【专项练】一元一次方程行程问题-鲁教版五四制六年级下册期中、期末专项（初中数学）

一元一次方程行程问题 1．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：快马每天走 240里，慢马每天走 150里，慢马先走 12天，快马几天可追上慢马？若设快马 x 天可追上慢马，由题意得（ ） A．  240 150 12x x  B．  240 12 150x x  C．  240 12 150x x  D．  240 150 12x x  2．甲、乙两人练习赛跑，甲每秒跑 4米，乙每秒跑 6米，甲先跑 10秒，乙开始跑，设乙 x 秒 后追上甲，依题意列方程得（ ） A．6 4x x B．6 4 40x x  C．6 4 40x x  D．4 10 6x x  3．《九章算术》是中国古代数学专著，《九章算术》方程篇中有这样一道题：“今有善行者行一 百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”这是一道 行程问题，意思是说：走路快的人走 100步的时候，走路慢的才走了 60步；走路慢的人先走 100步，然后走路快的人去追赶，问走路快的人要走多少步才能追上走路慢的人？设走路快的 人要走 x 步才能追上走路慢的人，那么，下面所列方程正确的是（ ） A．  100 60 100x x  B．  60 100 100x x  C．  100 60 100x x  D．  60 100 100x x  4．列方程解应用题：甲乙两车分别从相距210km的A、 B 两地相向而行． (1)两车保持匀速行驶且甲车的速度是乙车速度的2倍，若甲车比乙车提前 2h出发，则甲车出 发后3h两车相遇．求甲、乙两车的速度分别是多少． (2)若甲、乙两车保持（1）中的速度，同时出发，相向而行，求经过多长时间两车相距30km． 5．【问题情境】 如图 2所示（下图），A，B 两点在数轴上对应的数分别为 8 ，12，甲、乙分别从 A，B 处同 时出发，甲的速度为 1个单位长度/秒，乙的速度为 3个单位长度/秒，设运动的时间为 t 秒． (1) AB ______． (2)如果甲、乙相向运动（甲向右运动，乙向左运动），记相遇点为 P，则点 P 表示的数为______， 此时 t  ______． (3)如果甲、乙都向左运动， ①当 t为何值时，乙恰好追上甲？ ②当 t为何值时，甲、乙之间恰好相距 5个单位长度？ 6．小陈同学原来每天步行上学，自从学校有了班车以后，他先以每小时 4千米的速度步行全 程的一半，再顺路搭上了速度为每小时 20千米的班车，所以比原来全程步行早到了 1小时．问： 小陈同学的家离学校多少千米？ 7．（列方程解应用题） ,A B 两地相距 64千米，甲从A地出发，每小时行 14千米，乙从 B 地 出发，每小时行 18千米． (1)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相遇？ (2)若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则几小时后乙追甲？ (3)若两人同时出发相向而行，则经过几小时两人相距 16千米？ 8．综合与实践：砂糖桔是广西某县传统特产，具有皮薄，汁多，化渣，味清甜，吃后沁心润 喉，是老少皆宜的美味佳品．请阅读以下材料，完成学习任务：请同学们根据材料一、材料二 提供的信息完成 3个任务： 材料一：某县批发市场计划运输一批砂糖橘到甲地出售，为保证砂糖桔新鲜需用带冷柜的货车 运输．现有A， B 两种型号的冷柜车，若A型车的平均速度为 60千米 /小时， B 型车的平均 速度为 75千米 /小时，从某县到甲地 B 型车比A型车少用 2小时． 材料二：已知A型车每辆可运 8吨， B 型车每辆可运 7吨，若单独租用A型车，则恰好装完： 若单独租用相同数量的 B 型车，则还剩 4吨砂糖桔没有装上车． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷柜车运完砂糖桔从某县到甲地时，运输的相关数据如 下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 1.5元 /（千米辆） A型冷柜车 B 型冷柜车 10元 /（小时 辆） 8元 /（小时 辆） （参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目；总费用路费冷柜使用费） (1)请求出 A 型车从某县到甲地的时间； (2)问这批砂糖桔共有多少吨？ (3)本次砂糖桔从某县到甲地的运输单独安排 A 型车或 B 型车，应该选用哪种车型使得总费用 较少？较少的总费用是多少元？ 9．玉宇从家去市中心的歌剧院看歌剧，进场时发现门票忘在家中，此时离歌剧开始还有 50分 钟，于是他立即步行（匀速）回家取票．在家取票用时 9分钟，取到票后，他急忙骑自行车（匀 速）赶往歌剧院，终于在歌剧开始前 5分钟赶到歌剧院门口，已知玉宇步行的速度是 90米/分， 骑自行车的速度是步行速度的 3倍．你知道玉宇家离歌剧院多远吗？ 10．甲、乙二人在同一条椭圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑， 每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的 2 3 ， 甲跑第二圈的速度比第一圈提高了 1 3 ，乙跑第二圈的速度提高了 1 5 ，已知沿跑道看从甲、乙两 人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是 190 米，问这条跑道长多少米？ 一元一次方程行程问题 1．D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键． 快马花 x 天追上慢马，此时快马走的路程为240x里，由于慢马先走 12天，所以慢马总共走的 路程为150( 12)x  里．当快马追上慢马时，就是说它们所走的路程相等，即可列出方程． 【详解】快马花 x 天追上慢马，此时快马走的路程为240x里，慢马走的路程为150( 12)x  里， 由题意得： 240 150( 12)x x  ． 故答案为：D． 2．B 【分析】根据题意，乙追甲，甲走过的路程乙走过的路程，设乙 x 秒后追上甲，从而根据路 程速度时间即可列出方程． 【详解】解：设乙 x 秒后追上甲， 依题意得  4 10 6x x  ，即6 4 40x x  ， 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次方程解实际应用题，理解题意，根据追击问题甲走过的路程乙走 过的路程，列出方程是解决问题的关键． 3．B 【分析】设走路快的人要走 x 步才能追上走路慢的人，根据走路快的人走 100步的时候，走路 慢的才走了 60步，可知走路快的人和走路慢的人的速度比，然后根据走路快的人追上走路慢 的人时两人所走的步数相等即可列出方程． 【详解】解：由题意得：  60 100 100x x  ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用－行程问题，审清题意并找到等量关系列方程是 解题的关键． 4．(1)甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时； (2)经过2小时或 8 3 小时两车相距30千米． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关 键． （1）设乙车的速度是 x 千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时，利用路程速度时间， 可列出关于 x 的一元一次方程，解之可得出乙车的速度，再将其代入2x中，即可求出甲车的 速度； （2）设经过 y 小时两车相距30千米，利用路程速度时间，可列出关于 y 的一元一次方程， 解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙车的速度是 x 千米/小时，则甲车的速度是2x千米/小时， 根据题意得：  3 2 3 2 210,x x    解得： 30,x  2 2 30 60x    (千米/小时)． 答：甲车的速度是60千米/小时，乙车的速度是30千米/小时； （2）解：设经过 y 小时两车相距30千米，根据题意得： 60 30 210 30y y   或60 30 210 30,y y   解得： 2y  或 8 3 y  ， 答：经过2小时或 8 3 小时两车相距30千米． 5．(1)20 (2) 3 ，5 (3)7.5或12.5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用，数形结合，找出等量关 系是解答本题的关键． （1）直接根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据相遇时甲和乙共走了 20个单位的路程列方程求解即可； （3）①根据乙追上甲时比甲多走了 20个单位列方程求解即可； ②分两种情况求解：情况一，乙追上甲之前相距 5个单位长度；情况二，乙追上甲之后相距 5 个单位长度，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵A，B 两点在数轴上对应的数分别为 8 ，12， ∴  12 8 20AB     ． 故答案为：20． （2）解：∵甲的速度为 1个单位长度/秒，乙的速度为 3个单位长度/秒，设运动的时间为 t 秒， ∴ 3 20t t  ， ∴ 5t  ， ∴点 P 表示的数为 8 1 5 3     ． 故答案为： 3 ，5； （3）解：①根据题意得：    3 1 12 8t    ， 解得 10t  ； ②分两种情况， 情况一，乙追上甲之前相距 5个单位长度， 此时有    3 1 12 8 5t     ， 解得 7.5t  ； 情况二，乙追上甲之后相距 5个单位长度， 此时有    3 1 12 8 5t     ， 解得 12.5t  ， 综上所述，当 7.5t  或12.5时，甲、乙之间恰好相距 5个单位长度． 6．小陈同学的家离学校 10千米． 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条 件，找出合适的等量关系列出方程，再求解本题关键是看到以路程作为等量关系． 设小陈步行全程的一半用的时间是 x 小时，则搭车用去了  1x  小时，以路程为等量关系可列 方程求解． 【详解】解：设小陈步行全程的一半用的时间是 x 小时，则搭车用去了  1x  小时， 根据题意得：  4 20 1x x  ， 解得 5 4 x  ， ∴全程的一半是： 4 5x  （千米）， ∴小陈家到学校的距离是： 2 5 10  （千米）， 答：小陈家到学校的距离是 10千米． 7．(1)2小时 (2)16小时 (3) 3 2 小时或 5 2 小时 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设经过 x 小时两人相遇，根据“甲乙两人速度和时间两地距离”列出方程并求解即可； （2）设经过 x 小时后乙追上甲，根据“甲乙两人速度差时间两地距离”列出方程并求解即可； （3）设经过 x 小时两人相距 16千米，分两人相遇前相距 16千米和两人相遇后相距 16千米两 种情况，根据“甲乙两人速度和时间两地距离16千米”列出方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设经过 x 小时两人相遇， 根据题意可得  18 14 64x  ， 解得 2x  （小时）， 答：若两人同时出发相向而行，则经过 2小时两人相遇； （2）设经过 x 小时后乙追上甲， 根据题意可得  18 14 64x  ， 解得 16x  （小时）， 答：若甲在前，乙在后，两人同时同向而行，则 16小时后乙追甲； （3）设经过 x 小时两人相距 16千米， 当两人相遇前相距 16千米时，可有  18 14 64 16x   ，解得 3 2 x  （小时）， 当两人相遇后相距 16千米时，可有  18 14 64 16x   ，解得 5 2 x  （小时）， 综上所述，若两人同时出发相向而行，则经过 3 2 小时或 5 2 小时两人相距 16千米． 8．(1)A 型车从某县到甲地的时间为 10小时 (2)这批砂糖橘共有 32吨 (3)单独安排 A 型车运输才能使得本次总费用较少，较少的总费用是 4000元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设A型车从某县到甲地的时间为 x 小时，则 B 型车从某县到甲地的时间为  2x  小时， 根据从某县到甲地的路程相等列方程求解即可； （2）设这批砂糖橘共有 y 吨，根据单独租用相同数量的 B 型车，则还剩 4吨砂糖桔没有装上 车列方程求解； （3）按照计费方式分别算出两种型号的车所需费用即可求解． 【详解】（1）解：设A型车从某县到甲地的时间为 x 小时，则 B 型车从某县到甲地的时间为  2x  小时， 由题意得，  60 75 2x x  ， 解得： 10x  ． 答：A 型车从某县到甲地的时间为 10小时； （2）解：设这批砂糖橘共有 y 吨， 由题意得， 4 8 7 y y   ， 解得： 32y  ． 答：这批砂糖桔共有 32吨； （3）解：∵A型车为32 8 4  （辆）； B 型车为32 7 4  （辆）    4（吨），即： 4 1 5  （辆）； ∴运输 32吨砂糖橘，A型车需要 4辆， B 型车需要 5辆， 某县到甲地的距离为：60 10 600  （千米）． 安排A型车的总费用：1.5 600 4 10 10 4 4000      （元）， 安排 B 型车的总费用：1.5 600 5 8 8 5 4820      （元）， 因为 4000 4820 ，所以单独安排A运输能使总费用较少，是 4000元． 9．玉宇家离歌剧院 2430米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设玉宇家离歌剧院 x 米，分别表示出步行 所花的时间和骑自行车花费的时间，再求出总时间进而建立方程求解即可． 【详解】解：设玉宇家离歌剧院 x 米， 由题意得， 50 5 9 90 90 3 x x      ， 解得 2430x  ， 答：玉宇家离歌剧院 2430米． 10．跑道长为 400米 【分析】本题主要考查应用类问题的知识点，解答本题的关键是熟练弄清楚追及类问题过程， 此题有一定的难度．设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是 2 3 a．再设跑道长是 L ，根 据题干条件求出甲乙两人的速度之比，再根据甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点 190米， 即可求出椭圆的跑道长． 【详解】解：设一开始时甲的速度是 a ，于是乙的速度便是 2 3 a．再设跑道长是 L ， 则甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为 3 5 L ． 甲跑完第一圈，乙跑了 2 3 L，乙再跑余下的 1 3 L ，甲已折返，且以 1 41 3 3 a a      的速度跑，所 以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了 2 3 L， 这时，乙折返并以 2 1 41 3 5 5 a a      的速度跑着． 从这时起，甲、乙速度之比是 4 4 5 3 5 3 a a  ，即5 : 3． 所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的 3 L 的 5 8 ，而乙跑了它的 3 8 ，即第二次相遇时距出发 点 3 8 3 8 L L   ． 可见两次相遇点间的距离是 3 1 190 5 8 L      （米 )，即 19 190 40 L  （米 )， 400L  （米 ) 答：跑道长为 400米．