4.1 因式分解的意义同步练习2024-2025学年浙教版数学七年级下册

4.1 因式分解的意义 一．选择题（共4小题） 1．下列等式一定成立的是（　　） A．b2﹣a2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）2 C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2 D．4x3+6x2+2x＝2x（2x2+3x） 2．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 3．（x﹣5）（x﹣3）是多项式x2﹣px+15分解因式的结果，则p的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（　　） ①12xy3＝2xy•6y2； ②x2﹣6xy+5y2＝x（x﹣6y）+5y2； ③（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2； ④3x﹣6y＝3（x﹣2y）； ⑤3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共5小题） 5．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有　 　.（填序号） ①a（x+y）＝ax+ay； ②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）； ③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2； ④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t． 6．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　 　． 7．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 8．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k＝　 　． 9．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 　 　． 三．解答题（共4小题） 10．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． （1）a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1； （2）（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6； （3）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）； （4）． 11．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值． 12．将多项式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多项式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0． 利用上述阅读材料解答以下两个问题： （1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值； （2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值． 13．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 参考答案与试题解析 一．选择题（共4小题） 1．下列等式一定成立的是（　　） A．b2﹣a2＝（a+b）（a﹣b） B．a2+b2＝（a+b）2 C．（a﹣b）2＝（b﹣a）2 D．4x3+6x2+2x＝2x（2x2+3x） 【解答】解：A、不是恒等变形，应为b2﹣a2＝﹣（a+b）（a﹣b），错误； B、应为a2+2ab+b2＝（a+b）2，错误； C、根据互为相反数的平方相等，正确； D、不是等式，分解因式时有漏项，错误； 故选：C． 2．关于等式①2a﹣4＝2（a﹣2）和②3x2+3xy＝3x（x+y）从左到右的变形，下列说法中，正确的是（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【解答】解：①2a﹣4＝2（a﹣2），属于因式分解； ②3x2+3xy＝3x（x+y），属于因式分解； 所以①和②都是因式分解． 故选：A． 3．（x﹣5）（x﹣3）是多项式x2﹣px+15分解因式的结果，则p的值是（　　） A．2 B．﹣2 C．8 D．﹣8 【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝x2﹣8x+15．故p＝8． 故选：C． 4．下列各式从左到右的变形，是因式分解的有（　　） ①12xy3＝2xy•6y2； ②x2﹣6xy+5y2＝x（x﹣6y）+5y2； ③（﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2； ④3x﹣6y＝3（x﹣2y）； ⑤3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）； ⑥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：12xy3＝2xy•6y2是单项式的变形，则①不是因式分解； x2﹣6xy+5y2＝x（x﹣6y）+5y2中等号右边不是积的形式，则②不是因式分解； （﹣2x+3y）（2x+3y）＝﹣4x2+9y2是乘法运算，则③不是因式分解； 3x﹣6y＝3（x﹣2y）符合因式分解的定义，则④是因式分解； 3x2y﹣xy＝xy（3x﹣1）符合因式分解的定义，则⑤是因式分解； 1+x（1）2中对象不是整式，则⑥不是因式分解； 综上，因式分解有2个， 故选：B． 二．填空题（共5小题） 5．下列由左边到右边的变形，是因式分解的有　②③　.（填序号） ①a（x+y）＝ax+ay； ②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1）； ③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2； ④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t． 【解答】解：①a（x+y）＝ax+ay，等式从左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解， ②10x2﹣5x＝5x（2x﹣1），等式从左边到右边的变形属于因式分解， ③y2﹣4y+4＝（y﹣2）2，等式从左边到右边的变形属于因式分解， ④t2﹣16+3t＝（t﹣4）（t+4）+3t，等式从左边到右边的变形不属于因式分解， 即等式从左边到右边的变形，属于因式分解的有②③， 故答案为：②③． 6．把x2+5x+c分解因式，得（x+2）（x+3），则c的值＝　6　． 【解答】解：（x+2）（x+3）， ＝x2+2x+3x+6， ＝x2+5x+6， 又x2+5x+6＝（x+2）（x+3）， 所以c＝6． 7．根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 8．若x+5，x﹣3都是多项式x2﹣kx﹣15的因式，则k＝　﹣2　． 【解答】解：根据题意得 （x+5）（x﹣3） ＝x2+2x﹣15， ＝x2﹣kx﹣15， ∴﹣k＝2， 解得k＝﹣2． 9．若多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为 　4　． 【解答】解：∵多项式x2+mx﹣12分解因式后含有因式x﹣2， ∴x2+mx﹣12＝（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12， 则m＝4， 故答案为：4． 三．解答题（共4小题） 10．下列从左到右的等式变形是不是因式分解？如果不是，请说明理由． （1）a2﹣2a+1＝a（a﹣2）+1； （2）（x﹣1）（x+6）＝x2+5x﹣6； （3）x3﹣x＝x（x+1）（x﹣1）； （4）． 【解答】解：（1）不是因式分解， 理由：从左到右的变形不是化成整式积的形式，故不是因式分解； （2）不是因式分解， 理由：从左到右的变形属于整式乘法，故不是因式分解； （3）左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）不是因式分解， 理由：等式右边不是等式的形式，故不是因式分解． 11．已知多项式x2+（m+k）x+k可以分解因式为（x+2）（x+4），求m、k的值． 【解答】解：（x+2）（x+4）＝x2+6x+8＝x2+（m+k）x+k， ， 解得． 12．将多项式x2﹣3x+2分解因式x2﹣3x+2＝（x﹣2）（x﹣1），说明多项式x2﹣3x+2有一个因式为x﹣1，还可知：当x﹣1＝0时x2﹣3x+2＝0． 利用上述阅读材料解答以下两个问题： （1）若多项式x2+kx﹣8有一个因式为x﹣2，求k的值； （2）若x+2，x﹣1是多项式2x3+ax2+7x+b的两个因式，求a、b的值． 【解答】解：（1）令x﹣2＝0，即当x＝2时，4+2k﹣8＝0，解得：k＝2； （2）令x＝﹣2，则﹣16+4a﹣14+b＝0①， 令x＝1，则2+a+7+b＝0②， 由①，②得a＝13，b＝﹣22． 13．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$