第四章 指数函数与对数函数-培优点 指、对、幂的大小比较课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

培优点 指、对、幂的大小比较 【考试提醒】 指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置． 【核心题型】 题型一　直接法比较大小 利用特殊值作“中间量” 在指数、对数中通常可优先选择“－1,0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22<log23<log24＝2，进而可估计log23是一个1～2之间的小数，从而便于比较． 命题点1　利用函数的性质 【例题1】（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】由 在R上单调递增，可得 ， 又 ，则 ． 由 在 上单调递增，可得 ． 由 在 上单调递增，可得 ．所以 ，故选：A 【变式1】（2024·四川德阳·二模） 已知 ，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， 观察 的式子结构，构造函数 ，则 ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 因为 ，所以 ，即 ， 所以 ，即 ，即 ； 又 ，所以 ，即 ； 综上， .故选：B. 【变式2】（2023·甘肃平凉·模拟预测）已知幂函数 的图象过点 ， 设 ， 则a、b、c的大小用小于号连接为 ． 【详解】幂函数 的图象过点 ， 则 ， 所以幂函数的解析式为 ，且函数 为单调递增函数， 又 ，所以 ，即 . 故答案为： 【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模） 若 ， 则实数 由小到大排列为 < < . 【详解】依题意， ， 而 ， 令函数 ， 求导得， 因此函数 在 上单调递增， 而 ，于是 ， 又 ，所以 . 故答案为：b；c；a 命题点2　找中间值 【例题2】（2024·陕西西安·模拟预测） 已知 ， ， ，则（     ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， ，所以 ． 故选：C 【变式1】（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测） 已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题得， 而 ，所以 ， 所以 .故选：A. 【变式2】（2024·四川成都·三模）四个数 中最大的数是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， ， ， .所以 最大.故选：B 【变式3】（2024·北京石景山·一模） 设 ， ， ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】 ， ， 而 ，则 ，即 ， 所以 . 故选：B 命题点3　特殊值法 【例题3】（2024·全国·模拟预测）若 ，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ，所以 ， 当 时，解得 ；当 时，解得 ， 所以 ，即 ，A，B错误. 当 时， ，C错误. 因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，即 ，D正确.故选：D 【变式1】（多选）（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（     ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】对A，因为 ，则两边同乘 得 ，两边同乘 得 ， 则 ，故A正确； 对B，当 时， ，故B错误； 对C，因为 ，则 ，又因为 ， 所以 ，故C正确； 对D，举例， 则 ， 而 ，此时两者相等，故D错误.故选：AC. 【变式2】（多选）（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（    ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【详解】选项A：当 时， ， 所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，故选项A正确； 选项B：由 得 ，所以 ，故选项B正确； 选项C：令 ，满足 ，但 不成立，故选项C错误； 选项D：由 得 ，因为 ，所以 ，所以 ，故选项D正确． 故选：ABD. 【变式3】（2024·上海静安·二模）在下列关于实数 的四个不等式中，恒成立的是 ．（请填入全部正确的序号） ①； ②； ③； ④． 【详解】对于①，取 ，故①错误； 对于②， ，故②正确； 对于③，当 ，要证 ，即证 ， 即 ，即证 ， 而 恒成立， 当 时， ，所以 ，故③正确. 对于④， ，所以 ，故④正确. 故答案为：②③④. 题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小 求同存异法比较大小 如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况． 【例题4】（2024·天津·一模）已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为， ， ， 因为 在 上单调递增， 所以 ，所以 .故选：B 【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测） 已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意得， 且， 又 ，故 ，故选：C 【变式2】（2024·广东肇庆·模拟预测） 已知 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】幂函数 在 上单调递增， 故 ，又 ， 所以 .故选：A. 【变式3】（2024·四川攀枝花·二模） 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】易知 在 上单调递增， 则 ，即 ， 而由 单调递增，得 ，即， 又 单调递增，故 则 ，故选：A 题型三　构造函数比较大小 某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小． 【例题5】（2024高三·全国·专题练习） 若 ， ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【详解】设， 则当 时, 在 单调递减， 当 时， 在 单调递增，故当 ，故 当且仅当 时取等号， 当 在 单调递增， 当 在 单调递减，所以 ，故 ，当且仅当 时取等号， 所以 ，故 ． ，故 因此 ，故选：A 【变式1】（2024·辽宁·二模） 若 ，则（    ） A． B． C． D． 【详解】令 ，则， 令 ，则 在区间 上恒成立， 即 在区间 上单调递减，又 ， 而 ，所以， 即 在区间 上单调递增，所以， 得到 ，即 ，所以， 令 ，则 ，当 时， ， 即 在区间 上单调递增， 所以 ，得到， ，即 ，所以 ， 综上所述， ，故选：B. 【变式2】（2023·辽宁·模拟预测） 已知 ，试比较 的大小关系（    ） A． B． C． D． 因为函数 是正实数集上的增函数， 故 ， 即 ，所以 ，故选：C 【详解】设 ，当 时， ， 单调递减，所以有 ，因为 ，所以， 设 ，设 ， 当 时， ，函数 单调递减， 因为 ，所以， 【变式3】（2023·湖南·模拟预测）设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为 ， ， 故构造函数 ，则 ，令 ，解得， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时， ， 在 上单调递减， 又因为 ， ， 所以 ， ．因为 ，又 ， 所以 ，即 ，故， 故选：A． $$