第27章 专题特训(七) 相似三角形中的类比探究、新定义问题-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

44 　专题特训（七）　相似三角形中的类比探究、 新定义问题 ▶ “答案与解析”见P29 类型一 相似三角形的类比探究 1. (2024·大连模拟)活动课上,李老师给出如 下问题:如图①,在△ABC中,D 是AB的中 点,E是AC的一个三等分点,且AC=3CE, 连接CD,BE交于点F,求证:CF=DF. (第1题①) ① 小鹏同学利用“三角形中位线的性质”,取 BE的中点G,连接DG,再通过“全等三角形 的性质”解决问题. ② 小亮同学利用“三角形相似的性质”,过点 C作CG∥AB,交BE 的延长线于点G,再通 过“全等三角形的性质”解决问题. (1) 请你选择一种解题思路,写出证明过程. (2) 李老师发现两名同学都运用了转化思 想,将线段的关系转化为角度去理解.李老师 又提出了一个问题:如图②,在△ABC中,D 是AB的中点,E,G是AC的三等分点,BG, BE与CD分别交于点H,F,求HD∶HF. (第1题②) (3) 如图③,在△ABC中,AC=BC,在射线 AB上取点D,使BD=2AB,连接CD,在 CD上取点E,射线EB,CA 相交于点F.当 EB=ED时,求BE∶BF. (第1题③) 类型二 相似三角形的新定义 2. (2024·运城一模)如图①,在四边形ABCD 的边AB 上取一点E(点E 不与点A,B 重 合),分别连接 ED,EC,可以把四边形 ABCD 分成三个三角形,如果其中有两个三 角形相似,那么我们把E叫做四边形ABCD 的边AB上的“相似点”;如果这三个三角形 都相似,那么我们把E叫做四边形ABCD 的 边AB上的“强相似点”. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 45 (1) 如图②,在四边形ABCD 中,∠A= ∠B=∠DEC. ① 试判断E 是否为四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”,并说明理由. ② 若E为边AB 的中点,求证:E 为四边形 ABCD的边AB上的“强相似点”. (2) 如图③,将矩形ABCD沿CM 折叠,使点 D落在边AB上的点E处.若E恰好是四边 形ABCM 边AB上的一个“强相似点”,试探 究线段AB与BC之间的数量关系. (第2题) 3. (2024·哈尔滨一模)定义:P 是 △ABC 内部或边上的点(顶点除 外),在△PBC,△PAB 或△PCA 中,如果有一个三角形与△ABC 相似,那么 称P是△ABC的“相似点”. (1) 如图①,在△ABC中,AB=AC,∠A= 36°,P 是AB 上一点,CP 平分∠ACB,求 证:P为△ABC的“相似点”. (2) 如图②,△ABC 为锐角三角形,E 是 △ABC的“相似点”,且点B与点A 对应,点 E 在∠ABC 的平分线BF 上,连接CE.若 BC AC= 3 5 ,求BF AB 的值. (3) 如图③,在菱形ABCD中,E是AB上一 点,F是△ABC内一点,且AC=4EF,连接 DE与AC交于点G,连接DF,GF.若G 是 △DEF的“相似点”,且∠EDF=∠BAC= ∠FGC,求证:DE=2EF. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 [解析] ∵ y=- 1 2x 2+x+4= -12 (x-1)2+92 ,∴ 抛物线的对称 轴为直线x=1,则点D 的坐标为(1, 0).又∵ 点E的坐标为(0,1),且点E 与点F关于直线x=1对称,∴ 点F 的坐标为(2,1).如图,作直线DE 和 DF,与抛物线分别交于点P,P'和点 Q,Q',连接PQ,P'Q'.设直线DE 对 应的函数解析式为y=kx+b.将D (1,0),E(0,1)代入,得 k+b=0, b=1, 解 得 k=-1, b=1. ∴ 直线DE 对应的函数 解析 式 为 y = -x +1.联 立 y=-x+1, y=- 1 2x 2+x+4, 解 得 x1=2- 10, y1=-1+ 10, x2=2+ 10 , y2=-1- 10. ∴ 点P 的坐标为(2- 10,-1+ 10),点P'的坐标为(2+ 10, -1- 10).同理可得,点Q 的坐标 为( 10,-1+ 10),点Q'的坐标 为(- 10,-1- 10).∴ PQ∥ x轴,P'Q'∥x 轴.又∵ EF∥x 轴, ∴ EF∥PQ∥P'Q'.∴ △DEF∽ △DPQ,△DEF ∽ △DP'Q',即 △DPQ和△DP'Q'都是△DEF以点 D为位似中心的位似图形.∵ PQ EF= 10-(2- 10) 2 = 10 - 1 , P'Q' EF = 2+ 10-(- 10) 2 = 10+ 1,∴ △DPQ 与△DEF 的相似比的 值为 10-1或 10+1. (第8题) 9. (1) ∵ 抛物线的对称轴为直线 x=2, ∴ - b 2×15 =2,解得b=-45. ∵ 抛物线与x轴交于点A(1,0), ∴ 1 5- 4 5+c=0 ,解得c=35. ∴ 抛物线对应的函数解析式为y= 1 5x 2-45x+ 3 5. (2) 存在. ∵ 抛物线y= 1 5x 2-45x+ 3 5 与 x轴交于点A(1,0)和点B,对称轴为 直线x=2, ∴ 点B的坐标为(3,0). ∴ OA=1,OB=3. ∵ △OAC与△OBD 位似,且位似中 心为点O, ∴ △OAC 与 △OBD 的相似比为 1∶3. ∵ 点C在抛物线的对称轴上, ∴ 点C的横坐标为2. ∴ 点D的横坐标为6. ∴ 点D 的纵坐标为 1 5×6 2-45× 6+35=3. ∴ 点D的坐标为(6,3). 10. (1) ∵ 一次函数y=kx+b与 y=-2x+4是“平行一次函数”, ∴ k=-2. ∵ 函数的图象过点(3,1), ∴ 把(3,1)代入y=-2x+b,得 -2×3+b=1. ∴ b=7. (2) 由题意,得函数y=-2x+b的图 象为如图所示的直线A1B1或A2B2. ∵ 相似比为1 2 ,A(2,0), ∴ A1(1,0),A2(-1,0). 将A1(1,0)代入y=-2x+b,得b= 2;将A2(-1,0)代入y=-2x+b,得 b=-2. ∴ 函数y=kx+b的解析式为y= -2x+2或y=-2x-2. (第10题) 专题特训（七）　相似三角形 中的类比探究、新定义问题 1. (1) 选择小鹏同学的解题思路. 如图①,取BE的中点G,连接DG. ∵ D是AB的中点, ∴ DG是△ABE的中位线. ∴ DG∥AE,AE=2DG. ∴ ∠ECF=∠GDF,∠CEF=∠DGF. ∵ AC=3CE, ∴ AE=2CE. ∴ CE=DG. ∴ △CFE≌△DFG. ∴ CF=DF. 选择小亮同学的解题思路. 如图②,过点C作CG∥AB,交BE的 延长线于点G. ∴ ∠CGE=∠ABE,∠GCE=∠BAE. ∴ △CGE∽△ABE. ∴ CG AB= CE AE. ∵ AC=3CE, ∴ AE=2CE. ∴ AB=2CG. ∵ D是AB的中点, ∴ AB=2BD. ∴ CG=BD. 又 ∵ ∠CFG = ∠DFB,∠CGF = ∠DBF, ∴ △CGF≌△DBF. ∴ CF=DF. (2) 如图③,连接GD. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 92 ∵ E,G是AC的三等分点, ∴ CE=EG=AG. 由(1),可知CF=DF. ∴ EF是△CGD的中位线. ∴ EF∶GD=1∶2. ∵ D是AB的中点, ∴ AD=BD. ∴ DG是△ABE 的中位线. ∴ DG∥BE,DG∶BE=1∶2. ∴ ∠DGH = ∠FBH,∠GDH = ∠BFH,DG∶FB=2∶3. ∴ △DGH∽△FBH. ∴ HD∶HF=DG∶FB=2∶3. (3) 如图④,过点C作CG⊥AB于点 G,过点E作EH⊥BD 于点H,过点 F作FM⊥DA,交DA 的延长线于 点M. ∵ AC=BC,EB=ED, ∴ AG=BG,BH=HD. 设AG=BG=x. ∵ BD=2AB, ∴ BH=HD=2x. ∴ DH∶DG=2∶5. ∵ CG⊥AB,EH⊥BD, ∴ ∠CGD=∠EHD=90°. 又∵ ∠D=∠D, ∴ △CGD∽△EHD. ∴ EH∶CG=DH∶DG=2∶5. 设EH=2m,则CG=5m. ∵ FM⊥BA, ∴ ∠FMB=∠EHB=90°. 又∵ ∠FBM=∠EBH, ∴ △FMB∽△EHB. ∴ MF HE= MB HB. 设MA=y. ∴ MF 2m= 2x+y 2x . ∴ MF=2mx+myx . ∵ ∠FMA=∠CGA=90°,∠MAF= ∠GAC, ∴ △MAF∽△GAC. ∴ MF GC= AM AG. ∴ MF 5m= y x. ∴ MF=5myx . ∴ 2mx+my x = 5my x . ∴ x=2y. ∴ BH=4y,BM=5y. 又∵ △FMB∽△EHB, ∴ BE∶BF=BH∶BM. ∴ BE∶BF=4∶5. (第1题) 2. (1) ① E 是四边形ABCD 的边 AB上的“相似点”. 理由:设∠A=∠B=∠DEC=α,则 ∠ADE + ∠DEA = 180° - α, ∠BEC+∠DEA=180°-α. ∴ ∠ADE=∠BEC. 又∵ ∠A=∠B, ∴ △ADE∽△BEC. ∴ E是四边形ABCD 的边AB 上的 “相似点”. ② 由①,得△ADE∽△BEC. ∴ AE BC= DE EC. ∵ E为AB的中点, ∴ AE=BE. ∴ BE BC= DE EC. ∴ BE DE= BC EC. 又∵ ∠B=∠DEC, ∴ △BEC∽△EDC. ∴ △ADE∽△BEC∽△EDC. ∴ E为四边形ABCD 的边AB 上的 “强相似点”. (2) 由折叠的性质和矩形的性质,得 ∠MEC=∠D=90°=∠A=∠B= ∠BCD,∠DCM = ∠ECM,EC = DC=AB. ∵ E 恰好是四边形ABCM 的边AB 上的一个“强相似点”, ∴ △AME∽△BEC∽△EMC. ∴ ∠BCE = ∠ECM = ∠DCM = 1 3∠BCD=30°. ∴ BE= 12EC= 1 2CD= 1 2AB , BE BC= 3 3. ∴ AB BC= 2BE BC = 23 3 . ∴ AB=233BC. 3. (1) ∵ AB=AC,∠A=36°, ∴ ∠B= ∠ACB= 12 × (180°- 36°)=72°. ∵ CP平分∠ACB, ∴ ∠ACP=∠BCP=36°. ∴ ∠BCP=∠A. ∵ ∠B=∠B, ∴ △BCP∽△BAC. ∴ P为△ABC的“相似点”. (2) ∵ E是△ABC的“相似点”,且点 B与点A 对应,点E 在∠ABC 的平 分线上, 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 03 ∴ 易得△BEC∽△ACB. ∴ ∠EBC=∠A. ∵ BF平分∠ABC, ∴ ∠ABF=∠CBF=∠A. ∴ FA=FB. ∵ ∠BCF=∠ACB,∠CBF=∠A, ∴ △CBF∽△CAB. ∴ BF AB= BC AC= 3 5. (3) ∵ G 是△DEF 的“相似点”, ∠GEF=∠FED, ∴ △GEF∽△FED. ∴ ∠EFG=∠EDF. ∵ ∠EDF=∠BAC=∠FGC, ∴ ∠EFG=∠FGC. ∴ AC∥EF. 如图,分别延长EF,DC,交于点H. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB∥DC. ∵ AC∥EF, ∴ 四边形AEHC是平行四边形. ∴ AC=EH,AE=CH,∠EAC= ∠H. ∵ ∠EDF=∠BAC, ∴ ∠EDF=∠H. 又∵ ∠DEF=∠HED, ∴ △EDF∽△EHD. ∴ ED EH= EF ED. ∴ ED2=EF·EH. ∵ EH=AC=4EF, ∴ DE2=4EF2. ∴ DE=2EF. (第3题) 第二十七章复习 ［知识体系构建］ 相等 成比例 三边 夹角 两角 (ka,kb)或(-ka,-kb) ［高频考点突破］ 典例1 475 [解 析] ∵ 菱 形 ABCD 的边长为6,∠BAD=120°, ∴ AD=BC=CD=6,AD∥BC, ∠BCD =120°.∴ ∠DCE =60°. ∵ DE⊥BC,∴ ∠DEC=90°.在 Rt△DCE 中,∵ ∠CDE =90°- ∠DCE=30°,∴ CE= 12CD=3. ∴ 易得DE= 3CE=33.∴ BE= BC + CE = 9.∵ AD ∥BE, ∴ ∠ADE=180°-∠DEC=90°.在 Rt△ADE 中,AE= DE2+AD2= (33)2+62=3 7.∵ AD∥BE, ∴ △AFD∽△EFB.∴ AF EF= AD EB= 6 9= 2 3.∴ AF=25AE= 2 5×37= 67 5 .∵ AD ∥CE,∴ △AGD ∽ △EGC.∴ AG EG = AD EC = 6 3 =2. ∴ AG=23AE= 2 3×37=27. ∴ FG=AG-AF=2 7-675 = 47 5 . [跟踪训练] 1. 25 7 典例2 514cm [解析] 如图,过点 B作BE⊥DE 于点E,则∠BED= 90°.由题意,知BD=17cm,BC= 6cm,BE=8cm,∠C=90°,AB∥ DE,AC∥BD.∴ ∠CAB=∠DBA= ∠BDE.又∵ ∠C=∠BED=90°, ∴ △CAB∽△EDB.∴ AB DB= BC BE. ∴ AB=514cm. (典例2图) [跟踪训练] 2. 延长AE交BF的延 长线于点M. 由题意,易得△FEM∽△DCG, ∴ EF CD= FM DG. ∵ CD=1.6m,DG=2.4m,EF= 2m, ∴ FM=EF ·DG CD =3m. ∴ BM=BF+FM=27m. 由题意,易得△DCG∽△BAM, ∴ CD AB= DG BM. ∴ AB=CD ·BM DG =18m. ∴ 古塔AB的高度为18m. 典例3 1+ 172 [解析] 连接CE, 过点E作EF⊥BC于点F.设BD= x,则 BC =BD +CD =x +2. ∵ ∠ACB=90°,E 为AD 的中点, ∴ CE = AE = DE = 12 AD. ∴ ∠CAE = ∠ACE,∠ECD = ∠EDC.∴ ∠CED = 2 ∠CAD. ∵ BE=BC,∴ ∠ECD=∠BEC. ∴ ∠BEC=∠EDC.∵ ∠ECD= ∠BCE, ∴ △ECD ∽ △BCE. ∴ CE CB = CD CE ,∠CED = ∠CBE. ∴ CE2=CD·BC=2(x+2)=2x+ 4.∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠CAB= 2∠CAD.∴ ∠CAB = ∠CED. ∴ ∠CAB= ∠CBE.∵ ∠ACB = 90°=∠BFE,∴ △ABC∽△BEF. ∴ AC BF= BC EF.∵ CE=DE,EF⊥BC, ∴ CF=DF=12CD=1.∴ BF= x+1.∵ E 为AD 的中点,∴ AC= 2EF.∴ 2EF x+1= x+2 EF .∴ 2EF2= (x+1)(x+2).∵ 在Rt△CEF 中, EF2=CE2-CF2,∴ (x+1)(x+2) 2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13