第6章 专题特训(六) 相似三角形中的探究类、新定义问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

62 专题特训（六）　相似三角形中的探究类、新定义问题 ▶ “答案与解析”见P39 类型一 相似三角形中的新定义问题 1. 自相似图形的定义:若某个图形可分割为若 干个与它都相似的图形,则称这个图形是自 相似图形.例如:如图①,在正方形ABCD 中,点E、F、G、H 分别是边AB、BC、CD、 DA的中点,连接EG、HF交于点O,易知分 割成的四个四边形AEOH、EBFO、OFCG、 HOGD均为正方形,且与原正方形相似,故 正方形是自相似图形. (1) 在如图①所示的正方形ABCD 分割成 的四个小正方形中,每个小正方形与原正方 形的相似比为 . (2) 如图②,在△ABC 中,∠ACB=90°, AC=4,BC=3,小明发现△ABC 也是自相 似图形,他的思路是过点C作CD⊥AB于点 D,则CD 将△ABC分割成2个与它相似的 小直角三角形.已知△ACD∽△ABC,则 △ACD与△ABC的相似比为 . (3) 现有一个矩形ABCD 是自相似图形,其 中长AD=a,宽AB=b(a>b). ① 如图③,若将矩形ABCD纵向分割成2个 全等矩形ABEF、FECD,且与原矩形都相 似,则a= (用含b的代数式表示). ② 如图④,若将矩形ABCD纵向分割成n个 全等矩形,且与原矩形都相似,则a= (用含n、b的代数式表示). (4) 现有一个矩形ABCD 是自相似图形,其 中长AD=a,宽AB=b(a>b). ① 如图⑤,若将矩形ABCD 先纵向分割出 2个全等矩形(AB为长),再将剩余的部分横 向分割成3个全等矩形(DF 为长),且分割 得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含b的代数式表示). ② 如图⑥,若将矩形ABCD 先纵向分割出 m个全等矩形(AB 为长),再将剩余的部分 横向分割成n个全等矩形(DF为长),且分割 得到的矩形与原矩形都相似,则a= (用含m、n、b的代数式表示). (第1题) 类型二 相似三角形中的探究类问题 2. (易错题)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°, ∠B=60°,BC=3cm,CD=13BC. 动点E以 1cm/s的速度从点A 出发,沿着A→B→A 的方向运动,设点E 的运动时间为ts(0< t<10),连接DE.当△BDE 是直角三角形 时,t的值为 ( ) A. 2 B. 2或7 C. 2或5 D. 2或5或7 (第2题) (第3题) 3. (2024·宿迁宿城一模)如图,在矩形ABCD 中,AB=5,AD=3,先将△ABC沿AC翻折 到△AB'C 处,再将△AB'C 沿AB'翻折到 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 63 △AB'C'处,延长CD 交AC'于点M,则DM 的长为 . 4. (1) 如图①,在矩形ABCD 中,M、 N 分别是BC、AD 的中点,连接 MN,把矩形纸片ABCD 沿AE 折 叠,当点B 的对应点B'在MN 的中点时, △EB'M (填“≌”或“∽”)△B'AN. (2) 如图②,在(1)的条件下,当点B 的对应 点B'为MN 上的任意一点,其他条件不变 时,请判断(1)中的结论是否成立? 若成立, 请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (3) 如图③,在矩形ABCD中,AB=4,BC= 6,E为BC 的中点,P 为线段AB 上的一个 动点,连接EP,将△BPE 沿PE 折叠,得到 △B'PE,连接DE、DB',当△EB'D 为直角 三角形时,BP的长为 . (第4题) 5. 两个全等的矩形ABCD 和GBEF 如图①所示,C是BG上一点,A、C、 F三点共线,AB=2. (1) 求BE的长. (2) 如图②,将矩形GBEF绕点B按逆时针 方向旋转α(0°<α<90°),连接BF,过点G 作GH∥BF,交AC于点H. ① 求证:AH=GH. ② 记AC 与BG 交于点M,延长AC 交BF 于点N.求证:HN2=AN·MN. (第5题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 ∴ ▱ABCD 是 矩 形,∠BAF + ∠AFB=90°. ∴ ∠D=∠C=90°. 由折叠的性质,可得∠AFE=∠D=90°. ∴ ∠CFE+∠AFB=90°. ∴ ∠BAF=∠CFE. 又∵ ∠B=∠C=90°, ∴ △ABF∽△FCE. (2) 如图,延长AF、DC交于点G. 由折叠的性质,可知EF=DE,AF= AD,∠AFE=∠D. ∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴ AB=CD,AB∥CD,∠B=∠D. ∴ △GCF∽△ABF,∠BAF=∠G, ∠AFE=∠B. ∴ GF AF= CF BF ,即GF CF= AF BF. ∴ GF CF= AD FB. ∵ ∠BAF+∠BFA=180°-∠B, ∠CFE+∠BFA=180°-∠AFE, ∴ ∠BAF=∠CFE. ∵ ∠BAF=∠G, ∴ ∠CFE=∠G. 又∵ ∠CEF=∠FEG, ∴ △CEF∽△FEG. ∴ CE FE= CF FG ,即DE CE= GF CF. ∴ DE CE= AD FB. (第6题) 专题特训（六）　相似三角形 中的探究类、新定义问题 1. (1) 1 2. (2) 4 5. [解析] 在Rt△ABC 中, AC=4,BC=3,根据勾股定理,得 AB= AC2+BC2=5.∵ △ACD∽ △ABC,∴ △ACD 与△ABC的相似 比为AC AB= 4 5. (3) ① 2b. [解析] ∵ 矩形 ABEF∽矩形ADCB,∴ AF∶AB= AB∶AD,即12a∶b=b∶a.∴ a= 2b(负值已舍去). ② nb. (4) ① 3b. [解析] 由题意,可知纵 向的2个矩形全等,横向的3个矩形 也全等,∴ DN=13b.∵ DF是矩形 DNMF的长,∴ 矩形DNMF∽矩形 ABCD.∴ DF∶AD=DN∶AB,即 DF∶a=13b∶b.∴ DF= 13a. ∴ AF=a-13a= 2 3a.∴ AG= AF 2 = 2 3a 2 = 1 3a.∵ AB 是矩形 AGHB的长,∴ 矩形AGHB∽矩形 ABCD.∴ AG∶AB=AB∶AD,即 1 3a∶b=b∶a.∴ a=3b(负值已舍去). ② mn n-1b. [解析] 如图,由题意, 可知纵向的m 个矩形全等,横向的 n个矩形也全等,∴ DN = 1nb. ∵ DF是矩形DNMF 的长,∴ 矩形 DNMF∽ 矩 形 ABCD.∴ DF ∶ AD=DN∶AB,即DF∶a=1nb∶ b.∴ DF=1na.∴ AF=a-1na. ∴ AG=AFm = a-1na m = n-1 mna. ∵ AB 是矩形AGHB 的长,∴ 矩形 AGHB∽矩形ABCD.∴ AG∶AB= AB∶AD,即n-1mna∶b=b∶a. ∴ a= mnn-1b (负值已舍去). (第1题) 2. D [解析] ∵ ∠C=90°,BC= 3cm,∠B=60°,∴ 易得AB=2BC= 6cm.分两种情况讨论:① 如图①,当 ∠EDB=90°时,∵ BC=3cm,CD= 1 3BC ,∴ BD=2cm.∵ ∠C=90°, ∴ ∠EDB= ∠C.∵ ∠B= ∠B, ∴ △BDE∽△BCA.∴ BE BA= BD BC ,即 BE 6 = 2 3.∴ BE=4cm.∴ AE= AB-BE=6-4=2(cm).当从点A 到点E时,t=2;当从点A 到点B 再 到点E 时,t=6+4=10.∵ 0<t< 10,∴ t=2.② 如图②,当∠BED= 90°时,∵ ∠DEB=∠C=90°,∠B= ∠B,∴ △BED∽△BCA.∴ BE BC= BD BA ,即BE 3 = 2 6.∴ BE =1cm. ∴ AE=AB-BE=6-1=5(cm).当 从点A到点E时,t=5;当从点A 到 点B再到点E 时,t=6+1=7.综上 所述,t的值为2或5或7. (第2题) 3. 5 33 [解析] 如图,过点C'作 C'E⊥AD,交AD 的延长线于点E, CC'交AE 于点F,记CD与AB'交于 点G,易知C、C'、B'三点共线.∵ 四边 形 ABCD 是 矩 形,∴ ∠CDF = ∠ADC=∠B=90°,CD=AB=5, BC=AD=3,AB∥CD.∴ ∠BAC= ∠DCA.由 翻 折 的 性 质,可 知 ∠BAC = ∠B'AC, ∠AB'C' = ∠AB'C=∠B=90°.∴ ∠B'AC= ∠DCA.∴ GA=GC.由翻折的性质, 可知B'A=BA=5,B'C'=B'C= BC=3.∴ B'A=CD.∴ B'A-GA= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 93 CD-GC,即B'G=DG.设B'G= DG=x.∴ CG=CD-DG=5-x.在 Rt△B'CG 中,根 据 勾 股 定 理,得 B'G2+B'C2=CG2,即x2+32=(5- x)2,解得x=85.∴ B'G=DG=85. ∴ AG = CG = 5 - x = 175. ∵ ∠DAG=∠B'AF,∠ADG=∠AB' F =90°,∴ △ADG ∽ △AB'F. ∴ DG B'F = AD AB' ,即 8 5 B'F = 3 5. ∴ B'F=83.∴ C'F=C'B'-B'F= 3-83= 1 3 ,CF=CB'+B'F=3+ 8 3 = 17 3.∵ ∠CFD = ∠AFB', ∠CDF=∠AB'F=90°,CD=AB', ∴ △CDF ≌ △AB'F.∴ DF = B'F=83.∵ C'E⊥AD,CD⊥AD, ∴ C'E∥CD.∴ △C'EF∽△CDF. ∴ C'E CD = C'F CF = EF DF ,即C'E 5 = 1 3 17 3 = EF 8 3 .∴ C'E=517 ,EF=851.∴ DE= DF+EF=83+ 8 51= 48 17.∴ AE= AD+DE=3+4817= 99 17.∵ C'E∥ DM,∴ △ADM∽△AEC'.∴ DM EC'= AD AE ,即DM 5 17 =399 17 .∴ DM=533. (第3题) 4. (1) ∽. (2) (1)中的结论成立. 由题意,易得四边形ABMN 是矩形. ∴ ∠B=∠EMB'=∠B'NA=90°. 由折叠的性质,得∠EB'A=∠B=90°. ∴ ∠EB'M=90°-∠AB'N=∠B'AN. ∴ △EB'M∽△B'AN. (3) 9 4 或1. [解析] ∵ E为BC的 中点,∴ BE=CE.∵ 四边形ABCD 是矩形,∴ AB=CD,∠B=∠C= 90°.如图①,当∠DB'E=90°时, △EB'D是直角三角形.由折叠的性 质,得∠PB'E=∠B=90°,BE= B'E,BP=B'P.∴ ∠DB'P=180°, CE=B'E.∴ 点P、B'、D 在同一条 直线上.在Rt△CDE 和Rt△B'DE 中, CE=B'E, DE=DE, ∴ Rt△CDE ≌ Rt△B'DE.∴ B'D=CD=AB=4. 设BP=B'P=x,则AP=4-x, PD=x+4.∵ 在Rt△APD 中,由勾 股定理,得AP2+AD2=PD2,∴ (4- x)2+62=(x+4)2,解得x=94. ∴ BP=94. 如图②,当∠B'ED=90° 时,△EB'D 是直角三角形.过点B' 作B'H⊥AB 于点H,B'Q⊥BC 于 点Q,则∠B'QE=∠C=90°,易得四 边形HB'QB为矩形.∴ BQ=B'H, BH=B'Q.∵ ∠B'ED=90°,∠C= 90°,∴ ∠B'EQ + ∠CED =90°, ∠EDC+∠CED=90°.∴ ∠B'EQ= ∠EDC.∴ △B'EQ ∽ △EDC. ∴ B'Q EC= EQ DC= B'E ED.∵ CE=BE= 1 2 BC =3 ,CD =4,∴ DE = CE2+CD2=5.由折叠的性质,得 BP=B'P,B'E=BE=3.∴ B'Q 3 = EQ 4 = 3 5.∴ B'Q= 95 ,EQ=125. ∴ B'H=BQ=BE-EQ=35 ,BH= B'Q=95. 设BP=B'P=y,则HP= BH-BP=95-y.∵ 在Rt△B'PH 中,由勾股定理,得 HP2+B'H2= B'P2,∴ 9 5-y 2 + 35 2 =y2,解 得y=1.∴ BP=1.综上所述,BP的 长为9 4 或1. (第4题) 5. (1) ∵ 矩形ABCD≌矩形GBEF, ∴ ∠ABC = ∠GBE =90°,EF = CD=AB=2,BE=BC,BG∥EF. ∴ ∠ABC+∠GBE=180°. ∴ A、B、E三点共线. ∵ BG∥EF, ∴ △ABC∽△AEF. ∴ AB AE= BC EF. ∴ 2 2+BE= BE 2. ∴ BE=5-1或BE=- 5-1(不 合题意,舍去). ∴ BE的长为5-1. (2) ① 如图,连接AG. ∵ 矩形ABCD≌矩形GBEF, ∴ ∠BGF=∠ABC=90°,AB=GB, GF=AD=BC. ∴ ∠BAG=∠BGA. ∵ GH∥BF, ∴ ∠HGB=∠GBF. 在△BGF和△ABC中, BG=AB, ∠BGF=∠ABC, GF=BC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △BGF≌△ABC. ∴ ∠GBF=∠BAC. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 04 ∴ ∠HGB=∠BAC. ∴ ∠BGA - ∠HGB = ∠BAG - ∠BAC,即∠HGA=∠HAG. ∴ AH=GH. ② 如图,连接BH. ∵ AB=GB,BH=BH,AH=GH, ∴ △ABH≌△GBH. ∴ ∠ABH=∠GBH. ∵ ∠NHB = ∠BAC + ∠ABH, ∠NBH = ∠GBF + ∠GBH, ∠GBF=∠BAC, ∴ ∠NHB=∠NBH. ∴ HN=BN. ∵ ∠MNB = ∠BNA,∠MBN = ∠BAN, ∴ △NBM∽△NAB. ∴ BN AN= MN BN. ∴ BN2=AN·MN. ∴ HN2=AN·MN. (第5题) 第6章复习 ［知识体系构建］ 原三角形 两角 两边成比例 三边 成比例 对应角 对应边 相似比 相似比 相似比 ［高频考点突破］ 典例1 76 [解析] 设x 2= y 3= z 4=k.∴ x=2k,y=3k,z=4k. ∵ x+2y+3z=40,∴ 2k+6k+ 12k=40,解得k=2.∴ x=4,y=6, z=8.∴ 3x+4y+5z=3×4+4× 6+5×8=12+24+40=76. [跟踪训练] 1. 8 [解析] ∵ 2x= 3y,∴ x =1.5y.∴ y+2x x-y = y+3y 1.5y-y= 4y 0.5y=8. 典例2 9 [解析] ∵ AC 平分 ∠BAD,∴ ∠BAC = ∠DAC.当 AB AC = AC AD 时,△ABC ∽ △ACD, ∴ AC2=AB·AD.∵ AB=4,AC= 6,∴ 62=4AD.∴ AD=9. [跟踪训练] 2. ∵ ∠ACB=90°, ∴ ∠A+∠B=90°. ∵ DE⊥AB, ∴ ∠ADC+∠CDE=∠ADE=90°. ∵ CD=CA, ∴ ∠A=∠ADC. ∴ ∠CDE=∠B. 又∵ ∠DCE=∠BCD, ∴ △CDE∽△CBD. 典例3 (1) ∵ 四边形 ABCD 是 菱形, ∴ CD∥AB,AD∥BC. ∴ △EFD∽△AFB. ∴ DF BF= EF AF. ∵ EG∥BC,AD∥BC, ∴ EG∥AD. ∴ △EFG∽△AFD. ∴ FG FD= EF AF. ∴ DF BF= FG FD. ∴ DF2=FG·BF. (2) 连接AC交BD于点H. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AC⊥BD,DH=BH,AD=DC. ∴ BD=2DH. ∵ AE⊥DC, ∴ ∠DEF=∠DHC=90°. ∵ ∠FDE=∠CDH, ∴ △FDE∽△CDH. ∴ DF DC= DE DH. ∴ DH·DF=DC·DE. ∴ 2DH·DF=2DC·DE. ∵ BD=2DH,AD=DC, ∴ BD·DF=2AD·DE. [跟踪训练] 3. (1) ∵ 四边形 ABCD是正方形, ∴ AC⊥BD,∠ADF=90°. ∴ ∠AEG=∠ADF=90°. ∵ AF平分∠DAC, ∴ ∠EAG=∠DAF. ∴ △AEG∽△ADF. (2) △DGF是等腰三角形. 理由:由(1),得△AEG∽△ADF. ∴ ∠AGE=∠AFD. ∵ ∠AGE=∠DGF, ∴ ∠DGF = ∠AFD,即 ∠DGF = ∠DFG. ∴ DG=DF. ∴ △DGF是等腰三角形. (3) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC⊥BD,EA=ED. ∴ △AED是等腰直角三角形. ∴ 易得AD=2AE. ∵ △AEG∽△ADF, ∴ AG AF= AE AD= 2 2. ∵ AG=1, ∴ AF=2. ∴ GF=AF-AG=2-1. 典例4 如图,过点E作EG⊥CF于 点G,延长GE 交AD 于点 H,则 GH⊥AD,四边形CBEG、四边形 AHEB是矩形. ∴ AH=BE=CG=1.6m,BC= EG=9.5-0.3=9.2(m),AB= HE=0.3m. ∵ EG⊥CF,GH⊥AD,EF⊥ED, ∴ ∠FGE=∠EHD=∠FED=90°. ∴ ∠EFG + ∠FEG = ∠FEG + ∠DEH=90°. ∴ ∠EFG=∠DEH. ∴ △EFG∽△DEH. ∴ FG EH= EG DH. ∴ DH=EH ·EG FG =13.8m. ∴ AD=DH+AH=13.8+1.6= 15.4(m). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 14