专题16 二次函数的应用 【六大题型】- 2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题16 二次函数的实际应用 1 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 2 实物抛物线 ① 根据题意，结合函数图像求出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 根据图像，结合所求解析式解决问题。 3 实际问题中的最值 ① 分析问题中的数量关系，列出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 检验的值是否在自变量取值范围内，并求相关的值； ④ 解决提出的实际问题。 4 结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题. 【题型1】 销售问题 【典题1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【巩固练习】 1.（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【题型2】拱桥问题 【典题1】 （2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【典题2】（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【巩固练习】 1.（2024·山西阳泉·一模）修建隧道能够缩短公路长度，为人们的生活带来很大的便利，隧道的截面形状通常为圆拱形或抛物线形．如图，某隧道的截面为抛物线形，隧道内净宽为，净高为．若以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线所对应的表达式为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【题型3】 喷水问题 【典题1】（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m． 【典题2】（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【巩固练习】 1.（2022·湖北荆州·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【题型4】 投球问题 【典题1】 （2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【典题2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）晓飞在一次课题研究中，要对科技小组研制出的一款航模飞机的性能进行测试． 【课题研究】调节起始高度，观察飞机降落点． 【素材1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形． 【素材2】第一次试飞起始高度为（即起飞点为点O），飞行的线路为抛物线C，降落点A到点O的距离为，以点O为原点，为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线C的函数表达式为． 【素材3】第二次从E处开始试飞，起始高度为（点E在y轴上），飞行的线路抛物线可由抛物线C向上平移得到，… 【任务解决】 （1）求抛物线的函数表达式； （2）晓飞猜测第二次试飞的降落点（降落点在x轴上）到点A的距离不超过，请通过计算说明晓飞的猜测是否正确． 【巩固练习】 1.（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（2024·贵州贵阳·一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方的点 P处出手，篮球的高度与水平距离之间满足函数表达式. (1)求c的值； (2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度； (3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离． 【题型5】 图形问题 【典题1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【典题2】（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【巩固练习】 1.（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 2.（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【题型6】 图形运动问题 【典题1】 （2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在中，．边上有一动点 P （不与A，C重合），过点P作于点 D，连接．当面积最大时，的长为 ． 【典题2】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 【巩固练习】 1.（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在中，已知，，．点D是边上的一个动点（不与端点A和B重合），过D作交于点E，点F在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是（　　） A．B．C．D． 2.（2023·山东青岛·一模）如图，在中，，，延长到点B，使，过点B作，，连接；点N从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；过点N作，以和为邻边作矩形，点M与点N同时出发，点M从点B沿方向匀速运动，速度为，连接、、，设运动时间为．解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)当点M在的角平分线上时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使直线过线段的中点O？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3.（2024·吉林长春·三模）如图1，在中，，，，D为的中点，连接，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动（点P与点A、B不重合），过点P作，交折线于点Q，以为边向右作正方形，设点P的运动时间为 (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)求当点M在边上时t的值． (3)设正方形与重叠部分面积为S，当重叠部分图形是四边形时，求S与t的函数关系式． (4)如图2，点P在运动过程中，点C关于的对称点为E，点D关于的对称点为F，连接，当线段与的某一边垂直时，直接写出t的值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 二次函数的实际应用 1 二次函数的图像和性质 （1）二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. （2）二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 2 实物抛物线 ① 根据题意，结合函数图像求出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 根据图像，结合所求解析式解决问题。 3 实际问题中的最值 ① 分析问题中的数量关系，列出函数解析式； ② 确定自变量的取值范围； ③ 检验的值是否在自变量取值范围内，并求相关的值； ④ 解决提出的实际问题。 4 结合几何图形 ① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； ② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题. 【题型1】 销售问题 【典题1】 （2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y与x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？ (3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可； （3）设日销售利润为w元，根据利润=单件利润×销售量-m×销售量求出w关于x的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解∶设y与x的函数表达式为， 把，；，代入，得， 解得， ∴y与x的函数表达式为； （2）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为450， ∴糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元； （3）解：设日销售利润为w元， 根据题意，得 ， ∴当时，有最大值为， ∵糖果日销售获得的最大利润为392元， ∴， 化简得 解得， 当时，, 则每盒的利润为：,舍去， ∴m的值为2． 【巩固练习】 1.（2024·山东济宁·中考真题）某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． (1)求这段时间内y与x之间的函数解析式； (2)在这段时间内，若销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)这段时间内y与x之间的函数解析式为 (2)当销售单价为元时，商场获得利润最大，最大利润是元 【分析】（1）设这段时间内y与x之间的函数解析式为，函数经过，，可以利用待定系数法建立二元一次方程组，即可求出解析式； （2）根据销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件，建立一元一次不等式组，即可求出销售单价的取值范围，要求最大利润，首先设获得利润为，写出关于的二次函数解析式，根据二次函数的增减性和的取值范围，即可求出获得利润的最大值 【详解】（1）解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为， 由图象可知，函数经过，， 可得，解得， 这段时间内y与x之间的函数解析式为； （2）解：销售单价不低于100元，且商场还要完成不少于220件， ，， 即，解得， 设获得利润为，即， 对称轴， ，即二次函数开口向下，的取值范围是， 在范围内，随着的增大而增大， 即当销售单价时，获得利润有最大值， 最大利润元． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，二次函数的性质，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是用待定系数法求函数的解析式，掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解． 【题型2】拱桥问题 【典题1】 （2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米． 【答案】/ 【分析】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2）， 通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（3，0）代入得， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：； 当水面下降，水面宽为8米时，有 把代入解析式，得； ∴水面下降米； 故答案为：； 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 【典题2】（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为，再代入（0，0），求出a的值即可； （2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题． 【详解】（1）依题意，顶点， 设抛物线的函数表达式为， 将代入，得．解之，得． ∴抛物线的函数表达式为． （2）令，得． 解之，得． ∴． 【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键． 【巩固练习】 1.（2024·山西阳泉·一模）修建隧道能够缩短公路长度，为人们的生活带来很大的便利，隧道的截面形状通常为圆拱形或抛物线形．如图，某隧道的截面为抛物线形，隧道内净宽为，净高为．若以点O为坐标原点，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则抛物线所对应的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．根据题意得出，，设抛物线的表达式为，把，代入求解即可． 【详解】解：，为， ，， 设抛物线的表达式为， 把，代入得： ，解得：， 抛物线表达式为． 故选：B 2.（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 【答案】(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 【题型3】 喷水问题 【典题1】（2024·辽宁营口·模拟预测）如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，则水管的长度是 m． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键．设抛物线的表达式为：，将点代入上式求出a，进而求解． 【详解】解：设抛物线的表达式为：， 将点代入，得， 解得：， 故抛物线的表达式为：， 令，则，即， 故答案为：． 【典题2】（2023·安徽·一模）某公园要在小广场建造一个喷泉景观．在小广场中央O处垂直于地面安装一个高为1.25米的花形柱子，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米． (1)以点O为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到水平距离为x米，水流喷出的高度为y米，求出在第一象限内的抛物线解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到，此时他离花形柱子的距离为d米，求d的取值范围； (3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面B、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成角，如图3所示，光线交汇点P在花形柱子的正上方，其中光线所在的直线解析式为，求光线与抛物线水流之间的最小垂直距离． 【答案】(1) (2) (3)米 【分析】（1）根据题意得到第一象限内的抛物线的顶点坐标，将抛物线设成顶点式，再将点坐标代入即可求出第一象限内的抛物线解析式； （2）直接令，解方程求出的值，再根据函数的图象和性质，求出时的取值范围即可； （3）先作辅助线，作出直线的平行线，使它与抛物线相切于点，然后设出直线的解析式，联立直线与抛物线解析式，利用相切，方程只有一个解，解出直线的解析式，从而得到直线与轴交点，最后利用锐角三角函数求出直线与直线之间的距离． 【详解】（1）解：根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为，， 设第一象限内的抛物线解析式为， 将点代入物线解析式， ， 解得， 第一象限内的抛物线解析式为； （2）解：根据题意，令， 即， 解得，， ，抛物线开口向下， 当时，， 的取值范围为； （3）解：作直线的平行线，使它与抛物线相切于点，分别交轴，轴于点，，过点，作，垂足为，如图所示， ， 设直线的解析式为， 联立直线与抛物线解析式， ， 整理得， 直线与抛物线相切， 方程只有一个根， ， 解得， 直线的解析式为， 令，则， ， ， 即， 射灯射出的光线与地面成角， ， ， ， ， 光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为米． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解直角三角形，一次函数的平移与性质，直线和抛物线相切等知识，关键是求抛物线解析式． 【巩固练习】 1.（2022·湖北荆州·一模）如图，在池中心竖直水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，根据图象得抛物线经过，对称轴为直线，则设抛物线的解析式为：，代入可求得，令，解得，进而可求解，熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为， 抛物线经过，对称轴为直线， 则设抛物线的解析式为：， 代入，求得：， 将值代入得到抛物线的解析式为：， 令，则， 则水管长为， 故选C． 2.（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地竖直高度为米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口米，灌溉车到绿化带的距离为米． (1)求上边缘抛物线喷出水的最大射程； (2)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (3)若米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带，并说明理由． 【答案】(1)上边缘抛物线喷出水的最大射程为； (2)； (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解； （2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解； （3）根据题意，求得点的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点即可； 【详解】（1）解：由题意可得：， 且上边缘抛物线的顶点为，故设抛物线解析式为： 将代入可得： 即上边缘的抛物线为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即 上边缘抛物线喷出水的最大射程为； （2）解：由（1）可得， 上边缘抛物线为：，可得对称轴为： 点关于对称轴对称的点为： 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为： 将代入可得： 解得：（舍去）或 即点； （3）解：灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带，理由如下； ∵， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到， 由题意可得： 将代入到可得： 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带． 【题型4】 投球问题 【典题1】 （2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 【典题2】（2024·陕西咸阳·模拟预测）晓飞在一次课题研究中，要对科技小组研制出的一款航模飞机的性能进行测试． 【课题研究】调节起始高度，观察飞机降落点． 【素材1】航模飞机每次飞行的线路均是抛物线形． 【素材2】第一次试飞起始高度为（即起飞点为点O），飞行的线路为抛物线C，降落点A到点O的距离为，以点O为原点，为x轴，过点O垂直于的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线C的函数表达式为． 【素材3】第二次从E处开始试飞，起始高度为（点E在y轴上），飞行的线路抛物线可由抛物线C向上平移得到，… 【任务解决】 （1）求抛物线的函数表达式； （2）晓飞猜测第二次试飞的降落点（降落点在x轴上）到点A的距离不超过，请通过计算说明晓飞的猜测是否正确． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）晓飞的猜测正确． 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练运用待定系数法确定二次函数解析式． （1）把点，代入 建立方程组，解出和即可； （2）令，得，解得， 即可解答． 【详解】解：（1）把点，代入 得， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， 由题可得，抛物线是由抛物线向上平移2个单位得到， 抛物线的函数表达式为； （2），解得 （舍去）， ， 晓飞的猜测正确． 【巩固练习】 1.（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 2.（2024·贵州贵阳·一模）小明和小亮参加了一次篮球比赛，篮球传出后的运动路线为如图所示的抛物线，以小明站立的位置为原点O建立平面直角坐标系，篮球在O点正上方的点 P处出手，篮球的高度与水平距离之间满足函数表达式． (1)求c的值； (2)求篮球在运动过程中离地面的最大高度； (3)小明传球给小亮，小亮手举过头顶在对方球员后方接球，已知小亮跳起后，手离地面的最大高度为，则球在下落过程中，若小亮要想顺利接住球，求他至少距离小明多远的距离． 【答案】(1) (2)篮球在运动过程中离地面的最大高度为3．8m (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用． （1）将点P的坐标代入，即可求出c的值； （2）先得出该抛物线的解析式，再将其化为顶点式，即可解答； （3）求出时x的值，结合“在下落过程中接住球”，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得点P的坐标为， 将代入得． （2）解：由（1）知， ， ∵， ∴当时，y有最大值， ∴篮球在运动过程中离地面的最大高度为． （3）解：当时，， 解得：， ∵，且在下落过程中接球， ∴， ∴在球下落过程中小亮离小明的距离至少米才能顺利接住球． 【题型5】 图形问题 【典题1】（2024·山东泰安·中考真题）如图，小明的父亲想用长为60米的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形的菜园，已知房屋外墙长40米，则可围成的菜园的最大面积是 平方米．    【答案】450 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米，又墙长为40米，从而可得，故，又菜园的面积，进而结合二次函数的性质即可解答． 【详解】解：由题意，设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为米， 又墙长为40米， ∴． ∴． 菜园的面积， ∴当时，可围成的菜园的最大面积是450，即垂直于墙的边长为15米时，可围成的菜园的最大面积是450平方米． 故答案为：450． 【典题2】（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为． (1)求与与的关系式． (2)围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出的值． (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的值． 【答案】(1)； (2)能， (3)的最大值为800，此时 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的实际应用： （1）根据可求出与之间的关系，根据墙的长度可确定的范围；根据面积公式可确立二次函数关系式； （2）令，得一元二次方程，判断此方程有解，再解方程即可 ； （3）根据自变量的取值范围和二次函数的性质确定函数的最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆长， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵墙长42m， ∴， 解得，， ∴； 又矩形面积 ； （2）解：令，则， 整理得：， 此时，， 所以，一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴围成的矩形花圃面积能为； ∴ ∴ ∵， ∴； （3）解： ∵ ∴有最大值， 又， ∴当时，取得最大值，此时， 即当时，的最大值为800 【巩固练习】 1.（2024·浙江台州·二模）如图，人民医院在某流感高发时段，用防护隔帘布临时搭建了一隔离区，隔离区一面靠长为的墙，隔离区分成两个区域，中间也用防护隔帘布隔开．已知整个隔离区所用防护隔帘布总长为，如果隔离区出入口的大小不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为：隔离区的最大面积为；小亮认为：隔离区的面积可能为，你认为他们俩的说法是（　　） A．小明正确，小亮错误 B．小明错误，小亮正确 C．两人均正确 D．两人均错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，不等式组的应用，设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为，根据矩形的面积公式列出面积S关于x的函数解析式，再根据题意求出x的取值范围，然后分别令和，解方程求出x，取在x取值范围内的值即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边为，矩形的面积为，则隔离区的另一边为， ∴， 根据题意，得不等式组， 解得：， 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 故小明错误，小亮说法正确． 故选：B． 2.（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：)． (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2) (3)当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 【题型6】 图形运动问题 【典题1】 （2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在中，．边上有一动点 P （不与A，C重合），过点P作于点 D，连接．当面积最大时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，二次函数求最值，勾股定理求出的长，过点作，设，三角函数求出的长，分割法表示出 的面积，二次函数求最值，求出面积最大时，的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 过点作，设，则：， ∵， ∴在中，， 在中，， ∵的面积 ， ∴当时，的面积最大， 此时； 故答案为：． 【典题2】（2024·江西南昌·模拟预测）如图1，是等边三角形，动点D以每秒1个单位长度的速度从点A出发，在三角形边上沿A→B→C→A匀速运动，回到出发点A时停止运动，过点D作，垂足为E，设点D的运动时间为t（s），的面积为S．图2是点D从点A运动到点B时的S关于t的函数图象，点M的坐标为． (1)①等边三角形的边长为 ，点N的坐标为 ； ②求图2中函数图象所对应的解析式． (2)图3是动点D走完全程，S与t的函数图象，请你根据图象，回答下列问题： ①表示的实际意义是 ； ②连接，求S与t的函数图象和线段围成的图形的面积． 【答案】(1)①4，；②（） (2)①点D在上运动，的面积为0；② 【分析】本题考查了考查了二次函数的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积公式； （1）①由点M坐标可得此时点D在点B处，即可求解；②由直角三角形的性质可求的长，即可求解； （2）①由图象可直接求解；②先求出点D在上时的解析式，可得点D在上和点D在上的图象开口相反，大小相同，由面积的和差关系可求解． 灵活运用二次函数和这些性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：①∵点M的坐标为， ， ， 当点D在点A时， ， ∴点， 故答案为：4，； ②如图1，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，（）； （2）解：①由图象可得：表示的实际意义是点D在上运动，的面积为0， 故答案为：点D在上运动，的面积为0； ②当点D在上时， ， 同理可求：， ， ， （）， ∴点P坐标为，点， ∴S与t的函数图象和线段围成的图形的面积： ． 【巩固练习】 1.（2023·四川乐山·模拟预测）如图，在中，已知，，．点D是边上的一个动点（不与端点A和B重合），过D作交于点E，点F在边上，连接、．若，的面积为，则下面四个选项中最能反映与之间的函数关系图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象的应用，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，作于．表示出、，证明，由相似三角形的性质表示出，再利用三角形面积表示出函数即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于． 由题意得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，其中． 故选D． 2.（2023·山东青岛·一模）如图，在中，，，延长到点B，使，过点B作，，连接；点N从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；过点N作，以和为邻边作矩形，点M与点N同时出发，点M从点B沿方向匀速运动，速度为，连接、、，设运动时间为．解答下列问题： (1)当垂直平分时，求t的值； (2)设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； (3)当点M在的角平分线上时，求t的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使直线过线段的中点O？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当E在线段的垂直平分线上时，t的值为5 (2)S与t的函数关系式为 (3)t的值为 (4)t＝或时，直线过线段的中点O 【分析】（1）点在的垂直平分线上，推出，由此构建方程求解即可； （2）利用分割法，，可得结论； （3）过点作于点．由角平分线的性质得，由此构建方程求解即可； （4）过作于，则，由相似三角形的性质构建方程求解即可． 【详解】（1）在中，，，， ， 四边形是矩形， ， ， 即， 解得：， 点在的垂直平分线上， ， ， 解得：， 即当在线段的垂直平分线上时，的值为5； （2）由（1）可知，，， ， ， ， 四边形是矩形， ，，，， ， 即， 解得：， ， 即与的函数关系式为； （3）过点作于点． 平分，，， ， ， 解得：， 即存在某一时刻，使点在的角平分线上，的值为； （4）存在，理由如下： 如图2，过作于， 则， 由（1）可知，， ， 是的中点， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 即， 解得：， 即或时，直线过线段的中点． 【点睛】本题属于二次函数与四边形综合题，考查了考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质、勾股定理、梯形面积公式以及三角形面积公式等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 3.（2024·吉林长春·三模）如图1，在中，，，，D为的中点，连接，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动（点P与点A、B不重合），过点P作，交折线于点Q，以为边向右作正方形，设点P的运动时间为 (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)求当点M在边上时t的值． (3)设正方形与重叠部分面积为S，当重叠部分图形是四边形时，求S与t的函数关系式． (4)如图2，点P在运动过程中，点C关于的对称点为E，点D关于的对称点为F，连接，当线段与的某一边垂直时，直接写出t的值． 【答案】(1)时，；当时， (2) (3)时，；时， (4)或 【分析】（1）根据点的运动可得出的长，可证，进而可得出的长； （2）当点在边上，作出图形，则所以代入线段长可得出的值； （3）根据点的运动，有两段符合题意，当点到达前，当点与点重合后且点与点重合前，分别作出图形求解即可； （4）直线垂直于哪条边不确定，故需要分三种情况分别讨论，以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，利用直线的位置关系以及坐标系中点的位置关系求解即可. 【详解】（1）①当点在线段上时， 即时， 由题意可知， ， ∵， ∴， ∴， 由点的运动可知， ， ∴， 解得； ②当点在线段上时，即 时， ∵， ∴， ∴， 由点的运动可知，， 则， ∴， 解得； （2）当点在上时， 如图所示， ∵四边形是正方形， ， ， 在 中， 由勾股定理可得， ∵点是的中点， ， 在 中，由勾股定理可知， ， ， 解得； （3）当点到达线段前， 即时，如图所示， 此时重合的四边形为正方形， ∴重合面积， 当点与点重合后，点与点重合前，即时，重合面积如图所示， 此时 ， ， ，即 解得 ； （4）以点为原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示， 则， ∵点和点关于直线对称，点关于的对称点为， ， ①当 时，如图所示，此时 ， ∴设直线的解析式为：，代入得 ，解得， ∴直线的解析式为：， ， ∴直线的解析式为： ， 将点的坐标代入，可得 解得 ， ②当时， ， ， ∴直线的解析式为：， ， ∴直线的解析式为： ， 将点的坐标代入，可得 ，解得 ，不合题意， 舍去， ③当时，可得，解得， 综上所述，当线段与的某一边垂直时，的值为 或 【点睛】本题属于几何综合题目，涉及正方形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，比较综合，第（4）问本题建立了平面直角坐标系，也可根据相似三角形的性质与判定进行解答. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$