1.3 专题特训（二）乘法公式的常见应用-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

18 专题特训（二）　乘法公式的常见应用 ▶ “答案与解析”见P6 类型一 简化整式的乘法运算 1. 先化简,再求值:(2x+y)2-(2x+y)(2x- y)-2y(x+y),其中x= 1 2 2033 ,y=22032. 2. 当m=2,n=1时,求代数式(m-2n)2(m+ 2n)2 -[(m-2n)2-(m+2n)2]的值. 类型二 简化数的运算 3. 已知a=12+32+52+…+252,b=22+42+ 62+…+242,则a-b的值为 . 4. 运用乘法公式计算: (1) 99×101×10001. (2) 1005×995-9982. (3) 20342-4068×2033+20332. 类型三 变形应用 5. 已知a-b=23 ,a2+b2=2,求(a+b)2的值. 6. (2023·榆林期末)通过对完全平方公式的适 当变形可以解决很多数学问题. (1) 若x+y=6,x2+y2=30,求xy的值. (2) 若3a+b=7,ab=2,求3a-b的值. 类型四 综合应用 7. 运用乘法公式计算: (1) 1 3x+y 13x-y 19x2+y2 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 19 (2) (2x-4y+3z)(2x-4y-3z). (3) (a-2b-3c)2. 类型五 几何应用 8. (2024·西安长安期中)已知a>0,b>0,若 a+2b=6,a2+4b2=20,请借助如图所示的 图形进行直观分析,计算ab的值应为( ) (第8题) A. 1 B. 4 C. 8 D. 16 9. (2024·济南天桥期中)将完全平方 公式(a±b)2=a2±2ab+b2进行适 当地变形,可以解决很多的数学问 题.如a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2= (a-b)2+2ab. 【阅读材料】 已知(3-x)(x-1)=-5,求(3-x)2+(x- 1)2的值. 解:设3-x=a,x-1=b,则(3-x)(x- 1)=ab=-5,a+b=3-x+x-1=2. 因为a2+b2=(a+b)2-2ab, 所以(3-x)2+(x-1)2=a2+b2=22-2× (-5)=14. 【类比探究】 请仿照材料中的方法,解决下列问题: (1) 若x+y=6,x2+y2=30,求xy的值. (2) 已知(4-x)(5-x)=8,求(4-x)2+ (5-x)2的值. 【问题解决】 (3) 如图,长方形APIE和长方形HQCF的 长和宽分别为a,b(a<6,b<6),将它们放置 在边长为6的正方形ABCD 中,若长方形的 周长为16,面积为15.75,求图中涂色部分的 面积S1+S2+S3. (第9题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 8. ±12 [解析] 因为4x2+mxy+ 9y2是完全平方式,所以mxy=±2× (±2x)×(±3y).所以m=±12. 9. 23 [解析] 因为 a+1a 2 =a2+ 2+ 1 a2 =25,所以a2+ 1 a2 =25- 2=23. 10. 由题意,得(m+n)2+(m-n)2= m2+2mn+n2+m2-2mn+n2= 2m2+2n2=2(m2+n2), 所以“发现规律”中的结论正确. 第4课时 完全平方公式的应用 1. D 2. 8xy 3. m-1 4. (1) 原式=(200+1)2=40000+ 400+1=40401. (2) 原式=(10-0.2)2=100-4+ 0.04=96.04. (3) 原式=(19.9+0.1)2=202= 400. 5. (1) 原式=4m2+12mn+9n2- (4m2-n2)=4m2+12mn+9n2- 4m2+n2=12mn+10n2. (2) 原式=2(x2-2xy+y2)-2(x+ 3y)(x-3y)=2x2-4xy+2y2- 2x2+18y2=-4xy+20y2. (3) 原式=[(3x-2y)+5][(3x- 2y)-5]=(3x-2y)2-52=9x2- 12xy+4y2-25. (4) 原式=(8x2-2y2)( 4x2+4xy+ y2+4x2-4xy+y2)= (8x2-2y2)· (8x2+2y2)=64x4-4y4. 6. B [解析]因为题图②中大正方形 的面积可表示为(a+b+c)2,也可表 示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所 以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc. 7. 49 [解析]设x-16=t,则x- 15=t+1,x-17=t-1.因为(x- 15)2+(x-17)2=100,所以(t+ 1)2+(t-1)2=100.所以2t2+2= 100.所以t2=49,即(x-16)2=49. 8. 128 [解析](a+b)0=1,系数之 和是1=20;(a+b)1=a+b,系数之 和是2=21;(a+b)2=a2+2ab+b2, 系数之和是4=22……由此可得(a+ b)n 展开后,各项系数之和是2n.所以 (a+b)7展开的多项式中各项系数之 和为27=128. 9. (1) 原式=[(2a-b)-3c]2= (2a-b)2-2(2a-b)·3c+(3c)2= 4a2-4ab+b2-12ac+6bc+9c2. (2) 原式=[2x-(y-1)][2x+(y- 1)]=(2x)2-(y-1)2=4x2-(y2- 2y+1)=4x2-y2+2y-1. 10. (1) 由题图,可知大正方形休闲场 所的面积为(6a)2 平方米,小正方形 活动区的面积为(6a-2b)2 平方米, 4条小路的面积为 4b·b2 平方米. 所以草坪的面积为(6a)2-4b·b2- (6a-2b)2=36a2-2b2-(36a2- 24ab+4b2)=(24ab-6b2)平方米. (2) 当a=10,b=5时,24ab-6b2= 24×10×5-6×52=1050. 1050×30=31500(元). 所以草坪的造价为31500元. 11. (1) a2-ab+b2. (2) (a+b)(a2-ab+b2)=a3- a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3. (3) (m+2n)(m2-2mn+4n2)- (m+n)(m2-mn+n2)=m3+8n3- m3-n3=7n3. 12. (1) a-b;(a-b)2. (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab. (3) 因为(m+n)2=(m-n)2+ 4mn=42+4×5=36, 所以m+n=±6. (4) S涂色部分=S梯形ABGD+S三角形DEG= 1 2a ·(a+b)+12b 2=12 (a2+ab+ b2)=12 [(a+b)2-ab]=12× (52- 5)=10. 专题特训（二）　乘法 公式的常见应用 1. 原式=4x2+4xy+y2-4x2+ y2-2xy-2y2=2xy. 当x= 12 2033 ,y=22032 时,原式= 2× 12 2033 × 22 032 = 22 033 × 1 2 2 033 = 2×12 2 033 =12 033=1. 2. 原式=[(m-2n)(m+2n)]2- (m2 -4mn+4n2 -m2 -4mn- 4n2)=(m2-4n2)2-(-8mn)= m4-8m2n2+16n4+8mn. 当m=2,n=1时,原式=24-8× 22×12+16×14+8×2×1=16. 3. 325 [解析]a-b=12+32+ 52+…+252-(22+42+62+…+ 242)=12 -22 +32 -42 +52 - 62+…-242+252=1+(32-22)+ (52-42)+…+(252-242)=1+ (3+2)+(5+4)+…+(25+24)= 1+2+3+4+5+…+24+25= 25×(25+1) 2 =25×262 =325. 4. (1) 原式=(100-1)×(100+1)× (10000+1)= (10000-1)× (10000+1)=108-1=99999999. (2) 原式=(1000+5)×(1000- 5)-(1000-2)2=10002-52- 10002+2×1000×2-22=-25+ 4000-4=3971. (3) 原式=2 0342-2×2 034× 2 033+2 0332=(2 034-2 033)2=1. 5. 因为a-b=23 ,a2+b2=2, 所以(a+b)2=2(a2+b2)-(a- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 b)2=2×2- 23 2 =329. 6. (1) 因为x+y=6,x2+y2=30, 所以2xy=(x+y)2-(x2+y2)= 62-30=6. 所以xy=3. (2) 因为3a+b=7,ab=2, 所以(3a-b)2=(3a+b)2-12ab= 72-12×2=49-24=25. 所以3a-b=±5. 7. (1) 原式= 19x2-y2 19x2+ y2 =181x4-y4. (2) 原式=[(2x-4y)+3z][(2x- 4y)-3z]=(2x-4y)2-(3z)2= 4x2-16xy+16y2-9z2. (3) 原式 = [(a-2b)-3c]2 = (a-2b)2-2·(a-2b)·3c+9c2= a2-4ab+4b2-6ac+12bc+9c2. 8. B 9. (1) 因为(x+y)2=x2+2xy+ y2,x+y=6,x2+y2=30, 所以62=30+2xy. 所以xy=3. (2) 设4-x=a,5-x=b,则(4- x)(5-x)=ab=8,a-b=4-x- 5+x=-1. 因为a2+b2=(a-b)2+2ab, 所以(4-x)2+(5-x)2=a2+b2= (-1)2+2×8=17. (3) 因为长方形的周长为16,面积为 15.75, 所以a+b=16÷2=8,ab=15.75. 所以易得S1+S2+S3=62-2ab+ 2(a+b-6)2=36-2×15.75+2× (8-6)2=36-31.5+8=12.5. 4　整式的除法 1. D 2. D 3. -3a2b5 4. 9x- 4y+6 5. (1) 原式=3ac. (2) 原式=-90m2+60mn-10n2. (3) 原式=-2425x 2y3. (4) 原式=-5by. 6. (1) 原式=-35+9x-y 3. (2) 原式=-a-74ab 2+3b. 7. C [解析]原式=[a2+b2+2ab- 2b2-(a2-2ab+b2)]÷4b=(a2+ b2+2ab-2b2-a2+2ab-b2)÷4b= (4ab-2b2) ÷4b=a-12b. 当2a- b=5,即b=2a-5时,原式= a- 1 2 (2a-5)=a-a+52= 5 2. 8. D [解析]由题意,可得小明爬这 一小山的总用时为t+12t ,总路程为 2vt+12vt ,所以小明爬这一小山的平 均速度为 2vt+12vt ÷t+12t = 5 2vt÷ 3 2t= 5 3v. 9. -2x3yz2 10. 5y2-3y+1 [解析] 因为 (-25y3+15y2-5y)÷M=-5y,所 以M =(-25y3+15y2-5y)÷ (-5y)=5y2-3y+1. 11. 3 2 12. 2ab2 13. -45 14. (1) 原式=-384a2bc3. 当a=-1,b=-2,c=1时,原式= -384×(-1)2×(-2)×13=768. (2) 原式=(x2+4x+4)-(x2+ 3)=x2+4x+4-x2-3=4x+1. 当x=-2时,原式=4×(-2)+ 1=-8+1=-7. 15. 由题意,得长方体容器的宽为 π· 8mn2 2 ·3 2m 3n2 ÷(2mn2· 6m2n2)=24πm5n4 ÷12m3n4 = 2πm2. 16. (1) 5a2-43a+1 ;-2a+5. (2) A=2x2(3x+4)+x-1=6x3+ 8x2+x-1. (3) 设该多项式为B. 由题意,得B=(2x-6)(3x-1)+ x+3=6x2-2x-18x+6+x+3= 6x2-19x+9. 17. (1) x3-x2-5x-3能被x+1 整除. 理由: 所以(x3-x2-5x-3)÷(x+1)= x2-2x-3,即x3-x2-5x-3能被 x+1整除. (2) 若多项式2x4-3x3+ax2+7x+ b能被x2+x-2整除,则 所以a+9=-3,b=6,解得a= -12,b=6. 所以a b=-2. 专题特训（三）　整式 乘除的有关计算与求值题 1. (1) 原式 =3x2y2 +2x2y2 + 9x2y2=14x2y2. (2) 原式=-3x2+4x-3x+3x2- 2+2x=3x-2. (3) 原式=9b2-4a2-(9a2+6ab+ b2)-2ab-8b2=9b2-4a2-9a2- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 7