角 形 1　认识三角形 第1课时 三角形及其内角和 1. D 2. C 3. 40° 锐 4. 因为∠ACB=90°,∠A=50°, 所以∠ABC=90°-50°=40°. 因为BD平分∠ABC, 所以∠ABD=∠DBC=20°. 因为CD∥AB, 所以∠D=∠ABD=20°. 5. A [解析]① 因为∠A+∠B= ∠C,且∠A+∠B+∠C=180°,所以 2∠C =180°,即 ∠C =90°.所 以 △ABC是直角三角形.② 因为∠A∶ ∠B∶∠C=1∶2∶3,且∠A+ ∠B+∠C=180°,所以易得∠C= 90°.所以△ABC是直角三角形.③ 因 为∠A=90°-∠B,即∠A+∠B= 90°,且∠A+∠B+∠C=180°,所以 易得∠C=90°.所以△ABC是直角三 角形.④ 因为∠A=∠B=∠C,且 ∠A+∠B+∠C=180°,所以∠A= ∠B=∠C=60°.所以△ABC不是直 角三角形.⑤ 因为2∠A=2∠B= ∠C,且∠A+∠B+∠C=180°,所以 易得∠C=90°.所以△ABC是直角三 角形.综上所述,不能确定△ABC 是 直角三角形的有1个. 6. A [解析] 因为∠C=90°,所以 ∠CAB+∠CBA=90°.因为AD 平 分 ∠CAB,BE 平分 ∠ABC,所以 ∠FAB = 12 ∠CAB ,∠FBA = 1 2∠CBA. 所以∠FAB+∠FBA= 1 2 (∠CAB+∠CBA)=45°.所以 ∠AFB=180°-45°=135°. 7. C [解析]如图,因为∠1=∠2, ∠3=∠4,所以∠5=180°-(∠1+ ∠2)=180°-2∠2,∠6=180°- (∠3+∠4)=180°-2∠3.因为∠α= 70°,所以∠2+∠3=180°-∠α= 110°.因为∠β=180°-(∠5+∠6), 所以∠β=180°-(180°-2∠2+ 180°-2∠3)=2(∠2+∠3)-180°= 2×110°-180°=220°-180°=40°. (第7题) 8. 15°或60° 9. (1) 一共可以画出10个三角形. (2) 以AB为一边可以画出3个三角 形,即△ABE,△ABD,△ABC.以C 为顶点可以画出6个三角形,即 △ABC,△BCD,△BCE,△ADC, △DEC,△ACE. (3) 锐角三角形:△AED;直角三角 形:答案不唯一,如△EBD;钝角三角 形:答案不唯一,如△ABC. 10. (1) 因为AD⊥BC, 所以∠ADB=90°. 因为∠ABC=60°,BE 平分∠ABC, 所 以 ∠BAD = 30°,∠ABE = 1 2∠ABC=30°. 因为∠AEB=70°, 所以 ∠CAD =180°- ∠ABE - ∠BAD-∠AEB=50°. (2) 由(1),易得∠C=40°, 所以当△EFC为直角三角形时,有两 种情况: ① 当∠FEC=90°时,如图①所示. 因 为 ∠BEC + ∠AEB = 180°, ∠AEB=70°, 所以∠BEC=180°-∠AEB=180°- 70°=110°. 所以∠BEF=∠BEC-∠FEC= 110°-90°=20°. ② 当∠EFC=90°时,如图②所示. 因为BE平分∠ABC,∠ABC=60°, 所以 ∠CBE = 12 ∠ABC = 1 2 × 60°=30°. 因为∠EFB=180°-∠EFC=90°, 所以∠BEF=90°-∠CBE=60°. 综上所述,当△EFC 为直角三角形 时,∠BEF的度数是20°或60°. (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12 55 第三章复习 ▶ “答案与解析”见P20 考点一 判断事件的类型 典例1 下列事件中,属于必然事件的是( ) A. 任意抛掷两枚质地均匀的硬币,都正面朝上 B. 明天一定会下大雨 C. 从装有1个蓝球、3个红球的袋子中任取 2个球,则至少有一个是红球 D. 投掷一枚普通骰子,朝上一面的点数是2 跟踪训练 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A. “任意掷一枚质地均匀的骰子,朝上一面 的点数是3”是随机事件 B. 某篮球运动员2次罚球,投中一个,则可 断定他罚球命中的概率一定为50% C. “小明在上一个路口遇到绿灯,则他在下 一个路口必遇到绿灯”是不可能事件 D. “某种彩票中奖的概率是1%,则买100张 该种彩票中奖”是必然事件 考点二 利用频率估计概率 典例2 做任意抛掷一只纸杯的重复试验,获得 如下表所示的数据: 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上的次数 18 38 63 80 杯口朝上的频率 0.18 0.19 0.21 0.20 估计任意抛掷一只纸杯,杯口朝上的概率为 (结果精确到0.1). 跟踪训练 2. (2024·青岛李沧期末)某数学兴趣小组在做 “频率的稳定性”试验时,根据试验结果绘制 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率初步 56 了如图所示的折线统计图,则符合这一统计 结果的试验最有可能是 ( ) (第2题) A. 一副扑克牌去掉大小王后,从中任抽一张 牌是红桃 B. 任意掷一枚质地均匀的硬币,结果是正面 朝上 C. 从标有数字1,2,3的三张卡片中任抽一 张,抽出的卡片标有数字3 D. 任意掷一枚质地均匀的骰子,掷出的点数 是偶数 考点三 概率的计算 典例3 若两张扑克牌的牌面数字相同,则可以 组成一对.如图所示为甲、乙手中的扑克牌.若 甲从乙手中随机抽取一张,则恰好与手中牌组 成一对的概率是 ( ) (典例3图) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 跟踪训练 3. 如图,有A,B两个转盘,其中转盘A被分成 4等份,转盘B被分成3等份,并在每一份内 标上数字.现在图图、小杰两人分别同时转动 A,B转盘,转盘停止后(当指针指在边界线上 时视为无效,重转),若指针指向的数字为2 或4,则算获胜. (1) 获胜规则对双方公平吗? 请说明理由. (2) 请你设计一个对双方公平的规则. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 1. 下列事件中,属于必然事件的是 ( ) A. 抛掷一枚质地均匀的硬币,正面朝上 B. 随意翻到一本书的某页,这一页的页码是 偶数 C. 打开电视机,正在播放广告 D. 从两个班级中任选三名学生,至少有两名 学生来自同一个班级 2. (2023·安徽)若一个三位数中任意两个相邻 数字之差的绝对值不超过1,则称该三位数 为“平稳数”.用1,2,3这三个数字随机组成 一个无重复数字的三位数,恰好是“平稳数” 的概率为 ( ) A. 5 9 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 9 3. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外, 其余均相同的黑、白两种球,其中黑球有 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 57 5个.将盒子里的球搅匀后从中随机摸出一 个球记下颜色,再把它放回盒子里,不断重复 上述过程.整理数据后,制作了“摸出黑球的 频率”与“摸球的总次数”的关系图如图所示, 经分析可以推断盒子里白球有 个. (第3题) 4. 如图,点A,B在由边长为1的小正方形组成 的网格的格点上,连接AB,在网格格点上除 点A,B 外任取一点C,则使三角形ABC的 面积为1的概率是 . (第4题) 5. 已知一个纸箱中放有大小相同的10个白球 和若干个黄球.从纸箱中随机取出1个球是 白球的概率是2 5 ,再往纸箱中放20个白球, 求随机取出1个球是黄球的概率. 6. (2024·沈阳沈河期末)某儿童用品 商店在“六一”儿童节设置了一个购 物摸球游戏.在一个不透明的箱子 里装了50个小球,这些小球分别标有50元、 8元、2元、0元的金额,其中标有50元的小 球有4个,标有0元的小球有5个,标有2元 的小球的个数比标有8元的小球的个数的 2倍少1,这些小球除标有的金额不同外其余 都相同.规定:凡购买指定商品,可以摸球一 次,若摸到标有50元、8元、2元的小球,则可 以得到等价值的奖品一个. 已知小明购买了指定商品,根据以上信息解 答下列问题: (1) 小明获得奖品的概率是 ,获得 8元奖品的概率是 . (2) 为吸引顾客,该儿童用品商店现将8元 奖品的获奖概率提高到2 5 ,在保持小球总数 不变的情况下,需要把几个标有2元的小球 改为8元的小球? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第三章　概率初步