精品解析：湖北省宜昌市夷陵区2024-2025学年九年级上学期1月期末数学试题

2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 不透明袋子中装有6个红球、4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，中，弦相交于P点，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 一元二次方程所有实数根的积是（ ） A. B. C. 3 D. 6. 已知点与点关于轴对称，则实数的值是（　　） A. B. C. D. 7. 下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 点P在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 9. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 10. 三角形的内心是三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 二、填空题（将答案填在答题卡上对应位置.本大题共5小题，每题3分，计15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则__________． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么_____． 13. 已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为__________． 14. 直径为的圆形管水平铺设，管内液面宽度为，则液体最大深度为__________． 15. 正三角形的边长为2，点D为边上的一点，，垂足为点F，若为x，则的面积y与x的关系式可表示为__________． 三、解答题：（本大题共9小题，合计75分） 16. 解方程：． 17. 已知抛物线过点，请你确定此抛物线的表达式，写出其顶点坐标，并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 18. 点P是外一点，某同学想过P点作的切线，他的作法是这样的，先连接，再作出线段OP的中点A，然后以A点为圆心，为半径作圆，与的一个交点为点B，连接，则直线PB与相切．请你说明理由． 19. 一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小球，红球的概率是．已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，其它都相同． （1）求袋中黄球的个数； （2）如果第一次摸出一个球后（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率． 20. 某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率． 21. 如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 22. 已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 23. 如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． （1）求证：平分； （2）当时，求证：． 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期期末教学质量监测 九年级数学试题卷 （本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.考试结束时，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题（在各小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四幅图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 不透明袋子中装有6个红球、4个绿球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，这个球是红球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用红球的个数除以球的总个数即可得出答案． 【详解】解：∵不透明袋子中装有6个红球，4个绿球， ∴从袋子中随机取出1个球，则抽到红球的概率是． 故选：B． 3. 如图，中，弦相交于P点，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角的性质．先根据三角形外角的性质求出，然后根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． 故选C． 4. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点坐标是直接写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 5. 一元二次方程所有实数根的积是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题关键是掌握如果一元二次方程的两根分别为与，则，． 先根据一元二次方程根与系数的关系得出方程的两根之积即可． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程所有实数根的积是. 故选：A． 6. 已知点与点关于轴对称，则实数的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变即可解答． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，熟记关于轴的对称点的坐标特点是解题的关键． 7. 下列命题中，①圆是中心对称图形；②垂直于弦的直线必经过圆心；③平分弦的直径必平分弦所对的两条弧；④圆内接四边形的对角互补．其中真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题、中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形，熟练掌握垂径定理与垂径定理推论是解题关键．根据中心对称图形、垂径定理、垂径定理推论、圆内接四边形逐个判断即可得． 【详解】解：圆是中心对称图形，则①是真命题； 垂直于弦且平分弦的直线必经过圆心，则②是假命题； 平分弦（非直径）的直径必平分弦所对的两条弧，则③是假命题； 圆内接四边形的对角互补，则④是真命题； 综上，真命题的个数为2个， 故选：B． 8. 点P在半径为的内，则的长度不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了点与圆的位置关系．当该点在圆内，则半径大于点到圆心的距离，据此即可作答． 【详解】解：∵的半径为，点在内， ∴， 则A、B、C、D四个选项，只有D选项的不符合题意， 故选：D． 9. 在抛物线上的一个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标与二次函数解析式的关系，解题的关键是将选项中的横坐标代入抛物线解析式，验证计算出的纵坐标是否与选项一致． 将各选项中的横坐标代入抛物线，计算对应的纵坐标，判断是否与选项中的纵坐标相等． 【详解】A、当时，，所以点不在抛物线上； B、当时，，所以点不在抛物线上； C、当时，，与选项中纵坐标0相等，所以点在抛物线上； D、当时，，所以点不在抛物线上； 故选：C． 10. 三角形的内心是三角形的（ ） A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的内心的概念进行判断即可． 【详解】根据定义得：三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点． 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．记住三角形的内心到三角形三边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角是解题的关键． 二、填空题（将答案填在答题卡上对应位置.本大题共5小题，每题3分，计15分） 11. 若关于x的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”，利用一元二次方程的定义，可得出． 【详解】解：关于x的方程是一元二次方程， ∴． 故答案为：． 12. 如图，四边形内接于，为延长线上一点，如果，那么_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键． 根据题意，得，通过圆内接四边形的性质，可得，即可求解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ． 故答案为：． 13. 已知点，，都在抛物线上，请用“”号表示，，的关系为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是本题的关键． 分别计算出自变量为，和3时的函数值，然后比较函数值得大小即可． 【详解】解：把，，分别代入得： ，，， ∵， ∴． 故答案：． 14. 直径为的圆形管水平铺设，管内液面宽度为，则液体最大深度为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，根据题意画出图形，作出弧的中点，连接，交于点．利用垂径定理，以及勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，中液面，作出弧的中点，连接，交于点，则，， ∴B．， 在中，． 当在圆心下方时，； 当在圆心上方时，； ∴液体最大深度为为或； 故答案为：或． 15. 正三角形的边长为2，点D为边上的一点，，垂足为点F，若为x，则的面积y与x的关系式可表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质求出，，证明，求出，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 过点A作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴ 即：， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共9小题，合计75分） 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， ， ， 解得：． 17. 已知抛物线过点，请你确定此抛物线的表达式，写出其顶点坐标，并在网格中建立坐标系，画出该抛物线． 【答案】抛物线的表达式为，顶点坐标为， 建立坐标系，画出该抛物线如图所示， 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法二次函数的解析式，求二次函数的顶点坐标，以及画二次函数的图象． 用待定系数法点代入求出a值即可求得抛物线的表达式，用配方法将表达式化成顶点式，即可得出顶点坐标，然后用描点法画出函数图象即可． 【详解】解：把点代入，得， ∴， ∴抛物线的表达式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 18. 点P是外一点，某同学想过P点作的切线，他的作法是这样的，先连接，再作出线段OP的中点A，然后以A点为圆心，为半径作圆，与的一个交点为点B，连接，则直线PB与相切．请你说明理由． 【答案】 解：连接， 如图，是的直径，故， 又∵B点在上， ∴直线与相切． 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，连接，证明即可 【详解】略 19. 一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球，如果从袋中任意摸出一个小球，红球的概率是．已知袋中装有红球2个，蓝球1个，小球除颜色不同外，其它都相同． （1）求袋中黄球的个数； （2）如果第一次摸出一个球后（不放回），第二次再摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的都是红球的概率． 【答案】（1）1个黄球 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是概率公式，用列表法或树状图法求概率． （1）设袋中有黄球m个，根据“红球的概率是”列方程求解即可； （2）画树状图列举出所有情况，让两次摸出的都是红球的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 解：设袋中有黄球m个， 由题意得，， 解得：， 经检验是方程的解， 因此袋中有1个黄球； 【小问2详解】 解：如下图： 共12种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有2种，两次摸出的都是红球的概率为， 因此两次摸出红球概率为． 20. 某村2020年的人均收入为20000元，2022年的人均收入为24200元，求2020年到2022年该村人均收入的年平均增长率． 【答案】2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10% 【解析】 【分析】设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据2020年到2022年的人均收入，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可． 【详解】解：设2020年到2022年该村人均收入的年平均惜长率为x，根据题意，得 解得 （不合题意，舍去） 答：2020年到2022年该村人均收入的年均增长率为10%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 如图，有一个圆形花坛，要把它分成面积相等的四部分，以种植不同的花卉，请你提供设计方案． 【答案】 【解析】 【分析】过点O作互相垂直的直线EF，CD即可解决问题． 【详解】解：过点O作互相垂直的直线EF，CD，⊙O被直线EF，CD分成面积相等的四个部分． 【点睛】本题考查作图-应用与设计以及圆的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 已知等腰三角形的周长为，等腰三角形绕它底边上的高旋转形成一个圆锥，试确定旋转形成的圆锥的侧面积的范围，并写出对应腰长的取值范围． 【答案】腰长范围为时，圆锥的侧面积的范围是 【解析】 【分析】设等腰三角形的腰长为，则底长为，圆锥的侧面积为，根据圆锥侧面积公式得到，然后根据三角形三边关系求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，则底长为， 设圆锥的侧面积为， 则有 ∵ ∴开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为 ∴当时，y随x的增大而减小 由三角形三边关系，得 解得 ∴当时， ∴当腰长x范围为时，圆锥的侧面积y的范围是． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，圆锥侧面积公式，等腰三角形的定义，三角形三边关系等知识，解题的关键是表示出圆锥侧面积． 23. 如图，已知，以为直径的与分别交于点D，E，与过E点的切线垂直，垂足为F． （1）求证：平分； （2）当时，求证：． 【答案】（1） 证明：连接， ∵为的切线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即平分； （2） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质． （1）利用切线的性质求得，利用平行线的性质求得，再等边对等角即可得到，即可得到平分； （2）证明，推出，即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，－3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点． （1）求二次函数解析式； （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）；（2）存在这样的点，此时P点的坐标为（，）；（3）P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 【解析】 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标； （3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标． 【详解】（1）将B、C两点的坐标代入，得 ， 解得． ∴二次函数的解析式为． （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；． 设P点坐标为（x，x2-2x-3），PP′交CO于E． 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；． 连接PP′，则PE⊥CO于E， ． ∵C（0，-3）， ∴CO=3， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=． ∴y=−； ∴x2-2x-3=−， 解得（不合题意，舍去）． ∴存在这样的点，此时P点的坐标为（，）． （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2-2x-3）， 设直线BC的解析式为：y=kx+d， 则， 解得： ． ∴直线BC的解析式为y=x-3， 则Q点的坐标为（x，x-3）； 当0=x2-2x-3， 解得：x1=-1，x2=3， ∴AO=1，AB=4， S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ． =AB•OC+QP•BF+QP•OF． =×4×3+ (−x2+3x)×3． =− (x−)2+． 当x＝时，四边形ABPC的面积最大． 此时P点的坐标为(，−)，四边形ABPC的面积的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $