精品解析：山东省济宁市经开区2024-2025学年下学期第一次质量检测八年级数学试题

2024－2025学年度第二学期第一次监测八年级数学试题 一、选择题（3×10＝30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 若最简二次根式与能合并，则a的值为（ ） A. B. C. ﹣1 D. 1 5. 如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是（ ） A. 121 B. 144 C. 169 D. 193 6. 已知是整数，正整数的最小值为（ ） A. 96 B. 6 C. 24 D. 2 7. 如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 9. 如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A. 15cm B. 17cm C. 18cm D. 30cm 10. 给出下列说法： ①在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为； ②三角形的三边满足，则； ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形． 其中，错误的说法的个数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（3×5＝15分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 12. 使代数式有意义，实数的取值范围是_____． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 14. 若直角三角形的两边长分别为，，则第三边长为__________． 15. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 19. 如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？ 20. 观察下列等式： ①； ②； ③ …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算： ． 21. 机动车和非机动车“各行其道”，可以确保各类交通工具在各自的道路上顺畅行驶，避免相互干扰，从而降低交通风险，减少拥堵和延误，提高道路通行效率，缓解城市交通压力．为了提高市民“各行其道”的意识，我区宣传车对广大出行群众进行“各行其道”宣传．如图，一笔直公路，村庄A到公路的距离为，若在宣传车P方圆以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路上沿方向行驶时： （1）村庄能否听到宣传？请说明理由． （2）如果能听到，已知宣传车的速度是，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 22. 如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．根据以上信息，回答下面问题： （1）求的长度； （2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？ （3）当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期第一次监测八年级数学试题 一、选择题（3×10＝30分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，熟练掌握二次根式的化简以及最简二次根式的概念是解题的关键.化简后根据最简二次根式的概念逐一进行判断即可. 【详解】A. ，故选项不符合题意； B. ，故选项不符合题意； C. ，故选项不符合题意； D. 是最简二次根式，符合题意， 故选D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除运算，逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了二次根式的加减乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 3. 下列四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、因为，所以能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B、因为，所以能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，所以能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D、因为，所以不能组成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 若最简二次根式与能合并，则a的值为（ ） A. B. C. ﹣1 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式与是同类二次根式，则被开方数相等，即可求得a的值． 【详解】根据题意得：1＋2a＝5−2a， 解得：a＝1． 故选：D． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，解题的关键是知道同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 5. 如图，用4个相同的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若图中直角三角形较短的直角边长是7，小正方形的边长是5，则大正方形的面积是（ ） A. 121 B. 144 C. 169 D. 193 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查学生勾股定理的运用能力及观察图形的能力．观察图形可得直角三角形的较短的直角边加上小正方形的边长刚好等于直角三角形的较长直角边的长，根据勾股定理即可求得直角三角形斜边的长的平方，从而求得大正方形的面积． 【详解】解：直角三角形较短的直角边长是5，小正方形的边长是7， 直角三角形的较长直角边， 直角三角形斜边长的平方， 大正方形的面积是193． 故选：D 6. 已知是整数，正整数的最小值为（ ） A. 96 B. 6 C. 24 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二次根式的性质得=，再由是整数，即可得出正整数n的最小值. 【详解】解：∵=× = 又∵是整数 ∴正整数n的最小值为6 故选B. 【点睛】此题主要考查二次根式的性质，解题的关键是将二次根式化为最简二次根式的形式. 7. 如图，的顶点、、在边长为的正方形网格的格点上，于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形和三角形的面积公式求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则点D到AB的距离（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】】由将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，先求出AC'长度，再设CD=C'D=x，Rt△AC'D中用勾股定理列方程，即可得到答案． 【详解】解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴， ∵将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处， ∴BC'=BC=6，∠BC'D=∠C=90°，CD=C'D， ∴AC'=AB-BC'=4，∠AC'D=90°， 设CD=C'D=x，则AD=AC-CD=8-x， Rt△AC'D中，AC'2+C'D2=AD2， ∴42+x2=（8-x）2，解得x=3， ∴C'D=3， ∵∠BC'D=90°， ∴点D到AB的距离为C'D=3． 故选：A． 【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是在Rt△AC'D中，用勾股定理列方程． 9. 如图，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，则蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是（　　） A. 15cm B. 17cm C. 18cm D. 30cm 【答案】A 【解析】 【分析】如图把圆柱体展开，连接AB，然后可知AC=9cm，BC=12cm，进而可由两点之间，线段最短可知AB即为所求． 【详解】解：如图所示： ∵圆柱的高等于12cm，底面上圆的周长等于18cm， ∴AC=9cm，BC=12cm， ∴， ∴蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是15cm； 故选A． 【点睛】本题主要考查利用勾股定理求最短路径，熟练掌握利用勾股定理求最短路径是解题的关键． 10. 给出下列说法： ①在直角三角形中，已知两边长为和，则第三边长为； ②三角形的三边满足，则； ③中，若，则是直角三角形； ④中，若，则这个三角形是直角三角形． 其中，错误的说法的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分4为直角三角形的直角边和斜边两种情况，根据勾股定理即可判断①；根据勾股定理的逆定理即可判断②④；根据三角形的内角和定理即可求出三角形的三个内角，进而可判断③；从而可得答案． 【详解】解：若4为直角三角形的直角边，则第三边长为，若4为直角三角形的斜边，则第三边长为，故①错误； 三角形的三边满足，则，故②正确； △中，若，所以，，，所以是直角三角形，故③正确； △中，若，则设， 因为，所以这个三角形是直角三角形，故④正确． 综上，错误的说法是①，有1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和、勾股定理及其逆定理等知识，属于基础题型，熟练掌握上述知识是解题的关键． 二、填空题（3×5＝15分） 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式，能得出方程是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据二次根式的性质得出，根据同类二次根式的定义得出，再求出即可． 【详解】解∶， ∵与最简二次根式可以合并， ， 解得：． 故答案为：． 12. 使代数式有意义，实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．根据二次根式有意义及分式有意义的条件可直接进行求解即可． 【详解】解：由代数式有意义，则有， 解得； 故答案为：． 13. 如图，数轴上点A所表示的数为1，点B，C，D是的正方形网格上的格点，以点A为圆心，长为半径画圆交数轴于M，N两点，则M点所表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，正确数形结合分析是解题关键． 直接利用勾股定理得出的长，再利用数轴得出答案． 【详解】解：∵轴， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， ∴M点所表示的数为：． 故答案为：． 14. 若直角三角形的两边长分别为，，则第三边长为__________． 【答案】或##或3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，第三边长为，①当为斜边时，②当为斜边时，由勾股定理即可求解；能根据斜边的不同进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为， ①当为斜边时， ； ②当为斜边时， ； 综上所述：第三边长为或； 故答案：或． 15. 如图，以的两条直角边和斜边为边长分别作正方形，其中正方形、正方形的面积分别为25、144，则阴影部分的面积为______． 【答案】139 【解析】 【分析】根据勾股定理可得正方形BCMN的面积为25+144=169，再求出Rt△ABC的面积，即可求解． 【详解】如图，∵正方形、正方形的面积分别为25、144， ∴正方形BCMN的面积为25+144=169，AB=5，AC=12 ∴阴影部分的面积为169-×5×12=169-30=139 故答案为：139． 【点睛】此题主要考查勾股定理，解题的关键是熟知勾股定理几何证明方法． 三、解答题（共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先根据完全平方式及平方差公式进行计算，再化为最简二次根式，最后计算加减，即可解答． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 17. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）19 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的化简求值．熟练掌握二次根式在加减乘法法则，配方，分解因式，整体代入求值，是解决问题的关键． （1）先求出，，再由进行计算求解即可； （2）先求出，，再由进行计算求解即可. 【小问1详解】 ∵，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴，， ∴ ． 18. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为5的正方形． （2）如图2所示，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数． 【答案】 （1）如图1所示： （2）∠ABC＝45°． 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理作出边长为的正方形即可得； （2）连接AC，根据勾股定理逆定理可得△ABC是以AC、BC为腰的等腰直角三角形，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）如图2，连AC，则 ∵，即BC2+AC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴∠ABC=∠CAB=45°． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理和正方形的判定和性质． 19. 如图，有两只猴子在一棵树高的点B处，它们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？树顶D到池塘A的距离有多少米？ 【答案】树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形的构建，本题中正确的找出的等量关系并根据直角求是解题的关键．已知，要求求即可，可以设为，找到两只猴子经过路程相等的等量关系，即，根据此等量关系列出方程即可求解． 【详解】解：设为米，且存在， 即，， 在直角中，为斜边， 则， 即 解得， 米， 米米米， 答：树高7.5米，树顶D到池塘A的距离有12.5米 20. 观察下列等式： ①； ②； ③ …回答下列问题： （1）利用你观察到的规律，化简： （2）计算： ． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【详解】试题分析：根据分母有理化的性质，由各式的特点，结合平方差公式化简计算即可. 试题解析：（1） = = ； （2） =+…+ =． 21. 机动车和非机动车“各行其道”，可以确保各类交通工具在各自的道路上顺畅行驶，避免相互干扰，从而降低交通风险，减少拥堵和延误，提高道路通行效率，缓解城市交通压力．为了提高市民“各行其道”的意识，我区宣传车对广大出行群众进行“各行其道”宣传．如图，一笔直公路，村庄A到公路的距离为，若在宣传车P方圆以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路上沿方向行驶时： （1）村庄能否听到宣传？请说明理由． （2）如果能听到，已知宣传车的速度是，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？ 【答案】（1） 解：村庄能听到宣传， 理由如下：过点 作于， 村庄到公路的距离为600米米 村庄能听到宣传； （2）村庄总共能听到8分钟的宣传 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线段的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据村庄到公路的距离为600米米，即可判断； （2）假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响，利用勾股定理求出的长度，即可求出时间． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，假设当宣讲车行驶到点开始影响村庄，行驶点结束对村庄的影响， 则米，米， （米）， （米）， 影响村庄的时间为：（分钟）， 村庄总共能听到8分钟的宣传． 22. 如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．根据以上信息，回答下面问题： （1）求的长度； （2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？ （3）当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）由勾股定理即可求解； （2）点在边的垂直平分线上，则，，在中，由即可求解； （3）分、、利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解． 【小问1详解】 ，， ； 【小问2详解】 点在边的垂直平分线上， ，， 在中，，即 解得：； 【小问3详解】 存在值，使为等腰三角形． ①当时，如答图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， 秒； ②当时，如答图2所示， 则， 秒； ③当时，如答图3所示， 过点作于点， ， ， ， ， 秒． 综上所述：当为11秒或12秒或13.2秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是中垂线的性质、勾股定理的运用、三角形面积公式的运用及等腰三角形的性质等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $