第四章 章末整合（四）指数函数与对数函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了第四章的研究对象与方法、方程类型、解法、定解条件及分类等核心知识，通过知识体系建构模块将分离变量法、叠加原理等解法与方程类型、定解条件串联，帮助学生构建完整知识网络，明晰内在逻辑联系。 其亮点在于融合高频考点聚焦、高考真题溯源与章末过关检测，如真题溯源通过教材资源分析和题型归纳培养学生数学思维，章末检测分层设计兼顾不同水平学生。PPT支持任意编辑，教师可个性化调整内容，既助力学生巩固知识提升能力，也为教师精准教学提供高效支持。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第四章 指数函数与对数函数 3 目 录 高频考点聚焦 高考真题溯源 章末过关检测卷 知识体系建构 知识体系建构 高频考点聚焦 高考真题溯源 章末过关检测卷 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 题型一　指数、对数的运算 指数、对数的运算主要考查对数与指数的互化，对数、指数的运算性质以及换底公式等，会利用运算性质进行化简、计算、证明． 例1　(2025·浙江宁波期中)计算： －log3＋2log32－3π0＋log38； (2)lg22＋lg 2lg 5＋lg 5－log23·log35·log58. 解：(1)原式＝－log325＋log39＋2log32－3＋3log32＝3－5log32＋2＋2log32－3＋3log32＝2. (2)原式＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋lg 5－＝lg 2＋lg 5－＝1－3＝－2. 类题通法 (1)指数的运算：注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算。 (2)对数的运算：注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，一般本着真数化简的原则进行。 【迁移运用】 1.(1)已知10m＝2，10n＝2，求的值； (2)已知lg 2＝a，lg 3＝b，试用a，b表示lg . 解：＝1. (2)lg ＝lg 25－lg 18＝lg 52－lg (32×2)＝2lg 5－lg 32－lg 2＝2lg －2lg 3－lg 2＝2(lg 10－lg 2)－2lg 3－lg 2＝2lg 10－2lg 2－2lg 3－lg 2＝2－3a－2b. 题型二　指数、对数的图象及其应用 掌握指数函数、对数函数图象的作法以及简单的图象平移翻折变换，提升直观想象和逻辑推理素养． 例2　已知函数f(x)＝|log3x|，若b>a>0，且a，b是f(x)的图象与直线y＝m(m>0)的两个交点对应的横坐标，则4a＋b的最小值为(　　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B.根据题意画出图象如下图所示： 易知|log3a|＝|log3b|＝m，又b>a>0，可知b>1>a>0， 所以－log3a＝log3b，即log3a＋log3b＝0，∴ab＝1， 所以4a＋b＝＝4， 当且仅当b＝2时，等号成立，即4a＋b的最小值为4. 类题通法 　 指数函数、对数函数的图象及应用的两个方面 已知函数解析式求作函数图象，即“知式求图”； (2)判断方程的根的个数时，通常不具体解方程，而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点个数问题． 【迁移运用】 2.若函数f(x)＝loga(x＋b)的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是(　　 ) 解析：选B.由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象为减函数可知，0<a<1， 再由图象的平移变换知，f(x)＝loga(x＋b)的图象由f(x)＝logax向左平移不超过一个单位，可知0<b<1， 故函数g(x)＝ax＋b的图象递减，且1<g(0)＝1＋b<2，则符合题意的只有B中图象． 题型三　指数对数函数性质的综合 以函数的性质为依托，结合运算考查函数的图象性质，以及利用性质进行大小比较、方程和不等式求解等．在解含对数式的方程或不等式时，不能忘记对数中真数大于0，以免出现增根或扩大范围． 例3　(2025·福建厦门期中)已知函数f(x)＝＋1为奇函数．(e为常数，e≈2.718…) (1)求a的值及函数的值域； (2)用函数单调性的定义证明函数f(x)在R上是增函数； (3)求不等式f(4－x)＋f(4－5×2－x)≤0的解集． 解：(1)函数f(x)＝＋1是奇函数，其定义域为R， 则f(0)＝＋1＝0，解得a＝－2，于是f(x)＝， f(－x)＝＝－f(x)，函数f(x)为奇函数，所以a＝－2； 由ex＋1>1，得－2<－<0，因此－1<＋1<1， 所以函数f(x)的值域为(－1，1)． (2)证明：任取x1，x2∈R，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝， 由x1<x2，得，则＋1>0， 于是f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数在R上是增函数． (3)函数f(x)是R上的奇函数，且在R上是增函数， 则f(4－x)＋f(4－5×2－x)≤0⇔f(4－x)≤－f(4－5×2－x)＝f(5×2－x－4)， 于是(2－x)2≤5×2－x－4，整理得(2－x－1)(2－x－4)≤0， 解得1≤2－x≤4，即0≤－x≤2，解得－2≤x≤0， 所以原不等式的解集为{x|－2≤x≤0}． 类题通法 　　　 对于指数函数和对数函数，注意底数a对函数单调性的影响；对于幂函数y=, 注意指数α对函数单调性的影响。根据函数的单调性可以比较函数值的大小和求不等式的解集. 【迁移运用】 3.(1)(2025·江苏镇江开学考试)设a＝2log32，b＝log23，c＝，则a，b，c的大小顺序为(　　 ) A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a 解析：选D.∵3a＝6log32＝log364<log381＝4， 3b＝3log23＝log227>log216＝4，又3c＝4， ∴3a<3c<3b，即b>c>a. (2)若f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)在R上为增函数，则g(x)＝loga(x2＋2x－3)的单调递增区间为(　　 ) A．(－1，＋∞) B．(1，＋∞) C．(－∞，－3) D．(－∞，1) 解析：选B.函数y＝ax与y＝在R上有相同的单调性，即函数f(x)＝ax－a－x与函数y＝ax在R上有相同的单调性， 因此函数y＝ax在R上单调递增，a>1，在g(x)＝loga(x2＋2x－3)中，x2＋2x－3>0，解得x<－3或x>1， 显然函数y＝x2＋2x－3 在(－∞，－3)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以函数g(x)＝loga(x2＋2x－3)的单调递增区间为(1，＋∞)． 题型四　函数的零点与方程的根 函数的零点主要考查零点个数以及零点所在区间，主要利用了转化思想，把零点问题转化成函数与x轴的交点以及两函数图象的交点问题． 例4　函数f(x)＝－的零点所在区间为(　　 ) A．(1，2) B．(2，3) C．(3，4) D．(4，5) 解析：选A.函数f(x)定义域为(0，＋∞)， 因为y＝在区间(0，＋∞)上单调递减，y＝log2x在区间(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 因为f(1)＝1－>0，f(2)＝<0， 所以f(x)的零点所在区间为(1，2)． 类题通法 (1)函数的零点与方程的根的关系：方程f(x)=0有实数根→函数y=f(r)的图象与x轴有交点→函数y=f(r)有零点。 (2)确定函数零点的个数有两个基本方法：利用图象研究与c轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断。 【迁移运用】 4.已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－k有2个零点，则实数k的取值范围是(　　 ) A．(0，＋∞) B．(0，＋∞)∪{－1} C．[0，＋∞) D．(－1，＋∞) 解析：选A.由题意，f(x)与y＝k有2个交点， 当x>0时，f(x)单调递增且值域为(－1，＋∞)； 当x≤0时，f(x)在(－∞，－2)上单调递减，(－2，0]上单调递增且值域为[－1，＋∞)； 所以f(x)的图象如下， 由图知当k>0时，g(x)＝f(x)－k有2个零点． 1．(2024·天津卷)若a＝4.2-0.3，b＝4.20.3，c＝log4.20.2，则a，b，c的大小关系为(　　 ) A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a 　人教A版必修第一册P119习题4.2T6和P141习题4.4T13. 　本题型常以选择题或填空题的形式出现，要求比较多个或两个指对幂式子的大小，有时也和函数的性质、不等式等知识综合考查． 　本题主要利用指数函数、对数函数的单调性，并合理引入中间值1辅助比较，这类问题必要时还要通过对数运算法则变形或构造函数，结合函数性质来比较大小． 　 选B.因为y＝4.2x在R上递增，且－0.3<0<0.3， 所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3， 所以0<4.2-0.3<1<4.20.3，即0<a<1<b， 因为y＝log4.2x在(0，＋∞)上递增，且0<0.2<1， 所以log4.20.2<log4.21＝0，即c<0， 所以b>a>c. 2．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数为f(x)＝在R上单调递增，则a取值的范围是(　　 ) A．(－∞，0] B．[－1，0] C．[－1，1] D．[0，＋∞) 　人教A版必修第一册P120习题4.2T10、P132探究． 　该题综合了指数函数、对数函数和分段函数的性质，重点考查对不同函数单调性的理解和运用，同时涉及分段函数在分段点处函数值的衔接情况，以及根据单调性建立关于参数的不等式(组)并求解． 　 选B.因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)＝ex＋ln (x＋1)单调递增，则需满足解得－1≤a≤0， 即a的范围是[－1，0]. 3．(2023·新高考Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)为偶函数，则a＝(　　 ) A．－1 B．0 C． D．1 　人教A版必修第一册P84例6、P124例3. 　这类题型通常给出含有对数运算的函数表达式，要求判断函数的奇偶性，或者根据函数的奇偶性求参数的值、确定函数的某些性质等．综合考查对数的运算性质以及函数奇偶性的定义和性质． 　 选B.法一(定义法)：首先确定函数f(x)＝(x＋a)ln 的定义域为x≠且x≠－，关于原点对称．因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，即(x＋a)＝(－x＋a)，则x＋a＝－(－x＋a)恒成立，所以a＝0. 法二(特殊值法)：函数f(x)定义域关于原点对称，因为f(x)为偶函数，取x＝1，则f(－1)＝f(1)，即(－1＋a)ln ＝(1＋a)ln ，解得a＝0. 法三(性质法)：设g(x)＝ln ，可证g(x)是奇函数．因为f(x)＝(x＋a)g(x)为偶函数，所以y＝x＋a为奇函数，可得a＝0. 法四(验证排除法)：对于选项A，当a＝－1时，f(－1)≠f(1)，不满足f(x)为偶函数，排除该选项；同理，对于选项D，当a＝1时，f(－1)≠f(1)，排除；对于选项C，经验证也不满足f(x)为偶函数，排除． 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若，则(　　 ) A．a∈R B．a＝0 C．a> D．a≤ 解析：选D.由，可得1－2a≥0，即a≤. 2．设函数f(x)＝＝(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：选D.函数f(x)＝＝2＋5＝7. 3．函数f(x)＝ln x＋3x-1－6的零点所在区间为(　　 ) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选C.f(1)＝ln 1＋31-1－6＝－5<0，f(2)＝ln 2＋32-1－6＝ln 2－3<0，f(3)＝ln 3＋33-1－6＝ln 3＋3>0，f(x)＝ln x＋3x-1－6为(0，＋∞)上的连续函数，且单调递增，由零点存在定理得f(x)＝ln x＋3x-1－6的零点所在区间为(2，3)． 4．如图是根据原卫生部公布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高的中位数散点图，则下列可近似刻画身高y(单位：cm)随年龄x变化规律的函数模型是(　　 ) A．y＝mx＋n(m>0) B．y＝m＋n(m>0) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>1) 解析：选B.A选项，由散点图知身高y随年龄x变化不是线性增长，故A错误；C选项，指数函数模型中y随x增长越来越快，与图象不符合，故C错误；D选项，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误；B选项符合散点图中y随x增长越来越慢，且在x＝0时有意义． 5．已知函数f(x)＝是(1，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　 ) A． B． C． D. 解析：选C.由题意得解得0<a≤. 6．若函数f(x)＝loga(x＋1)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P的单调递增区间为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A.在函数f(x)＝loga(x＋1)＋2(a>0且a≠1)中，令x＋1＝1，得x＝0，f(0)＝2，因此函数f(x)的图象恒过定点(0，2)，依题意，m＝0，n＝2，函数g(x)＝ex2－2x定义域为R， 令u＝x2－2x，函数u＝x2－2x在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝eu在R上单调递增， 因此函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减， 所以函数g(x)＝e(m＋1)x2－nx的单调递增区间为(1，＋∞)． 7．若方程x2＋ln x－4＝0在区间(a，b)(a，b是整数，且b－a＝1)上存在一个实数根，则a＋b＝(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A.令f(x)＝x2＋ln x－4，易知f(x)在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝－3<0，f(2)＝ln 2>0，由零点存在定理，知存在唯一一个x0∈(1，2)，使得f(x0)＝0，此时a＝1，b＝2，满足b－a＝1，所以a＋b＝3. 解析：选C.由集合A的子集只有两个，知集合A中只有一个元素． 当a＝0时，A＝{x|ax2－3x＋2＝0}＝{x|－3x＋2＝0}＝{ eq \f(2,3)}，符合题意； 当a≠0时，方程ax2－3x＋2＝0只有一个解，则Δ＝9－8a＝0，解得a＝ eq \f(9,8). 综上，a＝0或a＝ eq \f(9,8). 8．已知2 023a＝2 035，2 035b＝2 023，c＝log2 0502 023，则(　　 ) A．ac<bc B．ca<cb C．logac>logbc D．logca>logcb 解析：选B.a＝log2 0232 035>log2 0232 023＝1，b＝log2 0352 023<log2 0352 035＝1.因为b＝所以b>c>0，即a>1>b>c>0.由幂函数的性质可知，ac>bc，故A错误；由指数函数的性质可知，ca<cb，故B正确；因为logbc>logb1＝0，logac<loga1＝0，所以logac<logbc，故C错误；由对数函数的性质可知，logca<logcb，故D错误． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．若logab<0，则函数f(x)＝ax＋b的大致图象可以是(　　 ) 解析：选BC.logab<0＝loga1，则当0<a<1时，y＝logax在定义域内单调递减，∴b>1，此时f(x)＝ax＋b>1，且f(x)在定义域内单调递减，B成立，D错误；当a>1时，y＝logax在定义域内单调递增，∴0<b<1，f(x)在定义域内单调递增，且x趋近于－∞时，f(x)趋近于b，A错误，C成立． 10．已知函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)，则(　　 ) A．f(x)的定义域为(0，2) B．f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减 C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 解析：选ABC.要使f(x)＝ln x＋ln (2－x)有意义，则解得0<x<2，所以f(x)的定义域为(0，2)，所以A正确； f(x)＝ln [x(2－x)]＝ln [－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f(x)＝ln x＋ln (2－x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以B正确； f(1－x)＝ln (1－x)＋ln (x＋1)，f(1＋x)＝ln (x＋1)＋ln (1－x)，所以f(1－x)＝f(1＋x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以C正确；f＝ln ＋ln ＝＝ln ＋ln ＝ln ，所以f＝所以D错误． 11．已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则(　　 ) A．实数m的取值范围为{m|0<m<3} B．函数f(x)在(－∞，0)，单调递增 C．x1x2x3的取值范围为(－3e-4，0) D．函数g(x)＝f(f(x))有4个零点 解析：选BD.作出y＝f(x)的图象，如下图所示： 对于A选项，由图象可知，当0<m≤3时，直线y＝m与函数f(x)的图象有三个交点，所以，实数m的取值范围为{m|0<m≤3}，故A错误； 对于B选项，由图象可知，函数f(x)在(－∞，0)，单调递增，在单调递减，故B正确； 对于C选项，由图象可知，x1的取值范围为－3<x1≤0， 由|ln x2＋2|＝|ln x3＋2|，即－(ln x2＋2)＝＋2， 可得ln x2＋ln x3＝ln (x2x3)＝－4，解得x2x3＝e-4，则x1x2x3∈(－3e-4，0]， 所以x1x2x3的取值范围为(－3e-4，0]，故C错误； 选项D，由g(x)＝f(f(x))＝0，令f(x)＝t，则f(t)＝0，解得t＝－3或t＝， 由图象可知f(x)＝－3时，方程有1个解；f(x)＝时，方程有3个解， 所以函数g(x)有4个零点，故D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知函数f(x)＝ax-1＋1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，试写出一个同时满足下列条件的对数型函数g(x)的解析式：________． ①图象恒过点A；②是偶函数；③在(0，＋∞)上单调递减． 解析：函数f(x)＝ax-1＋1中，令x－1＝0，解得x＝1，f(1)＝a0＋1＝2，所以f(x)的图象恒过点A(1，2)．取g(x)＝＋2，则g(1)＝2，满足条件①；g(x)＝g(－x)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，则g(x)是偶函数，满足条件②；易知g(x)在(0，＋∞)上单调递减，满足条件③.故答案可以为g(x)＝＋2. 答案：g(x)＝＋2(答案不唯一) 13．函数f－ln x＋2的零点在区间，k∈Z，则k＝________． 解析：由题意知，函数y＝，y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减， 所以函数f(x)＝－ln x＋2在(0，＋∞)上连续且单调递减， 又f(e2)＝＝－1<0， 所以f<0，则函数f(x)的零点在区间(e2，e3)上， 又因为函数f(x)的零点在区间(ek，ek+1)(k∈Z)上，所以k＝2. 答案：2 14．函数f(x)＝＋2ln x，若f(a2)＋f(b)＝0，则a2＋3b的最小值为________． 解析：函数f(x)＝＋2ln x的定义域为(0，＋∞)， 又f＝＋2ln －2ln x， 则f(x)＋f＝0，因为f(a2)＋f(b)＝0， 所以a2b＝1(b>0，a2>0)， 所以a2＋3b≥2，当且仅当a2＝3b，即b＝时取等号． 答案：2 15．(13分)计算： －0； (2)2－＋lg 25－lg 8－ln . 解：(1)原式＝＝－45. (2)原式＝3－3＋lg . 16．(15分)用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，并判断真假，说明理由． (1)对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0有唯一解或无解； (2)存在实数x，使得 eq \f(1,|x＋1|＋1)＝2. 解：(1)∵点(4，2)在函数f(x)的图象上，∴f(4)＝loga4＝2，∴a＝2， ∴f(x)＝ (2)∵方程f(x)－2m＝0有两个不相等的实数根， ∴直线y＝2m与函数y＝f(x)有两个不同的交点． 结合图象(图略)可得2m≤2，解得m≤1， ∴实数m的取值范围为(－∞，1]. 17．(15分)已知f(x)＝9x－2×3x＋4，x∈[－1，2]. (1)设t＝3x，x∈[－1，2]，求t的最大值与最小值； (2)求f(x)的最大值与最小值． 解：(1)∵x∈[－1，2]，函数t＝3x在[－1，2]上单调递增，故有≤t≤9，故t的最大值为9，t的最小值为. (2)设t＝3x，由f(x)＝9x－2×3x＋4，即y＝t2－2t＋4＝(t－1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t＝1，且≤t≤9， 故当t＝1即x＝0时，函数f(x)有最小值3，当t＝9即x＝2时，函数f(x)有最大值67. 18．(17分)西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1 200多年历史．泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在25 ℃室温下，龙井用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从85 ℃开始，经过x分钟后的温度为y ℃且满足y＝kax＋25. (1)求常数k的值； (2)经过测试可知a＝0.922 7，求在25 ℃室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？(结果精确到1分钟)(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1，lg 0.922 7≈－0.034 9) 解：(1)茶水温度从85 ℃开始， 即当x＝0时，y＝k＋25＝85，解得k＝60. (2)当a＝0.922 7时，y＝60×0.922 7x＋25， 当y＝60时，60×0.922 7x＋25＝60，即0.922 7x＝， 则x＝log0.922 7≈6.704 9， 故刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感． 19．(17分)(新定义)已知 A是非空数集，如果对任意x，y∈A，都有x＋y∈A，xy∈A，则称A是封闭集． (1)判断集合 B＝{0}，C＝{－1，0，1}是否为封闭集，并说明理由． (2)判断以下两个命题的真假，并说明理由． 命题p：若非空集合A1，A2是封闭集，则A1∪A2也是封闭集． 命题q：若非空集合A1，A2是封闭集，且A1∩A2≠∅，则 A1∩A2也是封闭集． 解：(1)f(x)为奇函数．证明如下： 由>0，得x<－3或x>3， 即函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(3，＋∞)，关于原点对称， f(－x)＝loga＝loga＝loga＝－loga＝－f(x)， 所以f(x)为奇函数． (2)由题意知，g(x)＝＝，由>0，解得x<0或x>6， 即g(x)的定义域为(－∞，0)∪(6，＋∞)， 又函数y＝＋1在(－∞，0)，(6，＋∞)上单调递增， 当0<a<1时，g(x)在(－∞，0)，(6，＋∞)上单调递减， 此时g(x)的减区间为(－∞，0)，(6，＋∞)，无增区间； 当a>1时，g(x)在(－∞，0)，(6，＋∞)上单调递增， 此时g(x)的增区间为(－∞，0)，(6，＋∞)，无减区间． (3)由loga(an)<loga(am)，m<n，得0<a<1， 又an>0，am>0，得m>0，n>0，所以6<m<n. 所以g(x)在(6，＋∞)上单调递减，则g(x)在[m，n]上的值域为[g(n)，g(m)]， 得即 所以m，n是方程＝ax即ax2－x＋6＝0在(6，＋∞)的两个不同的根， 则解得0 <a<. 所以存在满足题意的m，n，此时a的取值范围为. $