第十八章 平行四边形（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（山西专用，人教版）

第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形．若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 2．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 3．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 5．已知，如图所示四边形是由和围成的，中间的空白部分四边形恰好是正方形，若和是两个全等的等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（） A． B． C． D． 6．如图，，分别为平行四边形边，的中点，为与的交点，在对角线上作点，，使以，，，为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 淇淇： 分别过点，作于点，于点． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 7．如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 8．如图，在正方形右侧作，使，，连接，随着由小到大的变化，的大小是（    ） A．由小到大 B． C．由大到小 D．会发生变化，但无规律 9．茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（    ） A． B． C．m D． 10．如图所示，长方形的长为5厘米，宽为3厘米，点是上任意一点，现将其对折得到一个新的图形，则图中阴影部分的周长是（　　）厘米． A．6 B．8 C． D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 12．小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，则A，B两个活动区域的总面积为 ． 13．如图，齐鲁同学把一张长为10厘米的长方形纸片按图中提示进行翻折，折出的两个直角三角形面积相等且一条直角边的长度都为3厘米，折出的平行四边形面积比原来的长方形面积少了15平方厘米，那么折出的平行四边形面积为 平方厘米． 14．如图，在矩形中，．点P，点Q同时从点A出发，沿方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当时，线段上有一点M，使四边形是菱形．若运动过程中，线段上另有一点N，使四边形是菱形，则此时 ． 15．如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 17．（8分）如图，B是线段的中点，且，点E在线段上，交于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，连接，若平分，求的长． 18．（8分）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 19．（8分）劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． (1)如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． (2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 20．（8分）如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接． (1)如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明； (2)当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明． 21．（8分）阅读理解：如图1，，连接AB、AC、BD、CD，则． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，由， 可得AF＝DE． 又∵，， ∴． 由此我们可以得到以下的结论：同底等高的三角形面积相等． (1)拓展应用：如图2，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，求△BDF的面积． (2)小明通过研究，发现过四边形的某一顶点的直线可以将该四边形平分为面积相等的两部分．他在如图3所示的图形中，得到了符合要求的直线AF． 小明的作图步骤如下： 第一步：连接AC； 第二步：过点B作交DC的延长线于点E； 第三步：取ED中点F，作直线AF， 则直线AF即为所求． 请你帮小明写出该作法的验证过程； 22．（12分）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 23．（13分）综合与探究 问题情境：在正方形中，为对角线，点M，N分别是直线，上的点，连接，，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点M在边上时． ①试猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②在图1的情况下，______； （2）如图2，当点M在边的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 深入思考： （3）“善思小组”提出问题，在图1中，若直线分别交直线，于点P，Q，，，请直接写出线段的长． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（B卷·培优卷） 考试时间：120分钟，满分：120分 一、选择题：共10题，每题3分，共30分。 1．如图，矩形铁板的长为a，在左侧截掉一个最大的正方形．若剩余部分的周长为b，则a与b的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，由矩形对边相等即可求解． 【详解】解∶设截掉一个最大的正方形的边长为，则余下的部分边长为∶、， ∴， ∴， 故选A． 2．如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 3．综合与实践课上，“矩形折纸”为主题开展了数学活动．小宁同学准备了一张长方形纸片，，，他在边上取中点，又在边上任取一点，再将沿折叠得到，连结，小宁同学通过多次实践得到以下结论： ①当点在边上运动时，点在以为圆心的圆弧上运动； ②的最大值为24； ③的最小值为16； ④达到最小值时，．上述结论中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，翻折变换（折叠问题），勾股定理．根据折叠的性质得到，根据圆的定义得到点在以N为圆心，为半径的圆上，故①正确；连接，根据勾股定理得到，根据三角形的三边关系得到，，结合点M在上，判断②③正确；根据勾股定理即可判断④正确． 【详解】解：如图1，连接， ∵将沿折叠得到， ∴， ∵点N为的中点，， ． ∴当点M在边上运动时，点在以N为圆心的圆弧上运动， 故①正确； 在中，， ∵， ∴， ∴的最小值为16， 故③正确； ∵，且M在上， ∴， ∴的最大值为24， 故②正确； 如图2， 当共线时，的值最小，最小为； ∴， 设，则，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即， 故④正确， 综上，结论中正确的个数4个， 故选：D． 4．如图，在等腰直角三角形中，是斜边的中点，是上一点，分别过，作射线的垂线，，垂足分别为，，连结并延长交于若和的面积分别记作和，且，则的面积是（　　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，由是等腰斜边中点，则，证明，，设，，由可得，故面积． 【详解】解：连接， ∵是等腰斜边中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， 由，得， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴面积， 故选：． 5．已知，如图所示四边形是由和围成的，中间的空白部分四边形恰好是正方形，若和是两个全等的等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，正方形的性质以及等腰直角三角形的性质． 四边形是正方形，设其边长为，写出4个直角三角形的面积以及中间四边形的面积相加，即可求得结果． 【详解】因为四边形是正方形，设其边长为， 已知和是两个全等的等腰直角三角形，且， 根据等腰直角三角形的性质可知 ， 四边形的面积为 故选B． 6．如图，，分别为平行四边形边，的中点，为与的交点，在对角线上作点，，使以，，，为顶点的四边形是矩形，下面是两位同学的作图． 嘉嘉： 以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，． 淇淇： 分别过点，作于点，于点． 下列说法正确的是（   ） A．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都不正确 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定，全等三角形的判断和性质，熟练掌握矩形的判定是解题的关键； 根据题意对嘉嘉和淇淇作图进行判定即可求解； 【详解】解：在中，，， ，， 在和中， ， ， ， 由题图①作图可得， 题图①中以，，，为顶点的四边形为矩形. 由题图②作图可得， ， ， 在 和中， ， ， ， ∵， .题图②中以，，，为顶点的四边形为平行四边形； 故只有嘉嘉正确； 故选：A 7．如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则形变后四边形的面积是原正方形面积的（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解． 【详解】解：过点作于点，    ∵四边形是正方形， ∴， 由题意可得， ∴四边形为菱形， ∴， 设 ∵ ∴ ∴， 而， ∴， 故选：A． 8．如图，在正方形右侧作，使，，连接，随着由小到大的变化，的大小是（    ） A．由小到大 B． C．由大到小 D．会发生变化，但无规律 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，设，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再根据正方形的性质证明，进而求出的度数，据此可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．茂名东汇城为了方便司机停泊车辆而设计了平行四边形的停车位，如图，平行四边形，小车实际占用位置为矩形，若，，，则至少要多长（    ） A． B． C．m D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定． 由平行四边形得到，由矩形得到，，进而求得，从而，得到，进而根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A 10．如图所示，长方形的长为5厘米，宽为3厘米，点是上任意一点，现将其对折得到一个新的图形，则图中阴影部分的周长是（　　）厘米． A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】此题是考查翻折变换（折叠问题），长方形的性质，解决本题的关键是动手操作一下得到阴影部分的周长就是长方形的周长．根据图示，通过折叠可知，阴影部分的周长就是长方形的周长，结合题意解答即可． 【详解】解：由折叠可知：，， 阴影部分的周长就是矩形的周长， 周长 （厘米）， 答：图中阴影色部分的周长是厘米． 故选：D． 二、填空题：共5题，每题3分，共15分。 11．将一个边长为4的正方形纸片按所示的方式两次折叠，折叠后再按图示沿裁剪，得到几个相同的图形纸片．那么每一个纸片的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了折叠，根据将一张正方形的纸片按如图所示的方式三次折叠，折叠后再按图所示沿折痕裁剪，可以动手折叠，再进行裁剪，进而结合原正方形边长，即可得出答案． 【详解】解：严格按照图中的顺序向右上对折，向左上角对折，过直角顶点向对边引垂线，沿垂线剪开，展开后可得到四个相同的正方形， 原正方形边长为4， 面积为：， 得到的每一个纸片的面积是：． 故答案为：4． 12．小区内有一块正方形空地，物业计划利用这块空地修建居民休闲区，具体规划如图所示，其中A，B为活动区域，剩余两个正方形区域为绿化区域，面积分别是 和，则A，B两个活动区域的总面积为 ． 【答案】360 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的性质，算术平方根等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用正方形的面积公式，属于基础题． 根据正方形的面积公式求出、、、即可解决问题． 【详解】 解：如图由题意，正方形的面积为， ， 正方形的面积为， ， 区的面积为，区的面积， ，两个活动区域的总面积为， 故答案为：． 13．如图，齐鲁同学把一张长为10厘米的长方形纸片按图中提示进行翻折，折出的两个直角三角形面积相等且一条直角边的长度都为3厘米，折出的平行四边形面积比原来的长方形面积少了15平方厘米，那么折出的平行四边形面积为 平方厘米． 【答案】35 【分析】此题主要考查长方形的面积公式、平行四边形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式．重点是求出原来长方形的宽． 通过观察图形可知，折成的平行四边形比原来长方形的面积减少了平方厘米，面积减少的部分是两个完全一样三角形的面积，已知折出的两个直角三角形面积相等且一条直角边的长度都为3厘米，直角三角形的另一条直角边等于原来长方形的宽，这两个完全一样的三角形可以拼一个长方形，根据长方形的面积长宽，那么宽面积长，把数据代入公式求出长方形原来的宽，用原来长方形的面积减去平方厘米就是折成的平行四边形的面积． 【详解】解：（厘米），（平方厘米）， 所以，这张长方形纸的宽是厘米，折成的平行四边形的面积是平方厘米． 故答案为：35 14．如图，在矩形中，．点P，点Q同时从点A出发，沿方向匀速运动，点P的速度为1，点Q的速度为3，点Q到达点B时停留在点B，待点P继续运动到点B时结束运动．设运动时间为t，已知当时，线段上有一点M，使四边形是菱形．若运动过程中，线段上另有一点N，使四边形是菱形，则此时 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的性质等知识．熟练掌握矩形的性质，勾股定理，菱形的性质并分情况求解是解题的关键． 当时，，则，由四边形是菱形，可得，由勾股定理得，，当时，，，由勾股定理得，，由四边形是菱形，可得，即，计算求出满足要求的解即可；当时，，；同理可得，即，计算求解即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得，， 当时，， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴，即， 解得，或（舍去）； 当时，， ∴； ∵四边形是菱形， ∴，即， 解得，， 综上所述，的值为1或． 15．如图，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，点在上，沿折叠．如图1，当点对应点落在上时， ；如图2，连接，当点对应点落在上时， ． 【答案】 【分析】过点H作的平行线交，于点Q，R，由矩形的判定及性质，由折叠的性质得，，，由勾股定得可求出， 再由勾股定理得，即可求解； 延长，交于点M，折叠的性质及等腰三角形的判定及性质得，由勾股定理得，由正切函数得，可得，即可求解． 【详解】解：如图1，过点H作的平行线交，于点Q，R， 四边形，四边形，四边形均是矩形， ， ， 由翻折得：， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； 延长，交于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ， ， ∴， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：（）； 故答案：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理；掌握折叠的性质，能相关是线段转化到直角三角形中，熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 3、 解答题：共8题，共75分。 16．（10分）如图 (1)如图1，在中，平分交边于点E，已知，，则等于_______ ． (2)如图2，在中，若分别是的平分线，点E在边上，且，则的周长为__________． (3)如图3，已知四边形是平行四边形，，若分别是的平分线．求证： (4)在（3）的条件下，如果，则的长为_______． 【答案】(1)2 (2)12 (3)见解析 (4)1 【分析】（1）根据平行四边形的性质求出长，再根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出长，即可解答； （2）由（1）得出，然后根据平行四边形的性质求出长，根据线段间的和差关系求出和的长度之和，从而求出的周长； （3）根据平行线的性质，结合角平分线的定义求出，则可求出结合，则可得出； （4）由（3）求出和的长，结合，利用线段间的和差关系即可解答． 本题考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，等角对等边，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴ 同理， ∴， ∴的周长． 故答案为：12． （3）证明：∵在中，， ． 又∵是的平分线 ∴， 同理可得 ∵ ； （4）解：由（3）可得，． ∵ 故答案为1． 17．（8分）如图，B是线段的中点，且，点E在线段上，交于点G，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，连接，若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）证明且即可证明结论； （2）利用平行四边形性质得出即可求出结论． 【详解】（1）证明：∵B是线段的中点， ． ∵ ∵ 四边形是平行四边形． （2）解：由（1）知，四边形是平行四边形， ， ∵平分， ． ． ∵， ． 18．（8分）【课本再现】 （1）如图1，线段，相交于点，，．求证： ①； ②； 【迁移应用】 （2）如图2，在四边形中，，，分别是边，的中点，连接，猜想，，三条线段的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理： （1）①证明，即可得出结论； ②由得，再由平行线的判定即可证明； （2）连接，取的中点，连接，利用三角形的中位线定理，结合勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）①，，， ， ； ②由①知，， ， ； （2），证明如下： 连接，取的中点，连接， ∵，分别是边，的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（8分）劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲乙两组共同使用灌溉点． (1)如图1，在中，老师决定把相对的两块三角形试验田（与）分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由． (2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田（）分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来． 【答案】(1)公平，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的面积的应用，关键是根据题意求出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，题目较好，主要培养了学生运用所学的数学知识解决实际问题的能力． （1）是公平的，过作交于，交于，根据三角形的面积公式求出和的面积之和等于，再根据平行四边形的面积即可求出答案； （2）作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分． 【详解】（1）解：公平． 理由是：过作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ． 和的面积之和等于平行四边形的面积的一半； 方案公平． （2）如图，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．． 20．（8分）如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接． (1)如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明； (2)当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）证明，再根据三角形中位线定理可得，从而可得结论； （2）当点E在上时，延长至G，使，连接，，可证得是等边三角形，从而，可得出是等边三角形，从而，，进而证得，从而，进一步得出结论，同样证得当点E在的延长线上时的情形． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∵点D，B，C恰好在一条直线上， ∴， ∴， ∴， ∵点F是的中点，点E是的中点， ∴， ∴； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图1，当点E在上时， 延长至G，使，连接， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∵线段绕点E顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 由（1）知，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图2，当点E在的延长线上时， 延长至G，使，连接， 同理可得，， ∴， ∴． 21．（8分）阅读理解：如图1，，连接AB、AC、BD、CD，则． 证明：分别过点A和D，作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，由， 可得AF＝DE． 又∵，， ∴． 由此我们可以得到以下的结论：同底等高的三角形面积相等． (1)拓展应用：如图2，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，求△BDF的面积． (2)小明通过研究，发现过四边形的某一顶点的直线可以将该四边形平分为面积相等的两部分．他在如图3所示的图形中，得到了符合要求的直线AF． 小明的作图步骤如下： 第一步：连接AC； 第二步：过点B作交DC的延长线于点E； 第三步：取ED中点F，作直线AF， 则直线AF即为所求． 请你帮小明写出该作法的验证过程； 【答案】(1)8 (2)证明见解析 【分析】（1）连接CF，证明CF∥BD即可得到； （2）由BE∥AC得S△ABC=S△ACE，所以，接下来只要证明S△AFD＝S△AED＝S四边形ABCD即可． 【详解】（1）连接CF ∵正方形ABCD的右侧作正方形CEFG， ∴ ∴CF∥BD ∴ （2）如图中，连接AE， ∵BE∥AC， ∴S△ABC=S△ACE， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ACE+S△ACD=S△AED， ∵EF=FD， ∴S△AEF=S△AFD， ∴S△AFD＝S△AED＝S四边形ABCD． 【点睛】本题考查一次函数的有关知识、等积问题，把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形． 22．（12分）综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）①；②6或 【分析】（1）由菱形的性质可得出，，再结合已知条件，即可证明，由全等的性质即可得出． （2）由(1)得∶，，再结合已知条件，即可得出，即可证明，由全等的性质即可得出． （3）①过点E作于点H，则，由已知条件得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由已知条件得出进一步即可得出，求出即可得出答案． ②连接，过点B作于点M，则，利用菱形的性质以及含直角三角形的性质得出，再结合①得出，然后分两种情况，当点G在线段上时， 当点G在射线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由(1)得∶，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况∶ 当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，的长为6或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键． 23．（13分）综合与探究 问题情境：在正方形中，为对角线，点M，N分别是直线，上的点，连接，，且满足． 数学思考： （1）如图①，当点M在边上时． ①试猜想线段与的数量关系，并说明理由； ②在图1的情况下，______； （2）如图2，当点M在边的延长线上时，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 深入思考： （3）“善思小组”提出问题，在图1中，若直线分别交直线，于点P，Q，，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①，见解析；②；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）①根据正方形性质结合证明，即得；②证明，结合，即得； （2）根据正方形性质结合证明，得．根据，，即得； （3）将绕点D顺时针旋转得到，连接，则，，得，得．证明，推出，得，得，即得． 【详解】（1）①． 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴． ②∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： （2） 理由如下： ∵四边形为正方形， ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴； （3），理由： 将绕点D顺时针旋转得到，连接， 则，，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形和三角形．熟练掌握正方形性质，旋转性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$