第26章 反比例函数 拔尖测评-【拔尖特训】2024-2025学年九年级下册数学（人教版）

数学(人教版)九年级下 1 第二十六章拔尖测评 ◎ 满分:100分 ◎ 时间:90分钟 姓名: 得分: 一、 选择题(每小题3分,共30分) 1. 若y=(m+1)x|m|-2是反比例函数,则m 的值为 ( ) A. 1 B. -1 C. ±1 D. 任意实数 2. 下列情景中都有两个变量:① 面积一定的等腰三角形,底边上的高 y与底边长x;② 将泳池中的水匀速放出,直至放完,泳池中的剩余 水量y(m2)与放水时间x(h);③ 计划从A地到B地铺设一段铁 轨,每日铺设长度y(m)与铺设天数x.其中,变量y与变量x满足 反比例函数关系的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 3. 已知反比例函数y= 4 x 的图象上有P(t,y1),Q(t+4,y2)两点,则 下列说法中,正确的是 ( ) A. 当t<-4时,y2<y1<0 B. 当-4<t<0时,y2<y1<0 C. 当-4<t<0时,0<y1<y2 D. 当t>0时,0<y1<y2 (第4题) 4. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次 函数y=ax+b和反比例函数y= c x 在同一平面直 角坐标系中的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知A(a,b)为反比例函数y= 4 x 与一次函数y=x+4图象的交 点,则1 a- 1 b 的值为 ( ) A. 1 B. 4 C. -1 D. -4 (第6题) 6. 如图,某反比例函数图象上从左到右依次有P, Q,R三个点,分别过这三个点作x轴、y轴的垂 线,与y轴的交点分别为C,B,A,图中所构成的 涂色部分的面积从左到右依次记为S1,S2,S3, 其中OA∶AB∶BC=1∶2∶3.若S2=2,则 S1+S3等于 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知正比例函数y1=x,反比例函数y2= 1 x ,由y1,y2构造一个新 函数y=x+ 1 x ,其图象如图所示.给出下列说法:① 该函数的图象 是中心对称图形;② 当x<0时,该函数在x=-1时取得最大值 -2;③ y的值不可能为1;④ 在每个象限内,函数值y随自变量x 的增大而增大.其中,正确的是 ( ) A. ①③④ B. ②③④ C. ①②③ D. ①②③④ (第7题) (第9题) (第10题) 8. 已知点A在函数y= 12 x (x>0)的图象上,点B在x轴正半轴上.若 △OAB为等腰三角形,且腰长为5,则AB的长为 ( ) A. 5 B. 5或 10 C. 5或 10或25 D. 10或25 9. 如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD 的顶点A,B,C的坐标分 别为(0,6),(0,2),(1,2).将矩形ABCD 向右平移m 个单位长度, 若平移后的矩形ABCD 与函数y= 12 x (x>0)的图象有公共点,则 m 的取值范围是 ( ) A. 0≤m≤4 B. 1≤m≤6 C. 1≤m≤5 D. 2≤m≤6 10. 如图,在▱ABCD 中,点A的坐标为(0,-2),点B 在x轴的负半 轴上,C,D 两点在反比例函数y=kx-1的图象上,且点D的横坐 标为3,四边形AECD的面积是△ABE面积的3倍.k的值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、 填空题(每小题4分,共20分) 11. 已知反比例函数y1= 2 x ,y2=- 3 x ,当1≤x≤3时,函数y1的最 大值是a,函数y2的最大值是b,则ab= . (第12题) 12. 如图,函数y=3x与y= k x (x>0)的图象交于点 A(2,m),B 为y轴正半轴上一点,将△OAB 沿 OA翻折,使点B恰好落在函数y= k x (x>0)图象 上的点C处,则点B的坐标为 . 13. 如图,在平面直角坐标系中,函数y= 6 x (x>0)的图象经过A(x1, y1),B(x2,y2)两点.若S△ABO= 9 2 ,则x1 x2 +y1 y2 = . (第13题) (第15题) 14. 定义:若x,y满足x2=4y+t,y2=4x+t,且x≠y,t为常数,则 称M(x,y)为“和谐点”.若双曲线y= k x (-3<x<-1)存在“和 谐点”,则k的取值范围是 . 15. 如图,Rt△OAB 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上,AB=2, ∠AOB=30°,函数y= 3 x (k>0,x>0)的图象经过斜边OB的中 点C,连接AC.D 为该函数图象上的一点,若DB∥AC,则OB2- BD2的值为 . 三、 解答题(共50分) 16. (8分)在物理学中,压强p(Pa)、压力F(N)、受力面积S(m2)满足 公式:p= F S. (1) 在如图所示的函数图象中,正确的有 (填序号). (第16题) (2) 某比较薄的冰面最多承受1×104Pa的压强,小明对冰面的压 力为600N. ① 小明所穿的一双鞋鞋底与冰面的接触面积共为0.03m2,他能 否安全地站在这块冰面上? ② 若小明平躺在一块质量不计的薄木板上,为了保证安全,他与薄 木板的接触面积至少为多大? 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 2 17. (8分)如图,点A(m,4),B(n,2)在函数y= k x (x>0)的图象上, AD⊥x轴于点D,BC⊥x轴于点C,DC=3. (1) 连接AB,若线段CD 上存在一点E,使得△ABE的面积为5, 求出点E的坐标. (2) y轴上是否存在一点P,使得△ABP的面积是△ABD 面积的 一半? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (第17题) 18. (10分)为加深对函数的认识,李老师引导同学们对函数y= x x+1 的图象与性质进行探究,过程如下,请完成探究过程: (1) 函数y= x x+1 的自变量x的取值范围是 . (2) 作出图象:① 列表: x … -3 -2-74- 3 2- 5 4- 3 4- 1 2- 1 4 0 1 2 3 … y … 3 2 2 m 3 5 -3 -1- 1 3 n 1 2 2 3 3 4 … 表中m= ,n= . ② 描点,连线:如图,在平面直角坐标系中,描出以表中各组对应值 为坐标的点,根据描出的点画出该函数的图象. (第18题) (3) 小明观察图象,发现这个图象为双曲线,在进一步研究中,小明 将函数y= x x+1 转化为y=1- 1 x+1 ,他判断该函数的图象就是由 反比例函数y=- 1 x 的图象通过某种平移转化而来的.已知反比 例函数y=- 1 x 的图象是中心对称图形,对称中心为点(0,0),则 函数 y= x x+1 的图象的对称中心为 . (4) 当1≤x≤4时,关于x的方程kx+1= xx+1 有实数解,求k的 取值范围. 19. (12分)如图,将矩形ABCD 放置在平面直角坐标系中的第一象限 内,顶点A,D 在y轴正半轴上.已知OA=1,AD=2,AB=4,函 数y= k x (k≠0,x>0)的图象经过点C. (1) 求k的值. (2) 把矩形ABCD 沿x轴正方向平移m 个单位长度,使得矩形 ABCD的一个顶点落在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,求m 的值. (3) 把矩形ABCD 先沿x轴正方向平移a个单位长度,再沿y轴 正方向平移b个单位长度,使得矩形ABCD 的两个顶点落在函数 y= k x (k≠0,x>0)的图象上,请直接写出a,b之间的数量关系: . (第19题) 20. (12分)如图,在平面直角坐标系中,有大正方形AOBC与小正方 形CDEF,其中点A在y轴上,点B在x轴上.若函数y= k x (x> 0,k>0)的图象经过点E,则称满足条件的k的值为两个正方形的 “和谐值”.已知函数y= k x (k>0,x>0)的图象与AF 交于点G, 请解答下列问题: (1) 若大正方形的边长为2,小正方形的边长为1,求这两个正方形 的“和谐值”. (2) 记两个正方形的面积分别为S1,S2(S1>S2),求证:两个正方 形的“和谐值”k=S1-S2. (3) 若大正方形的边长为6,G 恰好是AC的三等分点,求小正方 形的边长. (第20题) 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 拔尖测评 第二十六章拔尖测评 一、 1. A 2. B 3. A 4. A 5. A 6. B [解析] 如图,设该反比例函数 的解析式为y= k x (k>0).∵ OA∶ AB∶BC=1∶2∶3,S2=2,∴ S1= k 6 ,S4= 2 6k= 1 3k.∴ S1+S4= 1 2k.∴ S2+S5= 1 2k.∵ OB∶ OC=1∶2,∴ 易得CP∶BQ=1∶2. ∴ S4 =S2 =2,S5 =S1 = k 6. ∴ 1 3k=2.∴ k=6.∴ S5=S1=1. ∵ S1+S5+S3=k,∴ S1+S3=k- S5=6-1=5. (第6题) 7. C 8. C [解析] ① 当AO=AB 时, AB=5;② 当AB=BO 时,AB=5; ③ 当OA=OB 时,OB=5.∴ B(5, 0).设点A的坐标为 a,12a (a>0). ∵ OA=5,∴ a2+ 12a 2 =5,解 得a1=3,a2=4,a3=-3,a4=-4. ∵ a>0,∴ a=3或a=4.∴ 点A的 坐标为(3,4)或(4,3).∴ AB= (3-5)2+42 =2 5 或 AB = (4-5)2+32 = 10.综上所述, AB的长为5或25或 10. 9. B [解析] ∵ 矩形ABCD 的顶点 A,B,C的坐标分别为(0,6),(0,2), (1,2),∴ 易得D(1,6).∴ 平移后,可 设点D',B'的坐标分别为(1+m,6), (m,2).当点D'在函数y= 12 x (x>0) 的图象上时,6(1+m)=12,解得m= 1.当点B'在函数y= 12 x (x>0)的图 象上时,2m=12,解得m=6.∴ 若平 移后的矩形ABCD 与函数y= 12 x (x>0)的图象有公共点,则m的取值 范围是1≤m≤6. 10. D [解析] 连接AC.∵ 四边形 AECD的面积是△ABE面积的3倍, ∴ S△ABE = 1 4S▱ABCD = 1 2S△ABC. ∴ E是BC 的中点.∵ 点E 在y轴 上,横坐标是0,∴ B,C两点的横坐 标互为相反数.设点C的横坐标为a, 则点B的横坐标为-a.∵ 点A的坐 标为(0,-2),点D 的横坐标为3, ∴ a-(-a)=3-0.∴ a=1.5.设 D(3,b).∵ C,D 两点在反比例函数 y=kx-1 的图象上,∴ 点C 的纵坐 标为3b 1.5=2b.∴ C(1.5,2b).∵ A(0, -2),B(-1.5,0),C(1.5,2b),D(3, b),且四边形ABCD 是平行四边形, ∴ 2b-b=0-(-2).∴ b=2. ∴ D(3,2).∴ k=3×2=6. 二、 11. 1 2 12. (0,4) [解析] ∵ 点A(2,m)在 函数y=3x的图象上,∴ m=23. ∴ A(2,23).又∵ 点A 在函数y= k x (x>0)的图象上,∴ k=2×23= 43.∴ y= 43 x . 连接BC.由翻折的 性质,得BC⊥OA.∴ 可设直线BC 对应的函数解析式为y=- 3 3x+b. ∴ B(0,b).设直线BC与直线OA的 交点为P.联立 y=- 3 3x+b , y=3x, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 可得 点P 的坐标为 34b,34b .∵ 易知 点B,C关于直线OA 对称,且B(0, b),∴ C 3 2b ,1 2b .又∵ 点C在函 数y= 43 x 的图象上,∴ 3 2b× 1 2b= 43.∴ b=4或b=-4(不合题意,舍 去).∴ 点B的坐标为(0,4). 13. 5 2 [解析] 如图,过点A 作 AD⊥x 轴于点D,过点B 作BC⊥ x轴于点C.∵ 点A(x1,y1),B(x2, y2)在函数y= 6 x (x>0)的图象上, ∴ x1y1=x2y2=6.根据反比例函数 中k 的几何意义,易得 S△ABO = S梯形ABCD= 9 2 ,∴ 1 2 (y1+y2)(x2- x1)= 9 2 ,整理,得x2y1-x1y2=9. ∵ x1y1 ·x2y2 =36,∴ x1y2 · x2y1=36.∴ (x2y1-9)x2y1=36, 解得x2y1=12(负值舍去).∴ x1 x2 + y1 y2 = x1y2+x2y1 x2y2 = 2x2y1-9 6 = 24-9 6 = 5 2. (第13题) 14. 3<k<4 [解析] ∵ 双曲线y= k x (-3<x<-1)存在“和谐点”, ∴ x2=4kx+t① , k2 x2 =4x+t②. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ① - ②,得 x+kx x-kx =-4x-kx , ∴ x-kx x+kx+4 =0.∵ x≠ y,∴ x+kx +4=0 ,整理,得k= -x2-4x=-(x+2)2+4.∵ -3< 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 65 x<-1,且x≠-2,∴ 3<k<4. 15. 4 [解析] 在 Rt△OAB 中, ∵ AB=2,∠AOB=30°,∴ OA= 23,OB=4.∴ B(23,2).∵ C是 斜边AB的中点,∴ C(3,1).设直线 AC对应的函数解析式为y=ax+b (a≠0).将A(23,0),C(3,1)代 入,得 23a+b=0, 3a+b=1, 解得 a=- 3 3 , b=2. ∴ 直线AC对应的函数解析式为y= - 33x+2.∵ AC∥BD,B(23,2), ∴ 易得直线BD 对应的函数解析式 为y=- 3 3x+4.∵ 点D 既在函数 y= 3 x (x>0)的图象上,又在直线 BD上,∴ 联立 y= 3 x , y=- 3 3x+4 , 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁 􀪁 􀪁 解得 x1=23+3, y1=2-3, x2=23-3 , y2=2+3. ∴ 点 D 的坐标为(23+3,2- 3)或 (23-3,2+ 3).∵ OB =4, ∴ OB2 =16.当 点 D 的 坐 标 为 (23+3,2- 3)时,BD2=(23+ 3-23)2+(2- 3-2)2=9+3= 12,∴ OB2-BD2=16-12=4.当点 D 的坐标为(23-3,2+ 3)时, BD2=(23-3-23)2+(2+ 3- 2)2=9+3=12,∴ OB2-BD2=16- 12=4.综上所述,OB2-BD2=4. 三、 16. (1) ①③. (2) ① ∵ 600÷0.03=2×104(Pa), 2×104>1×104, ∴ 他不能安全地站在这块冰面上. ② 把p=1×104,F=600代入p= F S ,得S=0.06. 根据(1)中的图象可知,当S≥0.06 时,p≤1×104, ∴ 为了保证安全,他与薄木板的接触 面积至少为0.06m2. 17. (1) ∵ 点A(m,4),B(n,2)在函 数y= k x (x>0)的图象上,AD⊥ x轴,BC⊥x轴,DC=3, ∴ n-m=3,即n=m+3. ∴ A(m,4),B(m+3,2). ∴ 4m=2(m+3),解得m=3,则 n=6. ∴ A(3,4),B(6,2). ∴ k=12. 设E(p,0). ∵ S△ABE =S梯形ABCD -S△ADE - S△BCE=5, ∴ 1 2×3× (4+2)-12×4× (p- 3)-12×2× (6-p)=5,解得p=4. ∴ 点E的坐标为(4,0). (2) 存在. 由(1)可知,S△ABD= 1 2×4×3=6 , A(3,4),B(6,2). ∴ S△ABP=3. 设直线AB对应的函数解析式为y= ax+b,直线AB交y轴于点F. 将A(3,4),B(6,2)代入y=ax+b, 得 3a+b=4, 6a+b=2, 解得 a=- 2 3 , b=6. ∴ 直线AB 对应的函数解析式为 y=- 2 3x+6. ∴ 易得F(0,6). 设点P的坐标为(0,t),则PF=|6-t|. ∵ S△ABP=S△BPF-S△APF=3, ∴ 1 2×|6-t|×6- 1 2×|6-t|× 3=3,整理,得|6-t|=2,解得t=4 或t=8. ∴ 点P的坐标为(0,4)或(0,8). 18. (1) x≠-1. (2) ① 7 3 ;0. ② 函数图象如图所示. (3) (-1,1). (4) 当1≤x≤4时,在y= x x+1 中, 1 2≤y≤ 4 5. 把x=4,y= 4 5 代入y=kx+1,得 4 5=4k+1 ,解得k=-120. 把x=1,y= 1 2 代入y=kx+1,得 1 2=k+1 ,解得k=-12. ∴ 当1≤x≤4,且关于x的方程kx+ 1= xx+1 有实数解时,k的取值范围 是-12≤k≤- 1 20. (第18题) 19. (1) ∵ 将矩形ABCD 放置在平 面直角坐标系中的第一象限内,顶点 A,D在y轴正半轴上,OA=1,AD= 2,AB=4, ∴ A(0,1),D(0,3),B(4,1),DC= AB=4,DC∥AB. ∴ C(4,3). ∵ 函数y= k x (k≠0,x>0)的图象经 过点C, ∴ k=4×3=12. (2) 把矩形ABCD 沿x轴正方向平 移m个单位长度,使得矩形ABCD的 一个顶点落在函数y= k x (k≠0,x> 0)的图象上,若平移后,点B 的对应 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 75 点在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象 上,则点B的对应点为(4+m,1), ∴ 1×(4+m)=12,解得m=8. 若平移后,点D 的对应点在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,则点D 的 对应点为(m,3), ∴ 3m=12,解得m=4. 若平移后,点A 的对应点在函数y= k x (k≠0,x>0)的图象上,则点A 的 对应点为(m,1), ∴ m=12. 综上所述,m的值为4或8或12. (3) a=2b+2. 20. (1) 如图①,延长FE交x轴于点 H,则FH⊥x轴,四边形AOHF 和 四边形DBHE是矩形. ∴ AF=OH,EH=BD. 由题意,得 AC =BC =2,CF = CD=1, ∴ OH=AF=AC+CF=3,EH= BD=BC-CD=1. ∴ E(3,1). ∵ 函数的图象经过点E, ∴ k=3. ∴ 这两个正方形的“和谐值”为3. (2) 设大正方形的边长为a,小正方 形的边长为b. 同(1),可得E(a+b,a-b), ∴ k=(a+b)(a-b)=a2-b2. ∵ S1=a2,S2=b2, ∴ S1-S2=a2-b2. ∴ k=S1-S2. (3) 设大正方形的面积为S1,小正方 形的面积为S2. ① 如图②,当AG=13AC 时, ∵ 正方形AOBC的边长为6, ∴ G(2,6). ∵ 点G在函数的图象上, ∴ k=12. 由(2),知k=S1-S2, ∴ S2=S1-k=62-12=24. ∴ 小正方形的边长为26. ② 如图③,当AG=23AC 时, ∵ 正方形AOBC的边长为6, ∴ G(4,6). ∵ 点G在函数的图象上, ∴ k=24. ∵ k=S1-S2, ∴ S2=S1-k=62-24=12. ∴ 小正方形的边长为23. 综上所述,小正方形的边长为23或 26. (第20题) 第二十七章拔尖测评 一、 1. B 2. D 3. C 4. A 5. B 6. A 7. C [解析] 如图,过点E 作EH∥ CB,交AB于点G,交CF的延长线于 点H.∵ EG∥CB,CE=3AE,∴ 易 得EG BC= AG AB= AE AC= 1 4. 设EG=m, 则BC=4m.∵ AF=2BF,∴ 设 BF =a,则 AF =2a.∴ AG = 1 4AB= 3 4a ,FG=2a-34a= 5 4a. ∵ EG∥CB,∴ 易得GH BC = FG BF. ∴ GH 4m= 5 4a a .∴ GH=5m.∵ EG∥ CB,∴ 易得PD EP= CD EH.∵ D是边BC 的中 点,∴ CD = 12BC =2m. ∵ EH=EG+GH=6m,∴ PD EP= CD EH= 2m 6m= 1 3. (第7题) 8. D [解析] ∵ 四边形ABCD是正 方形,∴ BC=CD=DA=AB.∵ E 是正方形ABCD 的边AB 上的黄金 分割点,且AE>EB,∴ AE AB= BE AE= 5-1 2 .∵ 四边形AEHF 是正方形, ∴ EH=HF=FA=AE,FH∥AE, AF∥HE.∴ △FHG ∽ △BEG, △BEG∽△BAF.∴ 易得△FHG∽ △BAF.∴ GH FA= FH BA.∴ 易得GH HE= AE AB= 5-1 2 .∴ GH= 5-12 HE= 5-1 2 AE.∵ ∠C = ∠CBE = ∠BEI=90°,∴ 四边形BCIE 是矩 形.∴ IC = BE.∴ S△BCI S△FGH = 1 2BC ·IC 1 2FH ·HG = AB ·BE AE·HG = BE AE · AB HG= 5-1 2 · AB 5-1 2 AE = 5-12 × 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 85