第27章 相似 复习-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

46 第二十七章复习 ▶ “答案与解析”见P31 考点一 相似三角形的判定与性质 (典例1图) 典例1 (2024·眉山)如图, 四边形ABCD 为菱形,且边 长为6,∠BAD=120°,过点 D作DE⊥BC,交BC的延长 线于点 E,连接 AE,分别 交线段BD,CD 于点F,G,则FG 的长为 . 跟踪训练 1. 如图,在由边长为1的小正方形组成的虚线网 格中,A,B,C,D 为格点(即小正方形的顶 点),AB,CD相交于点P,则PC= . (第1题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 47 考点二 相似的应用 典例2 (2024·益阳三模)如图①所示为从正面 看装了一定量液体的长方体容器得到的图形,将 该容器绕点D向右倾斜后,液面恰好接触到容器 口边缘(如图②),此时液面宽度AB为 . (典例2图) 跟踪训练 2. (2023·商洛模拟)如图,小西和小华决定用 测量影长的方式来求古塔AB的高度,在同一 时刻测量站在古塔旁边的小西CD和古塔AB 的影长时,发现古塔的影子一部分落在地面上 (BF),另一部分落在了距离古塔24m的建筑 物上(EF).经测量,小西落在地面上的影长 DG为2.4m,建筑物上的影长EF 为2m. 已知小西的身高是1.6m,请根据小西和 小华的测量结果,求出古塔AB的高度. (第2题) 考点三 相似与几何图形的综合 典例3 (2024·成都)如图,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,AD是△ABC的一条角平分线,E为 AD的中点,连接BE.若BE=BC,CD=2,则 BD= . (典例3图) 跟踪训练 3. (2024·杭州二模)如图,在菱形ABCD 中, 点G在边CD上,连接AG并延长,交BC的 延长线于点F,连接BD 交AF 于点E,连 接CE. (1) 若BE=BC,∠ABC=80°,请直接写出 ∠DAE的度数. (2) 求证:EC2=EF·EG. (3) 若AB=6,CEEG=3 ,求CF的长. (第3题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 48 1. (2024·绥化)如图,矩形OABC各顶点的坐 标分别为O(0,0),A(3,0),B(3,2),C(0, 2),以原点O 为位似中心,将这个矩形按相 似比1 3 进行缩小,则顶点B 在第一象限对应 点的坐标是 ( ) A. (9,4) B. (4,9) C. 1,32 D. 1,23 (第1题) (第2题) 2. (2023·滁州一模)如图,AB⊥BC,DC⊥ BC,AC与BD 相交于点O,OM⊥BC 于点 M,E是BD的中点,EG⊥BC于点G,交AC 于点F.若AB=4,CD=6,则OM-EF 的 值为 ( ) A. 7 5 B. 12 5 C. 3 5 D. 2 5 3. (2023·晋中模拟)如图,在菱形ABCD 中, AB=10,对角线BD=16,过点C 作CE⊥ AD于点E,CE与BD交于点F,则EF的长 为 . (第3题) (第4题) 4. (2023·盐城一模)如图,在矩形ABCD 中, AB=4,AD=8,点E 在AD 上,且AE∶ ED=1∶3.动点P从点A出发,沿AB运动 到点B停止,连接EP,过点E作EQ⊥EP, 交射线BC于点Q,设O是线段EQ的中点, 则在点P运动的整个过程中,点O的运动路 线长 . 5. (2023·蚌埠一模)如图,在矩形 ABCD中,AB=8,AD=6,E 是对 角线AC 上一动点,连接DE,过点 E作EF⊥DE,交AB于点F,以DE,EF为 邻边作矩形DEFG. (1) 当CE=4时,EF的长为 . (2) 若点H 在DC上,且HD=1,连接HG, 则HG长的最小值是 . (第5题) 6. (2024·成都模拟)如图,四边形ABCD 为 ☉O的内接四边形,∠BCD<90°,连接AC, BD,∠ADB=∠BDC,延长DC 至点E,连 接BE,使BE2=CE·DE. (1) 求证:AC∥BE. (2) 若AB=13,BE=17,∠ABD=45°,求 ☉O的半径与BD的长. (第6题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(人教版)九年级下 49 7. 在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC= 4,D 为边BC 上的一点,过点D 作射线 DE⊥DF,分别交边AB,AC于点E,F. (1) 如图①,当D 为BC 的中点,且DE⊥ AB,DF⊥AC时,DEDF= . (2) 若D为BC的中点,将∠EDF绕点D旋 转到如图②所示的位置时,DEDF= . (3) 如图③,改变点D的位置,且CDBD= a b ,求 DE DF 的值. (4) 在(3)的条件下,连接EF,若△DEF 与 △ABC相似,求CD的长. (第7题) 8. (2023·淮安三模)如图,在菱形 ABCD 中,∠ABC=120°,AB=4, E为边CD 上一动点(不与点C,D 重合),连接AE并延长,交∠DCP的平分线 于点F,连接AC,BF,BF交AC于点H,交 DC于点G,点P在射线BC上. (1) 求∠ACF的度数. (2) 当CF=2时,求BF的长. (3) 当E是CD的中点时,求证:EF=14AF. (4) 在点E的运动过程中,CGGE 的值是否发生 改变? 请说明理由. (第8题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 第二十七章　相　似 ∴ 易得△BEC∽△ACB. ∴ ∠EBC=∠A. ∵ BF平分∠ABC, ∴ ∠ABF=∠CBF=∠A. ∴ FA=FB. ∵ ∠BCF=∠ACB,∠CBF=∠A, ∴ △CBF∽△CAB. ∴ BF AB= BC AC= 3 5. (3) ∵ G 是△DEF 的“相似点”, ∠GEF=∠FED, ∴ △GEF∽△FED. ∴ ∠EFG=∠EDF. ∵ ∠EDF=∠BAC=∠FGC, ∴ ∠EFG=∠FGC. ∴ AC∥EF. 如图,分别延长EF,DC,交于点H. ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AB∥DC. ∵ AC∥EF, ∴ 四边形AEHC是平行四边形. ∴ AC=EH,AE=CH,∠EAC= ∠H. ∵ ∠EDF=∠BAC, ∴ ∠EDF=∠H. 又∵ ∠DEF=∠HED, ∴ △EDF∽△EHD. ∴ ED EH= EF ED. ∴ ED2=EF·EH. ∵ EH=AC=4EF, ∴ DE2=4EF2. ∴ DE=2EF. (第3题) 第二十七章复习 ［知识体系构建］ 相等 成比例 三边 夹角 两角 (ka,kb)或(-ka,-kb) ［高频考点突破］ 典例1 475 [解 析] ∵ 菱 形 ABCD 的边长为6,∠BAD=120°, ∴ AD=BC=CD=6,AD∥BC, ∠BCD =120°.∴ ∠DCE =60°. ∵ DE⊥BC,∴ ∠DEC=90°.在 Rt△DCE 中,∵ ∠CDE =90°- ∠DCE=30°,∴ CE= 12CD=3. ∴ 易得DE= 3CE=33.∴ BE= BC + CE = 9.∵ AD ∥BE, ∴ ∠ADE=180°-∠DEC=90°.在 Rt△ADE 中,AE= DE2+AD2= (33)2+62=3 7.∵ AD∥BE, ∴ △AFD∽△EFB.∴ AF EF= AD EB= 6 9= 2 3.∴ AF=25AE= 2 5×37= 67 5 .∵ AD ∥CE,∴ △AGD ∽ △EGC.∴ AG EG = AD EC = 6 3 =2. ∴ AG=23AE= 2 3×37=27. ∴ FG=AG-AF=2 7-675 = 47 5 . [跟踪训练] 1. 25 7 典例2 514cm [解析] 如图,过点 B作BE⊥DE 于点E,则∠BED= 90°.由题意,知BD=17cm,BC= 6cm,BE=8cm,∠C=90°,AB∥ DE,AC∥BD.∴ ∠CAB=∠DBA= ∠BDE.又∵ ∠C=∠BED=90°, ∴ △CAB∽△EDB.∴ AB DB= BC BE. ∴ AB=514cm. (典例2图) [跟踪训练] 2. 延长AE交BF的延 长线于点M. 由题意,易得△FEM∽△DCG, ∴ EF CD= FM DG. ∵ CD=1.6m,DG=2.4m,EF= 2m, ∴ FM=EF ·DG CD =3m. ∴ BM=BF+FM=27m. 由题意,易得△DCG∽△BAM, ∴ CD AB= DG BM. ∴ AB=CD ·BM DG =18m. ∴ 古塔AB的高度为18m. 典例3 1+ 172 [解析] 连接CE, 过点E作EF⊥BC于点F.设BD= x,则 BC =BD +CD =x +2. ∵ ∠ACB=90°,E 为AD 的中点, ∴ CE = AE = DE = 12 AD. ∴ ∠CAE = ∠ACE,∠ECD = ∠EDC.∴ ∠CED = 2 ∠CAD. ∵ BE=BC,∴ ∠ECD=∠BEC. ∴ ∠BEC=∠EDC.∵ ∠ECD= ∠BCE, ∴ △ECD ∽ △BCE. ∴ CE CB = CD CE ,∠CED = ∠CBE. ∴ CE2=CD·BC=2(x+2)=2x+ 4.∵ AD 平分∠CAB,∴ ∠CAB= 2∠CAD.∴ ∠CAB = ∠CED. ∴ ∠CAB= ∠CBE.∵ ∠ACB = 90°=∠BFE,∴ △ABC∽△BEF. ∴ AC BF= BC EF.∵ CE=DE,EF⊥BC, ∴ CF=DF=12CD=1.∴ BF= x+1.∵ E 为AD 的中点,∴ AC= 2EF.∴ 2EF x+1= x+2 EF .∴ 2EF2= (x+1)(x+2).∵ 在Rt△CEF 中, EF2=CE2-CF2,∴ (x+1)(x+2) 2 = 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 13 (2x+4)-12,解得x=1+ 172 或 x=1- 172 (不 合 题 意,舍 去). ∴ BD=1+ 172 . [跟踪训练] 3. (1) 30°. (2) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ AD∥BC,DA=DC,∠ADE= ∠CDE. 又∵ DE=DE, ∴ △ADE≌△CDE. ∴ ∠DAF=∠DCE. 又∵ AD∥BC, ∴ ∠DAF=∠F. ∴ ∠DCE=∠F. 又∵ ∠GEC=∠CEF, ∴ △CEG∽△FEC. ∴ EG EC= EC EF ,即EC2=EF·EG. (3) ∵ 四边形ABCD是菱形, ∴ CD=AB=AD=BC=6. ∵ CE EG=3 , ∴ 设EG=a,则CE=3a. ∵ 易证△ABE≌△CBE, ∴ AE=CE=3a. ∵ EC2=EF·EG, ∴ EF=9a. ∴ AG=AE+EG=3a+a=4a, FG=EF-EG=9a-a=8a. 又∵ AD∥BC, ∴ ∠FCG=∠ADG,∠F=∠DAG. ∴ △FCG∽△ADG. ∴ CF AD= FG AG= 8a 4a=2. ∴ CF=2AD=2×6=12. ［综合素能提升］ 1. D 2. A [解析]∵ AB⊥BC,DC⊥ BC,OM⊥BC,∴ OM∥AB∥CD. ∴ △COM ∽ △CAB,△BOM ∽ △BDC.∴ OM AB = CM CB ,OM DC = BM BC. ∵ AB=4,CD=6,∴ OM 4 = CM CB , OM 6 = BM BC.∴ OM 4 + OM 6 = CM+BM BC =1.∴ OM=125.∵ EG⊥ BC,∴ EG∥AB∥CD.∵ E是BD 的 中点,∴ BE=DE.∴ 易得BG=CG. ∴ 易得CF=AF.∴ EG=12CD= 3,FG=12AB=2.∴ EF=EG- FG=1.∴ OM-EF=75. 3. 21 10 4. 4 [解析] 如图,过点O作GH⊥ AD,交AD于点G,交BC于点H,连 接BE,过点E作EF1⊥BC于点F1, 取EF1的中点M1,过点E作EF2⊥ BE,交BC的延长线于点F2,取EF2 的中点M2,连接M1M2,M1M2即为 点O的运动路线.∵ AE∶ED=1∶ 3,AD=8,∴ AE=2.∵ 易得四边形 ABF1E为矩形,∴ BF1=AE=2, EF1=AB=4.∵ ∠BEF2 =90°, ∴ ∠BF2E+∠EBF1=90°.∵ ∠BEF1+ ∠EBF1 = 90°,∴ ∠BF2E = ∠BEF1.∵ ∠EF1B=∠F2F1E= 90°, ∴ △EF1B ∽ △F2F1E. ∴ BF1 EF1 = EF1 F2F1 ,即 2 4 = 4 F2F1 . ∴ F2F1 =8.∵ 易 得 M1M2 是 △EF1F2 的中 位 线,∴ M1M2 = 1 2F2F1=4. (第4题) 5. (1) 95 5 [解析] 如图,过点E作 EM⊥DC于点M,延长ME交AB于 点N,则易得四边形ADMN 为矩形. ∴ MN⊥AB,MN=AD=6.∵ 四边 形ABCD为矩形,∴ ∠ADC=90°= ∠CME,AB=DC=8,AD=BC=6. ∴ ME∥DA.在Rt△ADC中,由勾股 定理,得AC= AD2+DC2 =10. ∵ ME∥DA,∴ △CEM∽△CAD. ∴ EM AD= CM CD = CE CA= 4 10.∴ EM= 12 5 ,CM=165.∴ DM=DC-CM= 24 5 ,EN = MN - ME = 185. 在 Rt△DME中,由勾股定理,得DE= DM2+EM2 =1255 . 由题意,得 ∠DEM+∠EDM=90°,∠DEM+ ∠FEN=90°,∴ ∠EDM=∠FEN. 又 ∵ ∠DME = ∠FNE = 90°, ∴ △DME∽△ENF.∴ DE EF= DM EN. ∴ 125 5 EF = 24 5 18 5 ,解得EF=955 . (2) 22 5 [解析] 如图,连接AG并延 长,交CD 的延长线于点L,连接 AH.∵ △DME∽△ENF,∴ DE EF= DM EN = AN EN. 由题意,得 NM∥BC, ∴ △ANE∽△ABC.∴ AN AB= NE BC. ∴ AN NE= AB BC.∴ DE EF= AB BC.∵ 四边 形DEFG是矩形,∴ DE=GF,DG= EF.∴ DE DG = DC DA.∵ ∠ADC = ∠GDE=90°,∴ ∠CDE=∠ADG. ∴ △CDE∽△ADG.∴ ∠DCA= ∠DAL.∵ ∠ADL=∠ADC=90°, ∴ △ADL∽△CDA.∴ AD CD= DL DA , 即6 8= DL 6 ,解得DL=92.∴ HL= DL+HD=112. 在Rt△ADL 中,由 勾股定理,得AL= DL2+AD2= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 15 2.∵ 当HG⊥AL 时,HG 的长最 小,S△ALH= 1 2AD ·HL=12HG · AL,∴ HG= 6×112 15 2 =225. (第5题) 6. (1) ∵ BE2=CE·DE, ∴ BE DE= CE BE. ∵ ∠BEC=∠DEB, ∴ △BCE∽△DBE. ∴ ∠CBE=∠BDE. ∵ ∠ADB=∠BDC, ∴ AB︵=BC︵. ∴ ∠ACB=∠BDE. ∴ ∠ACB=∠CBE. ∴ AC∥BE. (2) 连接OA,过点C作CF⊥BE 于 点F. ∵ AB︵=BC︵, ∴ AB=BC=13. ∵ AC∥BE, ∴ ∠E=∠ACD=∠ABD=45°. ∴ 易得CF=EF. 设CF=EF=x,则CE= 2x,BF= 17-x. 在Rt△BCF中,CF2=BC2-BF2, ∴ x2=132-(17-x)2. ∴ x=5或x=12(不合题意,舍去). ∴ CE=52. 由(1)可知,∠ACB=∠CBE, ∵ ∠ACB=∠ADB, ∴ ∠CBE=∠ADB. 又∵ ∠E=∠ABD, ∴ △CBE∽△ADB. ∴ CB AD= CE AB= EB BD. ∴ 当CE=52时,13AD= 52 13= 17 BD. ∴ AD=169102 ,BD=221102. ∵ ∠ABD=45°, ∴ ∠AOD=90°. ∴ 易得☉O的半径为AD 2 =16910. 7. (1) 2. (2) 2. (3) 如图,过点D分别作DP⊥AB于 点P,DQ⊥AC于点Q. ∴ ∠DPA=∠DQA=∠A=90°. ∴ 四边形APDQ是矩形. ∴ DP=AQ,DQ=AP,DQ∥AB, DP∥AC. ∵ CD BD= a b , ∴ 易得CD CB= a a+b ,BD BC= b a+b. ∵ DQ∥AB,DP∥AC, ∴ △DQC ∽ △BAC,△DPB ∽ △CAB. ∴ DQ BA= CD CB ,DP CA= BD BC. ∴ DQ=CDCB ·BA= 2aa+b ,DP= BD BC ·CA= 4ba+b. 由题意,得∠PDE=∠QDF. 又∵ ∠DPE=∠DQF=90°, ∴ △DPE∽△DQF. ∴ DE DF= DP DQ= 4b a+b 2a a+b =2ba. (4) 在 Rt△ABC 中, BC = AB2+AC2=25. ∵ ∠EDF=∠A=90°, ∴ △DEF 与△ABC 相似有如下两 种情况: ① 当△DEF∽△ACB时,DEDF= AC AB , 即2b a= 4 2 ,整理,得a=b. ∴ CD=12BC=5. ② 当△DEF∽△ABC时,DEDF= AB AC , 即2b a= 2 4 ,整理,得a=4b.∴ CD= 4 5BC= 85 5 . 综上所述,当 CD 的长为 5或855 时,△DEF与△ABC相似. (第7题) 8. (1) ∵ 在菱形ABCD 中,AB∥ CD,∠ABC=120°, ∴ CA 平分∠BCD,∠BCD=180°- ∠ABC=60°,∠DCP=∠ABC=120°. ∴ ∠ACD=12∠BCD=30°. 又∵ CF平分∠DCP, ∴ ∠DCF=∠FCP=12∠DCP=60°. ∴ ∠ACF=∠ACD+∠DCF=90°. (2) 如图①,过点F 作FM⊥BC 于 点M. ∵ ∠FCP=60°,FM⊥BP, ∴ ∠CFM=30°. ∴ CM=12CF=1. 在 Rt△FMC 中,由勾股定理,得 FM= CF2-CM2= 22-12=3. 又∵ 在菱形ABCD中,AB=4, ∴ BC=AB=4. ∴ BM=BC+CM=5. ∴ 在Rt△BMF 中,由勾股定理,得 BF= BM2+FM2= 52+(3)2= 27. (3) 如图②,连接BD,与AC相交于 点O,与AF相交于点N,由菱形的性 质,得BD与AC互相垂直平分. ∵ E是CD的中点, ∴ CE=DE. ∵ BD⊥AC,∠ACF=90°, ∴ BD∥CF. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 33 ∴ AN FN= AO CO=1 ,EN EF= DE CE=1. ∴ AN=FN,EN=EF. ∴ AF=AN+FN=2FN=2(EN+ EF)=4EF. ∴ EF=14AF. (4) CG GE 的值不发生改变. 理由:如图③,延长AB,FC 相交于 点Q. ∵ ∠ABC=120°,∠FCP=60°, ∴ ∠QBC=180°- ∠ABC=60°, ∠QCB=∠FCP=60°. ∴ △BCQ是等边三角形. ∴ BC=QB. 又∵ AB=BC, ∴ AB=QB. ∵ AB∥CD, ∴ △FCG∽△FQB,△FEG∽△FAB. ∴ CG QB= FG FB ,GE BA= FG FB. ∴ CG QB= GE BA. ∴ CG GE= QB AB=1 ,即CG GE 的值不会发生 改变,为定值1. (第8题) 第二十八章　锐角三角 函数 28.1　锐角三角函数 第1课时 正 弦 1. C 2. B 3. D 4. 10 10 5. C [解析] 分两种情况讨论:① 当 斜边长是8时,直角三角形的另一直 角边长是 82-62=27,∴ 较小锐 角的正弦值为27 8 = 7 4.② 当两直角 边长分别是6和8时,由勾股定理,得 斜边长为 82+62=10,∴ 较小锐角 的正弦值为6 10= 3 5. 综上所述,该三 角形中较小锐角的正弦值为 7 4 或3 5. 运用定义法求三角函数值 已知直角三角形中的任意两 边长,求某个锐角的三角函数值 时,运用数形结合思想,首先画出 符合题意的直角三角形,然后根据 勾股定理求出未知边长,最后结合 锐角三角函数的定义求出锐角的 三角函数值. 6. B [解析] ∵ CD⊥AB,BE⊥ AC,∴ ∠ADC = ∠BEA =90°. ∵ ∠A=∠A,∴ △ABE∽△ACD. ∴ AE AD = AB AC.∴ AE AB = AD AC. 又 ∵ ∠A=∠A,∴ △AED∽△ABC. ∴ AD AC= DE CB= 2 5. 设AD=2a,则 AC=5a.在Rt△ADC 中,由勾股定 理,得CD= AC2-AD2= 21a, ∴ sinA=CDAC= 21 5 . 7. 3 8. (1) 1. 在Rt△ABC中,∠C=90°, ∵ sinA=ac ,sinB=bc , ∴ sin2A+sin2B=a 2+b2 c2 . ∵ ∠C=90°, ∴ a2+b2=c2. ∴ sin2A+sin2B=1. (2) ∵ ∠A+∠B=90°, ∴ ∠C=90°. 由(1),得sin2A+sin2B=1. ∵ sinA=513 , ∴ sinB= 1- 513 2 =1213. 第2课时 余弦、正切 1. D 2. D 3. C [解析] 如图,连接OA,过点O 分别作OD⊥AB于点D,OE⊥AC于 点E,OE交AB 于点F,则∠ODF= ∠AEF=90°.∵ AB=8,AC=6, OA=5,∴ AD=12AB=4 ,AE= 1 2AC=3. 在Rt△OAD 中,由勾股定 理,得 OD = OA2-AD2 =3. ∴ OD=AE.又∵ ∠OFD=∠AFE, ∴ △ODF≌△AEF.∴ DF=EF.设 DF=EF=a,则AF=AD-DF= 4-a.在Rt△AEF 中,由勾股定理, 得AF2=AE2+EF2.∴ (4-a)2= 32+a2,解得a=78.∴ EF=78. ∴ tan∠BAC=EFAE= 7 8 3 ≈0.292. ∴ 0.275<tan∠BAC<0.30. (第3题) 4. 3 3 5. 2 2 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 43