精品解析：2025年陕西省咸阳市秦都区电建学校中考模拟预测数学试题

试卷类型：A 2025年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，M、N为直线上的两点，连接，于点E，点F在上，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 已知一次函数（m、n为常数，且，）的图象不经过第三象限，则正比例函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 6. 如图，在矩形中，连接、相交于点，点、分别为、的中点，连接，若，，则矩形的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，内接于 ，为 的直径，点 为 上一点，连接、、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 关于 的二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：_____．（填“ ”“”或“”） 10. 某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是_____米． 11. 某校为弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的校园活动，小英将“传”“承”“文”“明”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系后，“传”“明”的坐标分别为，，则“文”的坐标为_____． 12. 如图，、为等边的两条高，且与相交于点，则图中的直角三角形共有_____个． 13. 已知在平面直角坐标系中，点（m、n为常数）在反比例函数为常数，且的图象上，若点、也在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是_____． 14. 如图，在菱形中，，，交对角线于点，点E、F分别在线段和射线上，且，连接、，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 16. 计算：． 17. 解方程：． 18. 如图，内接于 ，请用尺规作图法分别在、上找点D、E，连接，使得为的中位线．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，与关于所在直线对称，连接交于点，过点作交于点，连接，求证：四边形为菱形． 20. 生长素是人类最早发现的植物激素，它是由色氨酸经过一系列反应转变而来的，对植物的生长、发育具有多种调节作用．某生物兴趣小组为研究植物生长素和赤霉素这两种植物激素对植物生长的作用，利用豌豆苗进行了相关实验，随机抽取4盆长势相近的豌豆苗，对其中2盆使用植物生长素，另外2盆使用赤霉素，经过一段时间后，兴趣小组的甲同学从这4盆豌豆苗中随机抽取1盆，不放回，乙同学再从剩下的3盆豌豆苗中随机抽取1盆，研究其长势． （1）甲同学抽取的1盆使用的是植物生长素的概率为_____； （2）请用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学抽取的豌豆苗使用的是同一种植物激素的概率． 21. 响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 测量员在地面上的点处测得塔顶 的仰角的度数，在地面上竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶 在一条直线上，、，点、 、、在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量员在地面上的点处测得塔顶A的仰角的度数，在地面上的点 处放置一面平面镜（大小不计），测量员站在地面上的点处，眼睛位于点处时恰好在平面镜内看到塔顶 的像，、，点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， ，，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度． 你选择的是方案_____． 22. 近日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）登顶全球动画电影票房榜首，成功吸引了全球观众的目光，提升了中国文化的国际影响力．徐艺同学想了解自己所在省份《哪吒2》的票房情况，随机抽取了本省个县，调查了这个县的《哪吒2》票房，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所调查数据中，《哪吒2》票房的众数为_____百万元，中位数为_____百万元； （2）请计算这个县《哪吒2》票房的平均数； （3）若徐艺同学所在省份共有个县，请你估计这个县的《哪吒2》总票房． 23. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于 的函数关系式； （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 24. 如图，在中，，点为边上一点，以为半径的 与边 相切于点 ，与边相交于点，连接，过点作于点． （1）求证：为 的切线； （2）若，，求 的半径． 25. 中医常用碾药工具——药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精．图1中碾槽外轮廓的上沿和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点 ，点与点 到水平地面的距离相等．上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，以所在直线为 轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式，． （1）求下沿抛物线的函数表达式； （2）点与点是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点与点到 轴的距离均为，求点与点之间的距离． 26. 【问题提出】 （1）如图1，点为矩形的边的中点，连接、，若，则的度数为_____； 【问题探究】 （2）如图2，点为正方形的边 上一点，连接 ，将绕点 逆时针旋转得到，在边 的延长线上找一点，连接，使得，连接，试判断与的长度是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，五边形是某校学生服务中心的示意图，为了更好地为本校学生提供便利，学校计划对该学生服务中心重新进行规划利用，在、 上分别取点F、G，沿修建一条通道，分别在 、、上取点P、M、N，并将区域修建为项目化学习基地，沿、MN、三条线段修建为共享物品摆放台（宽度不计）．经测量，，，，，．根据规划要求，，．为了更精准地购买各类共享物品的数量，请你帮学校计算出、、这三条线段之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2025年陕西省初中学业水平考试·全真模拟卷 数学试卷 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 将如图所示的一段折线绕着过其两端点所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了物体的旋转，熟练平面图形与立体图体的关系是解题的关键，根据面动成体，图形绕直线旋转是圆锥即可得到答案． 【详解】解：由图可得，将三角形沿着虚线旋转一周，得到的立体图形是圆锥， 故选：D． 3. 下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合同类项，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 根据同底数幂的除法法则，完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方的运算法则进行计算，即可得出答案， A．，故本选项计算错误，不符合题意； B．，故本选项计算错误，不符合题意； C．和不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； D．，故本选项计算正确错误，符合题意． 故选：D． 4. 如图，，M、N为直线上的两点，连接，于点E，点F在上，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，根据三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，得到的度数，等边对等角，得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选A． 5. 已知一次函数（m、n为常数，且，）的图象不经过第三象限，则正比例函数的图象经过的象限是（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数、正比例函数的性质，根据题意可得，，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数的图象经过的象限是第一、三象限， 故选：C． 6. 如图，在矩形中，连接、相交于点，点、分别为、的中点，连接，若，，则矩形的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据、分别为、的中点得到，结合得到，根据得到，再根据勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵、分别为、的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的中位线定理，解直角三角形的应用，，勾股定理，矩形的性质，解题的关键是根据中位线得到． 7. 如图，内接于 ，为 的直径，点 为 上一点，连接、、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理及等腰三角形内角和运用，根据，，得到，再根据同弧所对圆周角等于圆心角一半求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8. 关于的二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数法图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象与系数的关系． 根据开口方向，对称轴，与x轴交点逐项判断即可． 【详解】解：在中 ∵， ∴函数图象开口向上． ∵选项D中图象开口向下，故该选项不符合题意； ∵对称轴为， ∴函数对称轴在y轴右侧， 选项B的对称轴在y轴左侧，故该选项不符合题意； 令代入二次函数得， 则． ∵， ∴， ∴方程有两个不同实数根，即二次函数的图象与轴有两个不同交点， 选项A的函数图象与轴无交点，故该选项不符合题意； 选项C的函数图象与轴有两个交点，故该选项符合题意； 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 比较大小：_____．（填“ ”“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】该题考查了实数比较大小，确定和的范围即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 10. 某市举行了一次无人机表演大赛，参赛者勇勇让自己的微型无人机上升到一定高度时，开始按照如图所示的程序框图在空中完成表演，从开始表演到结束表演，勇勇的无人机飞行的总路程是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质与流程图，根据流程图得到路程是正多边形，根据外角得到边数，再求解即可得到答案． 【详解】解：由流程图可得，无人家的飞行轨迹是正多边形，多边形外角为， ∴边数为：， ∴无人机飞行的总路程是：（米）， 故答案为：． 11. 某校为弘扬中国传统文化，举办了以“传承文明”为主题的校园活动，小英将“传”“承”“文”“明”四个字写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系后，“传”“明”的坐标分别为，，则“文”的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标确定位置，解答本题的关键是明确题意，建立相应的平面直角坐标：根据“传”“明”的坐标分别为，建立相应的平面直角坐标系，然后写出“文”的坐标即可得到答案． 【详解】解：∵“传”“明”的坐标分别为，， ∴坐标系如图所示， ， ∴“文”的坐标为， 故答案为：． 12. 如图，、为等边的两条高，且与相交于点，则图中的直角三角形共有_____个． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查三角形的分类及高线，根据、为等边的两条高得到，即可得到，，，，，是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：∵、为等边的两条高， ∴， ∴，，，，，是直角三角形， 故答案为：6． 13. 已知在平面直角坐标系中，点（m、n为常数）在反比例函数为常数，且的图象上，若点、也在该反比例函数的图象上，则与的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．先判断点在第一象限，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点在第一象限， ∵反比例函数的图象经过点， ∴此函数的图象分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵，且这两点都在第三象限， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，，，交对角线于点，点E、F分别在线段和射线上，且，连接、，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质易得点A与点关于所在直线对称，连接 、，则与 相等，将的最小值转化为的最小值，以 、为一组邻边作平行四边形，则，因此当点在线段上的点时，取得最小值，此时点在点的位置． 【详解】解：∵在菱形中， ， ∴是等边三角形，，，点A与点关于所在直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， 以 、为一组邻边作平行四边形， ∴， ∴， ∴当点在线段上的点时，取得最小值， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本体考查菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，解题的关键是以 、为一组邻边作平行四边形，找到最小距离和点． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 原不等式组的解集为． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查立方根，负指数幂，完全平方公式，二次根式的混合运算，掌握以上运算法则是关键． 先化简立方根，负指数幂，完全平方公式展开，最后再根据实数的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 17. 解方程：． 【答案】原方程无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的计算步骤是解题的关键，根据分式方程的计算步骤运算即可得到答案，分式方程检验根是否为增根是考查重点． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， 是方程的增根，故原方程无解． 18. 如图，内接于 ，请用尺规作图法分别在、上找点D、E，连接，使得为的中位线．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】分别以点 ，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点 ，分别以点 ，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点， 连接，则即为所求，如图： 由作图可知，分别为的中点， ∴是的中位线． 【解析】 【分析】本题考查了作图-作垂线，线段垂直平分线的性质，三角形中位线的判定，分别以点 ，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点 ，分别以点 ，点为圆心，大于为半径画弧，连接两弧的交点，交于点， 连接，则即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，与关于所在直线对称，连接交于点，过点作交于点，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】 证明：与关于所在直线对称， ，，． ， ， ， ， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，平行线的性质以及菱形的判定，解题的关键是熟练掌握以上知识． 先根据与关于所在直线对称得到，，，再利用平行线的性质得出，进而得到，最后根据菱形的判定方法证明四边形是菱形． 【详解】略 20. 生长素是人类最早发现的植物激素，它是由色氨酸经过一系列反应转变而来的，对植物的生长、发育具有多种调节作用．某生物兴趣小组为研究植物生长素和赤霉素这两种植物激素对植物生长的作用，利用豌豆苗进行了相关实验，随机抽取4盆长势相近的豌豆苗，对其中2盆使用植物生长素，另外2盆使用赤霉素，经过一段时间后，兴趣小组的甲同学从这4盆豌豆苗中随机抽取1盆，不放回，乙同学再从剩下的3盆豌豆苗中随机抽取1盆，研究其长势． （1）甲同学抽取的1盆使用的是植物生长素的概率为_____； （2）请用列表法或画树状图法求甲、乙两位同学抽取的豌豆苗使用的是同一种植物激素的概率． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率： （1）根据抽出是植物生长素情况是2种，总的情况是4种，直接求解即可得到答案； （2）列出树状图，再求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：记使用植物生长素的2盆分别为A、B，使用赤霉素的2盆分别为C、D． 根据题意画树状图如下： ， 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲、乙两位同学抽取的豌豆苗使用的是同一种植物激素的结果有4种， ∴． 21. 响铃塔位于陕西省榆林市境内，作为全国重点文物保护单位，对研究陕北元代建筑、历史、宗教文化等的发展提供了宝贵的历史资料．某校项目式学习小组开展了测量响铃塔高度的项目活动，共拟定了如下表所示的两种测量方案： 方案 方案① 方案② 测量示意图 测量说明 测量员在地面上的点处测得塔顶 的仰角的度数，在地面上竖立一根标杆，发现地面上的点、标杆顶端和塔顶 在一条直线上，、，点、 、、在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量员在地面上的点处测得塔顶A的仰角的度数，在地面上的点 处放置一面平面镜（大小不计），测量员站在地面上的点处，眼睛位于点处时恰好在平面镜内看到塔顶 的像，、，点在一条直线上，图中所有的点都在同一平面内 测量结果 ，，， ，，， 请你选择上述两种方案中的一种，计算响铃塔的高度． 你选择的是方案_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质； 方案①：根据，得到为等腰直角三角形，从而得到，结合证明即可得到答案；方案②：根据，得到为等腰直角三角形，从而得到，结合得到即可得到答案； 【详解】解：方案① ，， 为等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ，即， 解得，即响铃塔的高度为； 方案② ，， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， ，即， 解得，即响铃塔的高度为． 22. 近日，电影《哪吒之魔童闹海》（以下简称《哪吒2》）登顶全球动画电影票房榜首，成功吸引了全球观众的目光，提升了中国文化的国际影响力．徐艺同学想了解自己所在省份《哪吒2》的票房情况，随机抽取了本省个县，调查了这个县的《哪吒2》票房，并将调查结果绘制成如图所示的条形统计图． 请你根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）所调查数据中，《哪吒2》票房的众数为_____百万元，中位数为_____百万元； （2）请计算这个县《哪吒2》票房的平均数； （3）若徐艺同学所在省份共有个县，请你估计这个县的《哪吒2》总票房． 【答案】（1）2，2 （2）这20个县《哪吒2》票房的平均数为2.5百万元 （3）2 【解析】 【分析】本题考查求众数、平均数，中位数及利用平均数判断： （1）根据出现次数最多的是众数，最中间两数的平均数是中位数直接求解即可得到答案； （2）利用加权平均数公式直接求解即可得到答案； （3）利用平均数乘以县份个数求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得， 出现了次最多，故众数为2， ∵，， ∴中位数落在2上， 故答案为：2，2； 【小问2详解】 解：（百万元）， 这个县《哪吒2》票房的平均数为百万元； 【小问3详解】 解：（百万元） （亿元）， 估计这个县的《哪吒2》总票房为2亿元． 23. 在2025年春晚的舞台上，名为《秧》的创新节目惊艳亮相！这场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．机器人爱好者李祎同学为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间和目的地货物总量记录如下表： 搬运时间 0 1 2 3 4 ．．． 目的地货物总量 ．．． （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，目的地货物总量与这台机器人的搬运时间符合初中学习过的某种函数关系，则可能是_____函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”） （2）根据以上判断，求关于的函数关系式； （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是多少h？ 【答案】（1） 根据表格描点如图所示， ， 一次； （2） （3）当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用： （1）根据表描点，结合描点即可得到图像； （2）设与之间的函数关系式为，从表格找点代入求解即可得到答案； （3）将代入解析式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由描点可得所有点都是两个正方形组成的长方形对角线所在直线， ∴函数式一次函数关系， 故答案为：一次； 【小问2详解】 解：设与之间的函数关系式为， 根据题意，得解得， 与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：当时，， 解得， 当目的地货物总量为时，这台机器人的搬运时间是． 24. 如图，在中，，点为边上一点，以为半径的 与边 相切于点 ，与边相交于点，连接，过点作于点． （1）求证：为 的切线； （2）若，，求 的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 为 的切线； （2）3 【解析】 【分析】（1）连接，先证明，结合求解即可得到证明； （2）先证明四边形为正方形，再在中根据勾股定理求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为 的切线， ． 又， ， ， ∴四边形为矩形， ， ∴四边形为正方形， ， 设 的半径为，则， ， ，， 在中，， 即， 解得（不合题意舍去）或， 的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质等知识，解题的关键是证明为正方形． 25. 中医常用碾药工具——药碾子（如图1）起源于东汉时期，它不仅是一种工具，更是一种文化的象征，代表了古代医者的智慧和对中药炮制的精益求精．图1中碾槽外轮廓的上沿和下沿可分别近似地看成两条抛物线的一部分，如图2，上沿和下沿的两个交点分别为点和点 ，点与点 到水平地面的距离相等．上沿抛物线的顶点为，下沿抛物线的顶点为，以所在直线为轴，过点且垂直于的竖直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系，上沿抛物线满足关系式，． （1）求下沿抛物线的函数表达式； （2）点与点是两个支撑架与下沿抛物线的交点，若点与点到轴的距离均为，求点与点之间的距离． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本体考查二次函数的应用： （1）根据顶点式写出顶点坐标，结合得到点的坐标为，设出解析式的顶点式，将点代入求解即可得到答案； （2）令代入求解，再根据两点间距离公式求解即可得到答案． 【小问1详解】 解： 上沿抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， ， ∴点的坐标为， 设下沿抛物线的函数表达式为， 将点代入，得，解得， 下沿抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：在中，令， 得， 解得，， ，， 点与点之间的距离为． 26. 【问题提出】 （1）如图1，点为矩形的边的中点，连接、，若，则的度数为_____； 【问题探究】 （2）如图2，点为正方形的边 上一点，连接 ，将绕点 逆时针旋转得到，在边 的延长线上找一点，连接，使得，连接，试判断与的长度是否相等，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，五边形是某校学生服务中心的示意图，为了更好地为本校学生提供便利，学校计划对该学生服务中心重新进行规划利用，在、 上分别取点F、G，沿修建一条通道，分别在 、、上取点P、M、N，并将区域修建为项目化学习基地，沿、MN、三条线段修建为共享物品摆放台（宽度不计）．经测量，，，，，．根据规划要求，，．为了更精准地购买各类共享物品的数量，请你帮学校计算出、、这三条线段之间的数量关系． 【答案】（1）； （2）与的长度相等，理由如下： 四边形为正方形， ，， 将绕点A逆时针旋转得到， ，，，, ， ， ，，， ， ， ，即与的长度相等， （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形得到直角，结合中点得到等腰直角三角形，即可得到答案； （2）将绕点A逆时针旋转得到，证明即可得到答案； （3）连接、，先证得到，得到，再将绕点顺时针旋转得到，再证即可得到答案； 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）连接、，如图3， ，，， ， ， ， ∴在中，， ， ， 同理， 又， ， ，， ， ， ，， ， 将绕点顺时针旋转得到，如图3， 则，，，， ，， ， 三点共线， ， ，， ， ，，， ， ， 即、、这三条线段之间的数量关系为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是旋转作图，做出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $