8.4 抽签方法合理吗-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

106 8.4　抽签方法合理吗 ▶ “答案与解析”见P64 1. 淘气和笑笑玩游戏,下列四种游戏规则中,不 公平的是 ( ) A. 掷骰子,奇数淘气先走,偶数笑笑先走 B. “剪刀、石头、布”,赢方先走,输方后走,相 同重来 C. 抛硬币,正面朝上淘气先走,反面朝上笑 笑先走 D. 掷骰子,点数比3大淘气先走,点数比3 小笑笑先走 2. (易错题)(2024·济南一模)一只不透明的口 袋中装有10个球,且它们除颜色外其他都相 同,其中白球有x个,绿球有2x个,其余为 黑球.甲从口袋中任意摸出一个球,若为绿 球,则甲获胜;甲将摸出的球放回口袋中并摇 匀,乙从口袋中摸出一个球,若为黑球,则乙 获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则x的值 应是 ( ) A. 3 B. 4 C. 1 D. 2 3. 小兰和小青两人玩游戏,有一个质量分布均 匀的六面体骰子,骰子的六面分别标有1、2、 3、4、5、6.若掷出的骰子的点数是偶数,则小 兰赢;若掷出的骰子的点数是3的倍数,则小 青赢.游戏规则对 (填“小兰”或“小 青”)有利. 4. 聪聪和明明用2、3、4三张数字卡片做游戏, 如果摆出的三位数是偶数,那么聪聪赢;否则 明明赢.这个游戏规则 (填“公平”或 “不公平”). 5. 小明和小乐两人在玩转盘游戏,他们准备了 如图所示的甲、乙两个可以自由转动的转盘, 每个转盘被分成面积相等的三个扇形,并在 每个扇形内标上数.游戏规则如下:同时转动 两个转盘,当转盘停止后,若指针所指区域得 到的两个数之和大于1,则小明获胜;否则小 乐获胜.若指针恰好停在分割线上,则重新转 动一次,直到指针指向某一扇形区域为止. (1) 若转动转盘甲,则转盘指针指向的数是 正数的概率为 . (2) 请用列表或画树状图的方法,判断该游 戏规则对双方是否公平,并说明理由. (第5题) 6. 如图,下列四种确定甲、乙两支足球队谁先开 球的方式中,公平的有 ( ) (第6题) A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 107 7. 若一个三位数的十位上的数字比其 个位上的数字和百位上的数字都 大,则称这个数为“伞数”.现从1、2、 3、4这4个数字中任取3个数字,组成无重复 数字的三位数.甲、乙两人玩游戏,规则如下: 若组成的三位数是“伞数”,则甲胜;否则乙 胜.这个游戏 (填“公平”或“不 公平”). 8. 小聪和小明玩“石头、剪刀、布”的游戏,随机 出手一次是平局的概率为 . 9. 将两张形状完全相同的图片(背面相同,正面 不同)全部从中间剪断,再把四张形状相同的 小图片背面朝上混合在一起,从四张小图片 中随机摸取两张,则这两张小图片恰好能合 成一张完整图片的概率是 . 10. (新情境)小颖和小刚做摸纸牌游戏.如图, 有两组相同的纸牌,每组两张,第一组牌面 数字分别是2和3,第二组牌面数字分别是 5和6.将两组牌背面朝上洗匀后从每组牌 中各摸出一张,称为一次游戏.当摸到两张 牌的牌面数字之积能被3整除,则小颖胜, 否则小刚胜.这是一个对参与双方公平的游 戏吗? 请借助列表或画树状图的方法说明 理由. (第10题) 11. “ 抢30” 游戏的规则如下:第一个人 先说“1”或“1、2”,第二个人要接着 按顺序往下说一个或两个数,然后 又轮到第一个人,接着按顺序往下说一个或 两个数,这样两人反复按顺序往下说,每次 每人说一个或两个数都可以,但是不可以连 说三个数,谁先抢到“30”谁获胜.如果采取 适当策略,那么一定能取胜的是 ( ) A. 先报数者 B. 后报数者 C. 两者都有可能 D. 很难预料 12. ★一只不透明的布袋里装有4个标有数字 1、2、3、4的小球,它们的形状、大小完全相 同.小明从布袋里随机摸出1个小球,记下 数字为x,小红在剩下的3个小球中随机摸 出1个小球,记下数字为y,这样就确定了 点Q的坐标为(x,y). (1) 请用画树状图或列表的方法写出所有 点Q可能的坐标. (2) 求点Q(x,y)在函数y=-x+5的图 像上的概率. (3) 小明和小红做一个游戏,规则如下:若 满足xy>6,则小明胜;若满足xy<6,则小 红胜.这个游戏公平吗? 若不公平,请写出 一个公平的游戏规则. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第8章　统计和概率的简单应用 指标. 8. (1) 当身高不小于160cm时,由题 表,易知y 与x 之间满足一次函数 关系. 设y与x之间的函数表达式为y= kx+b(k≠0). 由 题 意,得 160k+b=54, 170k+b=63, 解 得 k=0.9, b=-90. ∴ y与x之间的函数表达式为y= 0.9x-90(x≥160). (2) 当x=163时,y=0.9×163- 90=56.7. ∴ 这个人的标准体重为56.7kg. (3) ∵ 55÷(1+10%)=50(kg),55÷ (1-10%)=5509 (kg), ∴ 当y=50时,x-105=50,解得 x=155;当y= 550 9 时,0.9x-90= 550 9 ,解得x=1677381≈168. ∴ 这个人的身高范围约是155~ 168cm. 用统计方法解决实际问题 用统计方法处理实际问题中 变量间相互关系的过程一般如下: 首先,用简单随机抽样的方法抽取 样本;其次,处理样本数据,建立数 学模型,即分别以两个变量为横坐 标和纵坐标,在平面直角坐标系内 分别描出散点图,用一条直线(或曲 线)近似地表示变量的变化趋势,并 用函数表达式近似地表示两个变量 之间的相互关系;最后,根据建立的 数学模型进行估计、预测. 8.4　抽签方法合理吗 1. D 2. D 3. 小兰 4. 不公平 5. (1) 2 3. (2) 不公平. 理由:画树状图如图所示. 由树状图,可知共有9种等可能的结 果,其中两个数之和大于1的结果有 4种. ∴ 小明获胜的概率为4 9 ,则小乐获胜 的概率为5 9. ∵ 5 9≠ 4 9 , ∴ 游戏规则对双方是不公平的. (第5题) 6. C 7. 不公平 [解析] 组成的无重复数 字的三位数共有24个,分别为123、 124、132、134、142、143、213、214、231、 234、241、243、312、314、321、324、341、 342、412、413、421、423、431、432,其中 是“伞数”的有132、142、143、231、 241、243、341、342,共8个.∴ P(甲 胜)=824= 1 3 ,P(乙胜)=24-824 = 2 3.∵ 1 3 ≠ 2 3 ,∴ P(甲胜)≠P(乙 胜).∴ 这个游戏不公平. 8. 1 3 [解析] 小聪和小明玩“石头、 剪刀、布”的游戏,结果如下表所示: 小聪 小明 石头 剪刀 布 石 头 (石头, 石头) (石头, 剪刀) (石头, 布) 剪 刀 (剪刀, 石头) (剪刀, 剪刀) (剪刀, 布) 布 (布, 石头) (布, 剪刀) (布,布) 由表可知共有9种等可能的结果,其 中随机出手一次是平局的结果有 3种.∴ 随机出手一次是平局的概率 为3 9= 1 3. 9. 1 3 [解析] 四张形状相同的小图 片分别记为A、a、B、b,其中A和a合 成一张完整图片,B和b合成一张完 整图片.画树状图如图所示.由树状 图,可知共有12种等可能的结果,其 中两张小图片恰好能合成一张完整图 片的结果有4种.∴ 两张小图片恰好 能合成一张完整图片的概率为 4 12= 1 3. (第9题) 10. 这不是一个对参与双方公平的 游戏. 理由:画树状图如图所示. 由树状图,可知共有4种等可能的结 果,其中摸到两张牌的牌面数字之积 能被3整除的结果有3种,摸到两张 牌的牌面数字之积不能被3整除的结 果有1种, ∴ P(小颖胜)=34 ,P(小刚胜)=14. ∵ 3 4≠ 1 4 , ∴ 这不是一个对参与双方公平的游戏. (第10题) 11. B 12. (1) 画树状图如图所示. 所有点Q 可能的坐标为(1,2)、(1, 3)、(1,4)、(2,1)、(2,3)、(2,4)、(3, 1)、(3,2)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3). (2) 由树状图,可知共有12种等可能 的结果,其中点 Q(x,y)在函数 y=-x+5的图像上的结果有(1,4)、 (2,3)、(3,2)、(4,1),共4种. ∴ 点Q(x,y)在函数y=-x+5的 图像上的概率为4 12= 1 3. (3) ∵ 满足xy>6的有(2,4)、(3, 4)、(4,2)、(4,3),共4种结果,满足 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 46 xy<6的有(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2, 1)、(3,1)、(4,1),共6种结果, ∴ P(小明胜)=412= 1 3 ,P(小红 胜)=612= 1 2. ∵ P(小明胜)≠P(小红胜), ∴ 这个游戏不公平. 公平的游戏规则不唯一,如若满足 xy≥6,则小明胜;若满足xy<6,则 小红胜. (第12题) 判断游戏公平性的问题 这类判断游戏规则是否公平 的问题的实质,就是判断不同事件 发生的概率是否相等.因此,解答 时,可以用画树状图或列表的方法 列出所有可能的结果,进而求得不 同事件发生的概率,从而判断这些 概率是否相等.若概率不相等,要使 游戏具有公平性,则根据所得结果, 改变游戏规则使得概率相等即可. 8.5　概率帮你做估计 1. B 2. B 3. 100 4. 24 5. (1) 3 4. (2) 由题意,得3+x 4+x=0.95 ,解得 x=16. 经检验,x=16是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ 估计x的值是16. 6. A 7. A 8. 350 [解析] 设播种这块试验田时 共播撒麦种x 千克.根据题意,得 10000 350x×95%×90%=8550 ,解得 x=350.∴ 播种这块试验田时共播撒 麦种350千克. 9. 88200 [解析] 设鱼塘中共有m条 鱼.根据题意,得150m = 3 200 ,解得m= 10000.经检验,m=10000是原分式 方程的解,且符合题意.∴ 10000× 2.1×4.2=88200(元).∴ 估计李伯 伯今年将鱼全部卖完可获得88200元. 10. (1) 0.9. (2) ① 估计这批花卉成活的株数为 20000×0.9=18000. ② 大约还需要移植90000÷0.9- 20000=80000(株). 11. (1) 0.5. (2) 20. (3) 设小明后来放进了x个黑球. 由题意,得 20+x 40+x=0.6 ,解得x=10. 经检验,x=10是原分式方程的解,且 符合题意. ∴ 小明后来放进了10个黑球. 8.6　收取多少保险费 才合理 1. D 2. C 3. 1 5 4.2 5. (1) 1 4. (2) 画树状图如图所示(单位:元). 由树状图,可知共有12种等可能的结 果,其中所获奖品的总价值不低于 30元的结果有4种. ∴ P(所获奖品的总价值不低于 30元)=412= 1 3. (第5题) 6. C 7. ③ [解析] ∵ 下周一降雨的概率 是80%,说明降雨的可能性是80%, 而不是时间,∴ 说法①错误.∵ 彩票 中奖的概率是1%,是指每次中奖的 可能性是1%,和买多少张彩票无关, ∴ 说法②错误.∵ 骰子向上一面的 点数共有6种情况,其中奇数有3种 情况,∴ 概率为0.5.∵ 进行大量重 复试验时,频率接近概率,∴ 平均每 抛2次就有1次向上一面的点数为奇 数.∴ 说法③正确.综上所述,正确的 是③. 8. 1800 9. (1) 设该运动员在去年的比赛中 平均每场投中x个3分球. ∴ x 0.25= 12 1-0.25 ,解得x=4. ∴ 4×40=160(个). ∴ 该运动员在去年的比赛中共投中 160个3分球. (2) 小亮的说法不正确. 理由:虽然20×0.25=5(个),但是某 一场比赛的命中情况不能用这个平均 命中率来衡量, ∴ 该运动员在这场比赛中不一定投 中了5个3分球(言之有理即可). 用频率估计概率进行决策 一般地,如果随机事件A发生 的概率是P(A),那么在相同条件 下进行n次重复试验,事件A发生 的次数的平均值为n×P(A).其 中,需注意:试验的次数需足够大; n×P(A)是事件A 发生的次数的 平均值.因此,某一场比赛的命中情 况不能用这个平均命中率来衡量. 10. (1) ∵ 转盘被平均分为20份,转 动一次转盘获得购物券的结果有 10种, ∴ P(转动一次转盘获得购物券)= 10 20= 1 2. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 56