2.4空间向量在立体几何中的应用（8大题型提分练）（题型专练）数学湘教版选择性必修第二册

2.4空间向量在立体几何中的应用 题型一 求空间直线的方向向量和平面的法向量 1．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线l的方向向量， 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，则， 故选：B 3．已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各个选项进行逐一验证可得答案. 【详解】对于A， ，则 ， 则此点在平面 内，故正确； 对于B， ，则 ， 则此点不在平面 内吗，故错误； 对于C， ，则 ， 则此点不在平面 内，故错误； 对于D， ，则 ， 则此点在不平面 内，故错误. 故选：A. 4．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 题型二 利用空间向量证明判断空间垂直关系 1．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断即可. 【详解】以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为2， 则，，，， ，， ，， 又平面，平面，平面，且， 直线与异面垂直． 故选：C． 2．如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判断定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【详解】（1）设， 由于四边形ABCD为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； （2）因为， 所以， 所以，同理可证 又因为平面． 所以平面 3．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由条件证明，，结合线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，求向量，的坐标，由条件列方程求即可. 【详解】（1）在三棱柱中，底面，平面， ， ，为的中点， ， ， 平面， 平面， 平面， 平面平面； （2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， ，，， 设，则，，， 若，则，解得， 所以存在，使得直线，此时. 4．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 题型三 利用空间向量由空间垂直求参数问题 1．已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据法向量定义得到，进而得到，得到方程，求出答案. 【详解】，故， 故，解得. 故选：A 2．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 3．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过平面可得出，再根据直线与平面垂直的判定即可证得平面，最后通过直线与平面垂直的性质定理可证得. （2）建立空间直角坐标系，利用平面与平面垂直的空间向量公式即可求解. 【详解】（1）在菱形中，， 又平面，平面， ，又， 平面，平面， 平面，平面， . （2）设，交点为，则， 以为原点，以，，分别为轴，轴，建立如图直角坐标系， 设，则，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 取平面的法向量为， 则，取，则， ， ，. 即. 题型四 利用空间向量证明判断空间平行关系 1．已知平面的一个法向量为，若直线满足（），则（ ） A． B． C．直线与平面有且仅有一个公共点 D．直线与平面的位置关系不确定 【答案】C 【分析】根据条件可得直线平面，由此可得答案. 【详解】∵，∴， ∵为平面的一个法向量，∴平面， ∴直线与平面有且仅有一个公共点. 故选：C. 2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 3．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直即可求出法向量； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量垂直即可得证. 【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， 故， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以平面的法向量为； （2），则， 故， 因为， 所以， 又平面， 所以平面. 4．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 题型四 利用空间向量由空间平行关系求参数 1．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（   ） A．7 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线与平面平行可得，利用空间向量的数量积运算可得结果. 【详解】∵直线l与平面平行，∴， ∴，解得. 故选：B. 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】由线面位置关系和空间直线方向向量与平面法向量的定义可解. 【详解】由题意，若，则，所以，即，解得. 故选：B. 3．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求平面的法向量，根据线面平行可得，根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】由题意可知：， 设，则． 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为平面，则， 即，解得，即点坐标为． 故选：B. 4．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法判断位置关系； （2）设，求出点的坐标，求出平面的一个法向量，利用向量法建立方程求解. 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． （2）设存在点N，使平面， 设，，则， ， 所以． 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 由， 得，令，则， 由平面，得． 所以，解得． 所以当时，平面． 题型五 利用空间向量求空间角 1．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据空间向量的线性运算可得和数量积的运算律和定义计算即可求解. 【详解】，因为分别为的中点， 所以，，且， 则 ， 所以， 即直线和夹角的余弦值为，所以正弦值为. 故选：C 2．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质可知，结合面面垂直的性质定理即可得证； （2）根据等腰直角三角形的性质可证，则以O为坐标原点， 为轴建立空间直角坐标系，结合空间向量公式可计算结果. 【详解】（1）是等边三角形，O为的中点，所以， 因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. （2）连接，因为，，所以， 以O为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由题设得，，，，， 则，， 设平面的法向量为，则， 即，可取， 设直线PC与平面PAM所成角为， ， 所以直线PC与平面PAM所成角的正弦值为. 3．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与直线的方向向量，即可得证； （2）求出平面的法向量，再由空间向量法计算可得； 【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 又为线段的中点，所以， 所以，又平面的法向量可以为， 所以，即，又平面，所以平面. （2）由（1）可得，所以，， 设平面的法向量为，则，取， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为； 4．如图所示，在圆台中，四边形为过的圆台截面，为底面圆O的内接正三角形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面垂直的判定定理进行证明； （2）结合题意建立空间直角坐标系，求出平面ABF和平面CEF的法向量，从而求出它们夹角的余弦值． 【详解】（1）证明：设，连接，如图，    因为为底面圆O的内接正三角形，所以O为正三角形的中心， 则，且M为中点， 因为四边形为过的圆台截面，且关于底面直径对称， 所以，则， 因为，平面，所以平面， 因为平面CEF，所以平面平面； （2）由分析知，O为正三角形的中心，所以， 因为，所以，故M为中点， 因为，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，， 因为平面，平面，所以平面， 以O为原点建立空间直角坐标系如图，    连接，因为，所以三角形满足，为正三角形， 所以， 不妨设，则，，， 所以，， 设平面ABF法向量为，则，即， 解得， 易知平面法向量， 设平面和平面夹角为，则， 所以平面和平面夹角的余弦值为 5．在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）推导出， 利用面面垂直的性质可得出面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的正弦值． 【详解】（1）在中，由，是的中点，所以，             又平面平面，平面平面，面， 所以面，                        因为平面，故． （2）连接，在中，由，是的中点，所以， 又面，、平面，所以，，， 在直角三角形中，，， ， 在中，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 所以、、、，                    设平面的一个法向量，，， 则，取，可得， 设平面的一个法向量为，， 则，取，则， 所以，， 所以，. 因此，二面角的正弦值为. 题型六 利用空间向量求解已知空间角求参数 1.．如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面平面，即可证平面，结合证明，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设点S的坐标，利用空间角的向量求法，即可求出S点坐标，从而求得答案. 【详解】（1）证明：因为平面平面， 所以平面平面，   因为，，， 所以≌， 所以， 所以， 又因为平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面，   又因为，，所以四边形为菱形， 在直角梯形中，， 则，故， 所以为等边三角形， 又因为为中点，所以，   又因为平面平面，且平面， 所以平面． （2）解：以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 结合（1）可知，    则，，，， 所以，   由（1）知平面，所以平面的一个法向量可取为， 设，则， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，   设平面与平面所成的角为， 因为，所以， 所以， 所以，所以，， 所以点的坐标为或，   此时． 2．如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分别为棱，的中点．    (1)证明：平面； (2)若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）取的中点，连接，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）若为的中点，且，由面面垂直的性质得到面，则为直线与底面所成角，并构建合适的空间直角坐标系，设，，应用向量法求面面角余弦值，结合已知列方程求参数，进而应用几何法求线面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，又，分别为棱，的中点， 所以且， 又底面是矩形，即且， 所以且，即为平行四边形，故， 由平面，平面，故平面；    （2）记为的中点，作，因为是正三角形，所以， 面面，面面，面， 所以面，则为直线与底面所成角， 易知面，面，则， 所以可构建如图示的空间直角坐标系，设，， 则，，，，， 所以，，， 若分别为面、面的一个法向量，则 ，取，则， ，取，则， 由二面角为，则，所以或， 当时，， 所以为等边三角形，且，， 所以，即，， 所以二面角为，故不合题设，即（经验证满足题设）， 故. 3．如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， (1)求证：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 【答案】(1)证明见解析； (2)或. 【分析】（1）由线面垂直的性质有，由圆的性质易得，再由线面垂直的判定和性质证明结论； （2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，结合已知列方程求参数即可. 【详解】（1）由平面，平面，则， 又点在以为直径的半圆的圆周上，则， 由且都在面内，则面， 由面，故； （2）若为的中点，即为半圆的圆心，作面，在面内作， 由，，则， 故可构建如下图示的空间直角坐标系，则， 由，故，可得， 所以，，， 若，分别为面、面的一个法向量， 则，取，， ，取，， 所以， 整理得，则，可得或. 题型七 利用向量求空间距离 1．在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】直接利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】设平面的法向量， 则，令，则，， 则平面的一个法向量为， 因平面平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，即． 故选：C. 2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【详解】 根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 又点为的重心，所以， 则，， 则， 则， 所以点到直线的距离为. 故选：B 3．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量法来求平行线与平行平面间的距离即可. 【详解】 以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，即 平面平面平面 直线到平面的距离为点到平面的距离. 设平面的法向量为，则即 令，则 点到平面的距离为. 故选：D. 题型八 利用向量求解已知空间距离求参数 1．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 1．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量的性质可得，即可根据向量垂直的坐标运算求解. 【详解】解析：因为，，所以. 平面的法向量，则， 所以，即. 故选：A. 2．已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 【答案】C 【分析】A，由题可得，即可得判断选项正误；B，由可得与其同向的单位向量；C，由图可得向量；D，由，结合法向量定义可判断选项正误. 【详解】对于A，由题，又， 因为，所以与不平行，A错误； 对于B，因，则， 得与同向的单位向量为，故B错误； 对于C，由图可得，故C正确； 对于D，由，设， 则， 则，与不垂直，这与法向量定义不符，故D错误. 故选：C. 3．已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由点B到直线AC的距离为：即可求解. 【详解】设向量的单位向量为，则，， 点B到直线AC的距离为：， 故选：B. 4．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建系，由用空间向量法求点线距即可； 【详解】 以D为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图， 则，，， ，则方向的单位向量， 那么， 所以F到直线AE的距离， 故选：D． 5．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 6．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 7．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立； 【详解】在直三棱柱中，平面，且，则 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、、、、， 则， 平面的一个法向量为，则，故， 平面，故平面. 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，先通过线面垂直的判定定理说明向量为平面的一个法向量，再利用可得线面平行； （2）分别求出平面和平面的法向量，利用法向量垂直可证得面面垂直. 【详解】（1） 依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 9．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 10．如图，在三棱柱中，平面．    (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定，再利用面面垂直的判定推理即得. （2）利用（1）中信息，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量求法求解即得. 【详解】（1）在三棱柱中，由平面平面，得， 又平面，则平面， 而平面，所以平面平面. （2）由（1）知两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，    由，令，则， ，， 设平面的法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 11．如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直即可得出线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦值即可. 【详解】（1）如图， 在直三棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以四边形是正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又因为平面，所以. （2）因为平面，平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面，所以两两垂直， 以为原点，以的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设， 则， 所以， 设是平面的法向量， 则，所以， 取，则，所以是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 12．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且. (1)求四棱柱的外接球的表面积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由四棱柱的外接球直径就是其体对角线，即可求解； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【详解】（1）取的中点，连接，， 底面是正方形，且该四棱柱是直四棱柱，平面， 又平面，， ，，都在平面内，平面， 又平面，， ，，即， . 四棱柱的外接球直径就是其体对角线， 外接球半径， 故四棱柱的外接球的表面积. （2）建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，. 设平面的法向量为，则 令，得：，， 而平面就是平面，其一个法向量是， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 13．如图，在直四棱柱中，，，，，，的中点分别为，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证平面，再利用线面垂直得到线线垂直； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角. 【详解】（1） 连接，因为，， 所以，则. 因为，所以. 又，所以为等边三角形. 取的中点，连接，，则 又是的中点，四棱柱为直四棱柱，所以， 因为平面，平面，，所以平面， 因为平面，所以. （2）由题易知，，两两垂直， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， ，. 因为，所以，解得， 从而，， 设平面的法向量为， 由得， 令，得. 易知平面的一个法向量为，， 故平面与平面夹角的余弦值为. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4空间向量在立体几何中的应用 题型一 求空间直线的方向向量和平面的法向量 1．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 2．阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线l是两平面与的交线，则下列向量可以为直线l的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 3．已知平面，其中点，平面的法向量，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 题型二 利用空间向量证明判断空间垂直关系 1．如图，在正方体中，，分别是，的中点，则直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．异面垂直 D．异面不垂直 2．如图，平行六面体的底面ABCD是菱形，且． (1)求的长； (2)求证：平面． 3．如图，在三棱柱中，底面，，，，为的中点， 为侧棱上的动点. (1)求证：平面平面； (2)试判断是否存在，使得直线.若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 4．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 题型三 利用空间向量由空间垂直求参数问题 1．已知，分别是平面，的法向量，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 3．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，. (1)求证：； (2)若，当平面平面时，求的长. 题型四 利用空间向量证明判断空间平行关系 2.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 3．如图， 在长方体中，.    (1)求平面的法向量. (2)线段中点为点，求证平面. 4．在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    题型四 利用空间向量由空间平行关系求参数 1．已知直线l的方向向量，平面的法向量，若直线l与平面平行，则实数x的值为（   ） A．7 B． C．2 D． 2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．7 B． C． D． 3．如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，在上且平面，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； (2)在线段上是否存在点N，使平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 题型五 利用空间向量求空间角 1．如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，则直线和夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在三棱锥中，平面平面，是等边三角形，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 3．如图，长方体底面是边长为2的正方形，高为4，为线段的中点，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．如图所示，在圆台中，四边形为过的圆台截面，为底面圆O的内接正三角形.    (1)证明：平面平面； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值. 5．在三棱柱中，四边形是菱形，是的中点，平面平面，． (1)证明：； (2)若，，求二面角的正弦值． 题型六 利用空间向量求解已知空间角求参数 1.．如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．    (1)证明：平面； (2)若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 2．如图，四棱锥中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分别为棱，的中点．    (1)证明：平面； (2)若二面角为，求直线与底面所成角的正弦值． 3．如图，点在以为直径的半圆的圆周上，，且平面， (1)求证：； (2)当为何值时，平面与平面夹角的余弦值为？ 题型七 利用向量求空间距离 1．在空间直角坐标系中，有一个三棱柱，其中，，，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 2．如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，为线段上靠近的三等分点，点为的重心，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 题型八 利用向量求解已知空间距离求参数 1．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 1．已知平面经过点，且它的法向量，是平面内任意一点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知为平行四边形外的一点，且，则（   ） A． B．与同向的单位向量为 C． D．平面的一个法向量为 3．已知空间中向量=（0，1，0），向量的单位向量为（），则点B到直线AC的距离为（    ） A． B． C． D． 4．在棱长为2的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 6．已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 7．如图，在直三棱柱中，，点D、E、F分别为的中点， .求证：平面； 8．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 9．如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 10．如图，在三棱柱中，平面．    (1)求证：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 11．如图，在直三棱柱中，平面平面为的中点． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．如图，在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，是的中点，且. (1)求四棱柱的外接球的表面积； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 13．如图，在直四棱柱中，，，，，，的中点分别为，. (1)证明：； (2)若，求平面与平面夹角的余弦值. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$