6.1 图上距离与实际距离-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（苏科版）

32 6.1　图上距离与实际距离 ▶ “答案与解析”见P20 1. (2023·常州期中)下列四组线段中,是成比 例线段的为 ( ) A. a=4,b=3,c=5,d=3 B. a=1,b=2,c=3,d=4 C. a=2,b=3,c=2,d=3 D. a=2,b=5,c=23,d= 15 2. 已知m n= 2 3 ,则下列式子中,正确的是 ( ) A. m-n n = 1 3 B. m+2 n+3= 2 3 C. m 2n= 4 3 D. 3n=2m 3. (2024·溧阳期末)在比例尺为1∶5000的地 图上,量得甲、乙两地之间的距离为25cm,则 甲、乙两地之间的实际距离是 km. 4. (1) 已知a、b、c、d是成比例线段,其中a= 3cm,b=2cm,d=4cm,则c= cm. (2) 已知线段c是线段a、b的比例中项,且 线段a、b的长分别为2cm和8cm,则线段c 的长为 cm. 5. 设a、b、c是△ABC 的三条边长,且a-bb = b-c c = c-a a ,判断△ABC 的形状,并说明 理由. 6. 如果a∶b=12∶8,且b是a和c的比例中 项,那么b∶c等于 ( ) A. 4∶3 B. 3∶2 C. 2∶3 D. 3∶4 7. 若2x=3y=4z≠0,则x∶y∶z等于( ) A. 2∶3∶4 B. 4∶3∶2 C. 7∶6∶5 D. 6∶4∶3 (第8题) 8. 如图,在矩形ABCD 中截取正 方形ABMN.若MN 是BC 和 CM 的比例中项,且CM=3- 5,则AD的长为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若x 2= y 3= z 4≠0 ,则xy+yz xz 的值是 . 10. (学科内综合)已知b+c a = a+c b = a+b c = k(k≠0),则函数y=kx+k的图像必经过 第 象限. (第11题) 11. (易错题)如图,在 △ABC 中, AB =AC,ABBC = AD DC ,BD 将 △ABC的周长分为30和15两部 分,则AB的长为 . 12. (1) 若x 3= y 5= z 7≠0 ,求x-y+z x+y-z 的值. (2) 若a+2 3 = b 4= c+5 6 ≠0 ,且2a-b+ 3c=21,求a∶b∶c. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)九年级下 第6章　图形的相似 33 13. 已知△ABC三边a、b、c满足(a- c)∶(a+b)∶(c-b)=-2∶7∶ 1,且a+b+c=24. (1) 求a、b、c的值. (2) 判断△ABC的形状. 14. (2024·常州)书画装裱是指为书画配上衬 纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有 民族传统的一门特殊艺术.如图,一幅书画 在装裱前的大小是1.2m×0.8m,装裱后, 上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、 cm、dm.若装裱后AB∶AD=8∶5,且 a=b,c=d,c=2a,求四周边衬的宽度. (第14题) 15. ★如果实数 m ≠n,且8 m+ n8n+m = m+1 n+1 ,那么m+n的值为 ( ) A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 16. 如图,AC 是正方形ABCD 的对角线, BE1⊥AC 于点E1,E1F1⊥AB 于点F1, F1E2⊥AC 于点E2,E2F2⊥AB 于点F2, F2E3⊥AC于点E3. (1) 求AE3∶AB的值. (2) 作E3F3⊥AB 于点F3,F3E4⊥AC于 点E4,…,Fn-1En⊥AC于点En(n为正整 数),求AEn∶AB的值. (第16题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第6章　图形的相似 y=-10x+740(44≤x≤52). (2) 由题意,得w=(-10x+740)(x- 40)=-10x2+1140x-29600= -10(x-57)2+2890. ∵ -10<0, ∴ 当x<57时,w随x增大而增大. ∵ 44≤x≤52, ∴ 当x=52时,w 取得最大值,最大 值为-10×(52-57)2+2890= 2640. ∴ 当该款纪念品的销售单价定为 52元时,商家每天销售该款纪念品获 得的利润最大,最大利润是2640元. (3) ∵ 捐款后每天的剩余利润不低 于2200元, ∴ w-200≥2200,即-10(x- 57)2+2890-200≥2200. 令-10(x-57)2+2890-200= 2200,解得x=50或x=64. ∵ -10<0,44≤x≤52, ∴ 根据二次函数的图像(图略),可知 50≤x≤52. ∴ x的取值范围是50≤x≤52. 7. (1) ∵ 抛物线y=x2+bx+c与 x轴相交于点A(-1,0)、B(2,0), ∴ 1-b+c=0, 4+2b+c=0, 解得b=-1 , c=-2. ∴ 抛物线对应的函数表达式为y= x2-x-2. (2) ∵ PQ⊥x轴, ∴ ∠PQA=90°. ∵ △APQ是等腰直角三角形, ∴ AQ=PQ. ∵ 点P在抛物线y=x2-x-2上, ∴ 设P(m,m2-m-2)(m≠-1且 m≠2),则Q(m,0). ∴ AQ=|m-(-1)|=|m+1|, PQ=|m2-m-2|. ∴ |m+1|=|m2-m-2|. ∴ m+1=m2-m-2或m+1= -(m2-m-2),即m2-2m-3=0 或m2=1. 当m2-2m-3=0时,解得m=3或 m=-1(不合题意,舍去),此时P(3,4); 当m2=1时,解得m=1或m=-1 (不合题意,舍去),此时P(1,-2). 综上所述,点P 的坐标为(3,4)或 (1,-2). 第6章　图形的相似 6.1　图上距离与实际距离 1. D 2. B 3. 1.25 4. (1) 6 (2) 4 5. △ABC为等边三角形. 理由:∵ a、b、c 是△ABC 的三条 边长, ∴ a+b+c≠0. 设a-b b = b-c c = c-a a =k. ∴ a-b=bk,b-c=ck,c-a=ak. ∴ (a-b)+(b-c)+(c-a)=(a+ b+c)k=0. ∴ k=0. ∴ a-b=0,b-c=0,c-a=0. ∴ a=b=c. ∴ △ABC为等边三角形. 6. B [解析] ∵ a∶b=12∶8,b是a 和c的比例中项,即a∶b=b∶c, ∴ b∶c=12∶8=3∶2. 7. D [解析] 设2x=3y=4z=12k (k≠0),则x=6k,y=4k,z=3k. ∴ x∶y∶z=6∶4∶3. 8. B [解析] ∵ 四边形ABMN 为 正方形,∴ MN=BM=BC-CM. ∵ MN 是BC 和CM 的比例中项, ∴ BC∶MN=MN∶CM.∴ MN2= BC·CM.∴ (BC-CM)2=BC· CM,即BC2-3BC·CM+CM2=0. 设 BC=AD =x(x>3- 5). ∵ CM=3- 5,∴ x2-3×(3- 5)x+(3- 5)2=0,解得x1=7- 35,x2=2.∵ x>3- 5,∴ x=2. ∴ AD的长为2. 9. 9 4 [解析] ∵ x 2= y 3= z 4≠0 , ∴ 设x 2= y 3= z 4=k (k≠0).∴ x= 2k,y=3k,z=4k.∴ xy+yz xz = xy xz+ yz xz= y z + y x = 3k 4k+ 3k 2k= 3 4 + 3 2= 9 4. 10. 二、三 [解析] 由题意,可得b+ c=ak,a+c=bk,a+b=ck. ∴ 2(a+b+c)=k(a+b+c).当a+ b+c≠0时,k=2,此时函数的表达式 为y=2x+2,其图像经过第一、二、三 象限.当a+b+c=0时,b+c=-a, ∴ k=-1,此时函数的表达式为 y=-x-1,其图像经过第二、三、四 象限.综上所述,函数y=kx+k的图 像必经过第二、三象限. 11. 18 [解析] 分两种情况讨论: ① 当AB+AD=30时,由ABBC= AD DC , 易得AB+AD BC+DC = AD DC= 30 15= 2 1. 设 AD=2k(k>0),则DC=k,AB= AC=3k,AB+AD=5k.又∵ AB+ AD=30,∴ 5k=30,解得k=6. ∴ AB=AC=3×6=18.∴ BC= 30+15-18×2=9,符合题意.② 当 AB+AD=15时,由ABBC= AD DC ,易得 AB+AD BC+DC = AD DC = 1 2. 设 AD = m(m>0),则DC=2m,AB=AC= 3m,AB+AD=4m.又∵ AB+AD= 15,∴ 4m =15,解 得 m = 154. ∴ AB=AC=3×154= 45 4.∴ BC= 30-2×154= 45 2.∵ AB+AC=BC, ∴ 不符合三角形的三边关系.综上所 述,AB的长为18. 12. (1) 设x 3= y 5= z 7=k (k≠0). ∴ x=3k,y=5k,z=7k. ∴ x-y+z x+y-z= 3k-5k+7k 3k+5k-7k= 5k k=5. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 02 (2) 设a+2 3 = b 4= c+5 6 =k (k≠0). ∴ a=3k-2,b=4k,c=6k-5. ∴ 2(3k-2)-4k+3(6k-5)=21,解 得k=2. ∴ a=4,b=8,c=7. ∴ a∶b∶c=4∶8∶7. 13. (1) 设a-c=-2k,a+b=7k, c-b=k(k≠0). ∴ a=7k-b,c=k+b. ∴ a-c=7k-b-k-b=6k- 2b=-2k. ∴ 8k-2b=0. ∵ a+b+c=24, ∴ 7k-b+b+k+b=24. ∴ 8k+b=24. 又∵ 8k-2b=0, ∴ k=2,b=8. ∴ a=6,c=10. (2) ∵ a2+b2 =62 +82 =100= 102=c2, ∴ △ABC是直角三角形. 14. 由题意,得AB=(1.2+c+d)m, AD=(0.8+a+b)m. ∵ a=b,c=d,c=2a, ∴ AB=(1.2+4a)m,AD=(0.8+ 2a)m. ∵ AB∶AD=8∶5, ∴ (1.2+4a)∶(0.8+2a)=8∶5. ∴ a=0.1. 经检验,a=0.1是原方程的解,且符 合题意. ∴ b=0.1,c=d=0.2. ∴ 上、下、左、右边衬的宽度分别是 0.1m、0.1m、0.2m、0.2m. 15. A [解析] 根据比例的性质,由 原式,易得 (8m+n)+(8n+m) (8m+n)-(8n+m)= (m+1)+(n+1) (m+1)-(n+1). 整理,得 9(m+n) 7(m-n)= m+n+2 m-n .∵ m ≠n, ∴ 9(m+n) 7 =m+n+2.∴ 2(m+ n)=14,即m+n=7. 运用比例的性质解决问题 比例的基本性质是如果a b = c d ,那么ad=bc;同样,我们还可 以得到如果a b= c d ,那么a b +1= c d+1 ,即a+b b = c+d d ;同样,还可 以得到如果a b= c d ,那么a b -1= c d-1 ,即a-b b = c-d d ;进而可得 如果a b= c d ,那么a+b a-b= c+d c-d. 运 用这类性质可以对所给比例等式进 行进一步变形,求得问题的结果. 16. (1) ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AB=BC,∠ABC=90°. ∵ AC 是正方形ABCD 的对角线, BE1⊥AC, ∴ BE1=AE1= 1 2AC. 设AB=BC=a(a>0). 在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= AB2+BC2= a2+a2=2a. ∴ BE1= 2 2a. 由题意,易得△AE1B 和△AE1F1 均 为等腰直角三角形. ∵ E1F1⊥AB,F1E2⊥AC, ∴ 易得AF1=BF1,AE2=E1E2. ∴ F1E2= 1 2BE1= 1 2× 2 2a= 2 4a. 同理,可得F2E3= 1 2F1E2= 1 2× 2 4a= 2 8a. 由题意,易得△AF2E3为等腰直角三 角形. ∴ AE3=F2E3= 2 8a. ∴ AE3∶AB= 2 8a a = 2 8. (2) 由(1),知AE1=BE1= 2 2a , AE2=F1E2= 2 4a= 2 22a ,AE3= F2E3= 2 8a= 2 23a ,…,以此类推, AEn= 2 2na. ∴ AEn∶AB= 2 2na a = 2 2n. 6.2　黄金分割 1. C 2. D 3. (95-9)cm 4. (905-180)cm 5. 设正方形ABCD的边长为2a(a>0). ∵ E为BC的中点, ∴ BE=12BC=a. ∴ 在Rt△ABE 中,由勾股定理,得 AE= AB2+BE2= (2a)2+a2= 5a. ∵ B'E=BE=a, ∴ AB'=AE-B'E=(5-1)a. ∴ AB″=AB'=(5-1)a. ∴ AB″∶AB=(5-1)∶2. ∴ B″是线段AB 的黄金分割点 (AB″>BB″). 6. A [解析] ∵ ∠A=36°,AB= AC,∴ ∠ABC=∠C=12 (180°- ∠A)=72°.∵ BD 平分 ∠ABC, ∴ ∠DBC = 12 ∠ABC = 36°. ∴ ∠BDC=180°-∠DBC-∠C= 72°.∴ ∠C=∠BDC=72°.∴ BC= BD.∴ △BDC 是“黄金三角形”. ∴ CD BC= 5-1 2 .∵ BC=2,∴ CD= 5-1. 7. C [解析] 设AB=a(a>0). 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 12