精品解析：四川省南充市高坪中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

高坪中学2024年春季初2022级（初二）第一次质量监测 数学试卷 （120分钟完卷，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在中，是最简二次根式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式中，一定能成立的有（ ） ①②③④ A. ① B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 4. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 5. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④，其中不能判定是直角三角形的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 下列正确的是（ ） A B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 8. 代数式有意义时，应满足的条件为（     ） A. B. C. D. 9. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，AB=AC，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（     ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ②③ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 12. 如图，在中，是角平分线，于点E，，，则长是______． 13. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，为等边三角形，则点的坐标为______． 15. 在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为_________． 16. 已知在等腰三角形中，D为底边的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值是_______． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1） （2）． 18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 19. 如图，四边形，，，，，求度数． 20. 如图，和为等腰直角三角形， ，已知点E在上，连接． （1）若不添加辅助线，请在图中找出一对全等三角形并证明其全等； （2）若，求的长． 21. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 22. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积． 23. 如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． （1）求旗杆折断处点距离地面的高度； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 24. 如图1，在中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）． （1）若是直角三角形． ①当时，求的长； ②当时，求的长． （2）如图2，点E在上（不与点A，B重合），且，若是直角三角形，求的长． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，． （1）如图1，判断的形状并说明理由； （2）如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且，探究线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，延长交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上点，连接交x轴于D，且，探究，，的数量关系并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2024年春季初2022级（初二）第一次质量监测 数学试卷 （120分钟完卷，满分150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在中，是最简二次根式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的两个特点“（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式”进行解答即可得． 【详解】解：不是二次根式，不符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 是最简二次根式，符合题意， 不是最简二次根式，不符合题意， 不是最简二次根式，不符合题意， 综上，是最简二次根式的有3个， 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式，解题的关键是熟记二次根式的两个特点． 2. 中，E、F是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法，结合全等三角形的性质和判定，逐一进行判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形．故A不符合题意； ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形．故B不符合题意； C选项中由，不能得出， ∴不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； 四边形是平行四边形， ，， ， 又， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形．故D不符合题意； 故选：C． 3. 下列各式中，一定能成立的有（ ） ①②③④ A. ① B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据开算术平方和平方的概念对4个等式逐一判断． 【详解】A． ，则A成立； B．当a<0时，不存在，则B等式不成立； C．当x<1时，不存在，则C等式不成立； D．当x<-3时，不存在，则D等式不成立． 故选A． 【点睛】本题考查开算术平方根和平方之间的等量关系，注意算术平方根下的式子不能小于零的情况，掌握这一点是本题解题关键． 4. 如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 5. 若的三边长分别是a，b，c，则下列条件：①；②；③；④，其中不能判定是直角三角形的个数有（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理．如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．根据三角形的分类，三角形内角和定理，及勾股定理逆定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴为直角三角形，故①不符合题意； ∵， 设，则， ∴， ∴为直角三角形，故②不符合题意； ∵， 设，则、， ∴， ∴， ∴，，， ∴不是直角三角形，故③符合题意； ∵， ∴， ∴为直角三角形，故④不符合题意； 综上分析可知，不能判定是直角三角形的有1个． 故选：A． 6. 下列正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A.，故错误； B.，故正确； C.，故错误； D.，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 7. 估计的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算进行化简，进而估算即可求解． 【详解】解：原式 ＝， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无数的估算，正确的计算是解题的关键． 8. 代数式有意义时，应满足的条件为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式，二次根式有意义的条件，根据分式，二次根式有意义的条件得到，求出结果即可． 【详解】解：代数式有意义， ， ， 故选：D． 9. 已知，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将分式进件化简为，然后利用完全平方公式得出，，代入计算即可得出结果． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵a>b>0， ∴， ∴原式= ， 故选：B． 【点睛】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键． 10. 如图，在中，AB=AC，，点D，E为BC上两点．，F为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（     ） A. ①②④ B. ①②③④ C. ①③④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键．根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出③，再根据勾股定理以及等量代换即可得出④． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由①中证明， ∴， ∵，， ∴， ∴， 连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 设与的交点为， ∵，， ∴，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴，故④正确， 故选：B． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若为整数，x为正整数，则x的值是_______________． 【答案】4或7或8 【解析】 【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据为整数即可得的值． 【详解】解：∵ ∴ ∵为正整数 ∴可以为1、2、3、4、5、6、7、8 ∵为整数 ∴为4或7或8 故答案为：4或7或8． 【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键． 12. 如图，在中，是的角平分线，于点E，，，则长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质、含角的直角三角形、等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，二次根式的混合运算，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．根据直角三角形的性质和勾股定理得到的长，然后根据平分线的性质可得，再根据得到的长，最后根据勾股定理即可解答． 【详解】解：于点E，，， 设，则， ，解得：， ． 如图：作于点F， 是的角平分线，， ， ， ， ∴在中，， ， 故答案为：． 13. 将一组数，2，，，…，，按下列方式进行排列： ，2，，； ，，，4； … 若2的位置记为，的位置记为，则的位置记为________． 【答案】 【解析】 【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得的位置即可． 【详解】数字可以化成： ，，，； ，，，； ∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数， ∵，28是第14个偶数，而 ∴的位置记为 故答案为： 【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为和，为等边三角形，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点A作AD⊥BC于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得BD=CD，再求出点D的横坐标，然后利用勾股定理列式求出AD的长度，再写出点A的坐标即可． 【详解】如图，过点A作AD⊥BC于D， ∵B、C两点的坐标分别为(-2，0)和(6，0)， ∴BC=6-（-2）=8， ∵△ABC为等边三角形 ∴AB=AC=BC=8，BD=CD=4， ∴点D的横坐标为6-4=2， 在Rt△ABD中，AD=， 所以，点A的坐标为(2，)， 故答案为：(2，)． 【点睛】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 15. 在如图所示的中，点D，E在边上，的平分线于F，的平分线于H，若，，则△ABC的周长为_________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理．证明，推出，，同理，，得到是的中位线，进一步计算即可求解． 【详解】解：∵平分，且， ∴，，， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴是的中位线， ∴， ∴的周长为， 故答案为：20． 16. 已知在等腰三角形中，D为底边的中点，，点P为边上的动点，点E为边上的动点，则的最小值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，两点这间线段最短，线段垂直平分线的性质，三角形的面积公式，利用两点之间线段最短来解答本题．根据等腰三角形的三线合一，可知垂直平分，得到点B，点C关于直线对称，过C作交于P，则此时的值最小，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：为等腰三角形，D为底边的中点， 垂直平分， ∴点B，点C关于直线对称， ， 过C作交于P， 则此时的值最小， ， ， ， 则最小值是， 故答案为：． 三、解答题（86分） 17. 计算： （1） （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减运算，实数混合运算，熟练掌握相关的运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式性质，零指数幂运算法则，分母有理化的方法，进行计算即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E． （1）求证：BE＝CD； （2）若BF恰好平分∠ABE，连接AC、DE，求证：四边形ACED是平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB＝CD，∠DAE＝∠AEB，利用AE平分∠BAD，推出∠BAE＝∠AEB，得到BE=AB，即可得到结论； （2）根据BE＝AB，BF平分∠ABE，得到AF＝EF，证明△ADF≌△ECF，推出DF＝CF，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BC，AB＝CD ∴∠DAE＝∠AEB ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE＝∠DAE ∴∠BAE＝∠AEB ∴BE＝AB ∴BE=CD （2）∵BE＝AB，BF平分∠ABE ∴AF＝EF 在△ADF和△ECF中 ∴△ADF≌△ECF ∴DF＝CF 又∵AF＝EF ∴四边形ACED是平行四边形． 【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 19. 如图，四边形，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理以及逆定理的运用，首先在中，利用勾股定理求出的长，求出，再根据勾股定理逆定理在中，证明是直角三角形，即可求出答案． 【详解】解：连接， 在中， ， 在中， 是直角三角形， ， ． 20. 如图，和为等腰直角三角形， ，已知点E在上，连接． （1）若不添加辅助线，请在图中找出一对全等三角形并证明其全等； （2）若，求的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由和为等腰直角三角形，，得，，即可根据全等三角形的判定定理证明； （2）过点E作于点G，则，所以，根据勾股定理求得的长，再由勾股定理求得的长，从而得到，利用求出结果即可． 小问1详解】 解：图中，证明如下： 和为等腰直角三角形，， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 过点E作于点G， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 21. 已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简，根据数轴判断式子的正负，正确得出各部分的正负是解题关键．直接利用数轴判断得出：，进而化简即可． 【详解】解：如图所示：， ． 22. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分面积． 【答案】30． 【解析】 【分析】根据折叠的过程以及矩形的对边相等，得：AF＝AD＝BC，DE＝EF．然后根据勾股定理求得CF的长，再设BF＝x，即可表示AF的长，进一步根据勾股定理进行求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AD=BC， 由折叠可知△ADE和△AFE关于AE成轴对称， 故AF＝AD，EF＝DE＝DC﹣CE＝8﹣3＝5cm． 在△CEF中，CF＝=4cm， 设BF＝xcm，则AF＝AD＝BC＝（x+4）cm． 在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2＝（x+4）2． 解得x＝6，故BC＝10． 所以阴影部分的面积为：10×8﹣2S△ADE＝80﹣50＝30（cm2）． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，矩形的性质，折叠的性质，正确分析图形得到直角三角形，利用勾股定理解决问题是解题的关键． 23. 如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离． （1）求旗杆折断处点距离地面的高度； （2）工人在修复的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶点落在水平地面上的处，形成一个直角，请求出的长． 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长， （3）先求出D点距地米，米，再根据勾股定理可以求得米． 【小问1详解】 解：由题意可知：米， ∵， ∴， 又∵米， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：∵D点距地面米， ∴米， ∴米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图 24. 如图1，在中，，，点D在BC上（不与点B，C重合）． （1）若是直角三角形． ①当时，求的长； ②当时，求的长． （2）如图2，点E在上（不与点A，B重合），且，若是直角三角形，求的长． 【答案】（1）①6；②； （2）或8 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质和勾股定理即可解答； ②如图，作于点E，设，则，根据勾股定理即可得到关于x 的方程，求出x，再根据勾股定理即可解答； （2）分两种情况：当时，如图，同②小题的方法可求出，再根据勾股定理求出，即可求出；当时，根据已知条件和直角三角形的性质可得出，再由①的结果即得答案． 【小问1详解】 解：①当时，∵，， ∴， 则在直角三角形中，； ②如图，当时，作于点E，则由①知：， 设，则， 则在直角三角形中，， 在直角三角形中，， 即， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴若是直角三角形，则或， 当时，如图，同②小题的方法可求出，则， ∴； 当时，如图，则， ∵， ∴， ∴，即， 则由①知：． 综上，当是直角三角形时，CD的长为或8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理以及二次根式的计算，熟练掌握上述知识、正确分类是解题的关键． 25. 在平面直角坐标系中，已知点，． （1）如图1，判断的形状并说明理由； （2）如图2，M，N分别是y轴负半轴和x轴正半轴上的点，且，探究线段，，之间的数量关系并证明； （3）如图3，延长交y轴于点C，M，N分别是x轴负半轴和y轴负半轴上的点，连接交x轴于D，且，探究，，的数量关系并证明． 【答案】（1）是等腰三角形，证明见解析 （2），证明见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）过点A作，垂足为H，根据等腰直角三角形的判定可得答案； （2）过点A作，交x轴于点B，证明，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质得出，则即可得答案； （3）过A作交y轴于G，连接，先证，得出，再证，得出，由勾股定理即可得到． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形，理由如下： 过点A作，垂足为H， ∵点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴为等腰直角三角形； 【小问2详解】 ． 理由：过点A作，交x轴于点B， 由（1）可知是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 而是等腰直角三角形，可得， ∴； 【小问3详解】 ，理由如下： 过A作 交y轴于G，连接，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 而中，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形判定性质、等腰直角三角形性质及勾股定理等知识，坐标与图形，解题的关键是利用等腰直角三角形性质证明三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $