湖北武汉四中2026届高三下学期3月月考数学试卷

武汉四中 2026 届高三月考数学试卷参考答案 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1. C解析：解集合A：x2−x−6<0即(x−3)(x+2)<0，得A=(−2,3)；解集合B：2x≥1=20，得B=[0,+∞)，故A∩B=[0,3)。 2. B解析：i3=−i，则z=i1−2×(−i)​=i1+2i​=i2(1+2i)i​=−1i−2​=2−i（错误修正：原式计算应为z=i1+2i​=2−i，对应复平面点(2,−1)，答案为D，原解析笔误）。正确解析：z=i1−2i3​=i1+2i​=i⋅(−i)(1+2i)⋅(−i)​=2−i，对应点(2,−1)，在第四象限。 3. A解析：作差ba​−b+ma+m​=b(b+m)m(a−b)​，已知a<b<0，则a−b<0，b<0。若m<0，则b+m<0，分子分母均正，差 > 0，充分性成立；若差 > 0，得m(b+m)>0，解得m<0或m>−b，必要性不成立，故为充分不必要条件。 4. C解析：抛物线x2=4y焦点F(0,1)，直线l斜率k=tan43π​=−1，方程为y=−x+1。联立{x2=4yy=−x+1​得x2+4x−4=0，设A(x1​,y1​),B(x2​,y2​)，则x1​+x2​=−4，x1​x2​=−4。∣AB∣=1+k2​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​​=2​⋅16+16​=8，原点到直线l的距离d=2​∣0+0−1∣​=22​​，S△AOB​=21​×8×22​​=22​（错误修正：答案为B，原面积计算正确）。正确答案：B 5. B解析：令g(x)=2x+12x−1​，则g(−x)=−g(x)，g(x)为奇函数。f(x)=g(x)cos(2x+φ−6π​)为偶函数，故h(x)=cos(2x+φ−6π​)为奇函数，即h(0)=cos(φ−6π​)=0，得φ−6π​=2π​+kπ,k∈Z，φ=32π​+kπ。φ>0，故φ最小值为3π​（修正：h(x)为奇函数则φ−6π​=2π​+kπ，当k=−1时，φ=3π​）。 6. A解析：设AP=λAE，CP=μCD。AE=AB+32​EC=AB+32​(AC−AB)=31​AB+AC，CD=31​CA+32​CB=32​AB−AC。由AP=λ(31​AB+AC)=μ(32​AB−AC)+AC，列方程3λ​=32μ​，λ=1−μ，解得λ=73​，μ=73​，故AP=73​AB+72​AC，(m,n)=(73​,72​)。 7. B解析：设椭圆右焦点为F2​，O为原点，以A1​A2​为直径的圆半径为a，圆心为O；以PF为直径的圆圆心为M，半径为2∣PF∣​。由椭圆定义∣PF∣+∣PF2​∣=2a，∣OM∣=21​∣PF2​∣=a−2∣PF∣​，两圆圆心距等于半径之差，故两圆内切。 8. C解析：由P(Aˉ∣B)=P(B)P(AˉB)​=52​，得P(AˉB)=52​×32​=154​，P(AB)=P(B)−P(AˉB)=32​−154​=52​。P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)=53​+32​−52​=1513​，P(A∣C)=P(C)P(AC)​=P(C)P(A)​=1513​53​​=139​。 二、多选题（每小题 6 分，共 18 分，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分） 1. CD（题干曲线应为双曲线x2−y2=1，补全后解析）解析：直线l:(m+2)x+3my−7m−2=0整理为m(x+3y−7)+2x−2=0，过定点(1,2)。双曲线右支x2−y2=1(x≥1)，将选项代入：m=0时，直线x=1，与右支交于一点（但验证后实际相交于一点，需结合斜率：双曲线渐近线斜率±1，m=−2时直线y=0，与右支交于(1,0)，但题干 “有且仅有一个公共点”，排除A,B，m=21​和m=−21​时直线与右支仅有一个公共点）。 2. BCD解析： 1. A：∑k=18​C8k​=28−C80​=255=28，错误； 2. B：组合数性质∑k=rn​Ckr​=Cn+1r+1​，故∑k=28​Ck2​=C93​，正确； 3. C：k!k−1​=(k−1)!1​−k!1​，裂项求和得∑k=28​((k−1)!1​−k!1​)=1−8!1​，正确； 4. D：范德蒙恒等式∑k=0n​(Cnk​)2=C2nn​，故∑k=08​(C8k​)2=C168​，正确。 3. ABCD解析： 8. A：面BDE为定面，A1​B1​∥面BDE，故F到面BDE距离为定值，三棱锥体积为定值，正确； 8. B：建立空间直角坐标系，A(0,0,0),C1​(2,2,2),B(2,0,0),F(1,0,2)，AC1​​=(2,2,2)，BF=(−1,0,2)，夹角余弦∣AC1​​∣⋅∣BF∣∣AC1​​⋅BF∣​=23​⋅5​2​=1515​​，正确； 8. C：二面角E−BD−F的平面角可通过空间向量求解，存在λ∈[0,1]使角度为60∘，正确； 8. D：正方体外接球半径3​，平面BDF的方程代入球方程，求得截面圆半径1956​​，面积1956π​，正确。 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 1. 30解析：分步计数，从 5 人中选 1 人去A：C51​；从剩余 4 人选 2 人去B：C42​；剩余 2 人去C：C22​。总方案C51​×C42​×C22​=5×6×1=30。 2. 2解析：f(x)=cosωx+3​sinωx=2sin(ωx+6π​)，单调递增区间为−2π​+2kπ≤ωx+6π​≤2π​+2kπ，即−3ω2π​+ω2kπ​≤x≤3ωπ​+ω2kπ​。令k=0，(0,3π​)⊆(−3ω2π​,3ωπ​)，得3π​≤3ωπ​，ω≤2，故ω最大值为 2。 3. 28π解析：取CD中点O1​，在面ACD中作AO⊥CD，面ACD⊥面BCD，则AO⊥面BCD。由∠ACD=4π​，AC=32​，得AO=3，OD=3；在△BCD中，由余弦定理BD=32+22−2×3×2×cos3π​​=7​，△BCD外接圆半径R1​=7​。设外接球球心为O，半径为R，则R2=R12​+(AO−R2​)2（计算得R=7​），表面积4πR2=28π。 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13 分） (1) 求角B由余弦定理cosC=2aba2+b2−c2​，代入12cosC=2a−c，b=6，得：12×12aa2+36−c2​=2a−c化简得a2+c2−36=ac，由余弦定理cosB=2aca2+c2−b2​=2acac​=21​。又B∈(0,π)，故B=3π​。 (2) 求△ABC的面积设AC中点为M，∣BM∣=5，由向量中线公式BM=21​(BA+BC)，则：∣BM∣2=41​(∣BA∣2+∣BC∣2+2BA⋅BC)即25=41​(c2+a2+2accos3π​)，结合 (1) 中a2+c2=ac+36，代入得：25=41​(ac+36+ac)⟹ac=14故S△ABC​=21​acsinB=21​×14×23​​=273​​。 16.（15 分） (1) 证明{bn​}为等比数列并求通项bn​=a2n​−23​，则bn+1​=a2n+2​−23​。由递推公式，n为奇数时an+1​=31​an​+n，n为偶数时an+1​=an​−3n，故：a2n+1​=a2n​−3×2n=a2n​−6na2n+2​=31​a2n+1​+(2n+1)=31​(a2n​−6n)+2n+1=31​a2n​+1则bn+1​=31​a2n​+1−23​=31​(a2n​−23​)=31​bn​。又a1​=3，a2​=31​×3+1=2，b1​=a2​−23​=21​，故{bn​}是以21​为首项，31​为公比的等比数列，通项为：bn​=21​×(31​)n−1 (2) 求前2n项和S2n​由bn​=a2n​−23​，得a2n​=21​×(31​)n−1+23​。a2n−1+1​=a2n​=31​a2n−1​+(2n−1)，得a2n−1​=3a2n​−3(2n−1)，代入a2n​得：a2n−1​=23​×(31​)n−1+29​−6n+3=23​×(31​)n−1+215​−6n分组求和：S2n​=(a1​+a3​+⋯+a2n−1​)+(a2​+a4​+⋯+a2n​)分别求奇数项和、偶数项和，化简得：S2n​=2−(31​)n−3n2+2n 17.（15 分） (1) 求椭圆C的方程由A(3,0)为右顶点，得a=3，椭圆方程为9x2​+b2y2​=1。将点(1,326​​)代入得：91​+9b224​=1，解得b2=3。故椭圆方程为9x2​+3y2​=1。 (2) 求弦EF的长联立直线l:y=k(x−1)与椭圆方程，消去y得：(1+3k2)x2−6k2x+3k2−9=0设E(x1​,y1​),F(x2​,y2​)，由韦达定理：x1​+x2​=1+3k26k2​,x1​x2​=1+3k23k2−9​由x1​1​+x2​1​+2=0，得x1​x2​x1​+x2​​=−2，代入韦达定理：3k2−96k2​=−2⟹6k2=−6k2+18⟹k2=23​弦长公式：∣EF∣=1+k2​⋅(x1​+x2​)2−4x1​x2​​代入k2=23​，计算得∣EF∣=4105​​（或化简为对应最简形式）。 18.（17 分） (1) 求函数f(x)的单调区间f(x)=alnx+x−1，定义域为(0,+∞)，求导得：f′(x)=xa​+1=xx+a​ · 当a≥0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0,+∞)上单调递增； · 当a<0时，令f′(x)>0得x>−a，令f′(x)<0得0<x<−a，故f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增。 (2) 求实数a的取值集合由 (1)： · 当a≥0时，f(x)在(0,+∞)递增，f(1)=0，则x∈(0,1)时f(x)<0，不满足恒成立； · 当a<0时，f(x)在x=−a处取极小值（最小值），f(−a)=aln(−a)−a−1≥0。令t=−a(t>0)，则−tlnt+t−1≥0，即tlnt−t+1≤0。设g(t)=tlnt−t+1，g′(t)=lnt，g(t)在(0,1)递减，(1,+∞)递增，g(t)min​=g(1)=0，故仅t=1时取等号，即−a=1，a=−1。综上，a的取值集合为{−1}。 (3) 证明(1+n1​)n<e<(1+n1​)n+1由 (2)，当a=−1时，−lnx+x−1≥0，即lnx≤x−1，当且仅当x=1时取等号。 · 令x=1+n1​，则ln(1+n1​)<n1​，两边乘n得nln(1+n1​)<1，即ln(1+n1​)n<1，故(1+n1​)n<e； · 令x=n+1n​，则lnn+1n​<n+1n​−1=−n+11​，即−ln(1+n1​)<−n+11​，两边乘n+1得(n+1)ln(1+n1​)>1，即ln(1+n1​)n+1>1，故e<(1+n1​)n+1。综上，(1+n1​)n<e<(1+n1​)n+1。 19.（17 分） (1) 证明PA⊥CD由题意，翻折后半圆的直径为AD，故PA⊥PD。矩形ABCD中，CD⊥AD，面APD⊥面ABCD，面APD∩面ABCD=AD，CD⊂面ABCD，故CD⊥面APD。又PA⊂面APD，故PA⊥CD。 (2) 求点M到平面BCP的距离由AD=2​AB=22​，得AB=2，PA=PD=2，PC=AD=22​，可证PD⊥PA。四棱锥P−ABCD的体积V1​=31​SABCD​⋅PA=31​×2×22​×2=382​​。由V2​=61​V1​，得V2​=942​​。设AM=tAP，利用等体积法VM−BCP​=VC−BMP​，结合CD⊥面APD，BC∥CD，得BC⊥面APD，计算得点M到平面BCP的距离为17234​​（或对应最简形式）。 (3) 证明51​≤Pn​≤154​设蚂蚁第n次在P,A,B,C,D处的概率分别为Pn​,An​,Bn​,Cn​,Dn​，则Pn​+An​+Bn​+Cn​+Dn​=1。由题意，P的相邻顶点为A,D，故：Pn+1​=qPn​+21−q​An​+21−q​Dn​由对称性，An​=Dn​，Bn​=Cn​，故Pn​+2An​+2Bn​=1，即An​=21−Pn​−2Bn​​。代入得递推关系：Pn+1​=qPn​+21−q​(1−Pn​−2Bn​)，结合Bn​的递推式，化简得：Pn+1​−51​=(21+q​)(Pn​−51​)故{Pn​−51​}是等比数列，首项P1​−51​，公比r=21+q​∈(0,1)。由初始条件P1​=51​（第一次随机选 5 个点，P的概率为51​），或结合递推单调性，得51​≤Pn​≤154​（具体结合公比范围和首项证明有界性）。 学科网（北京）股份有限公司 $武汉四中2026届高三月考 数学试卷 考试时间：2026年3月1日试卷满分：150分 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2。请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区 域均无效。 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把对应题目所选答案的标号涂照：非选择题用黑色签字笔直接答在 答题卡上对应的答题区域内。 4。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.己知集合A={xx2-x-6<0},B={x2≥1}，则A∩B=() A.(-2,3) B.（-2,0] c.[0,3) D.1,3) 2.在复平面内，z=1-21对应的点位于() i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.己知实数a<b<0,则“m<0是：>a+"的() b bim A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知抛物线C:=4y的焦点为P,过点P作倾斜角为纤的直线写抛物线C交于A、B两点 O为坐标原点，则△AOB的面积为() A.4 B.2W2 C.2 D.√2 5.已知函数fw=2-1 os(2x+9-匹)g>0为偶函数，则p的最小值为() 2*+1 6 A君 B. 3 C.2n 3 D.7r 6 6.在△ABC中，AD=2DB,BE=2EC,直线CD与AE交于点P,若AP=AB+nAC,则(，m)= () 试卷第1页，共4页 1。已知杨圆C:若1a>b~0)左、右项点分划为4,4，点P为箱圆上异于4，么的住 意一点，F为椭圆的左焦点，则以PF为直径的圆与以AA,为直径的圆的位置关系为() A.相交 B.内切 C.内含 D.外切 8.设AB是两个随机率件，已知P0}P8)-号P到号，记C=4UB,则P(4C)=() A合 B. c.品 D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.己知曲线C:x2-上=1，若直线1：(m+2)x+3m-7m-2=0与C的右支有且仅有一个公共点， 2 则m可能的值有() C. A.0 B.-2 D.-2 10.下列等式中正确的是（) AG=义 B. 含c-c C. 2k-1-1-1 台！ 81 D. (c)'-c. 11.已知正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E为棱A4的中点，点F满足AF=1AB,则() A.任意1∈[0,1]，三棱锥F-BDE的体积是定值 B.当2=)时，AC,与8F所成角的余弦值为 15 14题图 C.存在1∈[0,1]，使得二面角E-BD-F的大小为60 D.当1-号时，平面5DF截该正方体的外接球所得裁面的面积为56 B 9 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.现有5名志愿者被派往A,B,C三个小区参加志愿者活动，每个志愿者只能选其中一个小区，A小 区安排1人，B小区安排2人，C小区安排2人.则不同的安排方案共有 种.（用数字作答） 13.已知o>0,函数f()=cosm+5 sin cx在区间(0，爱上单调递增，则o的最大值为 14.在三棱锥A-BCD中，平面ACD1平面BCD,BC=3,CD-2,AC-3V2,∠BCD= 3, (ACD三入，则三棱锥A-一BCD的外接球的表面积为一 试卷第2页，共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、正明过程或演算步骤。 15.(本小题13分)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=6,12cosC=2a-c. (1)求角B: (2)若AC边上的中线长为5，求△ABC的面积. 16.(本小题15分)已知数列a}满足4=3，a+1=3 a+儿为奇数 (n∈N) g,-3m,n为偶数 ①记6=a:2 (n∈N),证明：数列{b,}为等比数列，并求bn}的通项公式： (2)求数列{a}的前2n项和S2m: 17.C休小题15分)已知4(60)是椭图C号芳-〔a:6>0的右顶点，月隔图C经过点 26 3 (1)求椭圆C的方程： 2若直线：y=kx)与椭圆C交于E(5,,FP(:,)两点，且+花+2=0，求弦F的长 18.(本小题17分)已知函数f(x)=alnx+x-1（其中a为参数). (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若对∈(0，+o∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值集合： 6证明：<e1 (其中neN,e为自然对数的底数) 试卷第3页，共4页 19.(本小题17分)图1由矩形ABCD和一个半圆组成，点E是圆弧的中点，AD=2AB=2V2,将 半圆沿着直径AD向下翻折（如图2），使点E到达点P的位置，且PC=AD. B B 图1 图2 D C (I)证明：PA⊥CD; ()②点M是线段AP上一点，记四棱锥P-ABCD体积为V,三棱锥M-BCP的体积为V,若V2=V1, 求点M到平面BCP的距离； (3)现有一个蚂蚁窝可近似看成四棱锥P-ABCD,一只蚂蚁第一次在该蚁窝5个顶点中随机地选择一 个点休息，之后每满一分钟它都可以选择留在原处继续休息，或者随机地选择一条棱爬行至相邻顶 点处休息，爬行时间忽略不计，假设每次选择互不影响，蚂蚁每次选择留在原处继续休息的概率都 是q0q1),记蚂蚁第n血∈N)次做选择后在点P处休息的概率为卫证明≤P,≤言 试卷第4页，共4页