精品解析：2024年广东省佛山市光明区更合中学九年级中考数学一模试卷

2024年广东省佛山市高明区更合中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在0，-1，-5，这四个数中，比-2小的数是（ ） A. 0 B. -1 C. -5 D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的方程的解是整数解，是整数，则所有的值加起来为（ ） A. B. C. D. 18 7. 如图，为的直径，为的弦，且于点，若点为的中点，，则劣弧的长为 （　　） A. B. C. D. 8. 如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（ ） A. B. C. D. 9. 已知反比例函数当时，的最大值是则当时，有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算_______． 12. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°． 13. 圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径__________ 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 15. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为点和，则四边形的面积是 __． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解一元一次不等式组：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为，塔底B处的俯角为，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米， ） 19. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价，每项评价分值可为1分、2分、3分、4分和5分．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了解客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】如图是根据样本数据制作的两幅不完整的统计图，请回答问题： （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； 【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题： 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 a 3 3.5 1.05 乙商家 4 b x 1.24 （2）直接写出表中a和b的值，并求出x的值； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的理由． 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点B，与x轴相交于点 ． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点P为双曲线上的任一点，若，求P点坐标． 21. “红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元． （1）求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？ （2）村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？ 22. 综合探究 如图1，在等腰中，，于D，一个直径与相等的圆与相切于点E、与相切于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，过E作交圆于G，连接，求证：四边形是矩形； （3）与的交点是圆心的位置吗？为什么？ 23. 在同一平面直角坐标系中，已知x轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点C和点D，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”． （1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．当时，根据题意可知，，则；当时，，，则；当时，，，则．由上述分析，请你直接写出正比例函数的“虫洞距离”为 ； （2）如图2，是函数的图象，和是其“虫洞”， ①求函数的“虫洞距离”； ②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年广东省佛山市高明区更合中学中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 在0，-1，-5，这四个数中，比-2小的数是（ ） A. 0 B. -1 C. -5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数＞0＞负数，两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，可得答案． 【详解】解：∵|−1|＝1，|−5|＝5，，|−2|＝2， ∴−5＜−2＜−1＜＜0， ∴比−2小的数是−5． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数大小比较，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，根据定义一一判断即可； 【详解】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； C、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故错误，不合题意； B、，故正确，符合题意； C、，故错误，不合题意； D、和不能合并，故错误，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除，熟练掌握二次根式的加减乘除法则是解题关键． 4. “燕山雪花大如席，片片吹落轩辕台.”这是诗仙李白眼里的雪花，单片雪花的重量其实很轻，只有左右，则0.00003用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．据此解答即可． 【详解】解：． 故选：B． 5. 如图，在一束平行光线中插入一张对边平行的纸板，如果光线与纸板右下方所成的，则光线与纸板左上方所成的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先可证得四边形ABCD是平行四边形，再根据平行四边形的性质，即可求得． 【详解】解：光线平行，纸板对边平行，设平行光线标记字母如图， ，， 四边形ABCD是平行四边形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握和运用平行四边形的判定与性质是解决本题的关键． 6. 若关于的方程的解是整数解，是整数，则所有的值加起来为（ ） A. B. C. D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元一次方程的一般步骤表示出的代数式，分析解答即可． 【详解】解：解方程， 得：， 根据题意可知为整数，是整数， 当的值为时，为整数， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据一元一次方程解的情况求参数，熟练掌握解一元一次方程的一半步骤是解本题的关键． 7. 如图，为的直径，为的弦，且于点，若点为的中点，，则劣弧的长为 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据于，点为的中点，可得，所以，根据等腰三角形的性质得，根据弧长公式即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， 于，点为的中点， ， ， ， ， ， ， ， 劣弧的长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长公式，等腰三角形的性质，正确求出是解题的关键． 8. 如图，弹簧秤不挂重时弹簧长为，每挂重物体，弹簧伸长，在弹性限度（挂重不超过）内，弹簧的长度与所挂重之间的关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列函数关系式，根据“每挂重物体，弹簧伸长”可得每挂重物体，弹簧伸长，由此可解． 【详解】解：由题意知，每挂重物体，弹簧伸长， 因此弹簧的长度与所挂重之间的关系式是， 故选D． 9. 已知反比例函数当时，的最大值是则当时，有（ ） A. 最大值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最小值 【答案】C 【解析】 【分析】由函数经过第二象限，可确定k＜0，则在上，y值随x值的增大而增大，即可确定函数的解析式为，由此可求解． 【详解】解：∵当时，y的最大值是3， ∴反比例函数经过第二象限， ∴k＜0， ∴在上，y值随x值的增大而增大， ∴当x=—1时，y有最大值—k， ∵y的最大值是3， ∴—k=3， ∴k=—3， ∴， 当时，有最小值， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握反比例函数的图象及性质，通过所给条件确定k＜0是解题的关键． 10. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④当时，，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数经过点即可判断①；根据抛物线开口向下和对称轴为直线即可判断②③；根据图象法即可判断④． 【详解】解：∵二次函数的部分图象如图所示，图象过点， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故②错误，故③正确； 由题意得，抛物线与x轴的另一个交点为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； ∴正确的一共有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数图象与系数的关系，根据图象求不等式的解集等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 计算_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 学校在举办了“叩问苍穹，征途永志”主题活动后，邀请同学们参与设计航天纪念章．小明以正八边形为边框，设计了如图所示的作品，则此正八边形徽章一个内角的大小为________°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的外角和以及内角与外角之间的关系，利用多边形的外角和求出一个外角的大小，然后再用度减去外角度数即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴每个外角为， ∴每个内角为， 故答案为：． 13. 圆在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞.如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为，地面入口宽为，求该门洞的半径__________ 【答案】1.3 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键．设半径为，根据垂径定理可以列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，， 中，，， 所以， 解得． 故答案为：1.3 14. 若关于x的一元二次方程的一个根为，则m的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把根代入方程中，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为， ∴， 解得：； 故答案为：1． 15. 如图，线段是直线的一部分，点是直线与轴的交点，点的纵坐标为6，曲线是双曲线的一部分，点的横坐标为6，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．点与均在该波浪线上，分别过、两点向轴作垂线段，垂足为点和，则四边形的面积是 __． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，根据变化规律求出点，点的坐标是解决问题的关键．根据一次函数可求出点、的坐标，进而确定反比例函数的关系式，利用平移所引起的坐标变化规律，可求出点，点的坐标，再根据梯形的面积公式可求出答案． 【详解】解：当时，， ， 当时，即， ， ， 又点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的关系式为， 当时，， 点， 当时，， 点， 又图象的平移可得， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， 又，， ， ，， ， ， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 解一元一次不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查求一元一次不等式组的解集，掌握不等式的性质，不等式组的取值方法是关键． 根据不等式的性质分别求出解集，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 首先利用完全平方公式和平方差分解因式，同时小括号内通分、括号、约分，将分式的除法转化为乘法，利用分式的乘除法进行化简，然后合并可得到结果，最后代入数值计算即可解答． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 18. 如图，为测量佛山电视塔的高度，某兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D处测得塔尖处的仰角为，塔底B处的俯角为，若建筑物的高为68米，求电视塔的高度．（结果精确到1米， ） 【答案】238米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，过点D作于点E，根据题意可得四边形是矩形，根据矩形的性质得到，再根据锐角三角函数可得的长，进而可得的值． 【详解】解：如图，过点D作于点E， 根据题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 即电视塔的高度约为238米． 19. 在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可从“产品质量”“商家服务”“发货速度”“快递服务”等方面给予商家分值评价，每项评价分值可为1分、2分、3分、4分和5分．该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售同款T恤衫，平台为了解客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部分“商家服务”的评价分值进行统计分析． 【数据描述】如图是根据样本数据制作的两幅不完整的统计图，请回答问题： （1）平台从甲、乙两个商家分别抽取了多少个评价分值？请补全条形统计图； 【分析与应用】样本数据的统计量如下表，请回答问题： 商家 统计量 中位数 众数 平均数 方差 甲商家 a 3 3.5 1.05 乙商家 4 b x 1.24 （2）直接写出表中a和b的值，并求出x的值； （3）小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款T恤衫．你认为小亮应该选择哪一家？说明你的理由． 【答案】（1）从甲商家抽取了个评价分值，从乙商家抽取了个评价分值， 补全条形统计图如下： （2）∴，，； （3）小亮应该选择乙商家， 理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的，方差较接近， ∴小亮应该选择乙商家． 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键． （1）分别用分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲、乙两个商家各抽取的评价分值个数，进而求出甲、乙商家分的评价分值个数，即可补全条形统计图； （2）根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解； （3）根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解． 【详解】解：（1）由题意可得，平台从甲商家抽取了个评价分值， 从乙商家抽取了个评价分值， ∴甲商家分的评价分值个数为个， 乙商家分的评价分值个数为个， 图略； （2）∵甲商家共有个数据， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第位和第位数的平均数， ∴， 由条形统计图可知，乙商家分的个数最多， ∴众数， 乙商家平均数； （3）略 20. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点、点B，与x轴相交于点 ． （1）求直线与双曲线的表达式； （2）点P为双曲线上的任一点，若，求P点坐标． 【答案】（1）直线的表达式为，双曲线的表达式为； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合中的三角形面积问题，待定系数法； （1）将分别代入直线和双曲线的表达式，即可求解； （2）由直线的表达式可求，由三角形的面积得，①当在第一象限时 由三角形面积得，即可求解；②当在第三象限时，同理可求； 掌握解法，能根据点在不同象限进行分类讨论是解题的关键． 【小问1详解】 解：直线与双曲线相交于点， ， ， 解得：， ， 直线的表达式为， 双曲线的表达式为； 【小问2详解】 解：由得， 当时，， 解得：， ， ， ， ①当在第一象限时 ， ， ， ， 解得：， ； ②当在第三象限时 ， ， ， 解得： ， 解得：， ； 综上所述：的坐标为或． 21. “红缬退风花著子，绿针浮水稻抽秧”这是宋朝诗人姚孝锡所作．诗中的“水稻”是我国种植的重要经济作物．某村在政府的扶持下建起了水稻种植基地，准备种植甲、乙两种水稻，若种植30亩甲种水稻和50亩乙种水稻，总收入为42万元；若种植50亩甲种水稻和30亩乙种水稻，总收入为38万元． （1）求种植这两种水稻，平均每亩收入各是多少万元？ （2）村里规划种植这两种水稻共250亩，且甲种水稻的种植面积不少于乙种水稻种植面积的1.5倍，问甲种水稻的种植面积最少是多少？ 【答案】（1）种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元 （2）甲种水稻的种植面积最少亩 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用； （1）等量关系式：种植30亩甲种水稻的收入种植50亩乙种水稻的收入万元，种植50亩甲种水稻的收入种植30亩乙种水稻的收入万元，据此列出方程，即可求解； （2）不等关系式：种植甲种水稻的亩数种植乙种水稻的亩数，据此列出不等式，即可求解； 找出等量关系式、不等关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植乙种水稻平均每亩收入万元，由题意得 ， 解得：， 答：种植甲种水稻平均每亩收入万元，种植甲种水稻平均每亩收入万元； 【小问2详解】 解：设种植甲种水稻亩，则种植乙种水稻（）亩，由题意得 ， 解得：， 答：甲种水稻的种植面积最少亩． 22. 综合探究 如图1，在等腰中，，于D，一个直径与相等的圆与相切于点E、与相切于点F，连接． （1）求证：； （2）如图2，过E作交圆于G，连接，求证：四边形是矩形； （3）与的交点是圆心的位置吗？为什么？ 【答案】（1） 解∵圆与相切于点E、与相切于点F， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， （2） ∵，， ∴， ∵与圆切于点E， ∴为圆的直径， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， 即四边形为矩形． （3） 圆心O即为与的交点． 理由∶连接， 由(2)可知为直径， ∴， 又由(1)可知， ， ∴， 又∵四边形为矩形， ∴， ∴为圆的切线． ∵为已知圆的切线， ∴， ∴是的垂直平分线， 则必过圆心， 即圆心O就是与的交点． 【解析】 【分析】由题意可得，，则，结合，可得，即可证明； 由题意知，进一步得到，即四边形为矩形． 连接，由(2)可知为直径，可得，又由(1)可知， ，则，结合，得到为圆的切线．由于为已知圆的切线得，则是的垂直平分线，则必过圆心，即可证明圆心O就是与的交点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题综合考查了平行线的判定和性质、等边对等角、矩形的判定和性质、切线的性质和垂径定理，解题的关键是熟悉圆的性质和等腰三角形的性质。 23. 在同一平面直角坐标系中，已知x轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点C和点D，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”． （1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．当时，根据题意可知，，则；当时，，，则；当时，，，则．由上述分析，请你直接写出正比例函数的“虫洞距离”为 ； （2）如图2，是函数的图象，和是其“虫洞”， ①求函数的“虫洞距离”； ②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求t的值． 【答案】（1）2 （2）①；② 或 【解析】 【分析】（1）分三种情况：当时，当时，当时，求出的最小值，即可得出答案； （2）①根据和，得出，，求出，根据二次函数的最值，求出当时，的最小值为，得出答案即可； ②分两种情况：当时，当时，分别求出结果即可． 【小问1详解】 解：当时，，当时，有最小值2； 当时，； 当时，，当时，有最小值2． ∴正比例函数的“虫洞距离”为2； 【小问2详解】 解：①∵和， ∴，， ∴ ， 当时，的最小值为， ∴函数的“虫洞距离”为； ②当时，，，此时两个函数的“虫洞距离”不能相等； 当时，，， ∵两个函数的“虫洞距离”相等， ∴， 解得：或． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次函数最值，新定义运算，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $