专题15 二次函数与几何综合 【九大题型】 -2025年中考数学一轮复习（全国通用版）

专题15 二次函数与几何综合 二次函数的图像和性质 1二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. 2 二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【题型1】 线段周长问题 【典题1】 （2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【巩固练习】 1.（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    2.（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【题型2】 面积问题 【典题1】 （2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．    (1)直接写出b，c的值； (2)如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，且点恰好落在直线上，求点的坐标； (3)若点M是的中点，以点，，，为顶点的四边形的面积为． ①求S与m的函数解析式； ②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围． 【巩固练习】 1.（2024·贵州毕节·一模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 2.（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【题型3】 角度问题 【典题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 2.（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 【题型4】 二次函数与等腰三角形 【典题1】 已知抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧）． (1)求点A，点B的坐标； (2)用配方法求该抛物线的顶点C的坐标，判断△ABC的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点O、点C、点P为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【题型5】 二次函数与直角三角形 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【题型6】 二次函数与相似三角形 【典题1】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【巩固练习】 1.（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型7】 二次函数与一般平行四边形 【典题1】 （2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． (1)分别求出点，的坐标（用表示）； (2)证明：函数与的图象相交于，两点； (3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 【巩固练习】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，与轴的交点为，将该图象关于原点中心对称后，点的对应点分别为．若四边形为正方形，则的值是（    ） A． B．8 C． D．或8 2.（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型8】二次函数与特殊平行四边形 【典题1】（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【巩固练习】 1.（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C在线段上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)当时，求抛物线M的解析式； (3)当时，求a的取值范围； (4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是，，当在y轴上，轴，且以B，C，，为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式． 【题型9】二次函数与圆 【典题1】 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 ． 【典题2】（2024·吉林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，连接．点为线段上方抛物线上任意一点，连接交于点，以点为圆心作圆． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当点和点同时在上时． ①直接写出点与的位置关系． ②求点的坐标． (3)当点在上，且的值最大时，直接写出连接点与上各点的所有线段中，最短线段的长度． 【巩固练习】 1.（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 2. （2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最小值是 ． 3.（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15 二次函数与几何综合 二次函数的图像和性质 1二次函数一般式的图像与性质 图像 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小. 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大. 最值 当时，取到最小值 当时，取到最大值 系数，，的作用 （1）：决定抛物线的开口方向与大小； 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，越大，抛物线的开口越小. （2），同时决定抛物线的对称轴位置； （3）决定抛物线与轴的交点位置. 因为对于二次函数，当时，故抛物线必过轴上的点. 2 二次函数顶点式的图像与性质 ① 当时，开口向上；当时，抛物线开口向下； ② 对称轴； ③ 顶点坐标. 【题型1】 线段周长问题 【典题1】 （2024·江苏镇江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为C． (1)求A、B、C三点的坐标； (2)一个二次函数的图像经过B、C、三点，其中，该函数图像与x轴交于另一点D，点D在线段上（与点O、B不重合）． ①若D点的坐标为，则_________； ②求t的取值范围： ③求的最大值． 【答案】(1)，， (2)①6；②且；③4 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，二次函数的对称性，二次函数的最值问题等相关知识，熟练掌握相关知识是解题基础． （1）根据顶点式可直接得出点的坐标；令，解方程，可得出点，的坐标； （2）①根据函数的对称性，可得出对称轴为直线，再根据点，的坐标可得出，关于对称轴对称，由此可得出的值； ②由对称轴的性质可知，二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，，再由对称性可知，，由点在线段上，且与端点不重合，可得，即，而当时，过点，，三点的二次函数不存在，由此可得且； ③，根据二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点为， ； 令，解得或， ，； （2）解：①由题知，该函数过点，，， 函数的解析式为：， 函数的对称轴为直线， ，， 点，关于对称轴对称， ， ， 故答案为：6； ②设二次函数的解析式为：， 将，，两点代入，得， ， ， ， 二次函数图象的对称轴与轴的交点坐标为，， ，两点关于对称轴对称，点， ， 点在线段上，且与端点不重合， ，即， 时，过点，，三点的二次函数不存在， 且； ③，， ． ， 且， 时，有最大值，最大值为4． 【巩固练习】 1.（2020·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为．若抛物线（、为常数）与线段交于、两点，且，则的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 2.（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图，在平面直角坐标系中．直线与抛物线交于两点，点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴的平行线，与直线交于点C．连接，设点的横坐标为． ①若点在轴上方，当为何值时，； ②若点在轴下方，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)①当时，；②周长的最大值为9 【分析】本题考查了二次函数的线段周长综合，待定系数法求解析式，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出直线的解析式为，再得出，结合，代入，进行计算即可作答． （2）①先设，则，所以因为所以，且，化简计算，得，故当时，；②当点在轴下方时，，同理得代入得，化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 当时， ， 将点分别代入， 得 解得 抛物线的解析式为； （2）①设，则， 过点作轴的平行线，与直线交于点， 令， 解得或． ②当点在轴上方时，， 或（舍去） 当时，； ②由①得 ， 当点在轴下方时，， 点 当时，的周长最大，最大值为9． 【题型2】 面积问题 【典题1】 （2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点（不与点C重合），设点P的横坐标为m．    (1)直接写出b，c的值； (2)如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得线段，且点恰好落在直线上，求点的坐标； (3)若点M是的中点，以点，，，为顶点的四边形的面积为． ①求S与m的函数解析式； ②根据S的不同取值，结合图象，直接写出S随m变化时自变量m的取值范围． 【答案】(1)）， (2)或 (3)①；②当或时，S的值随m的增大而减小；当时，S的值随m的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，本题的关键是运用数形结合的思想方法． （1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）过点P作于点F，过点作的延长线于点，证明，因为点P的横坐标为，表示出，点的坐标，进而求解； （3）①当点P在y轴左侧，即时，点P在y轴右侧，即时，分别求出函数解析式即可求解； ②根据图像，进行分析数形结合即可求解 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵，在上， ∴， 解得； （2）如图1，过点P作于点F，过点A作的延长线于点E， ∴，， 由旋转的性质知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P的横坐标为m， ∴，，且， ∵， ∴， ∴，解得，， ∴或．    （3）由题意知，当时，， ∴，即， ∵，M是的中点， ∴，即， ①当点P在y轴左侧，即时，如图2， 则 ； 当点P在y轴右侧，即时，如图3，连接， 则      综上，． ②， 由图4可知：当或时，S的值随m的增大而减小； 当时，S的值随m的增大而增大．    【巩固练习】 1.（2024·贵州毕节·一模）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连接． (1)求二次函数的表达式及点B的坐标； (2)若该二次函数的图象上有一点D（不与点C重合）使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)满足条件的点D的坐标为或或 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合 （1）用待定系数法求二次函数的解析式，另可求出B的坐标； （2）求出点C的坐标，因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为， 代入表达式，得， 解得， ∴二次函数的表达式为．        在中， 当时，则， 解得， （2）如图，当点D在x轴上方时，连接，过点D作于点E． ∵当时，， ．        当时，， 当时，， 解得或， ∴点D的坐标为． 当点D在x轴下方时，， 解得或， ∴点D的坐标为或． 综上所述，满足条件的点D的坐标为或或 2.（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．    (1)求抛物线的表达式； (2)当点在直线下方的抛物线上时，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t，的长为，请写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (3)连接，交于点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出，再用待定系数法求出直线的解析式为：，可得出，，从而可得，再求出自变量取值范围即可； （3）分四种情形：当时，作，交于，可得出，从而，进而得出，进一步得出结果；当，和时，可得出没有最大值． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ，解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为t， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ； （3）解：如图1，    当时， 作，交于， ， ， 把代入得， ， ， ， 当时，， ， ， 如图2， 当时， 此时， ， 时，随着的增大而增大， 没有最大值， 没有最大值， 如图3， 当时， ， 当时，随着的增大而减小， 没有最大值， 没有最大值， 如图4，    当时， 由上可知， 没有最大值， 综上所述：当时，． 【点睛】本题考查了二次函数及其图象的性质，求一次函数的解析式，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 【题型3】 角度问题 【典题1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，x轴上有一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及抛物线分别交于点D，E．连接． (1)求抛物线的解析式． (2)点P在线段上运动时（不与点O，B重合）当时，求t的值． (3)当点P在x轴上自由运动时，是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)）或． 【分析】（1）将代入，即可求函数的解析式； （2）由题意可求，又由，可得，能求出点，即可求t的值； （3）由题意可得，从而能求出，再由，求出t即可求P点坐标． 【详解】（1）解：代入， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴t的值为2； （3）解：存在点P，使，理由如下： 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∴P点坐标为）或． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【巩固练习】 1.如图，抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若点M为直线BC上方抛物线一动点（与点B、C不重合），作MN平行于y轴，交直线BC于点N，当线段MN的长最大时，请求出点M的坐标； (3)如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当时，请求出点Q的坐标． 【答案】(1)y＝﹣x2＋2x＋3 (2)M（，） (3)Q（﹣1，0）或（5，﹣12） 【分析】（1）根据二次函数的交点式，即可求解； （2）先求出C（0，3），可得直线BC的解析式为y＝-x＋3，然后设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3），再利用二次函数的性质，即可求解； （3）过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC，先求出点P坐标（1，4），可得PC＝，PB＝，BC＝，从而得到△PBC为直角三角形，进而得到tan∠PBC＝，然后设点Q（x，﹣x2＋2x＋3），再由，列出等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（-1，0）和B（3，0）， ∴函数的表达式为：y＝﹣（x＋1）（x﹣3）＝﹣x2＋2x＋3； （2）解：当 时， ， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为 ， 把点B（3，0），C（0，3）代入得： ，解得： ， ∴直线BC的解析式为y＝-x＋3， 设M的坐标（m，-m2＋2m＋3），则N（m，-m＋3）， ∴MN＝-m2＋2m＋3-（- m＋3）＝- m2＋3m＝ -（m -）2＋， 当m ＝时，MN的长度最大， 此时M（，）； （3）如图，过点Q作QH⊥y轴于点H，连接PC， ∵ ， ∴点P坐标（1，4）， ∵点B（3，0），C（0，3）， ∴PC＝，PB＝，BC＝， ∴ ， ∴△PBC为直角三角形， ∴tan∠PBC＝， 设点Q（x，﹣x2＋2x＋3）， ∵， 则， 解得：x＝0或5或﹣1（舍去0）， 故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数，熟练掌握二次函数的图象和性质，勾股定理逆定理，锐角三角函数是解题的关键． 2.（2023·辽宁沈阳·三模）已知：如图，抛物线经过点，，与x轴交于另一点B，连接，． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，连接且，求点的坐标； (3)点为直线上方的抛物线上的一点，过点作于点，连接，若的一个锐角等于的2倍，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1) (2)点D的坐标为 (3)点P的横坐标为或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）在中，，，，用解直角三角形的方法求出，再运用待定系数法求出的表达式为：，即可求解； （3）运用待定系数法求出的表达式为：，作点关于轴的对称点，连接，过点作于点，设点，则点，则，由或，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）解：设交轴于点，过点作于点， 在中，，，， 设，则， 则，则， 则，， 由勾股定理得：，即点， 由点、的坐标得， 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点的坐标为：； （3）解：依题意， ∴ 设直线的表达式为 把和分别代入 得 解得 ∴的表达式为：， 作点关于轴的对称点，连接，过点作于点， 则， 则， 即，则， 则， 的一个锐角等于的2倍， 即或， 过点作轴交于点， 则， 则， 则， 设点， 则点，则， 则或， 解得：或， 即点的横坐标为：或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、勾股定理、解直角三角形、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【题型4】 二次函数与等腰三角形 【典题1】 已知抛物线y＝x2﹣x﹣与x轴交于点A，点B（点A在点B左侧）． (1)求点A，点B的坐标； (2)用配方法求该抛物线的顶点C的坐标，判断△ABC的形状，并说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使以点O、点C、点P为顶点的三角形构成等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)A（-1，0），B（3，0） (2)点C的坐标为（1，-2），为等腰直角三角形，理由见解析 (3)点P的坐标为（1，2），，或 【分析】（1）把代入到得，，解得，，又因为点A在点B的左侧，即可得； （2）配方得，即可得点C的坐标为（1，-2），根据点A，B，C的坐标得，，，则AC=BC，又因为，所以，即可得，从而得出是等腰直角三角形； （3）当点P与点C关于x轴对称时，OC=OP，为等腰三角形，即可得点P的坐标（1，2），当时，，即可得点P的坐标为或，当时，点P在OC的垂直平分线上，设点，点P交x轴于点D，在中，根据勾股定理得，，解得，即可得点P的坐标为，综上，即可得． 【详解】（1）解：把代入到得， 解得，， ∵点A在点B的左侧， ∴A（-1，0），B（3，0）． （2）解： = = = ∴点C的坐标为（1，-2）， 为等腰直角三角形，理由如下： ∵A（-1，0），B（3，0），C（1，-2）， ∴， ， ， ∴AC=BC， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：当点P与点C关于x轴对称时，OC=OP，为等腰三角形， ∴点P的坐标为（1，2）； 当时，， ∴点P的坐标为或； 当时，点P在OC的垂直平分线上，设点， 如图所示，点P交x轴于点D， 在中，根据勾股定理得， ， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为（1，2），，或． 【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合，解题的关键是掌握二次函数的性质，等腰三角形的判定与性质． 【巩固练习】 1.如图，已知二次函数的图像经过点、和原点O．P为二次函数图像上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为，并与直线OA交于点C． (1)求出二次函数的解析式； (2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值； (3)当时，探索是否存在点P，使得为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+4x (2) (3)存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0） 【分析】（1）设y=ax（x-4），把A点坐标代入即可求出答案； （2）根据点的坐标求出PC=-m2+3m，化成顶点式即可求出线段PC的最大值； （3）当0<m<3时，仅有OC=PC，列出方程，求出方程的解即可；当m≥3时，PC=CD-PD=m2-3m，，分为三种情况：当OC=PC时，当OC=OP时，当PC=OP时，即可得到答案． 【详解】（1）解∶∵二次函数的图像经过点和原点O． ∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4）， 把点A（3，3）代入，得：3=3a（3-4）， 解得：a=-1， ∴二次函数的解析式为y=- x（x-4）=-x2+4x； （2）解：根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA的解析式为， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA的解析式为y=x， ∵D（m，0），PD⊥x轴，P在y=-x2+4x上，C在直线OA上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m， ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当时，线段PC最大，最大；值为； （3）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ，， 当0<m<3时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴，解得：或0（舍去）， ∴此时； 当m≥3时，点C在点P的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC时，， 解得：或0（舍去）， ∴此时点； 当OC=OP时，有OC2=OP2， ∴， 解得：m=5或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5）， 当PC=OP时， ， 解得：m=4或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P的坐标为或或（5，-5）或（4，0）． 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数的最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目，（3）小题有一定的难度． 【题型5】 二次函数与直角三角形 【典题1】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，两点，点是直线上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点、交轴于点．设点的横坐标为． (1)分别求直线和这条抛物线的解析式； (2)若，求此时点的坐标； (3)是否存在这样的点，使得以、、为顶点组成直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的解析式为， (2), (3)，，或 【分析】（1）设，将，代入两个函数解析式即可求出答案； （2）设，，根据，则，即可解答； （3）设，分当时； ，三种情况依次进行讨论即可． 【详解】（1）解：设，将，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 抛物线经过点，两点，将，代入， ， 解得， ； （2）设，，，则， 当时 ∵ ， 整理得， ，（舍去） ； 当时 ∵ ， 整理得， ∴（舍去）或； ∴ 当时 ∴不存在 综上所述：, （3）设，则 ，，， ①当时，即， ， ， ， ， ， 解得或（舍去）， ②时，即， ， ， ， 而， ， ， ③时，即， ， ， （舍去）或 ， 或， 或， 综上所述：，，或 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2024·江苏徐州·模拟预测）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度秒，设运动时间为t秒．以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线与抛物线的另一个交点为点G，与相交于点F． (1)求点A、点B的坐标； (2)用含t的代数式分别表示和的长； (3)是否存在t的值，使是直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在， 【分析】（1）在直线中，分别令和，即可求得、两点坐标； （2）由、的长可求得，用可表示出，，和的长，由勾股定理可求得的长，从而可用表示出的长； （3）若为直角三角形时，由条件可知只能是，又，由（）可知又由二次函数的对称性可得到，从而可求出，在中，可得到关于的方程，可求得的值，进一步可求得点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式． 【详解】（1）解：在直线中， 令得， 解得： 令得， ∴， （2）解：由（1）可知， ， 运动时间为秒， 轴， 在中，，， 在中，，， ， ； （3）解：存在． 轴， ， 点不能在抛物线的对称轴上， ， 当为直角三角形时，则有， 又， ， ，， ，且 ， 解得： 即当的值为秒时，为直角三角形， 此时 ∴ ∵抛物线的顶点为，设抛物线解析式为， 把点坐标代入得： 解得：， ∴抛物线的解析式为， 即． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合运用待定系数法，三角函数的定义，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的对称性等知识点；综合运用以上知识是解题的关键． 【题型6】 二次函数与相似三角形 【典题1】（2024·陕西商洛·三模）如图，已知点，，经过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)连接，，若点N在x轴上，要使以B，P，N为顶点的三角形与相似，求满足条件的点N的坐标． 【答案】(1)该抛物线的函数表达式为 (2)点N的坐标为或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数与相似三角形综合，掌握求二次函数解析式和相似三角形的性质与判定是解题关键． （1）将点，，代入，用待定系数法求二次函数解析式； （2）连接，可得顶点P的坐标为，设，求出，进而得出，再分两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：将点，，代入， 得解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）解：如图，连接，顶点P的坐标为． 设， 当时，，解得，， ． ，，， ． 当时，， ，解得． 点N的坐标为． 当时，， ，解得， 点N的坐标为． 综上所述，点N的坐标为或． 【巩固练习】 1.（2022·四川绵阳·中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于A(-1，0)，B两点，交y轴于点C(0，3)，顶点D的横坐标为1． (1)求抛物线的解析式； (2)在y轴的负半轴上是否存在点P使∠APB＋∠ACB＝180°．若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)过点C作直线l与y轴垂直，与抛物线的另一个交点为E，连接AD，AE，DE，在直线l下方的抛物线上是否存在一点M，过点M作MF⊥l，垂足为F，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y=-x2+2x+3； (2)存在，P（0，-1）使∠APB＋∠ACB＝180°，理由见解析； (3)存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或 【分析】（1）由抛物线的对称轴可得点B的坐标，由此设出交点式，代入点C的坐标，即可得出抛物线的解析式； （2）由题意可知，点A，C，B，P四点共圆，画出图形，即可得出点P的坐标； （3）由抛物线的对称性可得出点E的坐标，点D的坐标，根据两点间的距离公式可得出AD，DE，AE的长，可得出△ADE是直角三角形，且DE∶AE=1：3，再根据相似三角形的性质可得出EF和FM的比例，由此可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：∵顶点D的横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵A（-1，0）， ∴B（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）， 把C（0，3）代入抛物线的解析式得： -3a=3，解得a=-1， ∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3； （2）存在，P（0，-1），理由如下： ∵∠APB+∠ACB=180°， ∴∠CAP+∠CBP=180°， ∴点A，C，B，P四点共圆， 如图所示， ∵点A（0，-1），B（3，0），C（0，3）， ∴OB=OC=3， ∴∠OCB=∠OBC=45°， ∴∠APC=∠ABC=45°， ∴△AOP是等腰直角三角形， ∴OP=OA=1， ∴P（0，-1）； （3）解：存在，理由如下： ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴D（1，4）， 由抛物线的对称性得：E（2，3）， ∵A（-1，0）， ∴， ∴， ∴△ADE是直角三角形，且∠AED=90°，DE∶AE=1∶3， ∵点M在直线l下方的抛物线上， 设，则t＞2或t＜0， ∵MF⊥l， ∴点F（t，3）， ∴，， ∵以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似， ∴或， ∴或， 解得t=2（舍去） 或t=3或t=-3或（舍去）或， ∴点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或， 综上所述，存在点M，使以M，F，E三点为顶点的三角形与ΔADE相似，此时点M的坐标为（3，0）或（-3，-12）或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，圆内四边形的性质，相似三角形的性质与判定，分类讨论思想等，第（2）问得出四点共固是解题关键；第（3）问得出△ADE是直角三角形并得出AD∶AE的值是解题关键． 【题型7】 二次函数与一般平行四边形 【典题1】 （2024·安徽·模拟预测）已知二次函数的图象顶点为，二次函数的图象顶点为． (1)分别求出点，的坐标（用表示）； (2)证明：函数与的图象相交于，两点； (3)当时，点，为图象上的动点，且点在点，之间，，两点的横坐标分别为，，作轴交于点，轴交直线于点，若四边形，为平行四边形，求的值． 【答案】(1)； (2)详见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点． （1）由顶点坐标公式即可求解； （2）证明：令，得或，即可求解； （3）由四边形为平行四边形，得到，即可求解． 【详解】（1），对称轴， 当时，， ∴， ，对称轴， 当时，， ∴； （2）令，得：， 化简得：，即， 解得：，， 将，分别代入二次函数中，得：，， ∴交点坐标为和， 即：函数与相交于、两点． （3）当时，，顶点；，顶点， ∴直线解析式为：， 设，则 ∴， 则，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴． 【巩固练习】 1.（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，与轴的交点为，将该图象关于原点中心对称后，点的对应点分别为．若四边形为正方形，则的值是（    ） A． B．8 C． D．或8 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与正方形综合，涉及二次函数图象与性质、正方形性质、解一元二次方程等知识，根据题意，分两类：当时；当时；讨论求解即可得到答案，熟练掌握二次函数图象与性质、正方形性质、解一元二次方程等知识是解决问题的关键． 【详解】解：①当时， 由题意得为正方形的中心， ， 对于，令，得， ， 由的对称轴为，知二次函数图象的对称轴在轴右侧， 点在轴正半轴上， ， 把点代入，得，解得或（舍去）； ②当时， 由①知， 把点代入，得，解得或（舍去）； 综上所述，的值是或8， 故选：D． 2.（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴交于点C． (1)求的值； (2)若点P是抛物线段上的一点，当的面积最大时求出点P的坐标，并求出面积的最大值； (3)点F是抛物线上的动点，作交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，此时 (3)存在，或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）方法一：连接，，通过表示出函数关系，利用函数的性质进行求解；方法二：作于Q，交于点D，，求得函数关系式，进行求解即可； （3）分两种情况，当四边形为平行四边形时或当四边形为平行四边形时，利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：把点和点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当时，， ∴， ∴， 方法一：如图1， 连接， 设点， ∴， ∴ ， ∴当时，，此时； 方法二：如图2， 作于Q，交于点D，设解析式为： ∵，则，解得 ∴直线的解析式为：， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，此时； （3）解：如图3， 当四边形为平行四边形时，， ∵抛物线对称轴为直线：， ∴点的坐标： 如图4，当四边形为平行四边形时，， 作于G， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， 当时，， ∴，， ∴，， 综上所述：或或． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数与面积问题，二次函数与特殊的平行四边形，解题的关键是熟练掌握相关基础知识． 【题型8】二次函数与特殊平行四边形 【典题1】（2024·山西长治·模拟预测）综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点C，抛物线的顶点为D，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)图2中，对称轴直线与轴交于点H，连接，求四边形的面积； (3)点是直线上一点，点是平面内一点，是否存在以BC为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）因为抛物线经过点，两点，所以由待定系数法即可求解； （2）先待定系数法求出直线的表达式为：，再由四边形的面积，即可求解； （3）分两种情况：①当为边，为对角线时；②当为边，为对角线时，根据菱形的性质即可求解． 【详解】（1）抛物线经过点，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：由抛物线的表达式知，点，其对称轴为直线，点， 连接交直线于点， 设直线的表达式为 把，代入 得 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点， 则， 则四边形的面积 ； （3）解：由（2）得抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， ①当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或； ②当为边，为对角线时，， ， ， 解得， 点F的坐标为或， 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2024·湖北·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，点C在线段上，点C不与点B重合，以点C为顶点的抛物线经过点B，与x轴的另一个交点为． (1)直接写出点A，B的坐标； (2)当时，求抛物线M的解析式； (3)当时，求a的取值范围； (4)平移抛物线M至Q，点B，C的对应点分别是，，当在y轴上，轴，且以B，C，，为顶点的四边形是矩形时，求抛物线Q的解析式． 【答案】(1) (2)抛物线M的解析式为 (3) (4)抛物线Q的解析式为 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、解不等式、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）分别令，可求解点A、B坐标； （2）可得，先求得，再利用待定系数法求解即可； （3）设，则抛物线M可设为，将点B坐标代入可得，求得，由对称轴可得，由 得，进而可求解； （4）过点C作轴于E，当在y轴上，轴，根据矩形的性质得，，，证明得到，结合矩形的性质得到，进而求得，证明， 求得，则， ，设抛物线Q的解析式为，利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，则，令由得， ∴，； （2）解：当时， 抛物线M的对称轴为直线， 点C的横坐标为1， 在线段上， ∴当时，， ∴， 由得 解得， 抛物线M的解析式为； （3）解：设， 则抛物线M可设为，又过， ∴， 整理得：， 点C不与点B重合，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴①； 点C在线段上，点C不与点B重合， ∴，即， ∴， ∴②， 由①②得：； （4）解：如图，过点C作轴于E，当在y轴上，轴，且以B、C、、为顶点的四边形是矩形时， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 四边形是矩形， ∴， ∴， ∵K是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设抛物线Q的解析式为，把代入得，， 解得：， 抛物线Q的解析式为：． 【题型9】二次函数与圆 【典题1】 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小式，点，的位置．先求出，点坐标，做辅助线如图求点坐标，根据图像即可分析出答案． 【详解】解：对于，当时， ， 解得：，， ∴点的坐标为， 对于，当时，， ∴点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交于轴与，交与，过点作轴与，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由如下： 当点与点不重合，点与点不重合时， 根据对称轴的性质可知：， ∴， 根据“两点之间线段最短”可知： ， 即：， ∵， ∴， 即：， ∴当点与点重合，点与点重合时，为最小． ∵点，， ∴，，， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小为， 故答案为：． 【典题2】（2024·吉林·二模）如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴交于两点，连接．点为线段上方抛物线上任意一点，连接交于点，以点为圆心作圆． (1)求抛物线的解析式及点的坐标． (2)当点和点同时在上时． ①直接写出点与的位置关系． ②求点的坐标． (3)当点在上，且的值最大时，直接写出连接点与上各点的所有线段中，最短线段的长度． 【答案】(1)抛物线的解析式为，点的坐标为 (2)①点在上；②的坐标为 (3)最短线段的长度为 【分析】(1)先根据抛物线与x轴交于两点，抛物线解析式设为，结合解答即可． （2）①根据，,得到，当B，C都在上时，得到是为直径的圆，由此可判断点在上；②根据,，得到，设直线的解析式为，确定解析式，与抛物线解析式联立方程组解答即可． (3) 先求得直线的解析式为：．根据抛物线的解析式为，设，过点Q作轴，交直线于点M，则点M的纵坐标为，求得，根据，得到，利用二次函数的性质求解即可．设与的另一个交点为N，则是最短的线段，解答即可． 【详解】（1）∵抛物线与x轴交于、两点， ∴抛物线解析式可设为， 故抛物线的解析式为． 故抛物线的解析式为， 点的坐标为． （2）①∵，, ∴， 当B，C都在上时， ∴是为直径的圆， ∴点在上． ②∵,， ∴， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得（舍去）． 故． （3）∵,， 设直线的解析式为，将,代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据抛物线的解析式为， 设， 过点Q作轴，交直线于点M， 故点M的纵坐标为， ∴． 解得， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴当时，比值最大，最大值为． 此时， 设直线的解析式为，将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 根据题意，得， 解得． 故． ∴，， 设与的另一个交点为N，则是最短的线段，且． 【点睛】本题考查了待定系数法，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，根据圆的性质求最值，两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，三角形相似的判定和性质，构造二次函数求最值，根据圆的性质求最值是解题的关键． 【巩固练习】 1.（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形中位线，二次函数的性质．连接，如图，先求出A，B坐标，即可判断出为的中位线，得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值． 【详解】解：连接，如图， 当时，，解得， ∴， ∵E是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 而当过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大， ∵， ∴， ∴线段的最大值是． 故选：B． 2. （2024·广东梅州·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，4为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连结．则线段的最小值是 ． 【答案】3 【分析】连接，根据函数关系式求出点B的坐标，可求出，再结合已知条件可知是的中位线，当点B，C，P三点共线时，且在之间，最小，求出最小值． 【详解】连接，． ∵抛物线与x轴交于点A，B两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． ∵点， ∴， 根据勾股定理，得． ∵点Q是的中点，点O是的中点， ∴是的中位线， ∴． 可知最小，即最小， 当点B，C，P三点共线时，且点P在之间时，即点P与点D重合，最小， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】这是一道关于圆和二次函数的综合问题，考查了勾股定理，中位线的定义和性质，求二次函数图象与坐标轴的交点等，确定点P的坐标是解题的关键． 3.（2024·广东珠海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且． (1)求抛物线的解析式； (2)在第一象限内抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求M点的坐标，如果不存在，说明理由； (3)若D是抛物线第二象限上一动点，过点D作轴于点F，过点A、B、D的圆与交于E点，求的面积． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）根据题意得到，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）判断是等腰直角三角形，可求出，设交x轴于点D，则，求出点D的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出公共解即可求出点M坐标； （3）记过点A、B、D的圆的圆心为点G，设，根据，可得出①，由点D在抛物线上，可得出②，将②代入①得求出，根据三角形面积公式求出，然后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 把，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在第一象限内抛物线上存在点M，使，理由如下： 如图， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设交x轴于点D，则， ∴点D的坐标为； 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 联立， 解得，（舍） ∴点M的坐标为（， （3）解：把代入，得， 解得或， ∴点A的坐标为， ∴AB=6， 设过点A、B、D得圆的圆心为点G， ∵， ∴点G在线段的垂直平分线上， 设点G的坐标为， 同理可得点G在线段的垂直平分线上， ∵轴于点F， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 整理得①， ∵点D在抛物线上， ∴， 得②， 将②代入①得，， ∵， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求出函数解析式，抛物线上的点的坐标特征以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$