精品解析：福建省泉州永春第二中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题

2024-2025学年永春第二中学高一数学下学期月考试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的为（ ） A. 共线的两个单位向量相等 B. 若，，则 C. 若，则一定有直线 D. 若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 3. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 4. 如图，有三个相同的正方形相接，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 5. 若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 7. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知是第一象限角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. （多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与夹角为钝角 D. 10. 已知，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 筒车是我国古代发明一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A. B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：_________． 13. 的值为__________． 14. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 16. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值. 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年永春第二中学高一数学下学期月考试卷 高一数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量加减运算法则得到答案. 【详解】． 故选：B 2. 下列说法正确的为（ ） A. 共线的两个单位向量相等 B. 若，，则 C. 若，则一定有直线 D. 若向量，共线，则点，，，不一定在同一直线上 【答案】D 【解析】 【分析】对于A选项，共线的两个单位向量的方向可能相反，对于B选项，考虑即可判断，对于C选项，直线与可能重合，对于D选项，考虑向量，共线即可判断. 【详解】选项A：共线的两个单位向量的方向可能相反，故A错误； 选项B：，不一定有，故B错误； 选项C：直线与可能共线，故C错误； 选项D：若向量，共线，则与可能平行， 此时A，B，C，D四点不共线，故D正确． 故选：D. 3. 在 中， ，则 的值为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积定义直接计算得解. 【详解】依题意，. 故选：B 4. 如图，有三个相同的正方形相接，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的定义和正切的两角和公式求解即可. 【详解】设正方体边长为1，由图可得， 则， 故选：B 5. 若向量与方向相反，则下列等式中必定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的加法法则计算可得结论. 【详解】因为向量与方向相反，所以，. 故选：A. 6. 函数的图象如图所示，其中 ，， 为了得到的图象，可以将的图象 （ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象求出的解析式，再根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】由函数图象可知：，函数过、两点， 设的最小正周期为，因为，所以有，而，因此， 即，因为， 所以，即，所以，因为， 所以，即，因此， 而， 所以将的图象向左平移个单位长度得到的图象. 故选：C 7. 已知非零向量在向量上的投影向量为，，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的意义及数量积的运算律求解即得. 【详解】由非零向量在向量上的投影向量为，得，则，而， 因此，所以. 故选：A 8. 已知是第一象限角，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知先确定是第三象限角，进而利用正余弦的平方关系求得，利用二倍角的正弦公式可求. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 当时，，所以是第三象限角； 当时，，所以是第一象限角； 又，所以是第三象限角，所以， 所以. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. （多选）关于平面向量，，，下列说法中正确的是（ ） A. B. C. 若，则与的夹角为钝角 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】运用向量的数量积定义，运算律,夹角概念逐个计算验证即可. 【详解】 A √ 根据向量的运算律可知，A正确 B × 表示与向量共线的向量，表示与向量共线的向量，则与不一定相等 C × 当两个非零向量与的方向相反时，，此时与的夹角为，不是钝角 D √ 若与中至少有一个零向量，则，此时与共线； 若与均为非零向量，设与的夹角为，则，可得． 又，所以或，即与共线，反之也成立． 综上， 故选：AD. 10. 已知，则下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由同角的三角函数，平方关系，二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】对于A，， 又，所以， 所以，故A错误； 对于B，；故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC 11. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.若规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与的关系为.下列说法正确的是（ ） A. B. 点第一次到达最高点需要的时间为 C. 在转动的一个周期内，点在水中的时间是 D. 若在上的值域为，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据三角函数基本量求解方法，结合题意即可判断A；根据旋转角度即可判断B和C；根据三角函数图像，结合整体代换的方法即可判断D. 【详解】对于A，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为， 则依题意，满足，所以， 因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，， 则，由可得， 又因为，所以，故A正确； 对于B，由已知得，与轴正方向的夹角为， 所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故B正确； 对于C，在转动的一个周期内，点在水中转动， 则所需要的时间是，故C错误； 对于D，若在上的值域为， 则在上的值域为， 因为，所以， 作出函数的图象，依题意需使 即，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的实际应用问题.关键点在于研究图形特点，通过数据转化为三角函数解析式的基本量，进而求解三角函数解析式，从而求解答案. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的加减运算法则以及数乘运算即可得出结果. 【详解】根据题意可知， ． 故答案为：. 13. 的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先运用诱导公式化简，再应用两角差余弦公式计算即可. 【详解】原式 ． 故答案为：． 14. 已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解. 【详解】因在上的投影向量为，即， 则，又，则得， 所以， 又，故向量与向量的夹角为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，将用基底来表示，即可求出的值； （2）将分别用基底来表示，然后在进行数量积运算即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 小问2详解】 显然， 所以 ……① 因为菱形，且，故. 所以. 故①式. 故. 16. 已知锐角的终边与单位圆相交于点. （1）求实数及的值； （2）求的值； （3）若，且，求的值. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解； （2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解； （3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解. 【小问1详解】 由于点在单位圆上，且是锐角，可得，， 则，； 【小问2详解】 因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. 【小问3详解】 因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 17. 设是不共线的两个非零向量． （1）若，求证：三点共线； （2）若与共线，求实数k的值，并指出与反向共线时k的取值 【答案】（1）证明见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）要证明三点共线，即证明三点组成的两个向量共线即可. （2）由共线性质求出参数即可. 【小问1详解】 由， 得， ， 所以，且有公共点B， 所以三点共线. 【小问2详解】 由与共线， 则存在实数，使得， 即， 又是不共线的两个非零向量，因此， 解得，或， 实数k的值是. 当时，与反向共线 18. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）将函数的图像向左平移单位长度，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间为，； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角正余弦公式及辅助角公式可得，再根据正弦型函数性质求最小正周期和递减区间. （2）由（1）及图象平移有，应用整体法及正弦函数的性质求区间值域. 【小问1详解】 由题设，， 所以的最小正周期为， 令，，解得，， 因此，函数的单调递减区间为，． 【小问2详解】 由（1）知，， 将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象， 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的图象， ∵，则， ∴，则． ∴在上的值域为． 19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$