精品解析：福建省龙岩市长汀县2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题

2024～2025学年第一学期期末八年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 在本试卷上答题无效． 一、单选题，本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 篆体是我国古代汉字书体之一，下列篆体字“美”、“丽”、“龙”、“岩”中，可看成是轴对称图形的是（ ） A.     B.     C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义．掌握轴对称图形的概念准确寻找对称轴是解题的关键； 轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌ ‌根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到对称轴，使图形两侧能够完全重合，是轴对称图形，故选项符合题意； B．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； C．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； D．找不到对称轴，使图形两侧能够完全重合，不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：A． 2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得，即， 故的值可选5， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键． 3. 如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美．图中正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是求正八边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解决此题的关键． 根据多边形的内角和，其中n为正多边形的边数，计算即可； 【详解】解：正八边形的内角和为：， 故选：D． 4. 下列计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐项进行计算即可得答案． 【详解】解：A．，不是同类项，不能合并，故原式计算错误，本选项不符合题意； B．，故原式计算正确，本选项符合题意； C．，故原式计算错误，本选项不符合题意； D．，故原式计算错误，本选项不符合题意； 故选：B． 5. 下列变形中是因式分解的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据因式分解的定义：把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】A. 中，是整式乘法，故A错误； B. 故B错误； C. 不是把多项式转化成几个整式积的形式，故C错误； D. ，故D正确． 故选：D． 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变逐项判断即可． 【详解】解：A．，故原变形错误； B．当b不为0时， ，故原变形错误； C．，故原变形正确； D．，故原变形错误； 故选：C． 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定，根据图形结合全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：根据图形，小明所画的三角形与原来三角形全等， ∴这两个三角形全等依据， 故选：B． 8. 如图，点D，E分别在，上，与交于点O，且，则从下列三个条件：①；②；③中，选一个条件能使成立的是（ ） A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ①或②或③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键． 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：选①或②或③， 理由：当选①时： ∵，，， ∴， ∴； 当选②时， ∵，，， ∴， ∴； 当选③时， 过D、E分别作、的垂线交点G与点H． 在和中， ，，， ∴， ∴，， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 即． 故选：D． 9. 如图，在中，是的垂直平分线，点P是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（ ） A 10 B. 12 C. 14 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得出，则，故当点在上时，值的最小，求出长度即可得到结论． 【详解】解：设直线交于，连接，如图所示： 直线是的垂直平分线， ， ， 当和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长，且的最小值等于， ∴周长的最小值是， 故选：． 10. 观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 根据规律求出的值，再减去1即可解答． 【详解】∵； ； ； …… （为正整数） 当时， ∴ ． 故选：A． 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．由此即可解答． 【详解】解：， 故答案为∶ ． 12. 等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角的度数是________． 【答案】##40度 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得． 【详解】解：根据题意得，底角的度数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等腰三角形的性质． 13. 计算： ______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 根据完全平方公式计算即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：4 14. 如图，在平面直角坐标系中，，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质；过作轴于，轴于，推出证，推出，即可求解． 【详解】解：过作轴于，轴于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，，点为射线上一点，按以下步骤作图： 第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，； 第二步：作直线交射线于点，连接； 第三步：以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．先根据垂直平分线的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理可得，即可得解． 【详解】解：由题意得：垂直平分，， ， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，点E是的中点，，交于点F，则四边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线的性质得出，，根据，得出，，设，则，，，然后根据得出关于a的方程，然后解方程求出a的值，最后根据四边形的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂、负整数指数幂的意义，乘方和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及乘方的意义计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 【小问1详解】 解∶原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 18. 如图，已知，且，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中运用斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据题意，运用“”判定，即可求解． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题关键．先用异分母加法法则计算括号内的，再把除法运算转化为乘法运算，得到化简结果，把x的值代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，在中，平分，，，，求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高等知识，先根据三角形的内角和定理求出的度数，然后根据三角形的高的定义和三角形内角和定理可求出的度数，根据三角形角平分线的定义求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 21. 如图，在中，和的平分线相交于点O． （1）尺规作图：过点O作的平行线，分别交，于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是： （1）以O为顶点，在是左侧作，与相交于M，反向延长交即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，然后根据等角对等边得出，，最后根据线段的和差关系即可得证． 【小问1详解】 解∶如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 22. 2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 【答案】10米 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前4天完成任务，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出答案． 【详解】解：设施工队原计划每天修建保通便道x米，则实际每天修建保通便道米，依题意得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：施工队原计划每天修建保通便道10米． 23. 已知正实数，，，，使得成立． （1）求证：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式性质，分式的加减运算，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． （1）根据等式的性质及分式性质证明即可； （2）由， 得，进而分， ，及讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵正实数，，，， ∴，， ∵ ∴即， ∴即 ∴即， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ ， ∴当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时． 24. 根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形的边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求的值． 【答案】任务1，；任务，，，；任务， 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理的验证是解题的关键， 任务，根据梯形及正方形的面积公式求解判定即可得解； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形，根据正方形的面积公式及三角形的面积公式即可得解； 任务，如图，连接，由得，进而得 【详解】解：任务，图中，左侧图形阴影部分的面积为，右侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，不可验证平方差公式； 图中，左侧图形阴影部分的面积为，左侧图形阴影部分的面积为， ∴，可验证平方差公式； 故答案为：； 任务，如图，延长交于点，由题意可得四边形，四边形，四边形都是正方形， 方法： ， 方法： ， ∴， ∴， ∴可以得到一个关于，，的等式是； 故答案为：，，； 任务，如图，连接， ∵ ∴， ∵，， ∴即， ∵， ∴ 25. 已知，在等边中，点，分别在，上，且，连接与交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； （3）如图3，连接，当时，若，求的长． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质得，，进而证明，得，根据三角形的外角性质即可得解； （2）由，得，进而证明，，最后证明点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上，即可得证； （3）如图，过点作于点，由（）得，，，进而得，，证明，得，再证明得，从而即可得解． 小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴（）， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴， 由（）得，， ∴，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴，， ∵，， ∴点在线段的垂直平分线上，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴（）， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线； 【小问3详解】 解∶如图，过点作于点， 由（）得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的性质，线段垂直平分线的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期期末八年级质量监测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分150分） 注意： 请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！ 作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色签字笔描黑． 在本试卷上答题无效． 一、单选题，本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 篆体是我国古代汉字书体之一，下列篆体字“美”、“丽”、“龙”、“岩”中，可看成是轴对称图形的是（ ） A.     B.     C D. 2. 若某三角形的三边长分别为3，4，m，则m的值可以是（　　） A. 1 B. 5 C. 7 D. 9 3. 如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，图案对称精美．图中正八边形的内角和为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列变形中是因式分解的是( ) A. B. C. D. 6. 下列分式变形正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直角三角形被挡住了一部分，小明根据所学知识很快就另外画出了一个与原来完全一样的三角形，这两个三角形全等的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点D，E分别在，上，与交于点O，且，则从下列三个条件：①；②；③中，选一个条件能使成立的是（ ） A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ①或②或③ 9. 如图，在中，是的垂直平分线，点P是直线上的一个动点．若，，，则周长的最小值是（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 18 10. 观察下列等式： ； ； ； …… 根据以上规律计算的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分． 11. 一张新版百元人民币的厚度约为0.00009米，数据“0.00009”用科学记数法表示为_____． 12. 等腰三角形的顶角是，那么它的一个底角的度数是________． 13. 计算： ______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，，点B，A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，且，若，则______． 15. 如图，，点为射线上一点，按以下步骤作图： 第一步：分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，； 第二步：作直线交射线于点，连接； 第三步：以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，连接，则______． 16. 如图，在中，，，，，点E是的中点，，交于点F，则四边形的面积为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，已知，且，，求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，在中，平分，，，，求和的度数． 21. 如图，在中，和的平分线相交于点O． （1）尺规作图：过点O作的平行线，分别交，于点M，N（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）条件下，求证：． 22. 2024年6月，我市发生“”特大暴雨，引发多地山体滑坡、泥石流等严重自然灾害．国道205线是连接闽粤的交通要道，其中田心桥被洪水冲毁，当地公路中心紧急组织施工队，计划修建保通便道120米．施工前公路中心接到抢险救灾应急中心通知，要求尽快修建保通便道．施工队按公路中心要求，每天修建保通便道的长度比原计划多，结果比原计划提前4天完成任务．请问：施工队原计划每天修建保通便道多少米？ 23. 已知正实数，，，，使得成立． （1）求证：； （2）判断与的大小关系，并说明理由． 24. 根据以下素材，探索完成任务． “以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式． 素材 如图，大正方形边长是，它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等面积法，我们可以得到一个等式：． 问题解决 任务1 将大正方形通过剪、割、拼后形成新的图形，利用等面积法可证明某些乘法公式，在给出的四种拼法中，其中能验证平方差公式的有：______(只填序号)． 任务2 如图，若将个直角边长分别为，，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，请你用两种不同的方法表示五边形的面积． 方法1：______；方法2：______；你可以得到一个关于，，的等式是：______． 任务3 如图，在中，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为，．若，求值． 25. 已知，等边中，点，分别在，上，且，连接与交于点． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，连接，，当时，求证：是的垂直平分线； （3）如图3，连接，当时，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$