第5章 专题特训(三) 探究二次函数中的存在性问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

26 　专题特训（三）　探究二次函数中的存在性问题 ▶ “答案与解析”见P15 类型一 探究三角形周长最大值的存在性 1. 如图①,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与 x轴相交于点A、B(点B在点A的左侧),与 y轴相交于点C(0,3).已知点A 的坐标为 (1,0),△ABC的面积为6. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) P是直线BC上方的抛物线上一动点,过 点P作直线BC 的垂线,垂足为E,过点P 作PF∥y轴,交BC于点F,求△PEF 周长 的最大值及此时点P的坐标. (3) 如图②,将该抛物线向左平移2个单位 长度得到新抛物线y',新抛物线与原抛物线 相交于点D.若M 为直线BC上一点,点N 在坐标平面内,则是否存在点M、N,使以B、 D、M、N 为顶点的四边形是菱形? 若存在, 请写出点M 的坐标;若不存在,请说明理由. (第1题) 类型二 探究等腰三角形的存在性 2. 如图,抛物线y=- 2 5x 2+85x+2 与x轴交 于A、B两点(点A 在点B 的左侧),与y轴 交于点C,连接AC、BC. (1) 求A、B、C三点的坐标,并写出直线BC 对应的函数表达式. (2) D 是第一象限内抛物线上的一个动点, 过点D 作AC 的平行线,分别交直线BC、 x轴于E、F两点,设点D的横坐标为m. ① 当△DCE与△ACE全等时,求m的值. ② 当以A、C、D、F 为顶点的四边形为平行 四边形时,抛物线的对称轴上是否存在点P, 使△PDF为等腰三角形? 若存在,请写出点 P的坐标;若不存在,请说明理由. (第2题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 27 类型三 探究三角形面积关系的存在性 3. 如图①,在平面直角坐标系中,抛物 线y=ax2+bx+3与x 轴交于 A(-3,0)、B(1,0)两点,与y轴交 于点C,连接AC. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) P 是直线AC 上方抛物线上一点,连接 PA、PC.求△PAC 面积的最大值及此时点 P的坐标. (3) 如图②,连接BC.抛物线上是否存在一 点N,使得S△ABC=2S△ABN? 若存在,求出 点N 的坐标;若不存在,请说明理由. (第3题) 类型四 探究平行四边形的存在性 4. 如图①,抛物线y=ax2+bx+3与 x轴交于A(-3,0)、B 两点,与 y轴交于点C,对称轴为直线x=-1. (1) 求抛物线对应的函数表达式. (2) 直线x=-1与抛物线、x轴分别交于点 M、N,过点N 作ND⊥AC于点D,点E 在 坐标平面内.是否存在以M、C、D、E为顶点 的四边形是平行四边形? 若存在,请求出 点E的坐标;若不存在,请说明理由. (3) 如图②,过(2)中点D的直线与抛物线交 于P、Q 两点(点P 在点Q 的左侧),过点Q 的直线y=2x+c与抛物线交于点R.试探究 直线PR是否经过某个定点.若经过定点,求 该定点的坐标;若不经过定点,请说明理由. (第4题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第5章　二次函数 ∴ 被翻折部分翻折后得到的图像对 应的函数表达式为y=-x2+x+ 2(-1<x<2). (2) 若直线y=-x+b与图像W 有 三个交点,分两种情况讨论: ① 当直线y=-x+b过点B 时,易 知与图像W 有三个交点,此时b=2. ② 如图,当直线y=-x+b位于线 段AB的上方,且与被翻折部分翻折 后得到的函数图像恰好有一个交点 时,方程-x+b=-x2+x+2,即方 程x2-2x+b-2=0有两个相等的 实数根. ∴ (-2)2-4(b-2)=0. ∴ b=3. 综上所述,b的值为2或3. (第10题) 不能将图形动起来而导致错误 求解直线与二次函数图像的 交点时,容易因不能将图形动起来 而导致错误.将直线动起来,类似 于求直线与圆的交点个数,从而根 据交点个数确定所得新一元二次 方程的根的判别式与0的大小关 系,进而求得结果. 11. A [解析] ∵ 二次函数y= m(x+3)2-3(m 为常数且m≠0)的 图像与y轴交于点A,∴ 当x=0时, y=9m-3.∴ A(0,9m-3).∵ 将二 次函数y=m(x+3)2-3的图像以原 点为旋转中心旋转180°后,得到的图 像与y轴交于点B,∴ B(0,-9m+ 3).∵ AB =12,∴ |9m -3- (-9m+3)|=12,即|18m-6|=12. ∴ m=1或m=-13.∴ m 的值为1 或-13. 12. (1) ∵ 点A(-1,0)与点B关于 直线x=1对称, ∴ 点B的坐标为(3,0). ∴ 抛物线C 对应的函数表达式为 y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3= (x-1)2-4. ∴ 抛物线C的顶点坐标为(1,-4). (2) ∵ A(-1,0)、B(3,0), ∴ 点A、B关于原点的对称点的坐标 分别为(1,0)和(-3,0),且都在抛物 线C'上. ∵ 抛物线C'开口向下,形状与抛物线 C相同, ∴ 抛物线C'对应的函数表达式为 y=-(x-1)(x+3)=-x2- 2x+3. ∵ 点P(m,t)在抛物线C上, ∴ t=m2-2m-3. ∵ 点P又在抛物线C'上, ∴ t=-m2-2m+3. ∴ m2-2m-3=-m2-2m+3,解得 m=±3. (3) 由(1),知y=x2-2x-3=(x- 1)2-4,当a≤x≤a+1时,二次函数 y=(x-1)2-4的最小值为2a. 分三种情况讨论: ① 若a+1<1,即a<0,则当x=a+ 1时,y取得最小值,此时y=(a+1- 1)2-4=a2-4. ∴ a2-4=2a,解得a=1-5或a= 1+5(不合题意,舍去). ② 若a<1≤a+1,即0≤a<1,则当 x=1时,y取得最小值-4. ∴ -4=2a,解得a=-2(不合题意, 舍去). ③ 若a≥1,则当x=a时,y取得最 小值,此时y=a2-2a-3. ∴ a2-2a-3=2a,解得a=2+7或 a=2-7(不合题意,舍去). 综上所述,a的值为1-5或2+7. 专题特训（三）　探究二次 函数中的存在性问题 1. (1) ∵ A(1,0)、C(0,3), ∴ OA=1,OC=3. ∵ S△ABC= 1 2AB ·OC=6, ∴ AB=4. ∴ OB=AB-OA=3. ∴ B(-3,0). 设抛物线对应的函数表达式为y= a(x+3)(x-1). 把C(0,3)代入,得a=-1, ∴ y=-(x+3)(x-1)=-x2- 2x+3. (2) ∵ OB=OC=3, ∴ 易得∠OBC=∠OCB=45°. ∵ PF∥y轴, ∴ ∠PFE=∠OCB=45°. ∵ PE⊥BC, ∴ ∠PEF=90°. ∴ △PEF为等腰直角三角形. ∴ 易得PE=EF= 22PF. ∴ C△PEF=PE+EF+PF= 2 2PF+ 2 2PF+PF= (2+1)PF. ∴ 当PF的长取得最大值时,△PEF 的周长取得最大值. 设直线BC对应的函数表达式为y= k1x+b1. 把B(-3,0)、C(0,3)代入,得 -3k1+b1=0, b1=3, 解得 k1=1, b1=3. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= x+3. 设P(m,-m2-2m+3)(-3<m< 0),F(m,m+3). ∴ PF=-m2-2m+3-m-3= -m2-3m=- m+32 2 +94. 当m=-32 时,PF的长取得最大值, 为9 4 ,此时-m2-2m+3=154. ∴ 当点P 的坐标为 -32 ,15 4 时, △PEF的周长取得最大值,最大值为 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 51 9 4× (2+1)=92+94 . (3) 存在. ∵ 抛物线y=-x2-2x+3=-(x+ 1)2+4向左平移2个单位长度得到 新抛物线y', ∴ y'=-(x+3)2+4. ∵ 两条抛物线相交于点D, ∴ 令-x2-2x+3=-(x+3)2+4, 解得x=-2,此时y=-(-2+ 3)2+4=3. ∴ D(-2,3). 由(2),得直线BC对应的函数表达式 为y=x+3. ∵ M 为直线BC上一点, ∴ 设M(n,n+3). ∵ 以B、D、M、N 为顶点的四边形为 菱形, ∴ 连接BD、DM,则△BDM 为等腰 三角形. 又∵ B(-3,0), ∴ 易得BD2=(-3+2)2+32=10, BM2=(n+3)2+(n+3)2=2n2+ 12n+18,DM2=(n+2)2+n2= 2n2+4n+4. 分三种情况讨论: ① 当BM=DM 时,BM2=DM2,即 2n2+12n+18=2n2+4n+4. ∴ n=-74 ,则n+3=54. ∴ M -74 ,5 4 . ② 当BD=BM 时,BD2=BM2,即 10=2n2+12n+18. ∴ n2+6n+4=0,解得n=-3+ 5 或n=-3-5. 当n=-3+ 5时,n+3= 5;当 n=-3-5时,n+3=-5. ∴ M(-3+ 5,5)或 M(-3- 5,-5). ③ 当DM=BD 时,DM2=BD2,即 2n2+4n+4=10. ∴ n2+2n-3=0,解得n=1或 n=-3(不合题意,舍去). ∴ n+3=4. ∴ M(1,4). 综上所述,点 M 的坐标为 -74, 5 4 或(-3+ 5,5)或(-3- 5, -5)或(1,4). 2. (1) 在y=- 2 5x 2+85x+2 中, 令y=0,得- 2 5x 2+85x+2=0 ,解 得x1=-1,x2=5. ∴ A(-1,0)、B(5,0). 令x=0,得y=2. ∴ C(0,2). 设直线BC对应的函数表达式为y= kx+b. 将(5,0)、(0,2)代入,得 5k+b=0, b=2, 解得 k=-25 , b=2. ∴ 直线BC对应的函数表达式为y= -25x+2. (2) ① 如图,过点D 作DH⊥x轴, 交BC于点H,过点A作AG⊥x轴, 交BC于点G. ∴ AG∥DH. ∴ ∠AGC=∠DHE. ∵ AC∥DF, ∴ ∠ACE=∠DEC. ∴ ∠ACG=∠DEH. ∵ CE=EC,△DCE与△ACE全等, ∴ △ACE≌△DEC. ∴ AC=DE. ∴ △ACG≌△DEH. ∴ AG=DH. ∵ 直线BC 对应的函数表达式为 y=- 2 5x+2 ,点D的横坐标为m, ∴ H m,- 25m +2 ,D m, -25m 2+85m+2 . ∴ DH=-25m 2+2m. 在y=- 2 5x+2 中,令x=-1,得 y=- 2 5× (-1)+2=125. ∴ G -1,125 ,则AG=125. ∴ DH=125 ,则-25m 2+2m=125. ∴ m=2或m=3. ② 存在. ∵ A(-1,0)、B(5,0), ∴ 抛物线的对称轴为直线x= -1+5 2 =2. ∵ 易得四边形AFDC是平行四边形, ∴ DF=AC=5,CD∥AF. ∵ C(0,2), ∴ 易得D(4,2). ∵ A(-1,0), ∴ 易得F(3,0). 设P(2,n). 当PF=DF= 5时,(2-3)2+ n2=5. ∴ n=2或n=-2(不合题意,舍去). ∴ P(2,2). 当DP=DF= 5时,(2-4)2+(n- 2)2=5. ∴ n=1或n=3. ∴ P(2,1)或P(2,3). 当DP=PF时,(2-4)2+(n-2)2= (3-2)2+n2. ∴ n=74. ∴ P 2,74 . 综上所述,点P的坐标为(2,2)或(2, 1)或(2,3)或 2,74 . (第2题) 3. (1) 由题意,得y=a(x+3)(x- 1)=a(x2+2x-3)=ax2+bx+3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 61 ∴ 2a=b,-3a=3. ∴ a=-1,b=-2. ∴ 抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-2x+3. (2) 如图,过点P 作PH∥y 轴,交 AC于点H. 在y=-x2-2x+3中,令x=0,得 y=3. ∴ C(0,3). 由点A、C的坐标,易得直线AC对应 的函数表达式为y=x+3. 设P(x,-x2-2x+3)(-3<x<0), 则H(x,x+3). ∴ S△PAC = 1 2OA ·PH = 12 × 3(-x2-2x+3-x-3)=-32 x+ 3 2 2 +278. ∴ 当x=-32 时,△PAC 的面积取 得最大值,最大值为27 8. 当x=-32 时,-x2-2x+3=154 , ∴ 此时点P的坐标为 -32 ,15 4 . (3) 存在. ∵ S△ABC=2S△ABN, ∴ |yN|= 1 2yC= 3 2 ,即|-x2- 2x+3|=32. 当点N 在x轴的上方时, -x2-2x+3=32 ,解得x1=-1+ 10 2 ,x2=-1- 10 2 . ∴ N -1+ 102 ,32 或N -1- 10 2 ,3 2 . 当点N 在x轴的下方时, x2+2x-3=32 ,解得x3=-1+ 22 2 ,x4=-1- 22 2 . ∴ N -1+ 222 ,- 32 或 N -1- 222 ,-32 . 综上所述,点 N 的坐标为 -1+ 10 2 ,3 2 或 -1- 102 ,32 或 -1+ 222 ,-32 或 -1- 222 , -32 . (第3题) 4. (1) ∵ 抛物线y=ax2+bx+3与 x轴交于点A(-3,0),对称轴为直线 x=-1, ∴ 9a-3b+3=0, -b2a=-1 , 解得 a=-1,b=-2. ∴ 抛物线对应的函数表达式为 y=-x2-2x+3. (2) 存在. 如图,过点D作DH⊥x轴于点H. 在y=-x2-2x+3中,令x=0,得 y=3. ∴ C(0,3),则OC=3. ∴ OA=OC. ∴ 易得∠CAO=∠ACO=45°. ∵ ND⊥AC,DH⊥x轴, ∴ 易得△ADN、△AHD、△NHD 都 是等腰直角三角形. ∵ AN=OA-ON=3-1=2, ∴ AH=DH=NH=12AN=1. ∴ OH=ON+NH=1+1=2. ∴ D(-2,1). 在y=-x2-2x+3中,令x=-1, 得y=4. ∴ M(-1,4). 设E(p,q). 分为三种情况讨论: ① 若MC、DE为对角线,则MC、DE 的中点重合. ∴ -1=-2+p, 4+3=1+q, 解得 p=1 , q=6. ∴ E(1,6). ② 若MD、CE为对角线, 同理,得 -2-1=p, 1+4=q+3, 解得 p=-3 , q=2. ∴ E(-3,2). ③ 若 ME、CD 为对角线,同理,得 p-1=-2, q+4=1+3, 解得 p=-1 , q=0. ∴ E(-1,0). 综上所述,存在满足条件的点E,点E 的坐标为(1,6)或(-3,2)或(-1,0). (3) 直线PR必经过某个定点. 设过点D(-2,1)的直线为y=kx+ d,则1=-2k+d. ∴ d=2k+1. ∴ 直线PQ对应的函数表达式为y= kx+2k+1. 令-x2-2x+3=kx+2k+1,得 x2+(k+2)x+2k-2=0. 设P(m,-m2-2m+3)、Q(n, -n2-2n+3). ∴ m+n=-k-2,mn=2k-2. ∴ mn=-2m-2n-6. 设R(t,-t2-2t+3). ∵ 点R(t,-t2-2t+3)、Q(n, -n2-2n+3)在直线y=2x+c上, ∴ -t2-2t+3=2t+c,-n2-2n+ 3=2n+c. ∴ -t2-2t+3-(-n2-2n+3)= 2t+c-(2n+c). 整理,得t=-4-n. 设直线PR对应的函数表达式为y= k'x+b'. 把P(m,-m2-2m+3),R(t,-t2- 2t + 3 ) 代 入, 得 -m2-2m+3=k'm+b', -t2-2t+3=k't+b'. ∴ k'=-m-t-2, b'=mt+3. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 71 ∴ 直线PR对应的函数表达式为y= (-m-t-2)x+mt+3. ∵ t=-4-n, ∴ 直线PR对应的函数表达式为y= (-m+n+2)x-4m-mn+3. ∵ mn=-2m-2n-6, ∴ 直线PR对应的函数表达式为y= (-m+n+2)x-2m+2n+9,即y= (-m+n+2)(x+2)+5. ∴ 直线PR必过定点(-2,5). (第4题) 第5章复习 ［知识体系构建］ y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,且 a≠0) y=a(x+h)2+k(a、h、k为 常数,且a≠0) y=a(x-x1)(x- x2)(a、x1、x2 为常数,且a≠0) x=-b2a - b 2a ,4ac-b 2 4a 一元 二次方程的根 ［高频考点突破］ 典例1 B [跟踪训练] 1. C 典例2 A [解析] ∵ 二次函数图 像的对称轴是直线x=t,∴ x=0时 的函数值与x=2t时的函数值相等, 且均为c.又∵ a>0,∴ 二次函数的 图像开口向上.∴ 当x>t时,y随x 增大而增大.又∵ 1<t<2,∴ 2< 2t<4.∴ m<c<n. [跟踪训练] 2. C [解析] ∵ y= x2-2x=(x-1)2-1,∴ 该二次函 数图像的对称轴为直线x=1,且顶点 坐标为(1,-1).∵ 1-(-1)=3-1, ∴ x=-1时的函数值和x=3时的 函数值相等.∵ -1≤x≤t-1,且当 x=-1时,函数取得最大值,∴ t- 1≤3.又∵ 当x=1时,函数取得最小 值,∴ t-1≥1.∴ 1≤t-1≤3,解得 2≤t≤4. 典例3 (1) ∵ 二次函数y=x2+ bx+c(b、c为常数)图像的对称轴为 直线x=-12 , ∴ -b2=- 1 2. ∴ b=1. ∴ y=x2+x+c. 又∵ 二次函数的图像经过点A(-2,5), ∴ 4-2+c=5. ∴ c=3. ∴ 二次函数的表达式为y=x2+ x+3. (2) ∵ 点B(1,7)向上平移2个单位 长度,向左平移m 个(m>0)单位 长度, ∴ 平移后的点的坐标为(1-m,9). ∵ 点(1-m,9)在二次函数y=x2+ x+3的图像上, ∴ 9=(1-m)2+(1-m)+3. ∴ m=4或 m=-1(不合题意, 舍去). ∴ m=4. (3) 由题意,得二次函数y=x2+x+ 3的图像的顶点坐标为 -12 ,11 4 . 当-2≤n<-12 时,最大值与最小值 的差为5-(n2+n+3)=94 ,解得 n1=n2=- 1 2 (均不合题意,舍去); 当-12≤n≤1 时,最大值与最小值的 差为5-114= 9 4 ,符合题意; 当n>1时,最大值与最小值的差为 n2+n+3-114= 9 4 ,解得 n3=1, n4=-2(均不合题意,舍去). 综上所述,n 的取值范围是-12≤ n≤1. [跟踪训练] 3. (1) 由题意,得 4×1×4-(-2k)2 4×1 =-5. ∴ 4-k2=-5. ∴ k=±3. ∵ 该函数图像的对称轴在y轴的左侧, ∴ --2k2 <0. ∴ k<0. ∴ k=-3. ∴ 该二次函数的表达式为y=x2+ 6x+4. (2) ∵ x1-x2=2, ∴ x2=x1-2. ∵ 点A、B在该函数的图像上, ∴ y1=x21+6x1+4,y2=(x1- 2)2+6(x1-2)+4=x21+2x1-4. ∵ y1>y2, ∴ x21+6x1+4>x21+2x1-4. ∴ x1>-2. ∴ x1的取值范围是x1>-2. 典例4 (1) 该二次函数图像与x轴 交点的个数为1或2. 理由:∵ b2-4ac=(2+3m)2-4m× 6=9m2-12m+4=(3m-2)2, ∴ 当m=23 ,即b2-4ac=0时,该二 次函数图像与x 轴有1个交点;当 m≠ 2 3 ,即b2-4ac>0时,该二次函 数图像与x轴有2个交点. (2) (0,6);(3,0). [解析] ∵ y= mx2-(2+3m)x+6,∴ (x2- 3x)m=2x+y-6.∵ m≠0,∴ 令 x2-3x=0, 2x+y-6=0, 解 得 x=0 , y=6 或 x=3, y=0. ∴ 无论m 为何值,该二次函 数的图像都会经过定点(0,6)和 (3,0). (3) 在y=mx2-(2+3m)x+6中, 令y=0,得x=3或x= 2 m. ∴ 该二次函数的图像与x轴的交点 坐标为(3,0)、2m ,0 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 81