精品解析：山东省临沂第一中学2024-2025学年高一第五次教学检测数学试题

临沂一中2024级高一学年度第五次教学检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则 A. B. C. D. 4. 已知平面上三点满足，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 若，，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在△中，，，是边上的点，且，为△的外心，则（ ） A. 12 B. 13 C. 18 D. 9 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是 A. 单位向量都相等 B. 对于任意,必有 C. 若，则一定存在实数，使 D. 若,则或 10. 如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，具有下面三个性质：①将的图象右移个单位得到的图象与原图象重合；②，；③在时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ） A. 在时单调递减 B. C. 将的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 若与图象关于对称，则当时，的值域为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 13. ______ 14. 已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是________. 四、解答题（本题共5小题．共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）求与的夹角大小； （2）求的值． 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 已知，是夹角为的两个单位向量． （1）若，，．求证A，B，D三点共线； （2）若，，其中，若，的夹角为钝角，求t的取值范围． 18. 某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规律可近似看成正弦函数的图象，如图所示. （1）根据图中数据，试求的表达式. （2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？ 19. 已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数. （1）求的解析式. （2）若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂一中2024级高一学年度第五次教学检测 数学试题 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 要得到函数的图象，只要将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角函数的平移法则逐项计算判断即可. 【详解】对于A，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故A错误； 对于B，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度得： 的图像，故C错误； 对于D，将函数的图象向左平移个单位长度得： 的图像，故D正确. 故选：D. 2. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式转化为两个角的三角函数，再逆用两角和差的正余弦公式，即可求解. 【详解】方法一：原式 ． 方法二： 原式． 故选：B 3. 已知，，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：，，，其中，所以，两边平方得，所以. 考点：二倍角公式． 4. 已知平面上三点满足，则的形状是 A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】设AC的中点为D，则，题干条件可转化为，分析即得解 【详解】 设AC的中点为D，则， 因为，即 所以， 即中线BD也为高线，所以△ABC是等腰三角形 ． 故选：A 5. 若，，则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】 将，利用两角和与差的正弦公式变形后，可得，，从而可得，再根据对数的运算可得答案. 【详解】，， ，， ，， ， . 故选：A 【点睛】本题考查了两角和与差的正弦公式，考查了同角公式，考查了对数的运算，属于基础题. 6. 如图，在梯形中，，，为线段的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据向量的线性运算法则求解即可． 【详解】解：由题意，根据向量的运算法则，可得， 故选：D． 7. 若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据辅助角公式，先得到，进而可得到，求解，即可得出结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：A. 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，熟记辅助角公式，以及余弦函数的值域即可，属于常考题型. 8. 在△中，，，是边上的点，且，为△的外心，则（ ） A. 12 B. 13 C. 18 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由向量在几何图形中对应线段，结合向量的加法得，取的中点为，连接，再由为△的外心得：、，最后根据求值即可. 【详解】 由于，则，取的中点为，连接， 由于为△的外心，则， ∴， 同理可得，， ∴. 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列结论正确的是 A. 单位向量都相等 B. 对于任意,必有 C. 若，则一定存在实数，使 D. 若,则或 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】对于，单位向量的模相等，方向不一定相同，不一定是相等的向量，错误； 对于B，任意根据向量加法的几何意义知，，当切仅当共线同向时取“”，B正确； 对于C，若，则不一定存在实数，使，如且时，命题不成立，C错误； 对于D，若，则或或，D错误， 故选B. 【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考向量的基本概念与基本性质，属于中档题.该题型尽管不是太难，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题. 10. 如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心O距离水面的高度为．设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：）（在水面下则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则d与时间：（单位：s）之间的关系为下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数的图象与性质，逐项求解，即可得到答案. 【详解】由题意，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈， 所以振幅且，可得，所以A、B正确； 又由筒车的轴心O距离水面的高度为，可得，所以D错误； 根据题意，当时，，即，可得，所以C正确.A 故选：ABC. 11. 已知，具有下面三个性质：①将的图象右移个单位得到的图象与原图象重合；②，；③在时存在两个零点，给出下列判断，其中正确的是（ ） A. 在时单调递减 B. C. 将的图象左移个单位长度后得到的图象关于原点对称 D. 若与图象关于对称，则当时，的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据①可得，再根据③可得，由此可得，从而可求得的值，再由②可知，可求得的值，从而可求出函数的解析式.求出函数的单调区间，即可判断A的正误；计算出的值，可判断B的正误；求出函数左移个单位长度后的解析式，判断其奇偶性，即可判断C的正误；根据对称性求出的对称区间后，再求函数的值域，可判断D的正误. 【详解】， 将右移个单位得到的函数解析式为， 又该函数的图象与原图象重合，所以， 所以， 又在时存在两个零点，所以， 所以，即，所以，所以， 所以， 又，，所以， 所以，所以， 又，所以，所以， 由得， 所以函数的单调递减区间为 当时，函数在上单调递减； 由得， 所以函数的单调递增区间为 当时，函数在上单调递增； 所以函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误； ， ， ， 所以，故B正确； 将的图象左移个单位长度后得到的图象的解析式为， 又，所以函数为奇函数， 所以的图象关于原点对称，故C正确； 关于对称的区间为， 当时，，所以， 所以当时，的值域为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影向量公式求得结果即可. 【详解】在上的投影向量为， 所以4. 故答案为：4. 13. ______ 【答案】 【解析】 【分析】利用，两角和的正切公式，进行变形，化为所求式子的值． 【详解】因为 所以， 所以 故答案为：. 14. 已知奇函数在上有2个最值点和1个零点，则的范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简并结合函数奇偶性求得，确定函数解析式，再根据函数的最值和零点情况，列出不等式，即可求得答案. 【详解】函数， 因为该函数为奇函数，故， 又，所以，即， 因为在上有2个最值点和1个零点， 故， 即的范围是， 故答案为： 四、解答题（本题共5小题．共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知，，． （1）求与的夹角大小； （2）求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积的定义即可求出结果； （2）根据平面向量的模长与数量积的关系进行转化即可求出结果. 【详解】（1）由得，所以， 即，又因为，， 所以，故，又因为， 因此与的夹角为； （2） ，所以. 16. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由为锐角，且，可求出，进而求出.然后用倍角公式求出. （2）由及可求出，再用同三角函数的基本关系可得，最后将带入求值即可. 【详解】解：（1）由为锐角，，得. 所以 所以 （2） 由题意及同三角函数的基本关系可得 所以. 【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦、正切公式、倍角公式，考查考生的运算求解能力、化归与转化能力，考查的核心素养是数学运算. 17. 已知，是夹角为的两个单位向量． （1）若，，．求证A，B，D三点共线； （2）若，，其中，若，的夹角为钝角，求t的取值范围． 【答案】（1） 由题意，， 则，可知与共线，则A，B，D三点共线. （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意易得，进而求证即可； （2）根据题意可得且，不共线，进而结合平面向量的数量积求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，是夹角为的两个单位向量， 则， 设与共线，则，即， 又，的夹角为钝角， 所以，且， 则， 则，解得且， 所以t的取值范围为． 18. 某地一天的时间，单位：时)随气温变化的规律可近似看成正弦函数的图象，如图所示. （1）根据图中数据，试求的表达式. （2）该地居民老张因身体不适在家休养，医生建议其外出进行活动时，室外气温不低于，根据（1）中模型，老张该日可在哪一时段外出活动，活动时长最长不超过多长时间？ 【答案】（1）；（2）老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时； 【解析】 【分析】（1）首先求出、，再根据函数的周期求出，最后根据函数过点求出，即可得到函数解析式； （2）依题意令，再根据正弦函数的性质解不等式，即可得解； 【详解】解：（1）依题意可得解得，又即，解得，所以，又函数过点，所以，即，所以，解得，因为，所以，所以 （2）依题意令，即 所以 解得 因为 所以，又 即老张可在外出活动，活动时长最长不超过小时； 19. 已知函数的最大值为，与直线的相邻两个交点的距离为.将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数. （1）求的解析式. （2）若，且方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数的相关知识与图象的变换求解即可； （2）方程有解求参数的取值范围问题，转化为求函数的最值问题求解即可. 【小问1详解】 因为函数的最大值为，所以， 又与直线的相邻两个交点的距离为，所以，所以， 则. 将的图象先向右平移个单位，保持纵坐标不变，得到， 再将每个点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数. 【小问2详解】 ， 在上有实数解， 即在上有实数解， 即在上有实数解， 令，所以， 由，所以，所以，则， 同时，所以， 所以在上有实数解， 等价于在上有解，即在上有解， ①时，无解； ②时，有解， 即在有解，即在有解， 令，，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域为， 所以在有解等价于. 综上：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $