精品解析：2025年江苏省镇江市丹徒区中考数学一模试卷

2025年江苏省镇江市丹徒区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年春节假期，是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年．镇江各大旅游景区、文博场馆、商业街区人流如潮，文旅市场呈现出“年味浓、人气旺、消费热”的繁荣景象．综合各方数据测算，2025年春节期间，镇江全市接待游客约7120000人次．数据7120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： 故选：C． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，一定要记准法则才能做题．根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、不是同类项，不能合并；故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误； D、，故本选项正确． 故选：D． 3. 一组数据3、3、4、5、6，它们的众数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力．注意众数可以不只一个． 【详解】解：这组数出现次数最多的是3， 这组数的众数是 故选：A 4. 等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当等腰三角形的底边长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的一条腰长， ， 能组成三角形； 当等腰三角形的一腰长为2时， 等腰三角形的周长为12， 它的底边长， ， 不能组成三角形； 综上所述：它的一条腰长是5， 故选：B 5. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子 的长是3米，则路灯的高为（ ） A. 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，得出∽是解决问题的关键．根据，得出∽，进而得出比例式求出即可． 【详解】解：由题意知，米，米，米，， 则米， ， ∽ ，即， 解得 ， 即路灯的高为8米； 故选：C． 6. 已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又点，都在一次函数的图象上，且， ． 故选：C． 7. 如图，在中， 的平分线与 的垂直平分线交于点D，连接．若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、 内角和定理、角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据三角形内角和定理求出 ，根据角平分线的定义求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，然后计算即可解答． 【详解】解：，， ， 是 的平分线，， ， 点D在 的垂直平分线上， ， ， 。 故选：B. 8. 如图，平行四边形 中，，以 为直径的 交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、平行四边形的性质及等边三角形的判定与性质，熟知弧长的计算公式及平行四边形的性质是解题的关键．先根据平行四边形的性质得出 的长，再连接求出的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】解：四边形 是平行四边形，且 ，， ，， 连接， ， 是等边三角形， ， 又， ， 故选：B． 9. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．设该店有客房x间，房客y人；每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房得出方程组即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得： ， 故选：A． 10. 为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（ ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数． 【详解】解：页和2页的人数和为14，中位数没有改变， 总人数不能超过27， ∵第二次抽查的同学，最少的练了3页， 第二次最多抽查：（人）； 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 【答案】x≠1 【解析】 【详解】根据题意得：x-1≠0，即x≠1. 故答案为：x≠1． 12. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 13. 如图，直线，第三条直线分别与直线相交于点E、F，如果，则_____°． 【答案】40 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等得出，再根据邻补角的定义即可得解．本题考查了平行线的性质，邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：40 14. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到，然后解方程即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：根据题意得， 解得 故答案为： 15. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是___________． 【答案】36° 【解析】 【分析】连接OC，OD，求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【详解】如图，连接OC，OD， ABCDE是正五边形， ∠COD ＝ ， ∠CPD=∠COD= 36°， 故答案为： 36°． 【点睛】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线 （点 在上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边 的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、三角形相似等知识，作 轴于点，求出点的坐标即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题． 【详解】解：作 轴于点， 由题意可知，， ， ， 矩形的顶点， ，， ， 点的对应点正好落在边 的中点处， ， 设，则， 在 中，， ， 解得， ，， ，， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 点落在反比例函数的图象上， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及到绝对值，特殊角三角函数，熟练掌握实数混合运算法则是解题的关键．根据实数运算法则，先进行幂的运算，绝对值和特殊角三角函数，再进行加减运算，即可得到结果． 【详解】解：  ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分． 分别解两个不等式得到和，然后根据大小小大中间找确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集为． 19. 如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）连接，求证：四边形 是平行四边形． 【答案】 证明：（1） 即 （2）证明： 四边形 是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先证明，再利用SSS证明 ； （2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形 是平行四边形即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． 20. 在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____； （2）小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率． 【答案】（1） （2） 画树状图如下， 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法、树状图法及概率公式是解题的关键． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【小问1详解】 解：若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是； 【小问2详解】 画树状图如下， 由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”有2种结果， ∴取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率为． 21. 为积极落实《关于在义务教育学校实施“专项行动”的通知》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目(A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球)，学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查，绘制成两幅不完整的统计图(如图所示)．请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次调查的学生总数是 人，选择羽毛球的学生人数为 人； （2）扇形统计图中，求B项目所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有学生950人，请估计有多少学生选修了排球． 【答案】（1）50，12 （2）扇形统计图中扇形B的圆心角度数是28．8° （3）估计有304名学生选修了排球 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计整体等知识点，掌握频率、频数、总数的关系是解题的关键． （1）从两个统计图可知，样本中喜欢“A：篮球”的学生有10人，占被调查人数的 ，根据频率=频数 总数即可求出被调查人数；再根据各组频数之和等于样本容量可求出喜欢“D：羽毛球”的人数； （2）求出样本中喜欢“B：足球”的学生人数占被调查人数的百分比，进而可求出相应圆心角的度数； （3）求出样本中喜欢“C：排球”的学生人数占被调查人数的百分比，进而估计总体中参喜欢“C：排球”的学生人数占被调查人数的百分比，根据频率=频数 总数进行计算即可． 【小问1详解】 解： 人， 样本中喜欢“D：羽毛球”的人数为． 故答案为：50，12． 【小问2详解】 解：． 答：扇形统计图中扇形B的圆心角度数是． 【小问3详解】 解：人． 答：估计有304名学生选修了排球． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． （1）求点C到的距离； （2）求点D到的距离．(结果均保留一位小数，参考数据： ，，，) 【答案】（1）点C到的距离为 （2）点D到的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数定义，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点C作于点E，由锐角三角函数定义求出 的长即可； （2）过点D作 于点F，过点D作 于点G，则四边形是矩形，得，由（1）可知，，再由锐角三角函数定义求出 的长，即可解决问题． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作于点E，则， 在中，， ， 答：点C到的距离为； 【小问2详解】 解：如图2，过点D作 于点F，过点D作 于点G， 则四边形是矩形， ， 由（1）可知，，， ， ， 在 中，， ， ， 答：点D到的距离约为 ． 23. 如图，在等腰中，为底边 上的高， 的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰上． （1）请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； （2）求证：与相切； （3）当，时，求的半径． 【答案】（1） 即为所求； （2） 证明：连接， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据题意作出图形即可； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判定定理得到结论； （3）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据三角函数的定义得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为  ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出图形是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接 、 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 的面积； （3）点M为线段 上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交于点．若与 的面积比为，则点M的坐标为 ． 【答案】（1）， （2）12 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． 将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． 分别求出和 的面积即可解决问题． 根据题意得出点M为 的中点，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， 将 代入得，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴，， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵与 的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为， 故答案为： 25. 一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)． 那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： 【活动1】 如图2，先对折正方形纸片，使与 重合，得到折痕 ，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线，对角线与、 、分别交于点、 、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分． （1）请说出点将边三等分的理由． 【活动2】 如图3，先对折正方形纸片，使与 重合，得到折痕 ，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在 上的点处，得到折痕和线段． （2）请说出 被、三等分的理由； （3）如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了 下方，延长交于点．若正方形纸片的边长为 ，此时 ，则 ． 【答案】（1） 证明：根据题意，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点将边三等分； （2） 证明：由折叠的性质可知，，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 和三等分 ； （3） 【解析】 【分析】（1）由 ，得到，求得，易证 ，再根据相似三角形的性质可推出，即可得到结论； （2）由折叠的性质得到，，，，求得， ，利用三角函数可知 ，于是得到和三等分 ； （3）由折叠的性质得到， ， ， ，易证，根据全等三角形的性质得到 ，设， ， ，最后根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由折叠的性质得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用这些性质是解题的关键． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接 ． （1）求二次函数的函数表达式； （2）若，则点P的坐标为 ； （3）如图2，延长 交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】（1） （2） （3）① ；② 【解析】 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于 对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为： ； 【小问2详解】 解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于 对称， 设直线的表达式为： ， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； 【小问3详解】 解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线 的表达式为：， 联立 和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知， ， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省镇江市丹徒区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025年春节假期，是中国“春节”申遗成功后的首个农历新年．镇江各大旅游景区、文博场馆、商业街区人流如潮，文旅市场呈现出“年味浓、人气旺、消费热”的繁荣景象．综合各方数据测算，2025年春节期间，镇江全市接待游客约7120000人次．数据7120000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据3、3、4、5、6，它们的众数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 等腰三角形的周长是12，底边长为2，那么它的一条腰长是（ ） A. 2 B. 5 C. 6 D. 4 5. 如图，身高米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子 的长是3米，则路灯的高为（ ） A. 5米 B. 米 C. 8米 D. 10米 6. 已知点，都在一次函数的图象上，那么与的大小关系是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中， 的平分线与 的垂直平分线交于点D，连接 ．若，，则 的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，平行四边形中，，以 为直径的 交于点E，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 9. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗的大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．设该店有客房x间，房客y人，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 为了解学生练字的情况，学校第一次随机抽查24名学生上一周练字的字帖页数(保留整数)，情况统计如下表．第二次学校又随机抽查了一些同学，其中最少的练了3页，将第二次抽查的数据与第一次抽查数据合并，发现合并后的数据的中位数没有发生改变，则第二次最多抽查了（ ）人 页数 1 2 3 4 人数 5 9 6 4 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 使分式有意义的x的取值范围是_________． 12. 分解因式：x2－9＝______． 13. 如图，直线，第三条直线分别与直线相交于点E、F，如果，则_____°． 14. 关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值是______． 15. 如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，点P是的一点，则∠CPD的度数是___________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，将矩形沿直线 （点在 上，点在上）折叠，点的对应点正好落在边 的中点处，点的对应点落在反比例函数的图象上，则 ______． 三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18. 解不等式组： 19. 如图，点 在一条直线上， ． （1）求证： ； （2）连接，求证：四边形是平行四边形． 20. 在一个不透明的纸箱里，有分别标有汉字“育”“才”“锦”“绣”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“锦”字的概率是_____； （2）小红从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“锦绣”的概率． 21. 为积极落实《关于在义务教育学校实施“专项行动”的通知》，学校需确保每日综合体育活动时间不低于2小时，课间活动时长统一调整为15分钟．某校开设了“一人一球”体育拓展课程，学生可根据自己的喜好选择一门球类项目(A：篮球；B：足球；C：排球；D：羽毛球；E：乒乓球)，学校随机对该校部分学生的选课情况进行调查，绘制成两幅不完整的统计图(如图所示)．请根据以上信息，回答下列问题： （1）此次调查的学生总数是 人，选择羽毛球的学生人数为 人； （2）扇形统计图中，求B项目所对应的扇形圆心角的度数； （3）若该校有学生950人，请估计有多少学生选修了排球． 22. 图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，可分别绕点A，C转动，测得．小明爸爸把支架调整到适合的位置，测得． （1）求点C到 的距离； （2）求点D到 的距离．(结果均保留一位小数，参考数据： ，，，) 23. 如图，在等腰中，为底边 上的高， 的角平分线交于点D，经过C、D两点且圆心O在的腰 上． （1）请画出(尺规作图，保留作图痕迹)； （2）求证：与相切； （3）当，时，求的半径． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，与x轴，y轴分别交于C、D两点，点，点C为线段的中点，连接 、 ． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）求 的面积； （3）点M为线段 上一动点(不与点A、O重合)，过点M作直线，使得，交 于点．若与 的面积比为，则点M的坐标为 ． 25. 一张正方形纸片，我们通过折纸，可以将它的边、角进行平分(如图1)． 那如何通过折纸，将正方形纸片的边、角进行三等分呢？小明进行了如下的尝试： 【活动1】 如图2，先对折正方形纸片 ，使与 重合，得到折痕 ，然后再对折，得到折痕、，展开后折出对角线 ，对角线 与、 、分别交于点、、，最后沿折叠，得到折痕，则点将边三等分． （1）请说出点将边三等分的理由． 【活动2】 如图3，先对折正方形纸片 ，使与 重合，得到折痕 ，然后把纸片展平，再次折叠纸片，使点落在 上的点处，得到折痕和线段． （2）请说出 被、三等分的理由； （3）如图4，在折叠过程中，不小心将点往右去了一点，点的对应点落到了 下方，延长交 于点．若正方形纸片的边长为 ，此时 ，则 ． 26. 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接 ． （1）求二次函数的函数表达式； （2）若，则点P的坐标为 ； （3）如图2，延长 交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $