精品解析：山东省泰安市宁阳县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024－2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 某初中九年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面扇形统计图，请根据相关信息，判断下列说法错误是（ ） A. B. 中位数是11分 C. 平均数为10分 D. 众数为12分 6. 如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，，面积为16，请计算的值为（ ） A. 72 B. 24 C. D. 160 7. 为改善生态环境，某环卫队计划在路边荒地上种植960棵树．由于青年志愿者的加入，实际每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分面积是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 10. 如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点P；以点P为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点Q；作射线交于点F，则的长为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 10 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，分别以Rt△ABC直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　） A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②④ 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）＝_____． 14. 有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是_____． 15. 若关于的分式方程有增根，则的值为______． 16. 如图，将周长为8的沿BC边向右平移2个单位，得到，则四边形的周长为________． 17. 如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是_________． 18. 如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）解分式方程： （2）利用因式分解说明能被70整除． 20. 先化简，再从的范围内选取一个合适的整数代入求值. 21. 2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如下统计分析： 【收集数据】要求每班派10名同学参加（满分10分，成绩为整数）． 【整理数据】比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总． 【描述数据】甲班成绩绘制成如下不完整的统计图． 甲班成绩条形统计图 乙班成绩绘制成如下统计表： 得分 6 7 8 9 10 人数 5 2 1 1 1 【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示， 平均数 中位数 众数 方差 甲班 7.1 8 1.69 乙班 6.5 1.89 你根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）______，______，______； （3）参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______班的学生（填“甲”或“乙”） （4）你认为甲、乙两个班哪个班的成绩更好？请你结合上表中的统计量说明理由． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 23. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 24. 如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，．求的的长． 25. 在四边形中，、分别是、的中点． （1）如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． （2）如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． （3）如图3，在中，，点在上，，、分别是、中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第一学期期末质量检测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷为选择题，48分；第Ⅱ卷为非选择题，102分 2．数学试题答题卡共2页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第Ⅱ卷按要求碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第Ⅰ卷（选择题共48分） 一、选择题（本题共12小题，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，不选或选出的答案超过一个均记零分）． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A不符合题意； B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．根据最简分数的定义进行判定即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； 是最简分式，故选项C符合题意； ，故选项D不符合题意； 故选C． 3. 下列因式分解中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解的方法，根据分解因式的方法求解即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，据此进行分析解答即可． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意； D、，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 如如图，在直角坐标系中，各点坐标分别为，，．先作关于原点中心对称的，再把平移后得到．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——平移（已知点平移前后的坐标，判断平移方式；由平移方式确定点的坐标）等知识点，熟练掌握坐标与图形变化——轴对称，坐标与图形变化——平移是解题的关键． 先求出点、关于原点对称的点、的坐标，然后根据点、判断出平移方式，再根据点及平移方式确定出点的坐标即可． 【详解】解：与关于原点中心对称，且，， ，， 把平移后得到，且， 向上平移了个单位长度， ，即， 故选：． 5. 某初中九年级有2000名学生，在体育中考前进行一次模拟体测从中随机抽取部分学生，根据其测试成绩制作了下面扇形统计图，请根据相关信息，判断下列说法错误的是（ ） A. B. 中位数是11分 C. 平均数为10分 D. 众数为12分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数，平均数，众数的定义，准确理解扇形统计图中的信息是解题的关键．根据扇形统计图进行计算即可． 【详解】解：，故选项A正确，不符合题意； 由扇形统计图可知中位数是11分，故选项B正确，不符合题意； 平均数为8×8%+9×10%+10×22%+11×28%+12×32%=10.66，故选项C错误，符合题意， 众数12分，故选项D正确，不符合题意； 故选C 6. 如图，小明准备设计一个长方形的手工作品，已知长方形的边长为、，，面积为16，请计算的值为（ ） A. 72 B. 24 C. D. 160 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用因式分解对代数式进行变形是解题的关键． 根据长方形的面积可得，再对多项式进行因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：∵长方形面积为16， ∴， ∴． 故选：A． 7. 为改善生态环境，某环卫队计划在路边荒地上种植960棵树．由于青年志愿者的加入，实际每天比原计划多种20棵，结果提前4天完成任务，问原计划每天种植多少棵?设原计划每天种植x棵，根据题意列出方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意可知原计划每天种植棵，则实际每天种植棵，根据题意可得等量关系：原计划种植960棵树所用的天数=实际种植960棵所用的天数，根据等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划每天种植棵，则实际每天种植棵， 根据题意可得： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，弄清题意，根据等量关系正确列出方程是解题的关键． 8. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角与外角、平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和是是解题的关键．求出正五边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： 正五边形的一个外角的度数为：， 正五边形的一个内角的度数为：， 即：，， 一束太阳光线平行照射在放置于地面的正五边形上，， ， ， ； 故选：D． 9. 如图，是平行四边形内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的面积公式和平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于平行四边形面积的一半，即可得到答案． 【详解】解：设两个阴影部分三角形的高为， 则为平行四边形的高， ． 故选D． 10. 如图，在中，，，，D，E分别是的中点，连接．以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N；以点D为圆心，长为半径画弧，交于点P；以点P为圆心，长为半径画弧，交前面的弧于点Q；作射线交于点F，则的长为（ ） A. B. 7 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，基本作图，根据三角形中位线定理，结合基本作图可证得四边形是平行四边形是解决问题的关键．由勾股定理求出，根据三角形中位线定理得到，，结合基本作图可证得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出． 【详解】解：在中，，，， ， ，分别是，的中点， ，， ， 由作图可知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：A 11. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，点的坐标为，点是上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，使点恰好落在上，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，坐标与图形变化-旋转，全等三角形的判定和性质．过点D作于E，根据旋转的性质可得，，再利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，再证明是等腰直角三角形，可得，然后写出点D的坐标即可． 【详解】解：∵直线分别与轴、轴交于点、， ∴令，则； 令，则，故； ∴， 如图，过点D作于E， ∵将绕C点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∴点D的坐标为． 故选：B． 12. 如图，分别以Rt△ABC的直角边AC，斜边AB为边向外作等边三角形△ACD和△ABE，F为AB的中点，连接DF、EF，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°．则以下4个结论：①AC⊥DF；②四边形BCDF为平行四边形；③DA+DF＝BE；④S△ACD：S四边形BCDE＝1：7，其中，正确的是（　　） A. 只有①② B. 只有①②③ C. 只有③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】由平行四边形的判定定理判断②，再由平行四边形的性质和平行线的性质判断①，然后由三角形三边关系判断③，最后由等边三角形的性质分别求出△ACD、△ACB、△ABE的面积，计算即可判断④． 【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°， ， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠ACD＝60°， ∴∠ACD＝∠BAC， ∴CD∥AB， ∵F为AB的中点， ∴BF＝AB， ∴BF∥AB，CD＝BF， ∴四边形BCDF为平行四边形，故②正确； ∵四边形BCDF为平行四边形， ∴DF∥BC， 又∵∠ACB＝90°， ∴AC⊥DF，故①正确； ∵DA＝CA，DF＝BC，AB＝BE，BC+AC＞AB， ∴DA+DF＞BE，故③错误； 设AC＝x，则AB＝2x， ， ，故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等边三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等边三角形的性质，证明四边形BCDF为平行四边形是解题关键． 第Ⅱ卷（非选择题共102分） 二、填空题（本大题共6小题，每题4分，共24分．只要求填写最后结果） 13. 分解因式b2（x﹣3）+b（x﹣3）＝_____． 【答案】b（x﹣3）（b+1） 【解析】 【分析】用提公因式法分解即可. 【详解】原式= b（x﹣3）·b+b（x﹣3）＝b（x﹣3）（b+1）. 故答案为b（x﹣3）（b+1） 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解.因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法. 因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止. 14. 有一组数据如下：92，93，a，94，95，它们的平均数是93，则这组数据的方差是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．先由平均数计算出的值，再计算方差，一般地设个数据，的平均数为，，则方差 【详解】解：， ， 故答案为：2． 15. 若关于分式方程有增根，则的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行∶①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 分式方程去分母转化为整式方程，解出x，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： 解得： 关于的分式方程有增根， ，即． 把代入中得：． 故答案为：3 16. 如图，将周长为8的沿BC边向右平移2个单位，得到，则四边形的周长为________． 【答案】12 【解析】 【分析】先根据平移的性质可得，再根据三角形的周长公式可得，然后根据等量代换即可得． 【详解】由平移的性质得：， 的周长为8， ， 则四边形ABFD的周长为， ， ， ． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了平移的性质等知识点，掌握理解平移的性质是解题关键． 17. 如图，在平行四边形纸片中，， 将纸片沿对角线对折，交边于点E，则折叠后图中重合部分的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，勾股定理，首先推导出为等边三角形，由，求得，再证明出点E为的中点，得到，可求出面积 【详解】解：∵折叠至处，，， ∴为等边三角形， ∴ 又∵四边形为平行四边形， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点E为的中点， ∴折叠重合部分的面积为：， 故答案为： 18. 如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据题意求出，根据题意发现从开始组为一个循环，即可计算答案． 【详解】解：由题意可得：， ， ， ， ， 开始组为一个循环，每次循环增加， 故， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，78分，解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. （1）解分式方程： （2）利用因式分解说明能被70整除． 【答案】（1）原分式方程无解；（2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程与因式分解的应用，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）将提取公因式分解得到，据此即可证明． 【详解】（1）解：， 去分母得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的增根，应舍去， ∴原分式方程无解； （2）解： ， ∵为整数， ∴能被70整除． 20. 先化简，再从的范围内选取一个合适的整数代入求值. 【答案】， 【解析】 【分析】先算括号里面的，再算除法，最后根据a的取值范围选出合适的a的值代入进行计算即可． 【详解】 = = =, 因为，所以当a=2时，原式= . 【点睛】考查的是分式的化简求值，在解答此类问题时要注意a的取值要保证分式有意义． 21. 2024年3月23日是第64个世界气象日，今年世界气象日的主题是“气候行动最前线”，学校以此为主题开展了一系列活动，在活动后期进行了气象知识竞赛，并对竞赛成绩作出如下统计分析： 【收集数据】要求每班派10名同学参加（满分10分，成绩为整数）． 【整理数据】比赛结束后，竞赛组委会将八年级甲、乙两班参赛同学的成绩汇总． 【描述数据】甲班成绩绘制成如下不完整的统计图． 甲班成绩条形统计图 乙班成绩绘制成如下统计表： 得分 6 7 8 9 10 人数 5 2 1 1 1 【分析数据】两个班样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示， 平均数 中位数 众数 方差 甲班 7.1 8 1.69 乙班 6.5 1.89 你根据以上信息，解答下列问题： （1）补全条形统计图； （2）______，______，______； （3）参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”观察上表可知，小明是______班的学生（填“甲”或“乙”） （4）你认为甲、乙两个班哪个班的成绩更好？请你结合上表中的统计量说明理由． 【答案】（1）图见解析 （2），，6 （3）乙 （4）甲班的成绩更好，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图、中位数与众数、平均数、方差等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）求出抽取的甲班10名同学中，成绩为7分的人数，据此补全条形统计图即可得； （2）根据加权平均数的计算公式、中位数与众数的定义即可得； （3）根据两班的中位数即可得； （4）从平均数、中位数与众数、方差的角度进行分析即可得． 【小问1详解】 解：抽取的甲班10名同学中，成绩为7分的人数为（人）， 则补全条形统计图如下： ． 【小问2详解】 解：， 将抽取的甲班10名同学的成绩按从小到大进行排序后，第5个数和第6个数的平均数即为其中位数， ∵，，， ∴按从小到大进行排序后，第5个数为7，第6个数为8， 则， ∵在抽取的乙班10名同学的成绩中，6分的人数最多， ∴， 故答案为：，，6． 【小问3详解】 解：由上可知，甲班成绩的中位数是分，乙班成绩的中位数是分， ∵参赛同学小明说：“这次竞赛我得了7分，在我们班中排名属中游偏上！”， ∴小明是乙班学生， 故答案为：乙． 【小问4详解】 解：甲班的成绩更好，理由如下： 从平均数看，甲、乙两班成绩的平均数一样；从中位数和众数看，甲班成绩的中位数和众数都高于乙班的；而且甲班方差小于乙班方差，说明甲班成绩波动较小，成绩更稳定，所以甲班的成绩更好． 22. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上，与相交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理， （1）先根据旋转性质得到，，再利用等腰三角形的性质得到，即可得证； （2）先根据三角形内角和定理计算出，，再根据旋转的性质得到，，，再等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，即可得出结论． 解题的关键是掌握旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 【小问1详解】 证明：∵绕点顺时针旋转得到，点的对应点为，点的对应点落在线段上， ∴，， ∴， ∴， ∴平分； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴的度数为． 23. 中华优秀传统文化源远流长、是中华文明的智慧结晶．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书、许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本． （1）求两种图书的单价分别为多少元？ （2）为筹备数学节活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售．求两种图书分别购买多少本时费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】（1）《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元 （2）当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，一次函数的实际应用以及一元一次不等式的实际应用，根据题意表示出y与x之间的函数关系式以及列出不等式是解题的关键． （1）设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本，根据题意列出一元一次不等式，求出， 然后设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元），得到，然后根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设《周髀算经》单价为x元，则《孙子算经》单价是元， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：《周髀算经》单价为40元，则《孙子算经》单价是30元； 【小问2详解】 解：设购买的《周髀算经》数量m本，则购买的《孙子算经》数量为本， 依题意得，， 解得， 设购买《周髀算经》和《孙子算经》的总费用为y（元）， 依题意得，， ∵， ∴y随m的增大而增大， ∴当时，有最小值，此时（元）， （本） 答：当购买《周髀算经》27本，《孙子算经》53本时，购买两类图书总费用最少，最少总费用为2136元． 24. 如图，的对角线，相交于点，，分别是，的中点，连接，，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，．求的的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，则，再由勾股定理求出的长，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴． 在中， ∴， ∴， 在中， ∴ 25. 在四边形中，、分别是、的中点． （1）如图1，在四边形中，若是的中点，，，，，求的长． （2）如图2，连接并延长，分别与、的延长线交于点、，为中点，若，求证：． （3）如图3，在中，，点在上，，、分别是、的中点，连接、并延长，与的延长线交于点，连接，若，判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，由两直线平行同位角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，在中，根据勾股定理可得，由此即可求出的长； （2）由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同位角相等可得，于是结论得证； （3）连接，取的中点，连接、，由、、分别是、、的中点可得，、分别是、的中位线，由三角形的中位线定理可得，，，，再结合，可得，由等边对等角可得，由两直线平行内错角相等可得，则，由两直线平行同位角相等可得，由对顶角相等可得，进而可证得是等边三角形，于是可得，再结合，进而可得，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，于是可得，然后根据即可得出结论． 【小问1详解】 解：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ，， ，， ，， ， 在中，根据勾股定理可得： ； 【小问2详解】 证明：、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ，， ，， ； 【小问3详解】 解：是直角三角形，理由如下： 如图，连接，取的中点，连接、， 、、分别是、、的中点， 、分别是、的中位线， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 即：是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，勾股定理，等边三角形的判定与性质，等边对等角，三角形外角的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理及平行线的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $