2.3 平行线的性质-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

∠9,∠8与∠9. “三线八角”的识别技巧 判断同位角、内错角、同旁内 角的方法是找出每对角的四边所 在的三线,两边所在的公共线就是 截线,其他两边所在的直线就是被 截的两直线.再根据同位角、内错 角、同旁内角的概念分别判断各对 角的类型.若是较难判断,可将图 形分割,单独画出每对角的四边所 在的三线,再进行判断.同位角的 边构成“F”形,内错角的边构成“Z” 形,同旁内角的边构成“U”形. 6. C 7. B [解析]① 由“内错角相等,两 直线平行”,知根据∠AEC=∠C 能 判定AB∥CD.② 由“同位角相等,两 直线平行”,知根据∠C=∠BFD 能 判定EC∥BF.③ 由“同旁内角互补, 两直线平行”,知根据∠BEC+∠C= 180°能判定AB∥CD.综上所述,能判 定AB∥CD的是①③. 8. 48° [解析]如图.因为∠1+ ∠3=180°,∠1=138°,所以∠3=42°. 当∠4=∠3=42°时,AB∥CD.因为 EF⊥MN,所以 ∠EFN =90°,即 ∠2+∠4=90°.所以∠2=48°. (第8题) 9. ③④⑤ 10. (1) 因为EF⊥AB, 所以∠EFA=∠EFB=90°. 因为∠θ1=∠θ2, 所以∠α=∠β. (2) 由(1)知∠1=∠2,∠3=∠4. 因为∠2=∠3,∠5=180°-∠1- ∠2,∠6=180°-∠3-∠4, 所以易得∠5=∠6. 所以m∥n. 11. 如 图,在 ∠BCD 的 内 部 作 ∠BCM=25°,在∠CDE 的内部作 ∠EDN=10°. 因为∠B=25°,∠E=10°, 所以∠B=∠BCM,∠E=∠EDN. 所以AB∥CM,EF∥DN. 因为∠BCD=45°, 所以∠MCD=∠BCD-∠BCM= 45°-25°=20°. 因为∠CDE=30°, 所以∠CDN=∠CDE-∠EDN= 30°-10°=20°. 所以∠MCD=∠CDN. 所以CM∥DN. 所以AB∥EF. (第11题) 平行线的判定方法 要判断两直线是否平行,首先 要找到截两直线的截线(有时需要 构造截线),若是多条,可逐条观 察,再寻找同位角或内错角或同旁 内角,然后根据平行线的判定进行 判断.平行线判定的实质是根据同 位角“相等”或内错角“相等”或同 旁内角“互补”这种角之间的“数量 关系”,判断两直线“平行”这种“位 置关系”,是一个由“数”到“形”的 过程. 12. (1) ① 140°. ② 根据题意,得∠ACD=∠ECB=90°. 因为∠ACB=128°, 所以∠ACE=∠ACB-∠ECB= 128°-90°=38°. 所以∠DCE=∠ACD-∠ACE= 90°-38°=52°. (2) 存在. 当∠ACE=30°时,AD∥BC; 当∠ACE=45°时,AC∥BE; 当∠ACE=120°时,AD∥CE; 当∠ACE=135°时,CD∥BE; 当∠ACE=165°时,AD∥BE. 3　平行线的性质 第1课时 平行线的性质 1. A 2. A 3. 52° 4. 78° 5. (1) 因为AE∥BF, 所以 ∠AEC = ∠BDC,∠AEC = ∠EDF. 所以∠AEC与∠BDC,∠EDF相等. (2) 因为AC∥EF, 所以∠CEF =∠C. 所以∠CEF与∠C相等. (3) 因为AE∥BF, 所以∠A+∠ABF=180°. 所以∠A与∠ABF互补. 6. D [解析]如图.因为l3∥l4,所以 根据“两直线平行,同旁内角互补”,可 知∠1+∠2=180°.因为l1∥l2,所以 根据“两直线平行,同位角相等”,可知 ∠4=∠2.所以∠1+∠4=180°.根据 “对顶角相等”,可知∠5=∠4,∠3= ∠2,所以∠1+∠5=180°,∠1+ ∠3=180°.所以与∠1互补的角有 ∠2,∠3,∠4,∠5,共4个. (第6题) 7. B [解析] 因为AD∥BC,所以 ∠ADC+∠C=180°.因为∠C=50°, 所以∠ADC=130°.因为DE 平分 ∠ADC,所以∠ADE=12∠ADC= 65°.因为AD∥BC,所以∠DEC= ∠ADE=65°.因为EF∥AB,所以 ∠CEF=∠B=40°.所以∠DEF= ∠DEC-∠CEF=65°-40°=25°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 8. C [解析] 因为AB∥CD,所以 ∠CDB+∠ABD=180°,∠ACD+ ∠BAC=180°.因为∠CDB=70°, ∠ACD=80°,所以∠ABD=110°, ∠BAC=100°.因为AE∥BD,所以 ∠BAE + ∠ABD = 180°.所 以 ∠BAE = 70°.所 以 ∠EAC = ∠BAC-∠BAE=30°. 9. 60° [解析]因为BD∥PQ,所以 ∠POB = ∠OBD = 90°.因 为 ∠AOB = 150°,所 以 ∠AOP = ∠AOB-∠POB=150°-90°=60°. 因 为 AC ∥PQ,所 以 ∠OAC = ∠AOP=60°. 10. 75° [解析]由题意,可知纸带的 两边 平 行,即 MC ∥ED.所 以 ∠MBE=30°,∠ABD=∠α.由折叠 的性质,可知∠ABD=∠ABM.因为 ∠ABD+∠ABM+∠MBE=180°, 所以∠α+∠α+30°=180°. 所以 ∠α=75°. 运用平行线性质的注意事项 由平行线的性质求角的度数 或说明角之间的数量关系时,要注 意有关的角是平行线被哪条直线 截得的,以及平行线都被哪几条直 线所截,从而正确运用平行线的性 质解决问题. 11. (1) 如图,点F即为所求作. (2) 由(1)可知,∠FDC=2∠ABC= 80°. 因为∠ABC=40°,∠BAE=140°, 所以∠ABC+∠BAE=180°. 所以AE∥BC. 所以∠DFE=180°-∠FDC=100°. (第11题) 12. 因为AB∥CD,∠ABC=45°, 所以∠ABC=∠BCD=45°. 因为EF∥CD, 所以∠CEF+∠ECD=180°. 因为∠CEF=155°, 所以∠ECD=180°-∠CEF=25°. 所以∠BCE=∠BCD-∠ECD=20°. 13. AE∥BD. 理由:因为AC∥ED, 所以∠1=∠4. 因为∠1=∠2, 所以∠2=∠4. 因为EB平分∠AED, 所以∠3=∠4. 所以∠2=∠3. 所以AE∥BD. 14. (1) 130°;65°. (2) 因为AM∥BN, 所以∠A+∠ABN=180°. 所以∠ABN=180°-∠A. 因为 BC 平 分 ∠ABP,BD 平 分 ∠PBN, 所以∠ABP=2∠CBP,∠PBN = 2∠DBP. 所以∠ABN =∠ABP+∠PBN= 2∠CBP+2∠DBP=2(∠CBP+ ∠DBP)=2∠CBD. 所以180°-∠A=2∠CBD. 所以∠CBD=90°-12∠A=90°- 1 2x°. (3) 因为AM∥BN, 所 以 ∠ACB = ∠CBN,∠A + ∠ABN=180°. 因为∠ACB=∠ABD, 所以∠CBN=∠ABD, 即 ∠CBD + ∠DBN = ∠ABC + ∠CBD. 所以∠DBN=∠ABC. 因为 BC 平 分 ∠ABP,BD 平 分 ∠PBN, 所以 ∠ABC = ∠CBP,∠PBD = ∠DBN. 所以∠ABC=∠CBP=∠PBD= ∠DBN. 所以∠ABP=∠ABC+∠CBP= 1 2∠ABN = 1 2 (180°- ∠A)= 1 2 (180°-x°)=90°-12x°. 第2课时 平行线判定与性质的 综合应用 1. C 2. B 3. 70 4. (1) 因为AD∥BC, 所以∠B+∠BAD=180°. 因为∠B=80°, 所以∠BAD=100°. (2) 因为AE平分∠BAD, 所以∠DAE=12∠BAD=50°. 因为AD∥BC, 所以∠AEB=∠DAE=50°. 因为∠C=50°, 所以∠AEB=∠C. 所以AE∥DC. 5. A [解析] 如图,过点A 作直线 p∥n,则∠1=∠3=40°.因为m∥n, n∥p,所以m∥p.所以∠2=30°+ ∠3=30°+40°=70°. (第5题) 6. 270° [解析]如图,过点B 作 BF∥AE.因为CD∥AE,所以BF∥ CD.所以∠BCD+∠CBF=180°.因 为BA⊥AE,所以∠BAE=90°.所以 ∠ABF=180°-90°=90°.所 以 ∠ABC + ∠BCD = ∠ABF + ∠CBF+∠BCD=90°+180°=270°. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 31 7. 140° [解析]如图,延长AE与直 线l2 交于点B.因为直线l1∥l2, ∠1=40°,所以∠3=∠1=40°.因为 ∠α=∠β,所以AB∥CD.所以∠3+ ∠2=180°.所以∠2=180°-∠3=140°. (第7题) 平行线中添加辅助线的技巧 平行线中添加辅助线的基本 思路:构造两直线被第三条直线所 截的基本图形.通常有两种情形: 一是当平行线中有折线时,直接延 长折线,构造两直线被第三条直线 所截的基本图形;二是当平行线中 有折线或拐角时,过折点或拐点作 平行线中某条直线的平行线,并利 用平行于同一条直线的两条直线 平行,得到所作直线也与平行线中 的另一条直线平行,从而利用平行 线的性质与判定解决问题. 8. 100° [解析]因为EF⊥MN,所以 ∠MFE=90°.如图,过点D 作DG∥ AB,过点E 作EH∥AB.因为AB∥ MN,所以AB∥DG∥EH∥MN.所以 ∠ACD+∠CDG=180°,∠GDE= ∠DEH,∠HEF=∠MFE=90°.因 为∠DEF=120°,∠BCD=110°,所以 ∠GDE=∠DEH =30°,∠CDG= 180°-110°=70°.所以 ∠CDE = ∠CDG+∠GDE=100°. (第8题) 9. 因为∠BAC+∠GCA=180°, 所以AB∥DG. 所以∠BAC=∠DCA. 因为∠1=∠2, 所以∠BAC-∠1=∠DCA-∠2,即 ∠EAC=∠FCA. 所以AE∥CF. 所以∠E=∠F. 10. 因为∠AGF=∠ABC, 所以GF∥BC. 所以∠1=∠3. 因为∠1+∠2=180°, 所以∠2+∠3=180°. 所以DE∥BF. 所以∠CED=∠CFB. 因为DE⊥AC, 所以∠CED=90°. 所以∠CFB=90°. 所以BF⊥AC. 11. 因为EF⊥AC,DM⊥AC, 所以∠CFE=∠CMD=90°. 所以EF∥DM. 所以∠3=∠CDM. 因为∠3=∠2, 所以∠2=∠CDM. 所以MN∥CD. 所以∠AMN=∠C. 因为∠1=∠C, 所以∠1=∠AMN. 所以AB∥MN. 12. (1) ∠APC=α+β. 理由:如图①,过点P作PE∥AB. 因为AB∥CD, 所以PE∥CD. 所以∠APE=∠PAB=α,∠CPE= ∠PCD=β. 所以∠APC=∠APE+∠CPE= α+β. (2) 如图②,在(1)的条件下,如果点 P在线段MN 的延长线上运动时, ∠APC=α-β. 如图③,在(1)的条件下,如果点P在 线段 NM 的 延 长 线 上 运 动 时, ∠APC=β-α. ① ② ③ (第12题) 专题特训（四）　平行线 “拐点”模型 1. B [解析]如图,过点E 作直线 HI∥AB.所以∠GEH =∠BGE= 60°.因为GE⊥EF,所以∠GEF= 90°.所 以 ∠HEF = ∠GEF - ∠GEH=90°-60°=30°.因为AB∥ CD,AB∥HI,所以CD∥HI.所以 ∠EFD=∠HEF=30°. (第1题) 2. 60° 3. 如图,分别过点E,F作EM∥AB, FN∥AB. 因为AB∥CD, 所以EM∥CD,FN∥CD. 所以 ∠ABE = ∠BEM,∠CDE = ∠DEM,∠ABF=∠BFN,∠CDF= ∠DFN. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 41 34 3　平行线的性质 第1课时 平行线的性质 ▶ “答案与解析”见P12 1. (2024·福建)在同一平面内,将直尺、含30° 角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图所 示的方式摆放,若AB∥CD,则∠1的度数为 ( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° (第1题) (第2题) 2. (2024·太原期末)如图,直线a∥b,现将含 45°角的三角尺放入平行线之间,两个锐角顶 点分别落在两条直线上.若∠1=23°,则∠2 的度数为 ( ) A. 68° B. 67° C. 23° D. 22° 3. 如图,AB∥CD,CB 平分∠ECD.若∠B= 26°,则∠1的度数为 . (第3题) (第4题) 4. (2023·烟台)一杆古秤在称物时的状态如图 所示.若∠1=102°,则∠2的度数为 . 5. 如图,AE∥BF,AC∥EF,连接EC,交BF于 点D. (1) 由AE∥BF,可知∠AEC与哪些角相等? (2) 由AC∥EF,可知∠CEF与哪个角相等? (3) 由AE∥BF,可知∠A与哪个角互补? (第5题) 6. 如图,若l1∥l2,l3∥l4,则图中与∠1互补的 角有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (第6题) (第7题) 7. (2024·郑州新郑期中)如图,AD∥BC, ∠B=40°,∠C=50°,DE 平分∠ADC,过点 E作EF∥AB交CD 于点F,则∠DEF的度 数为 ( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. (新情境)(2024·济南章丘期中)健康骑行越 来越受人们的喜欢,某款自行车的示意图如 图所 示,其 中 AB ∥CD,AE ∥BD.若 ∠CDB=70°,∠ACD=80°,则∠EAC 的度 数为 ( ) A. 60° B. 40° C. 30° D. 50° (第8题) (第9题) 9. (2023·威海)如图,从点O 照射到曲线上 的光OA,OB经反射后分别沿着与PQ 平 行的AC,BD 方向射出.若∠AOB=150°, ∠OBD=90°,则∠OAC的度数为 . 10. ★有一条直的等宽纸带,按如图所示的方式 折叠时,∠α的度数为 . (第10题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 35 11. (2024·郑州新郑期中)如图,∠ABC=40°, ∠BAE=140°,点D在射线BC上. (1) 请用无刻度的直尺和圆规在AE 上找 一点F,使∠FDC=2∠ABC(保留作图痕 迹,不写作法). (2) 在(1)的条件下,求∠DFE的度数. (第11题) 12. 如图,AB∥EF∥CD,∠ABC=45°,∠CEF= 155°,求∠BCE的度数. (第12题) 13. 如图,AC∥ED,EB 平分∠AED,∠1= ∠2.试判断AE与BD 的位置关系,并说明 理由. (第13题) 14. (核心素养·推理能力)如图, AM∥BN,P是射线AM 上一动点 (不与点A重合),BC,BD 分别平 分∠ABP 和 ∠PBN,交射线 AM 于点 C,D. (1) 当∠A =50°时,∠ABN 的度数为 ,∠CBD的度数为 . (2) 当∠A=x°时,求∠CBD 的度数(用含 x的代数式表示). (3) 当点P 运动到使∠ACB=∠ABD 的 位置时,∠A=x°,求∠ABP 的度数(用含 x的代数式表示). (第14题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　相交线与平行线 36 第2课时 平行线判定与性质的综合应用 ▶ “答案与解析”见P13 1. (2023·金华)如图,∠1=∠2=∠3=50°,则 ∠4的度数为 ( ) A. 120° B. 125° C. 130° D. 135° (第1题) (第2题) 2. 如图所示为一条街道的路线图,AB∥CD,且 ∠ABC=130°.要使BC∥DE,则∠CDE 的 度数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 70° D. 130° 3. (新情境)公共交通工具的“最后一公里”是城 市居民采用公共交通出行的主要障碍,也是 建设绿色城市、低碳城市过程中面临的主要 挑战.共享单车完成了交通行业最后这块“拼 图”.如图所示为某品牌共享单车放在水平地 面的简易图,其中AB,CD 都与地面平行, ∠BCD=60°,∠BAC=50°.当∠MAC= °时,AM∥CE. (第3题) 4. 如图,在四边形 ABCD 中,AD ∥BC, ∠B=80°. (1) 求∠BAD的度数. (2) 若AE 平分∠BAD,交BC 于点E, ∠C=50°.试说明:AE∥DC. (第4题) 5. (2024·巴中)如图,直线m∥n,一块含30°角 的直角三角尺按如图所示的方式放置.若 ∠1=40°,则∠2的度数为 ( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° (第5题) (第6题) 6. 如图所示为某小区大门的道闸栏杆示意图, 立柱BA⊥地面AE于点A,当栏杆达到最大 高度时,横栏 CD∥AE,此时 ∠ABC+ ∠BCD= . 7. ★如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则 ∠2的度数为 . (第7题) (第8题) 8. 如图所示为一款长臂折叠护眼灯示意图,EF 与桌面MN 垂直,当发光的灯管AB 恰好与 桌面MN 平行时,∠DEF=120°,∠BCD= 110°,则∠CDE的度数为 . 9. (2024·菏泽郓城期中)如图,∠BAC+ ∠GCA=180°,∠1=∠2,试说明:∠E= ∠F. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 37 10. 如图,DE⊥AC,∠AGF=∠ABC,∠1+ ∠2=180°.试说明:BF⊥AC. (第10题) 11. 如图,在三角形ACD 中,点E 在CD 上, EF⊥AC,垂足为F,DM⊥AC,垂足为M, DM 的延长线与过点A的直线交于点B,点 N 在AD上,连接MN,且∠1=∠C,∠2= ∠3.试说明:AB∥MN. (第11题) 12. (核心素养·推理能力)【问题情 境】 如图①,AB∥CD,∠PAB=130°, ∠PCD=120°,求∠APC的度数. 小明的思路:过点P 作PE∥AB,通过平 行线的性质,可得 ∠APC = ∠APE + ∠CPE=50°+60°=110°. 【问题解决】 (1) 如图②,AB∥CD,直线l分别与AB, CD交于点M,N,点P在直线l上运动,当 点P 在线段MN 上运动时(不与点M,N 重合),∠PAB =α,∠PCD =β,判 断 ∠APC,α,β之间的数量关系,并说明理由. (2) 在(1)的条件下,如果点P 在线段MN 或NM 的延长线上运动,请直接写出 ∠APC,α,β之间的数量关系. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　相交线与平行线