第3章 概率初步 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

三、 16. (1) 如图所示. (2) 如图所示. (第16题) 17. 设这个角的度数为x°,则这个角 的余角的度数为(90-x)°,补角的度 数为(180-x)°. 依题意,得1 2× (180-x)-2×(90- x)=27,解得x=78. 所以这个角的度数为78°. 18. (1) 因为EO⊥AB, 所以∠BOE=90°. 因为∠EOC=35°, 所以∠BOC=∠BOE+∠EOC= 125°. 所以∠AOD=∠BOC=125°. (2) 因为∠AOC+∠BOC=180°, ∠BOC=2∠AOC, 所以∠AOC+2∠AOC=180°. 所以∠AOC=60°. 所以∠BOD=∠AOC=60°. 所以∠DOE=∠BOE+∠BOD= 90°+60°=150°. 19. (1) CD∥EF. 理由:因为CD⊥AB,EF⊥AB, 所以∠BDC=∠BFE=90°. 所以CD∥EF. (2) 因为CD∥EF, 所以∠2=∠BCD. 因为∠1=∠2, 所以∠1=∠BCD. 所以DG∥BC. 所以∠3=∠ACB. 因为∠3=115°, 所以∠ACB=115°. 20. (1) AF∥DE. 理由:因为GE∥AP∥BD, 所以∠1=∠E,∠AFG=∠PAF. 因为∠1=∠PAF, 所以∠E=∠AFG. 所以AF∥DE. (2) 因为∠1=48°,∠1=∠PAF, 所以∠PAF=48°. 因为AP∥BD, 所以∠PAC=∠ACB=82°. 所以∠FAC=∠PAF+∠PAC= 48°+82°=130°. 因为AQ平分∠FAC, 所以 ∠FAQ = 12 ∠FAC= 1 2 × 130°=65°. 所以∠PAQ=∠FAQ-∠PAF= 65°-48°=17°. 因为AP∥BD, 所以∠Q=∠PAQ=17°. 21. (1) ∠EAB;∠DAC. (2) 如图①,过点P作PF∥AB. 因为AB∥CD, 所以PF∥CD. 所以∠D+∠FPD=180°. 因为PF∥AB, 所以∠B+∠FPB=180°. 所以∠B+∠FPB+∠FPD+∠D= 360°,即∠B+∠BPD+∠D=360°. (3) ① ∠APD=90°. ② ∠PAB + ∠CDP - ∠APD = 180°. 理由:如图②,过点P作PF∥AB. 因为AB∥CD, 所以PF∥CD. 所以∠CDP=∠DPF. 因为PF∥AB, 所以∠PAB+∠APF=180°. 因为∠APF=∠DPF-∠APD, 所以∠PAB+∠DPF-∠APD= 180°. 所以∠PAB+∠CDP-∠APD= 180°. (第21题) 第三章拔尖测评 一、 1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. D 8. D [解析] 共有24个节气,节气 在夏季的有6个,所以选到的节气在 夏季的概率为6 24= 1 4. 9. A [解析] 根据题意,得P(W)的 值为 π×2 2 π×(2+2+2)2= 1 9. 10. B [解析] 由题意,易得涂色部 分与空白部分的面积相等,都为正方 形面积的一半,所以小球停在涂色部 分的概率P1=停在空白部分的概 率P2. 二、 11. 数字 12. 1 3 13. 15 [解析]由题意,知盒子中球 的总个数为5÷0.25=20,所以盒子 中红球的个数为20-5=15. 14. 3 5 [解析] 因为从盒子中随机 取出一枚棋子,它是黑棋的概率是 3 8 ,所以是白棋的概率是5 8. 所以黑 棋的枚数与白棋的枚数的比值x y 为 3 8∶ 5 8= 3 5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 74 15. B [解析]若在A区域点击,则 点击到地雷的概率为2 8= 1 4 ;若在 B区域点击,则点击到地雷的概率为 16-2 81-9= 14 72= 7 36. 因为1 4> 7 36 ,所以 为了最大限度地避开地雷,下一步应 该点击的是B区域. 三、 16. (1) 0.8. (2) 由题意,可知罚球一次命中的概 率为0.8,则获得10次罚球机会能得 10×2×0.8×1=16(分). 所以估计他罚球能得16分. 17. 参加游戏一. 理由:游戏一中,由于转盘被等分成了 4个扇形,红色占2个,因此指针停在 红色的概率,即得到奖励的概率为 2 4= 1 2. 游戏二中,袋子里有2个红球、2个黄球 和1个蓝球,因此摸出一个球是红球,即 得到奖励的概率为 2 2+2+1= 2 5. 因为1 2> 2 5 , 所以参加游戏一得到奖励的可能性 较大. 18. (1) 随机事件;不可能事件. (2) 白色. (3) 4. [解析] 根据题意,得2= 1 5× (3+2+1+n),解得n=4. (4) 公平. 因为P(小颖获胜)=510= 1 2 ,P(小 英获胜)=510= 1 2 , 所以P(小颖获胜)= P(小英获胜). 所以这个游戏对双方公平. 19. (1) P(获得九折优惠)=90°×2360°= 1 2 , P(获得八折优惠)=60°×2360°= 1 3 , P(获得七折优惠)=30°×2360°= 1 6. (2) 因为 200×0.9=180(元), 180>168, 所以他没有获得九折优惠. 因为200×0.8=160(元),160<168, 所以168÷0.8=210(元). 因为200×0.7=140(元),140<168, 所以168÷0.7=240(元). 所以他所购物品的原价应为210元或 240元. 期中拔尖测评 一、 1. C 2. D 3. C 4. D 5. D 6. D 7. B 8. A [解析]如图,过点A 作AB∥ a,所以∠1=∠2.因为a∥b,所以 AB∥b.所以∠3=∠4=30°.因为 ∠2+∠3=45°,所以∠2=15°.所以 ∠1=15°. (第8题) 9. D [解析]S1= 1 2b (a+b)×2+ 1 2ab×2+ (a-b)2=a2+2b2,S2= (a+b)2-S1=(a+b)2-(a2+ 2b2)=2ab-b2.因为S1=2S2,所以 a2+2b2=2(2ab-b2).整理,得(a- 2b)2=0.所以a-2b=0.所以a=2b. 10. A [解析]如图,过点K 作KG∥ AB.因为AB∥CD,所以KG∥CD.所 以 ∠EKG = ∠BEK,∠FKG = ∠DFK.所以 ∠EKF = ∠EKG + ∠FKG=∠BEK+∠DFK.同理, ∠K1= ∠BEK1 + ∠DFK1.因为 ∠BEK,∠DFK 的平分线相交于点 K1,所 以 ∠BEK1 = ∠KEK1 = 1 2∠BEK ,∠DFK1 = ∠KFK1 = 1 2∠DFK. 所以∠K1= 1 2∠BEK+ 1 2∠DFK = 1 2∠EKF. 同 理, ∠K2= 1 2 ∠K1= 1 22 ∠EKF ;…; ∠Kn= 1 2n∠EKF. (第10题) 二、 11. 2 12. 4 13. ①④ [解析]因为∠AGH = ∠B,所以GH∥BC.故①一定成立. 所以∠1=∠MGH.因为∠1=∠2,所 以∠2=∠MGH.所以HE∥GF.因 为GF⊥AB,所以∠BGF=90°.因为 HE∥GF,所以 ∠BEH =90°,即 HE⊥AB.故④一定成立.通过已知 条件无法说明∠D=∠F,HE 平分 ∠AHG.所以一定成立的有①④. 14. 20 27 [解析] 将一个棱长为3的 正方体切割成棱长为1的小正方体, 一共可得到3×3×3=27(个),在每 条棱上只有1个两个面涂有红色的小 正方体,由于正方体有12条棱,因此, 有12个两个面涂有红色的小正方体. 因为三个面涂有红色的小正方体有 8个,所以从中任取一个小正方体,则 取得的小正方体至少有两个面涂上红 色的概率为12+8 27 = 20 27. 15. 20°或125° [解析]设∠B=x°, 则∠A=3x°-40°.当两个角的位置 如图①所示时,根据题意,易得∠A= ∠B,即3x°-40°=x°,解得x=20. 所以∠A=20°.当两个角的位置如图 ②所示时,根据题意,易得∠A+ ∠B=180°,即3x°-40°+x°=180°, 解得x=55.所以3x°-40°=3× 55°-40°=125°,即∠A=125°.综上 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 84 数学(北师版)七年级下 5 第三章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题4分,共40分) 1. 下列事件为必然事件的是 ( ) A. 到公交站台,公交车刚好到站 B. 抛掷一枚硬币,正面朝上 C. 367人中有两人的生日相同 D. 打雷后会下雨 2. 下列诗句中,表述的为随机事件的是 ( ) A. 离离原上草,一岁一枯荣 B. 危楼高百尺,手可摘星辰 C. 会当凌绝顶,一览众山小 D. 东边日出西边雨,道是无晴却有晴 3. 小星通过大量重复的定点投篮练习,用频率估计他投中的概率为 0.4,下列说法正确的是 ( ) A. 小星定点投篮1次,不一定能投中 B. 小星定点投篮1次,一定可以投中 C. 小星定点投篮10次,一定投中4次 D. 小星定点投篮4次,一定投中1次 4. 如图所示为用计算机模拟随机投掷一枚图钉的试验结果.有下列推 断:① 当投掷次数是500时,“钉尖向上”的次数是308,所以“钉尖 向上”的概率是0.616;② 随着试验次数的增加,“钉尖向上”的频率 总在0.618附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计“钉尖向上” 的概率是0.618;③ 若再次用计算机模拟试验,则当投掷次数为 1000时,“钉尖向上”的概率是0.620.其中,合理的是 ( ) (第4题) A. ① B. ② C. ①② D. ①③ 5. 某商场为吸引顾客设计了如图所示的转盘,当指针指向涂色部分 (第5题) 时,顾客可获奖品一份,则顾客获奖的概率为( ) A. 1 2 B. 1 5 C. 1 8 D. 1 10 6. 如图,将7张背面完全一样的扑克牌打乱顺序后,背面朝上放在桌 面上.若从中随机抽取一张,则抽到的花色可能性最大的是 ( ) A. B. C. D. (第6题) (第7题) 7. 如图,一张圆桌共有3个座位,甲、乙、丙3人随机坐到这3个座位 上,则甲和乙相邻的概率为 ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 1 8. 二十四节气基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中 一些物候等自然现象发生的规律.二十四节气分别为春季(立春、雨 水、惊蛰、春分、清明、谷雨),夏季(立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大 暑),秋季(立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降),冬季(立冬、小雪、大 雪、冬至、小寒、大寒),若从二十四节气中选一个节气,则选到的节 气在夏季的概率为 ( ) A. 1 2 B. 1 12 C. 1 6 D. 1 4 9. 在如图所示的图形中随机地撒一把豆子,计算落在A,B,C三个区 域中的豆子数的比.多次重复这个试验,把“在图形中随机撒豆子” 作为试验,把“豆子落在C中”记作事件W,估计P(W)的值为 ( ) A. 1 9 B. 3 9 C. 5 9 D. 7 9 (第9题) (第10题) 10. 如图,在正方形中,涂色部分是以正方形的顶点及其中心为圆心, 以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形.一个小球在该 正方形内自由滚动,小球随机地停在正方形内的某一点上.若小球 停在涂色部分的概率为P1,停在空白部分的概率为P2,则P1与 P2的大小关系为 ( ) A. P1<P2 B. P1=P2 C. P1>P2 D. 无法判断 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 有13张花色相同的扑克牌A,2,3,4,5,…,10,J,Q,K,将其顺序 打乱后,背面朝上放在桌面上(背面完全相同).若从中随机抽一 张,则抽到 扑克牌的可能性更大(填“数字”或“字母”). 12. 如图所示的转盘被分为四个区域,其中α=120°,四个区域分别标 有数2,-4,6,3,随机转动指针,当指针停止时(指针指向分界线, 则重转),指向负数的概率是 . (第12题) (第15题) 13. 一个不透明的盒子中装有若干个红球和5个黑球,这些球除颜色 外其余均相同.经多次摸球试验后发现,摸到黑球的频率稳定在 0.25左右,则盒子中红球的个数为 . 14. 一个不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋,这些棋除颜色外无 其他差别.从盒子中随机取出一枚棋子,若它是黑棋的概率是38 , 则x y 的值为 . 15. 如图所示为计算机中“扫雷”游戏的画面.在一个9×9的正方形方 格雷区中,随机埋藏着16颗地雷,每个方格内最多只能藏1颗地 雷.小王在游戏开始时随机地点击一个方格,点击后出现了如图所 示的情况.我们把与出现数字“2”的方格相邻的方格记为A区域 (画线部分),A区域外的部分记为B区域.数字“2”表示在A区域 有2颗地雷.为了最大限度地避开地雷,下一步应该点击的是 (填“A”或“B”)区域. 三、 解答题(共40分) 16. (8分)为了准备体育艺术节的比赛,某篮球运动员进行定点罚球训 练,部分训练记录如下表: 罚球次数 20 40 60 80 100 120 命中次数 15 32 48 65 80 96 命中频率 (结果精确到0.01) 0.75 0.80 0.80 0.81 0.80 0.80 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 (1) 根据上表中的数据,估计该篮球运动员罚球命中的概率是 (结果精确到0.1). (2) 根据上表分析,如果该篮球运动员在一次比赛中共获得10次 罚球机会(每次罚球机会投掷2次,每命中一次得1分),估计他罚 球能得多少分. 17. (10分)小蒙设计了两个抽奖游戏.游戏一是转盘游戏,如图所示的 转盘被等分成了4个扇形,共有红、黄、蓝三种颜色,自由转动转 盘,指针停在红色时会得到奖励(若指针停在分界线上,则重转一 次);游戏二是摸球游戏,袋子里有2个红球、2个黄球和1个蓝球, 每个球除颜色外其他都相同,任意摸出一个球,摸到红球会得到奖 励.小雨要参加抽奖游戏,你建议她参加哪一个游戏? 请说明理由. (第17题) 18. (10分)一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球,2个黄色乒乓 球,1个红色乒乓球,这些乒乓球除颜色外其余都相同,小颖从盒子 中任意摸出一个乒乓球. (1) 小颖摸出红色乒乓球是 ,摸出黑色乒乓球是 (填“随机事件”“必然事件”或“不可能事件”). (2) 小颖摸出的乒乓球,最有可能摸到的颜色是 (填“白 色”“黄色”或“红色”). (3) 在盒子中再放入n个除颜色外其余都相同的红色乒乓球,小 颖从盒子中任意摸出一个乒乓球,摸到黄色乒乓球的概率为1 5 ,则 n= . (4) 在(3)的条件下,小颖和小英一起做游戏,小颖从盒子中任意摸 出一个乒乓球,如果摸到红球,那么小颖获胜,否则小英获胜.这个 游戏对双方公平吗? 为什么? 19. (12分)某商场为吸引顾客,设立了一个可以自由转动的转盘(如 图),规定:顾客购物满200元以上(含200元),就能获得一次转动 转盘的机会,若转盘停止转动后,指针正好对准九折、八折、七折区 域,则顾客可以获得此项优惠;若指针恰好停在分割线上,则需重 新转动转盘. (1) 某顾客消费220元,则他转一次转盘,获得九折、八折、七折优 惠的概率分别是多少? (2) 某顾客获得了转动一次转盘的机会,优惠后实际付费168元, 则他所购物品的原价应为多少元? (第19题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈