第6章 专题特训(五) 图形变换中的相似问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

∴ AB EO= BF OF. ∴ 1 OE= 6-4 4 . ∴ OE=2. ∴ OE=CD=2. ∵ ∠AOB=∠COD, ∴ △AOB∽△COD. ∴ AB CD= OB OD. ∴ 1 2= 6 OD. ∴ OD=12. ∴ 蜡烛的像CD 的高度为2,像CD 与凸透镜MN 之间的距离为12. 专题特训（五）　图形变换 中的相似问题 1. B [解析] 连接BB'.∵ △ABC∽ △AB'C',∴ AB AB'= AC AC' ,∠ACB= ∠AC'B'=90°,∠BAC=∠B'AC'= 30°. ∴ ∠BAC + ∠CAB' = ∠B'AC'+ ∠CAB',即 ∠BAB'= ∠CAC',ABAC = AB' AC'.∴ △BAB'∽ △CAC'. ∴ ∠BB'A = ∠CC'A, BB' CC'= AB' AC'= AB AC.∵ 在 Rt△ABC 中,∠BAC=30°,∴ 易得AB=2BC. ∴ 由 勾 股 定 理,得 AC = AB2-BC2 = (2BC)2-BC2 = 3BC.∴ CC' BB'= AC AB= 3 2. 由平移,得 CC'=EB'=6,CC'∥B'E.∴ B'E BB'= AC AB = 3 2 ,∠CC'B'+ ∠AB'C'+ ∠BB'A+∠BB'E=180°.∴ ∠CC'B'+ ∠AB'C'+∠CC'A+∠BB'E=180°. ∴ ∠AC'B'+∠AB'C'+∠BB'E= 180°.∵ ∠AC'B'=90°,∠B'AC'= 30°,∴ ∠AB'C'=90°-∠B'AC'= 60°.∴ ∠BB'E=30°.∴ ∠BB'E= ∠BAC =30°.又 ∵ B'E BB' = AC AB , ∴ B'E AC= BB' BA.∴ △BEB'∽△BCA. ∴ ∠BEB'=∠BCA=90°.∴ 易得 BB'=2BE.在Rt△BB'E 中,B'E= BB'2-BE2 = 3BE.∴ BE = 3 3B'E= 3 3×6=2. 2. (1) 过点B作BD⊥AO于点D. ∵ BD⊥AO,AO⊥PM,BM⊥PM, ∴ 易得四边形DBMO是矩形. ∴ BD=OM,∠DBM=90°. ∵ ∠ABD+∠DBP=90°,∠DBP+ ∠PBM=90°, ∴ ∠ABD=∠PBM. 又∵ ∠ADB=∠PMB=90°, ∴ △ABD∽△PBM. ∴ AB PB= BD BM. ∴ AB PB= OM BM. (2) ∵ C是AO的中点, ∴ AO=2CO. 又∵ AO=2BM, ∴ CO=BM. ∵ AO⊥OM,BM⊥OM, ∴ AO∥BM. ∴ 四边形OCBM 是平行四边形. ∵ ∠BMO=90°, ∴ 四边形OCBM 是矩形. ∵ 在Rt△ABO中,C是AO的中点, ∴ OC=BC=12AO. ∴ 四边形OCBM 是正方形. (3) 分两种情况讨论: ① 如图①,当点P在点O的左侧时, 过点B作BF⊥AO于点F,记BP与 AO交于点E. 在△PEO 和△BEF 中,由题意,得 ∠POE = ∠BFE =90°,∠PEO = ∠BEF. ∴ △PEO∽△BEF. ∴ PO BF= OE FE. 由(1),可得四边形FBMO是矩形. ∴ BF=MO,OF=BM. ∵ MO=2PO, ∴ BF=2PO. ∴ OE FE= PO BF= 1 2. ∵ AO=2BM=26, ∴ OF=BM=6. ∴ 易得OE= 63 ,FE=263 . ∵ ∠A=∠A,∠AFB=∠ABE=90°, ∴ △ABF∽△AEB. ∴ AB AE= AF AB. ∴ AB2=AF·AE. ∵ OF=6, ∴ AF=AO-OF=6. ∴ AE=AF+FE=563 . ∴ AB= AF·AE= 10. 在 Rt△ABE 中,由勾股定理,得 EB= AE2-AB2=2 153 . ∵ EO⊥PM,BM⊥PM, ∴ EO∥BM. ∴ 易得EB PB= OM PM= 2 3. ∴ PB=32EB= 15. ② 如图②,当点P在点O的右侧时, 过点B作BG⊥OA于点G. ∵ MO=2PO, ∴ P是OM 的中点. 设PM=x(x>0),则OM=2x. 易得四边形BMOG是矩形, ∴ BG=OM=2x. ∵ ∠AOM=∠ABP=90°, ∴ ∠A+∠BPO=180°. 又∵ ∠BPO+∠BPM=180°, ∴ ∠A=∠BPM. 在△ABG和△PBM 中, ∵ ∠A = ∠BPM, ∠AGB = ∠PMB=90°, ∴ △ABG∽△PBM. ∴ AG PM= BG BM. ∵ 四边形 BMOG 是矩形,AO= 2BM=26, ∴ AG=GO=BM=6. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 73 ∴ 6 x= 2x 6 ,解得x=3(负值已舍去). 经检验,x=3是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ BG=23,PM=3. 在 Rt△ABG 中,由勾股定理,得 AB= AG2+BG2=32. 在 Rt△PBM 中,由勾股定理,得 PB= BM2+PM2=3. 综上所述,AB的长为 10,PB的长为 15或AB的长为32,PB的长为3. (第2题) 3. (1) ∵ △ABC 是等腰直角三角 形,∠A=90°, ∴ ∠B=∠C=45°. ∴ ∠BME+∠MEB=135°. 又∵ △DEF 是等腰直角三角形, ∠D=90°, ∴ ∠DEF=45°. ∴ ∠CEN+∠MEB=135°. ∴ ∠BME=∠CEN. 又∵ ∠B=∠C=45°, ∴ △BEM∽△CNE. (2) 答 案 不 唯 一,如 △ECN ∽ △MEN. 与(1)同理,可证△BEM∽△CNE. ∴ BE CN= ME EN. 又∵ E是BC的中点, ∴ BE=EC. ∴ EC CN= ME EN ,即EC ME= CN EN. 又∵ ∠C=∠MEN=45°, ∴ △ECN∽△MEN. 不能灵活运用相似三角形的 性质将对应边的比进行转化 解决这类问题时,往往不能正 确地找出或找全图形中隐含的相 似三角形,究其原因是未将图形中 相等的角或成比例线段进行适当 的转化,构造出新的相似三角形. 4. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ ∠A=∠D=90°. ∴ ∠AEF+∠AFE=90°. ∵ 将线段EF 绕点E 按逆时针方向 旋转90°,得到线段EG, ∴ ∠FEG=90°,EF=EG. ∴ ∠AEF+∠DEG=90°. ∴ ∠AFE=∠DEG. 在△AEF和△DGE中, ∠A=∠D, ∠AFE=∠DEG, FE=EG, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEF≌△DGE. ∴ AE=DG=2. ∴ EF= AF2+AE2= 32+22= 13. (2) 如图①,延长HE,交BA 的延长 线于点Q. ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ ∠QAE=∠BAD=∠D=90°, AB∥CD. ∴ ∠Q=∠DHE. ∵ E是AD的中点, ∴ AE=DE. 在△AEQ和△DEH 中, ∠Q=∠DHE, ∠QAE=∠D, AE=DE, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △AEQ≌△DEH. ∴ EQ=EH. ∵ ∠FEG=90°, ∴ FE⊥QH. ∴ FH=FQ. ∴ FE平分∠AFH. (3) 如图②,过点G作GH⊥AD,交 AD的延长线于点H. ∴ ∠H=90°. ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ ∠A=∠ADC=90°=∠CDH. ∴ ∠H=∠A=90°. 与(1)同理,可知△ABE≌△HEG. ∴ AB=HE=AD,AE=HG. ∴ DH=AE=GH. ∴ ∠DGH=∠HDG=45°. ∴ ∠CDG=45°. ∵ EF=EG,∠FEG=90°, ∴ ∠EGF=∠EFG=45°. ∴ ∠EGF=∠CDG. 又∵ ∠DNG=∠GNM, ∴ △DNG∽△GNM. ∴ NG NM= ND NG. ∴ NG2=NM·ND. (第4题) 5. C [解析] ∵ 四边形ABCD 是矩 形,∴ AD=BC,∠A=∠B=∠C= 90°.由折叠的性质,得AD=DF= BC, ∠A = ∠DFE = 90°. ∴ ∠BFE + ∠BEF = ∠BFE + ∠CFD=90°.∴ ∠BEF=∠CFD. ∴ △BEF∽△CFD.∴ BF CD= BE CF. ∵ CD=3BF,∴ CF=3BE=12.设 BF=x,则CD=3x,DF=BC=x+ 12.∵ 在Rt△CFD 中,CD2+CF2= DF2,∴ (3x)2+122=(x+12)2,解 得x=3或x=0(不合题意,舍去). ∴ AD=DF=3+12=15. 6. (1) ∵ ∠B=90°, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 83 ∴ ▱ABCD 是 矩 形,∠BAF + ∠AFB=90°. ∴ ∠D=∠C=90°. 由折叠的性质,可得∠AFE=∠D=90°. ∴ ∠CFE+∠AFB=90°. ∴ ∠BAF=∠CFE. 又∵ ∠B=∠C=90°, ∴ △ABF∽△FCE. (2) 如图,延长AF、DC交于点G. 由折叠的性质,可知EF=DE,AF= AD,∠AFE=∠D. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D. ∴ △GCF∽△ABF,∠BAF=∠G, ∠AFE=∠B. ∴ GF AF= CF BF ,即GF CF= AF BF. ∴ GF CF= AD FB. ∵ ∠BAF+∠BFA=180°-∠B, ∠CFE+∠BFA=180°-∠AFE, ∴ ∠BAF=∠CFE. ∵ ∠BAF=∠G, ∴ ∠CFE=∠G. 又∵ ∠CEF=∠FEG, ∴ △CEF∽△FEG. ∴ CE FE= CF FG ,即DE CE= GF CF. ∴ DE CE= AD FB. (第6题) 专题特训（六）　相似三角形 中的探究类、新定义问题 1. (1) 1 2. (2) 4 5. [解析] 在Rt△ABC 中, AC=4,BC=3,根据勾股定理,得 AB= AC2+BC2=5.∵ △ACD∽ △ABC,∴ △ACD 与△ABC的相似 比为AC AB= 4 5. (3) ① 2b. [解析] ∵ 矩形 ABEF∽矩形ADCB,∴ AF∶AB= AB∶AD,即12a∶b=b∶a.∴ a= 2b(负值已舍去). ② nb. (4) ① 3b. [解析] 由题意,可知纵 向的2个矩形全等,横向的3个矩形 也全等,∴ DN=13b.∵ DF是矩形 DNMF的长,∴ 矩形DNMF∽矩形 ABCD.∴ DF∶AD=DN∶AB,即 DF∶a=13b∶b.∴ DF= 13a. ∴ AF=a-13a= 2 3a.∴ AG= AF 2 = 2 3a 2 = 1 3a.∵ AB 是矩形 AGHB的长,∴ 矩形AGHB∽矩形 ABCD.∴ AG∶AB=AB∶AD,即 1 3a∶b=b∶a.∴ a=3b(负值已舍去). ② mn n-1b. [解析] 如图,由题意, 可知纵向的m 个矩形全等,横向的 n个矩形也全等,∴ DN = 1nb. ∵ DF是矩形DNMF 的长,∴ 矩形 DNMF∽ 矩 形 ABCD.∴ DF ∶ AD=DN∶AB,即DF∶a=1nb∶ b.∴ DF=1na.∴ AF=a-1na. ∴ AG=AFm = a-1na m = n-1 mna. ∵ AB 是矩形AGHB 的长,∴ 矩形 AGHB∽矩形ABCD.∴ AG∶AB= AB∶AD,即n-1mna∶b=b∶a. ∴ a= mnn-1b (负值已舍去). (第1题) 2. D [解析] ∵ ∠C=90°,BC= 3cm,∠B=60°,∴ 易得AB=2BC= 6cm.分两种情况讨论:① 如图①,当 ∠EDB=90°时,∵ BC=3cm,CD= 1 3BC ,∴ BD=2cm.∵ ∠C=90°, ∴ ∠EDB= ∠C.∵ ∠B= ∠B, ∴ △BDE∽△BCA.∴ BE BA= BD BC ,即 BE 6 = 2 3.∴ BE=4cm.∴ AE= AB-BE=6-4=2(cm).当从点A 到点E时,t=2;当从点A 到点B 再 到点E 时,t=6+4=10.∵ 0<t< 10,∴ t=2.② 如图②,当∠BED= 90°时,∵ ∠DEB=∠C=90°,∠B= ∠B,∴ △BED∽△BCA.∴ BE BC= BD BA ,即BE 3 = 2 6.∴ BE =1cm. ∴ AE=AB-BE=6-1=5(cm).当 从点A到点E时,t=5;当从点A 到 点B再到点E 时,t=6+1=7.综上 所述,t的值为2或5或7. (第2题) 3. 5 33 [解析] 如图,过点C'作 C'E⊥AD,交AD 的延长线于点E, CC'交AE 于点F,记CD与AB'交于 点G,易知C、C'、B'三点共线.∵ 四边 形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠CDF = ∠ADC=∠B=90°,CD=AB=5, BC=AD=3,AB∥CD.∴ ∠BAC= ∠DCA.由 翻 折 的 性 质,可 知 ∠BAC = ∠B'AC, ∠AB'C' = ∠AB'C=∠B=90°.∴ ∠B'AC= ∠DCA.∴ GA=GC.由翻折的性质, 可知B'A=BA=5,B'C'=B'C= BC=3.∴ B'A=CD.∴ B'A-GA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 60 　　　　专题特训（五）　图形变换中的相似问题 ▶ “答案与解析”见P37 类型一 平移中的相似问题 1. (第1题) 如图,在△ABC 中,∠BAC= 30°,∠ACB=90°,且△ABC∽ △AB'C',连接CC',将CC'沿 C'B'方向平移至EB'的位置, 连接BE.若CC'= 6,则BE 的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 2. 已知A、B两点在直线l的同一侧,线段AO、 BM 均是直线l的垂线段,且BM 在AO 的 右侧,AO=2BM,连接AB,过点B作BP⊥ AB,交直线l于点P,将BM 沿直线l向右 平 移,在 平 移 的 过 程 中,始 终 保 持 ∠ABP=90°. (1) 如图①,求证:ABPB= OM BM. (2) 如图②,当点P 与点O 重合时,设C是 AO的中点,连接BC.求证:四边形OCBM 是正方形. (3) 若AO=26,MO=2PO,求AB 和PB 的长. (第2题) 类型二 旋转中的相似问题 3. ★△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形, ∠A=∠D=90°,△DEF 的底角顶点E 是 BC的中点. (1) 如图①,设DE 与AB 交于点M,EF 与 AC交于点N.求证:△BEM∽△CNE. (2) 如图②,将△DEF绕点E按顺时针方向 旋转,使得DE 与BA 的延长线交于点M, EF与AC交于点N,连接MN,除(1)中的一 对相似三角形外,请再找出一对相似三角形 并加以证明. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 61 4. 已知点E、F 分别在正方形ABCD 的边AD、AB上,将线段EF绕点E 按逆时针方向旋转90°,得到线段 EG,点F的对应点是G,连接FG. (1) 如图①,当点G在边CD 上,且DG=2, AF=3时,求EF的长. (2) 如图②,若E 是AD 的中点,EG 与CD 交于点H,连接FH,求证:FE平分∠AFH. (3) 如图③,若点F和点B重合,EG、FG分 别交CD 于点M、N,连接DG.求证:NG2= NM·ND. (第4题) (第5题) 类型三 翻折中的相似问题 5. 如 图,点 E 在 矩 形 ABCD 的边AB 上,将 △ADE 沿DE 翻折, 点A 恰好落在边BC 上的点F 处.若CD= 3BF,BE=4,则AD的长为 ( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 16 6. (学科内综合)某校数学兴趣小组利 用课余时间开展平行四边形的折叠 试验探究,已知E 为▱ABCD 的边 DC上一动点,将△ADE沿AE折叠,使点D 落在点F处. (1) 如图①,若∠B=90°,此时点F 落在边 BC上,求证:△ABF∽△FCE. (2) 如图②,若∠B≠90°,此时点F 落在边 BC上,求证:DECE= AD FB. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似