1.3 乘法公式-【拔尖特训】2024-2025学年新教材七年级下册数学（北师大版2024）

又因为307÷4=76……3, 所以(25,7)表示的是3a3. 所以(10,1)与(25,7)的积是2a2× 3a3=6a5. 第2课时 单项式、多项式 与多项式相乘 1. D 2. 3m2-mn-2n2 3. (1) 原式=18m 4n2+112m 3n2- 1 4m 2n. (2) 原式=-12x3y5+54x2y6- 36x4y4. 4. (1) 原式=3a2+13ab-10b2. (2) 原式=-x4+x2+2. (3) 原式=3a3-10a2-2a+4. 5. D 6. A [解析]因为yz(xz+2)- 2y(3xz2+z+x)+5xyz2=xyz2+ 2yz - 6xyz2 - 2yz - 2xy + 5xyz2=-2xy,所以代数式的值只与 x,y有关. 7. A [解析] 甲长方形的面积= (x+3)(x-5)=x2-5x+3x-15= (x2-2x-15)cm2,乙长方形的面 积=(x+4)(x-6)=x2-6x+4x- 24=(x2-2x-24)cm2,所以易得甲 长方形的面积大于乙长方形的面积. 8. B [解析] (x2+ax-2)(x- 1)=x3-x2+ax2-ax-2x+2= x3+(a-1)x2-(a+2)x+2.由题 意,得-(a+2)=0,解得a=-2. 9. B [解析]因为(x+m)(x-n)= x2+(m-n)x-mn=x2-4x-5,所 以m-n=-4. 10. 10 [解析]m(n-4)-n(m- 6)=mn-4m-mn+6n=-4m+ 6n=-2(2m-3n).因为2m-3n= -5,所以原式=-2×(-5)=10. 11. 6mn6+6m3n 12. 7 13. (1) 原式=(2x2+2x+5x+5)- (x2+x-3x-3)=2x2+2x+5x+ 5-x2-x+3x+3=x2+9x+8. 当x=-7时,原式=(-7)2+9× (-7)+8=-6. (2) 原式=a3+2a2b+4ab2-2a2b- 4ab2-8b3-a3+2a2b+15ab2= 2a2b+15ab2-8b3. 当a=1,b=-2时,原式=2×12× (-2)+15×1× (-2)2 -8× (-2)3=120. 14. (1) S=(3a+2b)(2a+3b)- a(3a+2b)=(3a+2b)(2a+3b- a)=(3a+2b)(a+3b)=3a2+ 11ab+6b2. 所以绿化的总面积为(3a2+11ab+ 6b2)m2. (2) 当a=2,b=4时, S=3×22+11×2×4+6×42=196. 所以此时绿化的总面积为196m2. 15. (1) x2+3x+2;x2-x-2;x2+ x-2;x2-3x+2. (2) a+b;ab. (3) x2+100x+99;x2+48x-100. 16. (1) (x+2)(3x+1)(5x-3)所得 多项式的一次项系数为1×1× (-3)+2×3×(-3)+2×1×5= -3-18+10=-11. (2) (x2+x+1)(x2-3x+a)(2x- 1)所得多项式的一次项系数为1× a×(-1)+1×(-3)×(-1)+1× a×2=-a+3+2a=a+3. 因为所得多项式不含一次项, 所以a+3=0,解得a=-3. 3　乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 1. D 2. -6 3. -14x+y 2 4. (1) 原式=9b2-25a2. (2) 原式=-94x 2+121y2. (3) 原式=[(x-3)(x+3)](x2+ 9)=(x2-9)(x2+9)=x4-81. 5. 赵伯伯吃亏了. 理由:因为赵伯伯原来租的土地面积 为a2m2 ,而现在租的土地面积为 (a+5)(a-5)=(a2-25)m2,比原来 少了25m2 的土地, 所以赵伯伯吃亏了. 6. C 7. C [解析](2+1)×(22+1)× (24+1)×(28+1)×(216+1)× (232+1)+1=(2-1)×(2+1)× (22+1)×(24+1)×(28+1)×(216+ 1)×(232+1)+1=(22-1)×(22+ 1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)× (232+1)+1=(24-1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)×(232+1)+1= (28-1)×(28+1)×(216+1)× (232+1)+1=(216-1)×(216+1)× (232+1)+1=(232-1)×(232+1)+ 1=264-1+1=264.由21=2,22=4, 23=8,24=16,25=32,…,可知末尾 数字变化每4个为一循环.因为64= 16×4,所以264的末尾数字是6. 8. 1 [解析] 因为3m-n=1,所以 9m2-n2-2n=(3m+n)(3m-n)- 2n=3m+n-2n=3m-n=1. 9. (1) x2-1;x3-1;x4-1;x10-1. (2) 1+2+22+23+…+27+28+ 29+210=(2-1)×(210+29+28+ 27+26+25+24+23+22+2+1)= 211-1. (3) 1+3+32+33+…+397+398+ 399= 12 × (3-1)×(399+398+ 397+…+33+32+3+1)=3 100-1 2 . 第2课时 平方差公式的应用 1. B 2. (a+b)(a-b)=a2-b2 3. 16 [解析] 因为m+n=8,m- n=2,所 以 S1 -S2 = (S1 + S重叠部分)-(S2+S重叠部分)=m2- n2=(m+n)(m-n)=8×2=16. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 4 4. (1) 原式=(100-0.2)×(100+ 0.2)=1002-0.22=10000-0.04= 9999.96. (2) 原式=(900-1)×(900+1)+ 1=9002-1+1=810000. 5. 原式=4-a2-2a2-6a+3a2= 4-6a. 当a= - 13 时,原式 =4-6× -13 =4+2=6. 6. C [解析]由题图①,可知S1= a2-b2.由题图②,可知S2= a2+ b+a2 (a-b)-b2=(a+b)(a- b)-b2=a2-2b2.因为a>0,b>0, 所以a2-b2>a2-2b2.所以S1>S2. 7. B [解析] 因为(a2+b2+1)· (a2+b2-1)=35,所以[(a2+b2)+ 1][(a2+b2)-1]=35,(a2+b2)2- 1=35,(a2+b2)2=36.因为a2+b2≥ 0,所以a2+b2=6. 8. 1 9. 小明 [解析]设三种木棒的长度 分别为x-1,x和x+1,则小明所摆 的正方形的面积为x2,小刚所摆的长 方形的面积为(x+1)(x-1).因为 x2-(x+1)(x-1)=x2-(x2- 1)=x2-x2+1=1>0,所以x2> (x+1)(x-1).所以小明所摆的正方 形的面积大于小刚所摆的长方形的 面积. 10. (1) 原式=4x2-y2-4y2+x2= 5x2-5y2. 当x=2,y=1时,原式=20-5=15. (2) 原式 =4m2-49n2-(m2- 25n2)=3m2-24n2. 当m=-3,n=12 时,原式=3× (-3)2-24× 12 2 =27-6=21. 11. (1) B. (2) ① 4. ② 原式=(242-232)+(222-212)+ (202-192)+…+(22-1)=(24+ 23)×(24-23)+(22+21)×(22- 21)+(20+19)×(20-19)+…+ (2+1)×(2-1)=24+23+22+21+ 20 + 19 + … + 2 + 1 = 24×(24+1) 2 =300. 12. 因为大正方形的边长为a,小正 方形的边长为b, 所以大正方形的面积为a2,小正方形 的面积为b2. 由题意,得a2-b2=10. 由题图,可知涂色部分的面积= 1 2DE ·BC+12DE ·CG=12× (a-b)×a+12× (a-b)×b= 1 2 (a-b)(a+b) =12 (a2-b2) = 1 2×10=5. 13. (1) 原式=12× (3-1)×(3+ 1)×(32+1)×(34+1)×(38+1)× (316+1)=12× (32-1)×(32+1)× (34+1)×(38+1)×(316+1)=12× (34-1)×(34+1)×(38+1)×(316+ 1)=12× (38-1)×(38+1)×(316+ 1)=12× (316-1)×(316+1)=12× (332-1)=3 32-1 2 . (2) 原式=14× (5-1)×(5+1)× (52+1)×(54+1)×…×(52048+ 1)- 5 4096 4 = 1 4× (54096-1)- 54096 4 =- 1 4. 第3课时 完全平方公式的认识 1. B 2. (a-b)2=a2-2ab+b2 3. 1 4. (1) 原式=16a2+8a+1. (2) 原式=4a2-2ab+14b 2. (3) 原 式 = (0.2x2 +0.1)2 = 0.04x4+0.04x2+0.01. (4) 原式=4a2-12ab+9b2-9a2+ 12ab-4b2=-5a2+5b2. 5. B [解析]因为(2x+m)2=4x2+ 4mx+m2=4x2+nx+9,所以4m= n,m2=9.由m2=9,解得m=±3.当 m=3时,n=12;当m=-3时,n= -12.综上所述,n的值为±12. 6. C [解析]由题意,得新正方形的 面积为(2a+6)2cm2,原正方形的面 积为(2a)2cm2.所以新正方形的面积 增加了(2a+6) 2-(2a) 2=4a2+ 24a+36-4a2=(36+24a)cm2. 7. C [解析]因为a+b=2,ab=34 , 所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=22- 4×34=1. 所以a-b=±1. 完全平方公式的变形技巧 将完全平方公式(a+b)2= a2+2ab+b2,(a-b)2 =a2 - 2ab+b2进行变形,得到a2+b2= (a-b)2+2ab=(a+b)2-2ab= 1 2 [(a+b)2 + (a-b)2];ab= 1 2 [(a+b)2-a2-b2]= - 12 × [(a-b)2-a2-b2]=14 [(a+ b)2 - (a-b)2 ];(a+b)2 = (a-b)2+4ab=2(a2+b2)- (a-b)2;(a-b)2 = (a+b)2 - 4ab=2(a2+b2)-(a+b)2 等.根 据这些变形,分别将a+b,a-b, a2+b2,ab看成一个整体,则知道 其中任意两个的值即可求得另外 两个的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 5 8. ±12 [解析] 因为4x2+mxy+ 9y2是完全平方式,所以mxy=±2× (±2x)×(±3y).所以m=±12. 9. 23 [解析] 因为 a+1a 2 =a2+ 2+ 1 a2 =25,所以a2+ 1 a2 =25- 2=23. 10. 由题意,得(m+n)2+(m-n)2= m2+2mn+n2+m2-2mn+n2= 2m2+2n2=2(m2+n2), 所以“发现规律”中的结论正确. 第4课时 完全平方公式的应用 1. D 2. 8xy 3. m-1 4. (1) 原式=(200+1)2=40000+ 400+1=40401. (2) 原式=(10-0.2)2=100-4+ 0.04=96.04. (3) 原式=(19.9+0.1)2=202= 400. 5. (1) 原式=4m2+12mn+9n2- (4m2-n2)=4m2+12mn+9n2- 4m2+n2=12mn+10n2. (2) 原式=2(x2-2xy+y2)-2(x+ 3y)(x-3y)=2x2-4xy+2y2- 2x2+18y2=-4xy+20y2. (3) 原式=[(3x-2y)+5][(3x- 2y)-5]=(3x-2y)2-52=9x2- 12xy+4y2-25. (4) 原式=(8x2-2y2)( 4x2+4xy+ y2+4x2-4xy+y2)= (8x2-2y2)· (8x2+2y2)=64x4-4y4. 6. B [解析]因为题图②中大正方形 的面积可表示为(a+b+c)2,也可表 示为a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc,所 以(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc. 7. 49 [解析]设x-16=t,则x- 15=t+1,x-17=t-1.因为(x- 15)2+(x-17)2=100,所以(t+ 1)2+(t-1)2=100.所以2t2+2= 100.所以t2=49,即(x-16)2=49. 8. 128 [解析](a+b)0=1,系数之 和是1=20;(a+b)1=a+b,系数之 和是2=21;(a+b)2=a2+2ab+b2, 系数之和是4=22……由此可得(a+ b)n 展开后,各项系数之和是2n.所以 (a+b)7展开的多项式中各项系数之 和为27=128. 9. (1) 原式=[(2a-b)-3c]2= (2a-b)2-2(2a-b)·3c+(3c)2= 4a2-4ab+b2-12ac+6bc+9c2. (2) 原式=[2x-(y-1)][2x+(y- 1)]=(2x)2-(y-1)2=4x2-(y2- 2y+1)=4x2-y2+2y-1. 10. (1) 由题图,可知大正方形休闲场 所的面积为(6a)2 平方米,小正方形 活动区的面积为(6a-2b)2 平方米, 4条小路的面积为 4b·b2 平方米. 所以草坪的面积为(6a)2-4b·b2- (6a-2b)2=36a2-2b2-(36a2- 24ab+4b2)=(24ab-6b2)平方米. (2) 当a=10,b=5时,24ab-6b2= 24×10×5-6×52=1050. 1050×30=31500(元). 所以草坪的造价为31500元. 11. (1) a2-ab+b2. (2) (a+b)(a2-ab+b2)=a3- a2b+ab2+a2b-ab2+b3=a3+b3. (3) (m+2n)(m2-2mn+4n2)- (m+n)(m2-mn+n2)=m3+8n3- m3-n3=7n3. 12. (1) a-b;(a-b)2. (2) (a+b)2=(a-b)2+4ab. (3) 因为(m+n)2=(m-n)2+ 4mn=42+4×5=36, 所以m+n=±6. (4) S涂色部分=S梯形ABGD+S三角形DEG= 1 2a ·(a+b)+12b 2=12 (a2+ab+ b2)=12 [(a+b)2-ab]=12× (52- 5)=10. 专题特训（二）　乘法 公式的常见应用 1. 原式=4x2+4xy+y2-4x2+ y2-2xy-2y2=2xy. 当x= 12 2033 ,y=22032 时,原式= 2× 12 2033 × 22 032 = 22 033 × 1 2 2 033 = 2×12 2 033 =12 033=1. 2. 原式=[(m-2n)(m+2n)]2- (m2 -4mn+4n2 -m2 -4mn- 4n2)=(m2-4n2)2-(-8mn)= m4-8m2n2+16n4+8mn. 当m=2,n=1时,原式=24-8× 22×12+16×14+8×2×1=16. 3. 325 [解析]a-b=12+32+ 52+…+252-(22+42+62+…+ 242)=12 -22 +32 -42 +52 - 62+…-242+252=1+(32-22)+ (52-42)+…+(252-242)=1+ (3+2)+(5+4)+…+(25+24)= 1+2+3+4+5+…+24+25= 25×(25+1) 2 =25×262 =325. 4. (1) 原式=(100-1)×(100+1)× (10000+1)= (10000-1)× (10000+1)=108-1=99999999. (2) 原式=(1000+5)×(1000- 5)-(1000-2)2=10002-52- 10002+2×1000×2-22=-25+ 4000-4=3971. (3) 原式=2 0342-2×2 034× 2 033+2 0332=(2 034-2 033)2=1. 5. 因为a-b=23 ,a2+b2=2, 所以(a+b)2=2(a2+b2)-(a- 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 6 12 3　乘法公式 第1课时 平方差公式的认识 ▶ “答案与解析”见P4 1. (2024·郑州金水期末)下列能直接运用平方 差公式计算的是 ( ) A. (a-2)(2-a) B. (a-2)(b+2) C. (2a-b)(a+2b) D. (-a+b)(-a-b) 2. (2024·凉山)已知a2-b2=12,且a-b= -2,则a+b= . 3. 1 4x+y 2 ( )=y4-116x2. 4. 计算: (1) (5a+3b)(3b-5a). (2) -32x-11y 32x-11y . (3) (x-3)(x2+9)(x+3). 5. 王爷爷把一块边长为am的正方形土地租给 赵伯伯种植粮食.隔了一年,他对赵伯伯说: “我把这块地的一边减少5m,相邻另一边增 加5m,继续租给你,你也没有吃亏,你看如 何?”赵伯伯一听,觉得好像没有吃亏,就答应 了.同学们,你们觉得赵伯伯有没有吃亏? 请 说明理由. 6. 已知25x2-9y2=4,则计算(5x-3y)2· (5x+3y)2的结果是 ( ) A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 7. 代数式(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+ 1)×(216+1)×(232+1)+1的末尾数字是 ( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为 . 9. (核心素养·创新意识)(1) 填空: (x-1)(x+1)= ; (x-1)(x2+x+1)= ; (x-1)(x3+x2+x+1)= ; … 由此可得(x-1)(x9+x8+x7+x6+x5+ x4+x3+x2+x+1)= . (2) 求1+2+22+23+…+27+28+29+210 的值. (3) 求1+3+32+33+…+397+398+399 的值. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 13 第2课时 平方差公式的应用 ▶ “答案与解析”见P4 1. 499×501可表示为 ( ) A. 5002+12 B. 5002-12 C. 5002-4992 D. 5002+4992 2. 如图,根据从图①到图②的变化过程,可以发 现的代数结论是 . (第2题) 3. 如图所示为从某校七年级(1)班和七年级 (2)班的两个劳动实践基地中抽象出来的几 何模型:两块边长分别为m,n的正方形土 地,它们的重叠部分为池塘,涂色部分S1,S2 分别表示七年级(1)班和七年级(2)班的基地 面积.若m+n=8,m-n=2,则S1-S2= . (第3题) 4. 用平方差公式计算: (1) 99.8×100.2. (2) 899×901+1. 5. (2023·长沙)先化简,再求值:(2-a)(2+ a)-2a(a+3)+3a2,其中a=-13. 6. 某中学要举行校庆活动,现计划在教学楼之 间的广场上搭建舞台,已知广场中心有一座 边长为b的正方形花坛.学生会提出两个方 案,方案一:如图①,绕花坛搭建外围是正方 形的“回”字形舞台(涂色部分),面积为S1; 方案二:如图②,在花坛的三面搭建“凹”字形 舞台(涂色部分),面积为S2.具体数据如图 所示,则S1与S2的大小关系为 ( ) (第6题) A. S1=S2 B. S1<S2 C. S1>S2 D. 无法确定 7. 若(a2+b2+1)(a2+b2-1)=35,则a2+b2 的值为 ( ) A. 3 B. 6 C. ±3 D. ±6 8. 利用平方差公式计算:20342-2035× 2033= . 9. 有长度分别为三个连续整数的木棒若干根, 小明取4根中等长度的木棒摆出了一个正方 形,小刚用其余两种长度的木棒各2根摆出 了一个长方形,则 摆的图形的面积 较大(填“小明”或“小刚”). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 14 10. 先化简,再求值: (1) (2x-y)(2x+y)-(2y+x)(2y-x), 其中x=2,y=1. (2) (-2m-7n)(-2m+7n)-(-m+ 5n)(-5n-m),其中m=-3,n=12. 11. 如图①,边长为a的大正方形中有一个边长 为b的小正方形,把图①中的涂色部分拼成 一个平行四边形(如图②所示). (1) 上述操作能验证的公式为 ( ) A. a(a+b)= a2+ab B. (a-b)(a+b)= a2-b2 (2) 请用上面的公式完成下列各题: ① 若4a2-b2=24,2a+b=6,则2a-b= . ② 计算:242-232+222-212+202- 192+…+22-1. (第11题) 12. 如图,大正方形的边长为a,小正方形的边 长为b(a≠b).大正方形与小正方形的面积 之差是10,求涂色部分的面积. (第12题) 13. (核心素养·创新意识)小明在计 算(2+1)×(22+1)×(24+1)× (28+1)×(216+1)的时候是这样 分析的:这个算式的每个括号内都是两数和 的形式,跟最近学的平方差公式很类似,但 是需要添加两数的差.于是他添加(2-1), 并进行了如下的计算:(2+1)×(22+ 1)×(24+1)×(28+1)×(216+1)=(2- 1)×(2+1)×(22+1)×(24+1)×(28+ 1)×(216+1)=(22-1)×(22+1)×(24+ 1)×(28+1)×(216+1)=(24-1)×(24+ 1)×(28+1)×(216+1)=(28-1)×(28+ 1)×(216+1)=(216-1)×(216+1)= 232-1. 请你按照小明的方法,计算下列各题: (1) (3+1)×(32+1)×(34+1)×(38+ 1)×(316+1). (2) (5+1)×(52+1)×(54+1)×…× (52048+1)-5 4096 4 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 15 第3课时 完全平方公式的认识 ▶ “答案与解析”见P5 1. 计算(-3a+2b)2的结果是 ( ) A. -9a2+12ab+b2B. 9a2-12ab+4b2 C. -6a2-12ab+b2 D. 9a2-6ab+2b2 2. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数 学公式,例如:如图①,我们可以得到两数之 和的平方公式为(a+b)2=a2+2ab+b2.如 图②,能得到的数学公式为 . (第2题) 3. 如果(x+n)2=x2+mx+1,且m>0,那么n 的值为 . 4. 计算: (1) (4a+1)2. (2) 2a-12b 2 . (3) (-0.2x2-0.1)2. (4) (2a-3b)2-(3a-2b)2. 5. 已知(2x+m)2=4x2+nx+9,则n的值为 ( ) A. ±6 B. ±12 C. ±18 D. ±36 6. 一个正方形的边长为2acm,若边长增加 6cm,则新正方形的面积增加了 ( ) A. 36cm2 B. 24acm2 C. (36+24a)cm2 D. 以上都不正确 7. ★已知数a,b满足a+b=2,ab=34 ,则a-b 的值为 ( ) A. 1 B. -52 C. ±1 D. ±52 8. (易错题)(2024·菏泽郓城期中)代 数式4x2+mxy+9y2 是完全平方 式,则m= . 9. 若a+1a=5 ,则a2+1 a2 = . 10. (核心素养·创新意识)(2024·平顶山汝州 期末)发现规律:已知两个正整数,则这两个 正整数之和与这两个正整数之差的平方和 一定是偶数. 特例验证:假设这两个正整数是2和1,则这 两个正整数之和与这两个正整数之差的平 方和为(2+1)2+(2-1)2=32+12=10. 10÷2=5,即结果是偶数.所以“发现规律” 中的结论在这个特例中成立. 一般探究:假设这两个正整数为m,n,请说 明“发现规律”中的结论正确. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除 16 第4课时 完全平方公式的应用 ▶ “答案与解析”见P6 1. 运用完全平方公式计算1012 +992得 ( ) A. 2002 B. 2×1002 C. 2×1002+1 D. 2×1002+2 2. 计算(-x-2y)2-(x-2y)2 的结果是 . 3. 化简:m(m+3)-(m+1)2= . 4. 运用完全平方公式计算: (1) 2012. (2) 9.82. (3) 19.92+19.9×0.2+0.12. 5. 计算: (1) (2m+3n)2-(2m+n)(2m-n). (2) 2(x-y)2-(2x+6y)(x-3y). (3) (3x-2y+5)(3x-2y-5). (4) (8x2-2y2)[(2x+y)2+(2x-y)2]. 6. 对于一个图形,通过两种不同的方法计算它 的面积,可以得到一个数学等式,例如:利用 如图①所示的图形可以得到(a+b)2=a2+ 2ab+b2,那么利用如图②所示的图形所得到 的数学等式为 ( ) (第6题) A. (a+b+c)2=a2+b2+c2 B. (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+ 2ac+2bc C. (a+b+c)2=a2+b2+b2+ab+ac+bc D. (a+b+c)2=2a+2b+2c 7. 已知(x-15)2+(x-17)2=100,则(x- 16)2= . 8. (2023·大庆)我国古代数学家杨辉 在其著作《详解九章算法》中提到了 如图①所示的数表,人们将这个数 表称为“杨辉三角”.观察“杨辉三角”与图② 中的等式图,根据图中各式的规律,(a+b)7 展开的多项式中各项系数之和为 . (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(北师版)七年级下 17 9. (易错题)运用乘法公式计算: (1) (2a-b-3c)2. (2) (2x-y+1)(y-1+2x). 10. (新情境)如图(单位:米),某市修建了一个 大正方形休闲场所,在其内规划了一个小正 方形活动区,小正方形到大正方形的四边分 别有4条笔直小路.已知大正方形休闲场所 的边长为6a米,4条小路的长与宽都分别 为b米和 b 2 米.涂色区域铺设草坪,草坪的 造价为每平方米30元. (1) 用含a,b的代数式表示草坪的面积并 化简. (2) 若a=10,b=5,计算草坪的造价. (第10题) 11. (2024·焦作温县期中)观察以下等式: (x+1)(x2-x+1)=x3+1; (x+2)(x2-2x+4)=x3+8; (x+3)(x2-3x+9)=x3+27; … (1) 按以上等式的规律填空:(a+b)( )=a3+b3. (2) 利用多项式的乘法法则,说明(1)中的 等式成立. (3) 利用(1)中的公式化简:(m+2n)(m2- 2mn+4n2)-(m+n)(m2-mn+n2). 12. (核心素养·几何直观)(2024·菏 泽郓城期中)如图①所示为一个长 为2a、宽为2b的长方形,沿图中虚 线用剪刀均分成四块小长方形,然后按如 图②所示的方式拼成一个正方形. (1) 图②中涂色部分的正方形的边长为 ,面积为 (用含a,b的代 数式表示). (2) 观察图②,下列三个代数式(a+b)2, (a-b)2,ab之间的等量关系为 . (3) 若m,n为有理数,且mn=5,m-n= 4,运用你所得到的公式,试求m+n的值. (4) 如图③,正方形ABCD和正方形DEFG 的边长分别为a,b,且a+b=5,ab=5,求 图中涂色部分的面积. (第12题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第一章　整式的乘除