2.2 探索直线平行的条件-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

∠GOF=22°. 因为OG⊥AB, 所以∠AOG=90°. 因为∠EOF=90°, 所以易得∠AOE=∠GOF=22°. 所以∠BOD=∠AOC=2∠AOE=44°. 11. 65°或115° [解析]如图①,当 OD在直线AB 上方时,因为OD⊥ OC,所以∠DOC=90°.因为∠COB= 25°,所以∠AOD=180°-90°-25°= 65°.如图②,当OD 在直线AB 下方 时,因为OD⊥OC,所以∠DOC= 90°.因为∠COB=25°,所以∠BOD= 90°-25°=65°.所以∠AOD=180°- 65°=115°.综上所述,∠AOD 的度数 为65°或115°. (第11题) 12. (1)因为CD⊥OF, 所以∠DOF=90°. 因为∠BOD=∠AOC=72°,OE 平 分∠BOD, 所以∠DOE=12∠BOD=36°. 所以∠EOF=∠DOF-∠DOE= 90°-36°=54°. (2) 设∠BOF=x°,则∠DOE=(x+ 24)°. 因为OE平分∠BOD, 所以∠BOD=2∠DOE=2(x+24)°. 因为∠BOD+∠BOF=∠DOF= 90°, 所以2(x+24)°+x°=90°,解得 x=14. 所以∠BOF=14°. 所以∠AOF=180°-∠BOF=166°. 2　探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定 两直线平行及平行公理 1. B 2. DE CF AB 同位 DE CF 3. A,B,C三点在同一直 线上 4. 因为∠1=∠2,∠2=∠ABG, 所以∠1=∠ABG. 所以DE∥FG. 又因为AC∥FG, 所以AC∥DE. 5. B 6. C [解析]因为同一平面内,过直 线外一点有且只有一条直线与这条直 线平行,所以过直线l外一点O 的四 条直线中,最多只有一条直线与直线 l平行.所以与直线l相交的直线至 少有3条. 7. C 8. ∠5 9. (1) DF∥AC. 因为 AF 平 分 ∠BAC,DE 平 分 ∠BDF, 所以∠BAC=2∠CAF,∠BDF= 2∠BDE. 因为∠BDE=∠CAF, 所以∠BDF=∠BAC. 所以DF∥AC. (2) DE∥AF. 理由:因为AF平分∠BAC, 所以∠BAF=∠CAF. 因为∠BDE=∠CAF, 所以∠BDE=∠BAF. 所以DE∥AF. 10. EC∥DF. 因为BD平分∠ABC,CE平分∠ACB, 所以∠DBF=12∠ABC ,∠ECB= 1 2∠ACB. 因为∠ABC=∠ACB, 所以∠DBF=∠ECB. 因为∠DBF=∠F, 所以∠ECB=∠F. 根据“同位角相等,两直线平行”,可得 EC∥DF. 11. C [解析]由直线AB,CD,EF 组成的“三线八角”中同位角有4对; 射线GM 和直线CD被直线EF所截, 形成2对同位角;射线GM 和射线HN 被直线EF所截,形成2对同位角;射 线HN 和直线AB被直线EF 所截, 形成2对同位角.所以题图中同位角 共有4+2+2+2=10(对). 12. 因为∠CNF+∠BMN=180°, ∠CNF+∠DNF=180°, 所以∠BMN=∠DNF. 所以AB∥CD. 因为∠BMN=∠DNF,∠1=∠2, 所以∠BMN-∠1=∠DNF-∠2, 即∠PMN=∠QNF. 所以MP∥NQ. 第2课时 利用内错角、同旁 内角判定两直线平行 1. D 2. C 3. 同位 内错 同旁内 4. AB∥CD. 理由:因为∠BAF+∠BAC=180°, ∠BAF=46°, 所以∠BAC=134°. 因为CE⊥CD, 所以∠DCE=90°. 因为∠DCE+∠ACD+∠ACE= 360°,∠ACE=136°, 所以∠ACD=134°. 所以∠BAC=∠ACD. 根据“内错角相等,两直线平行”,可得 AB∥CD. 5. D [解析]观察题图,可知有4对 内错角,分别是∠1与∠8,∠2与∠5, ∠3与∠9,∠7与∠9;4对同旁内角, 分别是∠1与∠5,∠2与∠8,∠2与 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 11 ∠9,∠8与∠9. “三线八角”的识别技巧 判断同位角、内错角、同旁内 角的方法是找出每对角的四边所 在的三线,两边所在的公共线就是 截线,其他两边所在的直线就是被 截的两直线.再根据同位角、内错 角、同旁内角的概念分别判断各对 角的类型.若是较难判断,可将图 形分割,单独画出每对角的四边所 在的三线,再进行判断.同位角的 边构成“F”形,内错角的边构成“Z” 形,同旁内角的边构成“U”形. 6. C 7. B [解析]① 由“内错角相等,两 直线平行”,知根据∠AEC=∠C 能 判定AB∥CD.② 由“同位角相等,两 直线平行”,知根据∠C=∠BFD 能 判定EC∥BF.③ 由“同旁内角互补, 两直线平行”,知根据∠BEC+∠C= 180°能判定AB∥CD.综上所述,能判 定AB∥CD的是①③. 8. 48° [解析]如图.因为∠1+ ∠3=180°,∠1=138°,所以∠3=42°. 当∠4=∠3=42°时,AB∥CD.因为 EF⊥MN,所以 ∠EFN =90°,即 ∠2+∠4=90°.所以∠2=48°. (第8题) 9. ③④⑤ 10. (1) 因为EF⊥AB, 所以∠EFA=∠EFB=90°. 因为∠θ1=∠θ2, 所以∠α=∠β. (2) 由(1)知∠1=∠2,∠3=∠4. 因为∠2=∠3,∠5=180°-∠1- ∠2,∠6=180°-∠3-∠4, 所以易得∠5=∠6. 所以m∥n. 11. 如 图,在 ∠BCD 的 内 部 作 ∠BCM=25°,在∠CDE 的内部作 ∠EDN=10°. 因为∠B=25°,∠E=10°, 所以∠B=∠BCM,∠E=∠EDN. 所以AB∥CM,EF∥DN. 因为∠BCD=45°, 所以∠MCD=∠BCD-∠BCM= 45°-25°=20°. 因为∠CDE=30°, 所以∠CDN=∠CDE-∠EDN= 30°-10°=20°. 所以∠MCD=∠CDN. 所以CM∥DN. 所以AB∥EF. (第11题) 平行线的判定方法 要判断两直线是否平行,首先 要找到截两直线的截线(有时需要 构造截线),若是多条,可逐条观 察,再寻找同位角或内错角或同旁 内角,然后根据平行线的判定进行 判断.平行线判定的实质是根据同 位角“相等”或内错角“相等”或同 旁内角“互补”这种角之间的“数量 关系”,判断两直线“平行”这种“位 置关系”,是一个由“数”到“形”的 过程. 12. (1) ① 140°. ② 根据题意,得∠ACD=∠ECB=90°. 因为∠ACB=128°, 所以∠ACE=∠ACB-∠ECB= 128°-90°=38°. 所以∠DCE=∠ACD-∠ACE= 90°-38°=52°. (2) 存在. 当∠ACE=30°时,AD∥BC; 当∠ACE=45°时,AC∥BE; 当∠ACE=120°时,AD∥CE; 当∠ACE=135°时,CD∥BE; 当∠ACE=165°时,AD∥BE. 3　平行线的性质 第1课时 平行线的性质 1. A 2. A 3. 52° 4. 78° 5. (1) 因为AE∥BF, 所以 ∠AEC = ∠BDC,∠AEC = ∠EDF. 所以∠AEC与∠BDC,∠EDF相等. (2) 因为AC∥EF, 所以∠CEF =∠C. 所以∠CEF与∠C相等. (3) 因为AE∥BF, 所以∠A+∠ABF=180°. 所以∠A与∠ABF互补. 6. D [解析]如图.因为l3∥l4,所以 根据“两直线平行,同旁内角互补”,可 知∠1+∠2=180°.因为l1∥l2,所以 根据“两直线平行,同位角相等”,可知 ∠4=∠2.所以∠1+∠4=180°.根据 “对顶角相等”,可知∠5=∠4,∠3= ∠2,所以∠1+∠5=180°,∠1+ ∠3=180°.所以与∠1互补的角有 ∠2,∠3,∠4,∠5,共4个. (第6题) 7. B [解析] 因为AD∥BC,所以 ∠ADC+∠C=180°.因为∠C=50°, 所以∠ADC=130°.因为DE 平分 ∠ADC,所以∠ADE=12∠ADC= 65°.因为AD∥BC,所以∠DEC= ∠ADE=65°.因为EF∥AB,所以 ∠CEF=∠B=40°.所以∠DEF= ∠DEC-∠CEF=65°-40°=25°. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 21 30 2　探索直线平行的条件 第1课时 利用同位角判定两直线平行及平行公理 ▶ “答案与解析”见P11 1. (2024·菏泽郓城期中)下列各图中,∠1与 ∠2是同位角的为 ( ) A. B. C. D. 2. 如图,∠BDE和∠BMF是两条直线 和 被直线 所截得的一对 角.如果∠BDE=∠BMF,那么 ∥ . (第2题) 3. 直线l同侧有A,B,C三点,如果A,B两点 确定的直线l1与B,C两点确定的直线l2都 与直线l平行,那么A,B,C三点的位置关系 是 . 4. 如图,AC∥FG,∠1=∠2.试说明:AC∥DE. (第4题) 5. 如图,在正方形网格内,线段PQ的两个端点 都在格点上,网格内另有A,B,C,D 四个格 点.下列结论中,正确的是 ( ) A. 连接AB,则AB∥PQ B. 连接BC,则BC∥PQ C. 连接BD,则BD⊥PQ D. 连接AD,则AD⊥PQ (第5题) (第6题) 6. (2023 ·保定顺平期末)如图,同一平面内经 过直线l外一点O 的四条直线中,与直线l 相交的直线至少有 ( ) A. 1条 B. 2条 C. 3 条 D. 4条 7. 如图,∠1=90°,为保证两条铁轨平行,下列 添加的条件中,正确的是 ( ) (第7题) A. ∠2=90° B. ∠3=90° C. ∠4=90° D. ∠5=90° 8. 如图所示的五个角中,与∠1是同位角的是 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 31 9. (2024·焦作温县期中)如图,在三角形ABC 中,AF 平分∠BAC,DE 平分∠BDF,且 ∠BDE=∠CAF. (1) DF与AC平行吗? 为什么? (2) 请判断DE 与AF 的位置关系,并说明 理由. (第9题) 10. 如图,∠ABC=∠ACB,BD 平分∠ABC, CE 平分∠ACB,∠DBF=∠F,则EC 与 DF平行吗? 为什么? (第10题) 11. 下图中的同位角共有 ( ) (第11题) A. 6对 B. 8对 C. 10对 D. 12对 12. (2023·茂名期中)如图,直线AB, CD 被直线EF 所截,∠1=∠2, ∠CNF+∠BMN=180°.试说明: AB∥CD,MP∥NQ. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　相交线与平行线 32 第2课时 利用内错角、同旁内角判定两直线平行 ▶ “答案与解析”见P11 1. (易错题)(2024·郑州新郑期中)如图,下列 说法中,不正确的是 ( ) A. ∠1与∠4是同位角 B. ∠3与∠5是同旁内角 C. ∠3与∠4是内错角 D. ∠3与∠6是同位角 (第1题) (第2题) 2. 如图,点E在AD 的延长线上,下列条件中, 能判定BC∥AD的是 ( ) A. ∠3=∠4 B. ∠A+∠ADC=180° C. ∠1=∠2 D. ∠A=∠5 3. 如图,数学课上老师用双手形象地表示了“三 线八角”图形(两大拇指代表被截直线,食指 代表截线).从左至右依次表示 角、 角、 角. (第3题) 4. 如图,∠BAF=46°,∠ACE=136°,CE⊥ CD,则AB与CD平行吗? 请说明理由. (第4题) 5. ★如图,下列说法中,正确的是 ( ) A. 有2对内错角,4对同旁内角 B. 有4对内错角,2对同旁内角 C. 有2对内错角,2对同旁内角 D. 有4对内错角,4对同旁内角 (第5题) (第7题) 6. 在同一平面内,过直线l外一点P 作l的垂 线m,再过点P作m的垂线n,则直线l与n 的位置关系是 ( ) A. 相交 B. 相交且垂直 C. 平行 D. 无法确定 7. 如图,有 下 列 条 件:① ∠AEC = ∠C; ② ∠C=∠BFD;③ ∠BEC+∠C=180°. 其中,能判定AB∥CD的是 ( ) A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ① 8. 如图,直线EF⊥MN 于点F,且∠1=138°,则 当∠2= 时,AB∥CD. (第8题) (第9题) 9. 将一块三角尺ABC(∠BAC=90°,∠ABC= 30°)按如图所示的方式放置,使A,B两点分 别落在直线m,n上,有下列条件:① ∠2= 2∠1;② ∠1+∠2=90°;③ ∠1=25°,∠2= 55°;④ ∠ABC=∠2-∠1;⑤ ∠ACB= ∠1+∠3.其中,能判定直线m∥n 的有 (填序号). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 33 10. (跨学科融合·物理)如图①,它展示了光的 反射定律,EF是平面镜的镜面AB的垂线, 一束光线m射到平面镜AB上,经AB反射 后的光线为n,则入射光线m,反射光线n 与垂线EF所夹的锐角∠θ1=∠θ2. (1) 试说明:∠α=∠β. (2) 如图②所示为潜望镜的工作原理示意 图,AB,CD 是平行放置的两面平面镜, ∠2=∠3,请解释进入潜望镜的光线m 为 什么和离开潜望镜的光线n是平行的. (第10题) 11. ★如图,∠B=25°,∠BCD=45°, ∠CDE=30°,∠E=10°.试说明: AB∥EF. (第11题) 12. (核心素养·推理能力)将一副三 角尺按如图所示的方式叠放在一 起,且∠A=60°,∠D=30°,∠E= ∠B=45°. (1) ① 若∠DCE=40°,则∠ACB= . ② 若∠ACB=128°,求∠DCE的度数. (2) 若将三角尺ECB 绕点C 旋转,当 ∠ACE<180°,且点E 在直线AC 的上方 时,这副三角尺是否存在一组边互相平行? 若存在,请直接写出∠ACE 所有可能的度 数;若不存在,请说明理由. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二章　相交线与平行线