精品解析：2025届河南省南阳市邓州市第一高级中学校高三一模B卷数学试题

2024-2025学年高三年级一模拉练一B卷 数学试卷 命题：李春晓 审题：韩骁 试做人：李彦博 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足：，则复数的虚部为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 3. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ） A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 6. 已知函数 则的值域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. 12 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 10. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 11. 已知正方体的棱长为2，分别是边的中点. 下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为1 C. 三棱锥的表面积为 D. 以为球心，半径为的球面与侧面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则的最小值为______． 13. 甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为、，且甲、乙射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为__________. 14. 设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，，则直线的方程为______，的面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：. 16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，其离心率，点是椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线，与椭圆分别相交于点，求证：为定值． 18. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． （1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求； （3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高三年级一模拉练一B卷 数学试卷 命题：李春晓 审题：韩骁 试做人：李彦博 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】，， . 故选：D. 2. 已知复数满足：，则复数的虚部为（ ） A. B. -2 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的除法先求出复数，结合共轭复数的概念，进而可得出结果. 【详解】因为，所以， 所以所以虚部为2. 故选:C 3. 设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据投影向量公式求的值，再代入向量模的公式求解. 【详解】，在方向上的投影向量为， 所以， 所以. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将题干两式两边平方，结合平方关系及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 即， ， 两式相加可得， 所以. 故选：A 5. 把5个人安排在周一至周五值班，要求每人值班一天，每天安排一人，甲乙安排在不相邻的两天，乙丙安排在相邻的两天，则不同的安排方法数是（ ） A. 96种 B. 60种 C. 48种 D. 36种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合相邻问题和不相邻问题的方法即可求得. 【详解】依题意，设这五个人分别为甲乙丙丁戊. 第一步，将乙丙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， 第二步，将这个整体与丁戊全排列，有种安排方法， 第三步，排好后产生4个空位，因甲乙不相邻，则只能从3个空中任选1个安排甲，有种安排方法. 则由分步乘法计数原理，不同的方案共有种. 故选：D. 6. 已知函数 则的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】去绝对值号，将函数变为分段函数，分段求值域，根据分段函数求出每一段的定义域，由三角函数的性质分别求值域，从而可得结果. 【详解】由函数， 可得， 当时，. 当时，， 故可求得其值域为， 故选:D. 7. 已知等差数列的前n项和为，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，结合等差数列的性质及充分条件、必要条件的定义分析判断即可. 【详解】当时，， 得； 当时，， 得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 8. 设的内角的对边分别为，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，结合余弦定理求，再根据，结合面积公式得到 ，进而求出的最小值，再根据数量积定义求. 【详解】因为， 所以，而为三角形内角， 所以，    由，所以， 化简得到， 所以，则，当且仅当时，等号成立， 所以， 所以的最小值为. 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知点在圆上，点、，则（ ） A. 点到直线的距离小于 B. 点到直线的距离大于 C. 当最小时， D. 当最大时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 10. 若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是（ ） A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】结合降次公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、同角三角函数的基本关系式化简已知条件，然后对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】依题意， ，， 为钝角，A选项错误. ， ，B选项正确. ，由正弦定理得， ，， 由于，为钝角，为锐角，所以两边除以得，.C选项正确. ， ， 整理得， 由于为钝角，，所以， 当且仅当时等号成立. 所以，D选项错误. 故选：BC 11. 已知正方体的棱长为2，分别是边的中点. 下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥的体积为1 C. 三棱锥的表面积为 D. 以为球心，半径为的球面与侧面的交线长为 【答案】AD 【解析】 【分析】本题根据正方体的特征、空间平行的传递性、球的截面特征以及锥体体积公式即可求解. 【详解】 因为点分别是的中点，所以是的中位线，所以, 又因为平面，所以平面，平面，所以，故选项A正确. 因为，故选项B错误. 因为，,, 因为在，, 所以， 所以, 所以三棱锥的表面积是：，故选项C错误. 以为球心，为半径的球面与平面相交，由于 , 平面，故此球面与平面的交线是以为圆心，以为半径的圆弧的长度， 易求的长度为：，故选项D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本不等式可得，设，解不等式即可求得结果. 【详解】（当且仅当时取等号），， 设，则，解得：（舍）或， 即，. 故答案为：. 13. 甲、乙两人射击一架进入禁飞区的无人机.已知甲、乙两人击中无人机的概率分别为、，且甲、乙射击互不影响.若无人机恰好被一人击中，则被击落的概率为；若恰好被两人击中，则被击落的概率为，那么无人机被击落的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】对无人机被一人击中或被两人击中进行分类讨论，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率. 【详解】若无人机被一人击中，则该无人机被击落的概率为， 若无人机被两人都击中，则该无人机被击落的概率为. 综上所述，无人机被击落的概率为. 故答案为：. 14. 设抛物线的焦点为，过点的直线与相交于，两点，，则直线的方程为______，的面积为______. 【答案】 ①. 或 ②. 12 【解析】 【分析】根据条件，得到，设直线的方程为，，，利用抛物线的定义得到，进而求出，即可求出直线的方程，再联立抛物线方程，求出，再利用，即可求出结果. 【详解】由焦点为，得，解得，则， 设直线的方程为，，， 若，， 则，由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得，则， 将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 若，，则，由，得，解得， 因为点在抛物线上，所以，解得，则， 将点的坐标代入直线方程，得，解得， 故直线的方程为，即； 由对称性，求解面积时不妨设，， 将代入中，得，则，所以. 故， 故答案为：或，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）证明：. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证明如下： 法一：要证，即证， 即证， 由（1）知，时在上单调递增，在上单调递减， 所以， 取得，即， 令，则， 当时，；当时，， 所以当时，取得极小值， 所以，即， 所以， 所以. 法二：要证，即证， 令，则， 易知在区间上单调递减，又， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，即， 所以得证. 【解析】 【分析】（1）求导，再分和，由，求解即可； （2）法一：转化为，根据（1）得到，取得到，再由证明；法二：转化为，令利用导数法证明则即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 苦，则在上单调递增， 若，由，得， 由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 综上得，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：证明不等式，一般转化为，令，由证明. 16. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点. （1）求证：平面； （2）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 因为侧面是平行四边形，所以为的中点， 又因为点为线段的中点，所以， 因为面，面，所以面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明； （2）由已知可知，为等边三角形，故，利用面面垂直的性质定理可证得底面，进而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求二面角余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，，因为，， 所以为等边三角形，， 因为点为线段的中点， 所以， 因为侧面底面，平面平面，平面， 所以底面， 过点在底面内作，如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 又因为平面的法向量为， 则， 经观察，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的余弦值为. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别是、，其离心率，点是椭圆上一动点，内切圆面积的最大值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）直线，与椭圆分别相交于点，求证：为定值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）设内切圆的半径为，可得，当为椭圆的上顶点或下顶点时，面积最大，即最大，由此得，由内切圆面积最大值可得满足的方程，结合离心率和椭圆关系可构造方程组求得结果； （Ⅱ）设，当时，假设直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理可表示出和，代入整理可得定值；当时，易求得，由此可得结论. 【详解】（Ⅰ）设内切圆的半径为，则， ， 当的面积最大时，内切圆的半径最大， 则当点为椭圆的上顶点或下顶点时，的面积最大，最大值为， 的最大值为，又内切圆面积的最大值为，， 由得：，椭圆的标准方程为：． （Ⅱ）设，，， ①当时，设直线，的直线方程分别为，， 由得：，， ，，， 同理由可得：， ； ②当时，直线，与轴重合，则 则； 综上所述：为定值． 【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下： ①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式； ②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式； ③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式； ④化简所得函数式，消元可得定值. 18. 为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平．某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格： 序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩/分 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80 记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，经计算. （1）求； （2）规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列； （3）经统计，高中生体质测试成绩近似服从正态分布，用的值分别作为的近似值，若监测中心计划从全市抽查100名高中生进行体质测试，记这100名高中生的体质测试成绩恰好落在区间的人数为Y，求Y的数学期望． 附：若，则，，. 【答案】（1）56 （2）分布列见解析 （3）95.45 【解析】 【分析】（1）利用平均数的定义进行计算； （2）求出X的可能取值和对应的概率，得到分布列； （3）计算出，，所以，得到学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为，故，从而计算出. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3. 因为，， ，. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【小问3详解】因为，， 所以， 因为， 所以学生的体质测试成绩恰好落在区间的概率约为， 故，所以. 19. 若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数． （1）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列； （2）设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求； （3）在（2）的条件下，记，求数列的前项和，并求使 的的最小值． 【答案】（1）证明：由题意得：，即 ， 则是“平方递推数列”． 2分 对两边取对数得 ， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）； （3）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据，得到，即是“平方递推数列”． 进一步对两边取对数得 ，利用等比数列的定义证明. （2）首先得到 ， 应用等比数列的求和公式即得. (3）求通项、求和，根据，得到，再根据，即得解. 试题解析：（1） 略 （2）由（1）知 5分 8分 (3） 9分 10分 又，即 11分 又，所以． 12分 考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式，等差数列的求和公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $