精品解析：湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2024-2025学年高三下学期三月限时训练数学试卷

高三数学限时测试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义得出，然后得出共轭复数，再由复数除法法则计算． 【详解】由题意，则，， 故选：A． 2. 若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先根据向量的夹角为锐角求出的取值范围，再判断属于哪种关系. 【详解】向量的夹角为锐角，则，且向量不共线， 当向量共线时，， 则， 若，则成立，反之不成立， 故“”是“向量的夹角为锐角”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 上述两个等式相除得，整理可得， 因为，解得，故. 故选：B. 4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线与轴交于点，连接，说明为矩形，得，求得的斜率为，直线方程可求. 【详解】设直线与轴交于点，连接， 因为焦点，所以抛物线的方程为，准线为， 则，因为是等边三角形，的中点为， 则轴，所以准线为，为矩形，则， 故是边长为4的等边三角形， 易知，则. 因为，所以直线的斜率为, 直线的方程为. 故选：B 5. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的平移变换求解即可. 【详解】函数向左平移个单位长度， 得到， 横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到， 向上平移1个单位长度，得到， 纵坐标变为原来的3倍，得到， 则，又， 解得， 则. 故选：A. 6. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当三棱锥的体积最大时，平面平面，以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，根据向量夹角的坐标表示可解. 【详解】记的 中点分别为，因为，所以， 同理，，记， 因为，所以， 所以，， 易知，当平面平面时，三棱锥的体积最大，此时， 以E为原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 所以， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 7. 在中，已知.若，则实数（ ） A. 不存在 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由可得，进而得到，借助三角形内角和与两角和的正切公式可得，设，有，可得该方程无解，故不存在这样的. 【详解】由，即，则， 由，知， 则，则， 又， 故，设，则， 有，即，， 即该方程无解，故不存在这样三角形，即无解. 故选：A. 8. 若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】易知，原式可变形为，结合隐零点的解题思路，求出，由可得，结合函数的单调性解得，即可求出a的取值范围即可. 【详解】由题意知，，由，得. 原式可化为， 设，则， 又函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 故存在使得，即，得，即， 且当时，；当时，， 所以函数上单调递减，在上单调递增， 故， 所以， 即，设， 由函数在在单调递减， 知函数在在单调递减，且，所以， 所以，故，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略： 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件，满足，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对立事件、互斥事件，条件概率的概率公式逐项计算即可得. 【详解】对A：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，故A正确； 对B：∵，∴， 又∵ 解得，，故B正确； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数对任意实数均满足，则（ ） A. B. C. D. 函数在区间上不单调 【答案】ACD 【解析】 【分析】令等价于，则，可推导出，进而可判断A，利用赋值法可判断B,C；先算出满足值，由此可得，即可判断D. 【详解】对于A，令等价于，则， 所以，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，解得：， 令，，则，故B错误； 对于C，由知，，所以，故C正确； 对于D，令，所以，解得：， 令，则， 所以，因为，， 所以函数在区间上不单调，故D正确. 故选：ACD. 11. 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与抛物线有2个公共点 B. 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程是 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线直线的方程，联立抛物线只有一解可判断A，求出直线MN方程由直线系过定点判断B，由选项B可判断选项C，求出，利用导数求出最小值判断D. 【详解】设直线的方程为， 联立，消去得， 则， 对于A：抛物线在点A处的切线为， 当时得，即， 所以直线的方程为，整理得， 联立，消去的，解得， 即直线与抛物线相切，A错误； 对于B：直线的方程为，整理得， 此时直线恒过定点，B正确； 对于C：由选项B可得点在以线段为直径的圆上，点除外， 故点的轨迹方程是，C正确； 对于D：， ， 则，令， 则，设， 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，D正确. 故选：BCD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据上四分位数的定义可得出实数的取值范围. 【详解】因为，且数据、、、、的上四分位数是， 因此，数据由小到大依次为：、、、、，故. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______. 【答案】## 【解析】 【分析】依题意作出棱台的轴截面，利用切线长定理和射影定理求出上下底面边长，代入棱台的体积公式计算即得. 【详解】 如图，作出正四棱台的轴截面,设上底面边长为，则下底面边长为， 则，, 故, 在中，,则由射影定理，得，解得， 于是棱台的上底面面积为，下底面面积为，高为2， 故该正四棱台的体积为：. 故答案为：. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先得出的规律，再根据等差数列的和求解. 【详解】由题意 【点睛】方法点睛：非常见数列的求和的突破在于找到规律，由特殊到一般是找规律的常用方法． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 （1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； （2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； （3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）求出山上实验田的平均产量，再乘以m即可得答案； （2）先计算平均数，再结合方差公式即可求得答案； （3）随机变量可以取，再分别求出概率，则的分布列与数学期望可求. 【小问1详解】 由山上试验田4株古茶树产茶量数据， 得样本平均数， 则山上试验田株古茶树产茶量估算为； 【小问2详解】 山上，山下试验田古茶树产茶量平均数分别为4和， 故方差，， 故； 【小问3详解】 依题意，随机变量可以取， 随机变量的分布列为 9 8 7 6 5 4 随机变量的期望. 16. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． （1）证明：； （2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，即可求证，进而根据线线垂直可证明线面垂直，即可得线线垂直， （2）根据体积公式，结合棱柱与棱锥的体积关系，结合等体积法可得，即可建立空间直角坐标系，求解法向量求解. 【小问1详解】 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 所以． 又因为，平面, 所以平面,平面． 所以． 由于,所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以， 所以． 【小问2详解】 因为，所以， 又，平面,所以平面． 取中点，连接，设． 设多面体的体积为， 则 ． 解得． 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ． 则平面的一个法向量． 所以， 设平面的一个法向量， 则即取． 所以． 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为． （1）求，并求数列的通项公式； （2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1），， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由得出，再由前项和与通项的关系得出数列的通项公式； （2）分类讨论，两种情况，由分组求和法得出，再由的单调性得出证明. 【小问1详解】 由题意得，① 当时，；当时，； 当时，，② ①②得，， 当时，，也适合上式，所以，所以， 两式相减得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以． 【小问2详解】 数列为：，所以奇数项是以4为首项，8为公比的等比数列，偶数项是以8为首项，8为公比的等比数列． 所以当时， 所以， 所以，显然是关于k的减函数，所以； 所以当时， 所以， 所以，显然是关于k的减函数，所以； 综上所述，． 18. 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. （1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两点斜率公式，结合点差法即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据向量的坐标运算得数量积,,进而根据等量关系化简即可求解. 【小问1详解】 当直线经过坐标原点时，，两点关于原点对称. 设，，， 于是，. 因为，，三点都在双曲线， 所以，两式作差，，所以 . 【小问2详解】 已知，由题意可知均有斜率， 可设直线，直线，，，，. ，. 联立直线方程与双曲线的方程：. 整理得，， 当时，. ， 于是， 同理可得， 因为，所以 整理得，，而，所以. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值或定值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的数量积坐标运算. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）当时，试比较的大小关系，并说明理由； （3）设，求证：． 【答案】（1） （2）；理由见解析； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导数，求得切线斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程； （2）构造函数，利用导数确定函数的单调性，求出最值，即可判定结论； （3）构造函数，结合数列知识求和即可证明结论. 【小问1详解】 由得，， 所以在处的切线的斜率，切点， 所以所求切线方程为：，即； 【小问2详解】 结论：；理由如下： 要证，即证，只需证， 令， 则， 当时，，，故， 所以在时单调递减， 所以，即， 所以，故； 要证，即证，只需证， 令， 则，令， 则， 当时，，从而， 故， 所以在时单调递减，所以， 从而在时单调递减， 所以，即，即 所以，故， 又因为，所以. 【小问3详解】 令，则 所以在当时单调递减，所以， 所以，即， 令，则有， 即， 所以， ， ， 所以， 所以 ， 所以， 因为， 所以； 下面先证当时，， 令， ，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 从而，即， 当且仅当时，， 所以当时，， 令，则有， 即， 所以， ， ， 所以， 即， 因为 ， 所以， 因为， 所以， 综上所述，. 【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题： 1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系； 2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系； 3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系； 4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学限时测试 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面内对应的点为是的共轭复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 若向量，则“”是“向量的夹角为锐角”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知抛物线的焦点为，准线为为上一点，垂直于点为等边三角形，过的中点作直线，交轴于点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图像按以下顺序进行变换：①向左平移个单位长度；②横坐标变为原来的，纵坐标不变；③向上平移1个单位长度；④纵坐标变为原来的3倍.可得到的图像，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知菱形，，将沿对角线折起，使以四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知.若，则实数（ ） A. 不存在 B. 2 C. 3 D. 4 8. 若在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知随机事件，满足，，则下列结论正确是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数对任意实数均满足，则（ ） A. B. C. D. 函数区间上不单调 11. 过点的直线与抛物线交于两点.抛物线在点A处的切线与直线交于点，过点N作交于点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与抛物线有2个公共点 B 直线恒过定点 C. 点的轨迹方程是 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据、、、、的上四分位数是，则的取值范围为__________. 13. 已知正四棱台的上底面与下底面的边长之比为，其内切球的半径为1，则该正四棱台的体积为______. 14. 以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示： 编号 位置 ① ② ③ ④ 山上 5 4 4 3 山下 4 2 2 1 （1）根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量； （2）记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）； （3）从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望. 16. 如图，在多面体中，底面是平行四边形，为的中点，． （1）证明：； （2）若多面体的体积为，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 数列的前n项和为，数列满足，且数列的前n项和为． （1）求，并求数列的通项公式； （2）抽去数列中点第1项，第4项，第7项，…，第项，余下的项顺序不变，组成一个新数列，数列的前n项和为，求证：． 18 已知双曲线，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线交于，两点. （1）若直线经过坐标原点，且直线，的斜率，均存在，求； （2）设直线与直线的交点为，且，证明：直线与直线的斜率之和为0. 19. 已知函数． （1）求函数在处切线方程； （2）当时，试比较的大小关系，并说明理由； （3）设，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$