精品解析：河北省廊坊市第四中学2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题

廊坊四中2024——2025学年第二学期第一次质量检测 八年级数学试卷 时间：90分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A ， B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式和分式有意义的条件解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使代数式有意义，则且， ∴且， 故选：． 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求解． 【详解】因为，故不是最简二次根式，所以A选项不符合题意； 因为是最简二次根式，所以B选项符合题意； 因为，故不是最简二次根式，所以C选项不符合题意； 因为，故不是最简二次根式，所以D选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的判断，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键． 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是整数，故该组数不是勾股数，不合题意； 、不是整数，故该组数不是勾股数，不合题意； 、是整数，且，故该组数是勾股数，符合题意； 、是整数，但，故该组数不是勾股数，不合题意； 故选：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的运算法则运算即可，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，计算正确，故选项符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：C． 5. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法，根据二次根式有意义的条件和分母不为求解即可，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得： ，， 解得：， 故选：C． 6. 如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ） A. 北偏西 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，由题意可得海里，海里，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即得到，即可求解，由勾股定理的逆定理得到是解题的关键． 【详解】解：由题意得，海里，海里， ∵海里， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， ∴号舰的航行方向是南偏西， 故选：． 7. 当时，代数式的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题代数式求值，完全平方公式的应用，利用完全平方公式可得原式，再代入计算即可求解，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 8. 如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点表示的数为． 故选：B． 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴， ∴ =， 故选：B． 10. 如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理可得，即得，进而由即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 11. 在下列条件中：①；②；③；④，，；⑤，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理进行判定即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：①因为，则， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∴，即， ∴是直角三角形，故②符合题意； ③∴，设，，， ∴不是直角三角形，故③不符合题意； ④∵，，，， ∴不是直角三角形，故④不符合题意； ⑤∵，设，则， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形，故⑤不符合题意； ∴能确定是直角三角形的条件有①②共2个． 故选：B． 12. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，由勾股定理可得，由可得，进而得到，即可得，再利用线段的和差关系即可求解，掌握勾股定理及直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 13. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， CE= DE， ∠C=∠CDE，可得∠ADE = 90°，继而设AE=x，则CE=DE=3-x，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处， ∴AD = AB = 2， ∠B = ∠ADB， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴CE= DE， ∠C=∠CDE， ∵∠BAC = 90°， ∴∠B+ ∠C= 90°， ∴∠ADB + ∠CDE = 90°， ∴∠ADE = 90°， ∴AD2 + DE2 = AE2， 设AE=x，则CE=DE=3-x， ∴22+(3-x)2 =x2， 解得 即AE= 故选A 【点睛】本题考查了折叠性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 14. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果是直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的概念，勾股定理的概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，据此判断即可． 【详解】中，不确定谁是直角边和斜边， 所以如果是直角三角形，那么不一定成立，故甲说法错误； 在中，如果，但是可以，那么也是直角三角形，故乙说法错误， ∴两人都错， 故选：C． 15. 如图是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（） A. 7 B. 5 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，先求出小三角形的面积，再得出，根据完全平方公式得出，进而可得出答案． 【详解】解：∵大正方形的面积是，小正方形的面积是， ∴一个小三角形的面积是，三角形的斜边为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 16. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 2，8，10 B. 4，6，10 C 6，8，10 D. 4，4，8 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，再根据三角形的面积公式，分别计算出各个选项中围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题． 【详解】解：当选取的三块纸片的面积分别是2，8，10时，围成的直角三角形的面积是：， 当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，围成的直角三角形的面积是：， 当选取的三块纸片的面积分别是6，8，10时，围成的不是直角三角形， 当选取的三块纸片的面积分别是4，4，8时，围成的直角三角形的面积是：， ∵＞2， ∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是4，6，10 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理推出：三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，是解题的关键． 二、填空题（本大题有4个小题，共15分．） 17. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理， 熟知勾股定理是解题的关键，在直角三角形中，如果两直角边的长为a、b，斜边的长为c，那么．根据勾股定理求解即可． 【详解】解∶∵直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴斜边长是， 故答案为∶13． 18. 如果，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，由二次根式有意义的条件可得，即得，得到，再代入代数式计算即可求解，由二次根式有意义的条件得到的值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 19. 如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开-最短路径问题，以及勾股定理的应用，首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即为所求，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示： ∵圆柱的底面周长为， ，， ， 在中，， ， 即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是， 故答案为：． 20. 细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． ， ， ， （）______； （）的值是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）由题意可得，据此即可求解； （）由题意可得，进而计算即可求解； 本题考查了数字类规律变化问题，由题意找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：（）∵， ， ， ， ， ∴， ∴， 故答案为：； （）∵， ， ， ， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（本题有6小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）； （2）； （3）； （4）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算后，去括号后合并即可求解； （3）根据二次根式的乘除运算法则运算即可； （4）根据多项式乘多项式法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 22. 已知，分别求下列代数式的值； （1） （2） 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； 【小问1详解】 解： 将代入，得： ， ； 【小问2详解】 ， 将代入，得： ． 【点睛】本题考查代数式求值，平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算．先利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再计算求值更简便． 23. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为的正方形； （2）如图，点、、是小正方形的顶点，求的度数． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】（）如图，连接格点，由勾股定理可得，由网格可得，所以四边形是正方形，且面积为，故四边形即为所求； （）由勾股定理及其逆定理可得为等腰直角三角形，进而即可求解； 本题考查了勾股定理及其逆定理，正方形的判定，等腰三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，正方形即为所求； 【小问2详解】 解：如图，连接，由勾股定理可得，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． 24. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用勾股定理及其逆定理证明即可； （2）结合（1）的结论，利用直角三角形面积公式求解即可． 小问1详解】 证：连接，如图所示， 由题意，在中，， ∵，， ∴， ∴是为斜边的直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）可得是直角三角形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理，理解并熟练运用相关定理解题关键． 25. 如图，在中，，垂足为，，，． （1）求的长． （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由已知可得为等腰直角三角形，即得，进而利用勾股定理即可求解； （）由已知可得，即得，进而由勾股定理可得，即得，再根据三角形面积公式计算即可求解； 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上，且满足时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形． 【答案】（1） （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）根据已知可得的长，的长，从而可得的长，在直角三角形中利用勾股定理即可求得； （2）过P作于E，连接，根据角平分线的性质和三角形面积法列方程式求出，由此可求出t；当点运动返回到A点也符合题意； （3）分类讨论：当点P在上，，为等腰三角形时，根据的长即可得到t的值，当点P在上，，为等腰三角形时，根据P移动的路程易得t的值；当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D，根据等腰三角形的性质得求出，进而求出即可得到答案；当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图， ∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，即， 解得； 【小问2详解】 解：如图，过P作于H，连接， ∵点P在的平分线上，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 当点运动返回到A点也符合题意， ∴（秒） 综上：点P恰好在的角平分线上，t的值为或6； 【小问3详解】 解：如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时， 则， 解得； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点C作于D， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在上，，为等腰三角形时，过点P作于D，则D为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当t为或5或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查三角形综合题， 角平分线的性质， 等腰三角形的判定与性质， 勾股定理的应用．能熟练运用勾股定理解直角三角形在本题中至关重要，掌握等腰三角形的性质和会分类讨论思想是解决（3）的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 廊坊四中2024——2025学年第二学期第一次质量检测 八年级数学试卷 时间：90分钟 试卷满分：120分 一、选择题（本大题共16个小题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. ， B. C. D. 且 2. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 等式成立的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ） A. 北偏西 B. 南偏西 C. 南偏东 D. 南偏西 7. 当时，代数式的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（ ） A. B. C. D. 9. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 0 10. 如图，在中，，分别以为边在外侧作正方形和正方形，再以为斜边在外侧作，若，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 11. 在下列条件中：①；②；③；④，，；⑤，能确定是直角三角形的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 某数学兴趣小组开展了笔记本电脑张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，当张角时（是的对应点），则线段的长为（ ）． A. B. C. D. 13. 如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ） A. B. C. D. 14. 学了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果直角三角形，那么一定成立； 乙：在中，如果，那么不是直角三角形． 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A. 甲对，乙错 B. 甲错，乙对 C. 两人都错 D. 两人都对 15. 如图是由4个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，设直角三角形较长直角边为，较短直角边为，则的值是（） A. 7 B. 5 C. D. 4 16. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（ ） A. 2，8，10 B. 4，6，10 C. 6，8，10 D. 4，4，8 二、填空题（本大题有4个小题，共15分．） 17. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边长是_____． 18. 如果，那么值为______． 19. 如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是______． 20. 细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题． ， ， ， （）______； （）的值是______． 三、解答题（本题有6小题，共57分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21. 计算 （1） （2） （3） （4） 22. 已知，分别求下列代数式值； （1） （2） 23. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，每个小格的顶点叫做格点． （1）在图中以格点为顶点画一个面积为正方形； （2）如图，点、、是小正方形的顶点，求的度数． 24. 如图，四边形中，． （1）求证：； （2）求四边形的面积． 25. 如图，在中，，垂足为，，，． （1）求的长． （2）求的面积． 26. 如图，中，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒（）． （1）若点P在上，且满足时，求出此时t的值； （2）若点P恰好在的角平分线上，求t的值； （3）在运动过程中，直接写出当t为何值时，为等腰三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $