专题11 线段最值模型七种常考模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题11 线段最值模型七种常考模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 10 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 14 模型4.最值模型之将军遛马模型 18 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 21 24 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    【答案】10 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了利用轴对称的性质求最短路径问题，正方形的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是找出最小时，点的位置． 连接，交于，连接，当点在处时，最小，最小值是的长，进一步得出结果． 【详解】解：连接，交于，连接，如图，   四边形是正方形， ，，点B与点D关于对称， ∴， 当点在处时，最小，最小值的长， ， ， ， 的最小值为10， 故答案为：10． 例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，考查待定系数法确定二次函数解析式、将军饮马最值问题、面积问题，解题关键是熟练掌握待定系数法求抛物线解析式，学会利用对称解决最短问题，用方程的思想去思考问题． （1）把、两点坐标代入二次函数，解方程组即可解决； （2）利用轴对称找到点，用勾股定理即可解决； （3）根据三角形面积公式，列出方程即可解决． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过，， ， 解得：， 二次函数解析式为； （2）解：抛物线的对称轴为直线，，， 、关于抛物线的对称轴为直线对称， ， 当、、共线时，最小， 连接与对称轴的交点就是点， 此时， 的最小值为； （3）解：设点坐标， 令，， 解得：或1， 点坐标， ， ， ， ， 或， 或或或， 点的坐标为或或或． 例3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    【答案】（1）10；（2）；（3）4 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图2（详解），由正方形的性质可知点和点关于对称，连接,由题目中的几何模型可知是的最小值，由题可知,,根据勾股定理可求出即可； （2）如图3（详解），先作出点关于对称点,连接,,由几何模型可知是的最小值，因为点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，所以可得，根据勾股定理求出即可； （3）由题意和对称性可知,要求最小值，就是求出的最小值即可，根据垂线段最短过点作,是两线段之和最小值；因为，，根据解直接三角形即可得到答案. 【详解】（1）连接 在正方形中， ,， 又 ∴, 在中 ， 故的最小值为10.    （2）作出点关于对称点，连接,, ∵点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点， ∴， 在中 ， 即的最小值．      （3）连接,过点作. ∵的平分线交BC于点D， ∴， 即要求最小值，就是求出的最小值，根据垂直段最短，是的最小值，即也是的最小值. 在中 ，， ∴， 即的最小值4.    【点睛】本题主要考查了将军饮马模型，勾股定理，解直接三角形，垂直段最短等知识点，解决此题的关键是合理的理由题目中的几何模型（将军饮马模型）. 模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 【答案】5 【知识点】等边三角形的性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小，分别作、，由对称及等边易知和均为等边三角形，由此可求解出的长度，进而求解四边形的周长． 【详解】解：作D点关于的对称点、E点关于的对称点，连接分别与和交于和，则当M点运动至点、N点运动至点时，的最小值为，此时四边形的周长最小， ∵三角形是等边三角形， ∴由对称性得：，， ∵D、E是边上的三等分点， ∴ ∴， ∴和时等边三角形， 分别作、， ∵、， ∴， ∴四边形时矩形 ∴ ∴， 故答案为：5. 【点睛】本题考查轴对称最小距离问题，解题的关键是作出最短距离点． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的判定与性质，勾股定理，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得点的坐标和再证明四边形是平行四边形，得出，结合两点之间线段最短，故四边形的周长是，运用两点距离公式列式计算，得出，代入计算即可作答． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点， ∴当时，∴点的坐标是，当时，则，∴， 设抛物线与轴的另外一个交点为M，∴∴对称轴；则 过点M作轴，且， ∵轴，线段CD在对称轴上，∴ ∵∴四边形是平行四边形∴ 连接与对称轴相交于一点，即为点D的位置，再连接 ∵对称轴，线段CD在对称轴上， ∴∴ 此时四边形周长有最小值 即 ∵∴则则 ∴四边形周长的最小值为故答案为： 模型3.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、利用菱形的性质求线段长、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了建桥选址问题，利用平移，将两条线段和转化为折线段的长是解题的关键． 连接交于，以，为邻边作平行四边形，则，，所以，即的最小值． 【详解】解：如图所示，连接交于，以，为邻边作平行四边形， ，， ， ，， ， ∵在菱形中，， ∴是等边三角形， ∴， ， ∵在菱形中，， ∴在中，， ∴， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ． 即的最小值为． 故选：D． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质，轴对称最短路线问题．在轴上取点，使，则四边形为平行四边形，作点关于直线的对称点，则，即、、三点共线时，最小值为的长． 【详解】解：如图，在轴上取点，使，则四边形为平行四边形， ∵点，，，，， 作点关于直线的对称点，，， ，即、、三点共线时，最小值为的长， 在中，由勾股定理得，∴的最小值为，故答案为：． 模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    【答案】见解析． 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称-最短问题，解题的关键是学会利用轴对称以及平行四边形的性质解决最短问题． 证明四边形为平行四边形得，可得，进而可说明方案可行． 【详解】解：，， ． ， ， 四边形为平行四边形， ． 根据两点之间线段最短可知， ． 与河岸垂直，为定值， 当时，路径最短． 例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 【答案】(1)y=-x2+2x+3，顶点M坐标为（1，4）；(2)点N坐标为（4，-5）； (3)当m=时，PM+PQ+QN有最小值，最小值为3+3． 【分析】（1）将点A、B、C坐标代入解析式，解关于a、b、c的方程组可得函数解析式，配方成顶点式即可得点M坐标；（2）设N（t，-t2+2t+3）（t＞0），根据点N、C坐标用含t的代数式表示出直线CN解析式，求得CN与x轴的交点D坐标，即可表示BD的长，根据S△NBC=S△ABC，即S△CDB+S△BDN=AB•OC建立关于t的方程，解之可得；（3）将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ，此时M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值，由点M′、N坐标求得直线M′N的解析式，即可求得点Q的坐标，据此知m的值，过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，可得M′E=6、NE=3、M′N=3，即M′Q+QN=3，据此知m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）， ∴，解得：，∴y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，则抛物线的顶点M坐标为（1，4）； （2）解：∵N是抛物线上第四象限的点，∴设N（t，-t2+2t+3）（t＞3）， 又点C（0，3），设直线NC的解析式为y=k1x+b1， 则，解得：，∴直线NC的解析式为y=（-t+2）x+3， 设直线CN与x轴交于点D，当y=0时，x=，∴D（，0），BD=3-， 　　 ∵S△NBC=S△ABC，∴S△CDB+S△BDN=AB•OC，即BD•|yC-yN|= [3-（-1）]×3， 即×（3-）[3-（-t2+2t+3）]=6，整理，得：t2-3t-4=0，解得：t1=4，t2=-1（舍去）， 当t=4时，-t2+2t+3=-5，∴点N坐标为（4，-5）； （3）解：将顶点M（1，4）向下平移3个单位得到点M′（1，1），连接M′N交x轴于点Q，连接PQ， 则MM′=3，∵P（m，3）、Q（m，0），∴PQ⊥x轴，且PQ=OC=3， ∴PQ∥MM′，且PQ=MM′，∴四边形MM′QP是平行四边形，∴PM=QM′， 由作图知当M′、Q、N三点共线时，PM+PQ+QN=M′Q+PQ+QN取最小值， 设直线M′N的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）， 将点M′（1，1）、N（4，-5）代入，得：，解得：， ∴直线M′N的解析式为y=-2x+3，当y=0时，x=，∴Q（，0），即m=， 此时过点N作NE∥x轴交MM′延长线于点E，在Rt△M′EN中，∵M′E=1-（-5）=6，NE=4-1=3， ∴M′N=，  ∴M′Q+QN=3，∴当m=时，PM+PQ+QN的最小值为3+3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、勾股定理及根据两点间线段最短得到点P、Q的位置． 模型5.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值． 【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图， ，，，， ∴，的最小值为的长， ∵， ，在中，，， 的最小值为．故选：C． 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作，连接，由菱形的性质可得，则由勾股定理可得，解直角三角形得到，则，进而得到当三点共线，且时，最小，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作，连接， ∵在菱形中，对角线相交于点，，， ∴，∴，∴， ∴在中，，∴， ∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长， ∴此时有，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 模型6.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，矩形中，，，，，， ，，又，，，， ，当、、共线时，取最小值，最小值为， ，故选:B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值． 例3．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 【答案】（1）见解析；（2）10；（3） 【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ； （2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值． 【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴． 又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ； （2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ． ∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)． ∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小． ∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10． （3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1． 由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ， ∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大． ∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2． 【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决． 模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 【答案】// 【分析】如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H．利用全等三角形的性质证明，推出，推出点Q在射线上运动，求出，可得结论． 【详解】解：如图，以为边向右作等边，作射线交于点E，过点D作于H． ∵四边形是矩形，∴，∵都是等边三角形， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴， ∵，，∴点Q在射线上运动， ∵，∴，∵，∴．据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，的值最小，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证明点Q的在射线上运动． 例2．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    【答案】（1）；（2）判断：，理由见解析；（3） 【分析】（1）由正方形的性质得，，，，则有，即可证明，有成立；（2）由矩形的性质得，，结合题意可证得，则有，故；（3）过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L，则，结合矩形的性质证得，有，即可证得，得到，得，则点G的运动轨迹是直线，作点D关于直线的对称点，则，得到的值最小为，将，利用勾股定理即可求得． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形，∴，， ∵四边形是正方形，∴，，∴， 则，那么，，故答案为：； （2）判断：，理由如下：∵四边形是矩形，四边形是矩形， ∴，，∴， ∵，，∴ ∴，∴，∴；故答案为：； （3）如图，过点E作，垂足为点K，过点G作交的延长线于点L， 则，∵四边形是矩形，∴，，，    ∵，∴，∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴点G的运动轨迹是直线， 作点D关于直线的对称点，则， ∴当点B，G，三点同一直线时，的值最小，即为，由（2）得 ，∴， ∴，∴的最小值为的最小值，即， ∵，，∴， ∴∴，∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质以及勾股定理，解题的关键是熟悉相似三角形的性质和线段之间的转化及最短距离的求解． 模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解直角三角形，根据阿氏圆的定义，分别固定，分别确定A点的运动轨迹为阿氏圆O，C点的运动轨迹为阿氏圆，，由此可知，当最最小时，的值最大，进行求解即可. 【详解】解：固定，则，∴A点的运动轨迹为阿氏圆O， 设，则，，则， ∵，，∴C点的运动轨迹为阿氏圆，∴， ∴，∴当最小时，的值最大， ，∴，故选：D． 例2．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质和最大值问题．连接，证明，得到，点在以为圆心，2为半径的上，当在对角线延长线上时，最大，再利用勾股定理求对角线的长，即可得出长度的最大值． 【详解】解：连接，∵正方形，∴，，       ∵将绕点逆时针旋转得到，∴，，∴， ∴，∴，∴点在以为圆心，2为半径的上， 如图，当在对角线延长线上时，最大， 在中，，∴， 即长度的最大值为，故答案为：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【知识点】利用矩形的性质证明、线段垂直平分线的性质、折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， ，G，N三点共线， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查胡不归问题，矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂径定理的推论、圆周角定理、已知圆内接四边形求角度、求弧长 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 二、填空题 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中有三个点，点，，，以为直径作圆M，若点P是抛物线上一个动点，点Q为圆M上一个动点，则的最小值等于 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、用勾股定理解三角形、点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了圆的性质，二次函数的性质，勾股定理．作点关于原点的对称点，作轴，过点作于点，此时，，连接交圆M于点Q，连接交圆M于点Q，此时的最小值等于的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，∵，， ∴，， 作点关于原点的对称点，则，作轴，过点作于点， 此时，，连接交圆M于点Q， 当点共线时，，即的最小值等于的长， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】圆的基本概念辨析、根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题考查了轴对称求最短线段，矩形和正方形的性质，圆的定义，勾股定理等知识，利用对称的性质作线段的等量转移是解题关键．作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，、与交于点、，则，，，当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长，过点作于点，求出，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查图形的旋转、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质，能够确定点的轨迹是解题的关键．根据旋转的性质，确定在线段上运动，当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形为矩形，，， ∴，， 如下图，当点与点重合时，在上，且，此时点与点重合，    ∵， ∴， 当点与点重合时，运动到处， ∴点在线段上运动， 当点在上时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点作，当与点重合时，取最小值， 此时， ∴， 在中，，即 ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】过点作于，由矩形的性质可得，，，，即得，再根据补角性质可得，即可得，得到，，进而可证，得到，即可得，得到四边形的周长，可知当时，取最小值，此时四边形的周长，利用求出即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，则， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长， 当时，取最小值，此时四边形的周长，如图，此时点与点重合， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴四边形周长的最小值， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，勾股定理，垂线段最短，正确作出辅助线是解题的关键． 二、解答题 7．（2024九年级下·云南·专题练习）如图，在矩形中，，E，F分别为边的中点，点M，N分别为上的动点，求四边形周长的最小值． 【答案】20 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、线段问题(轴对称综合题) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，轴对称最短路径问题，勾股定理，作点E关于的对称点，作点F关于的对称点，连接，交于，交于，连接，则，可得此时四边形的周长的最小，最小值值为的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，作点E关于的对称点，作点F关于的对称点，连接，交于，交于，连接，则， ∴， ∴此时四边形的周长的最小，最小值值为的长． ∵，E，F分别为边的中点， ∴， ∴在中，， 在中， ， ∴四边形的周长的最小值为， 故答案为：20. 8．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．    【答案】（1）上，；（2），；（3）图象见解析，中点的轨迹为抛物线；（4）． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）由表中数据分析即可得到开口方向，及对称轴； （2）代入，解方程组，即可求得表达式；代入即可得到的值； （3）根据要求画出函数图象，并观察猜想即可； （4）根据题目要求，画出图象，观察得结论即可． 【详解】（1）由表可知：；，x=2,y=-3可知抛物线开后方向向上； 由表可知：；，可知抛物线的对称轴为： 故答案为：上， （2）由表可知：代入点得 ，解得 ∴抛物线的表达式为： 当时， 当时， （3）作图如下：    OP中点连接后的图象如图所示：为抛物线    （4）如图所示：可得    【点睛】本题考查了二次函数的探究题，能根据表格求出抛物线的解析式，是解题的关键． 9．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点． (1)求两个函数的解析式； (2)在轴上求点，使得的周长最小，并求出周长的最小值； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、根据交点确定不等式的解集、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）将点代入直线，可求得的值；将点、代入抛物线，可解得的值，即可获得答案； （2）联立直线解析式和抛物线解析式，求解即可确定，取点关于轴的对称点，连接交轴于点，则，，此时的周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，并确定点坐标以及、的值，即可确定答案； （3）结合点坐标，由抛物线图像在直线上方部分，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线， 可得，解得， ∴直线解析式为； 将点、代入抛物线， 可得，解得， ∴抛物线解析式为； （2）联立直线解析式和抛物线解析式， 可得，解得或， ∴， 如下图，取点关于轴的对称点，连接交轴于点， 则，，此时的周长最小， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴，， ∴此时的周长； （3）∵，， ∴不等式的解集为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数和二次函数解析式、轴对称的性质、勾股定理、一次函数与二次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 10．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（1）10；（2）8；（3）． 【知识点】垂线段最短、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题是三角形综合题，涉及了解特殊的直角三角形、对角互补模型、最值胡不归模型、角平分线性质及判定、全等三角形的判定，解题关键是利用三角形全等转化线段和角的关系，由30度角、45度角的解直角三角形，求边长，构造胡不归模型利用垂线段最短求出最值． （1）易证，从而可得，，进而由含30度直角三角形性质可得； （2）如图2，取的中点O，连接、， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半可证明是等腰直角三角形，，即可求出． （3）由已知可以求得证明，，再构造含30度的直角三角形求出，再利用胡不归模型构造的折线段，根据垂线段最短，得出的最小值即可求解． 【详解】解：（1）∵，，； ∴； ∴， ∴， ∴． （2）如图②，取的中点O，连接、， ∵， ∴，， ∴，， ∴，； ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， （3）如图③，过点A作， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 过点A作交于点Q， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 如图④，作，过点P作，垂足为H，过点D作，垂足为N，交于M， ∴，， ∴，， ∵，当点P在点M位置时，点H与N重合，取最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴最小值为． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)①点在上时，的值最小；②点在上时，的值最小，理由见解析 (3) 【知识点】根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）根据是等边三角形，得，根据， ，得； （2）①连接交于点O，当M点落在O点时，A、M、C三点共线，的值最小；②连接，根据，得，根据，，得是等边三角形．得．当M点位于上时，， 的值最小． （3）过E点作交的延长线于F，则，设正方形的边长为x，则．，根据，解得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，正方形中，， ∴， ∵， ∴； （2）解：①连接交于点O，当M点落在O点时， A、M、C三点共线，的值最小； ②如图，连接， 当M点位于上时，的值最小． 理由如下： 连接，由（1）知，， ∴，， ∵，， ∴是等边三角形． ∴． ∴，最短， ∴当M点位于上时，的值最小， 即等于的长． （3）解：过E点作交的延长线于F， 则． 设正方形的边长为x， 则，， 在中，∵，且， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查正方形和等边三角形．熟练掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含的直角三角形性质，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 线段最值模型七种常考模型 目录 1 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 1 模型2.最值模型之将军饮马模型双线段差的最大值 10 模型3.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 14 模型4.最值模型之将军遛马模型 18 模型5.最值模型之将军造桥（过桥）模型 21 24 模型1.最值模型之将军饮马模型双线段和的最小值 条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧： 图（1） 图（2） 模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。 模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。 例1．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在正方形中、，点E在边上，且，点P是对角线上的动点，则的最小值为 ．    例2．（2023·山东青岛·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴上有一动点，求出的最小值； (3)若抛物线上有一动点，使的面积为6，求点的坐标． 例3．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）几何模型： 条件：如图1，A、B是直线l同侧的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小， 方法：作点B关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小． 直接应用： （1）如图2，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且，N是AC上一动点，则的最小值为 ．    变式练习： （2）如图3，点A是半圆上（半径为1）的三等分点，B是弧AN的中点，P是直径MN上一动点，求的最小值．    深化拓展： （3）如图4，在锐角△ABC中，，，的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，求的最小值．    模型2.最值模型之将军饮马多线段和的最值模型 模型（1）：两定点+两动点 条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。 两个点都在直线外侧（图1-1）；内外侧各一点（图1-2）；两个点都在内侧（图1-3） 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（2）：一定点+两动点 条件：如图2，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。 图1-1 图1-1 图1-1 图2 模型（1-1）（两点都在直线外侧型） 如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。 模型（1-2）（直线内外侧各一点型） 如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。 模型（1-3）（两点都在直线内侧型） 如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’, 根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’， 根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。 模型（2）：如图（2），作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B, 根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’， 再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。 例1．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形中，，D、E是边上的三等分点，点M、N分别在边，上运动，则四边形周长的最小值是 ． 例2．（2024·吉林长春·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴的一个交点为点，点在抛物线对称轴左侧，线段CD在对称轴上，，则四边形周长的最小值为 ． 模型3.最值模型之将军遛马模型 将军遛马模型：已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧，且PQ间长度恒定，在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。 点A、B在直线m异侧（图1-1）；点A、B在直线m同侧 （图1-2）； 图1-1 图1-2 将军遛马模型（异侧型）：如图1-1，过A点作AC∥m,且AC=PQ，连接BC，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AC∥m，AC=PQ，得到四边形APQC为平行四边形，故AP=QC。∴PA+QB=QC+QB， 再利用“两点之间线段最短”，可得PA+QB的最小值为CB，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+CB. 图1-1 图1-2 将军遛马模型（同侧型）：如图1-2，过A点作AE∥m,且AE=PQ，作B关于m的对称点B’，连接B’E，交直线m于Q，Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。 ∵PQ为定值，∴求PA+PQ+QB的最小值，即求PA+QB的最小值+PQ。 ∵AE∥m，AE=PQ，得到四边形APQE为平行四边形，故AP=QE。∴PA+QB=QE+QB， 根据对称，可得QB’=QB，即QE+QB=QE+QB’， 再利用“两点之间线段最短”，可得QE+QB’的最小值为EB’，故PA+PQ+QB的最小值=PQ+EB’。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是菱形的对角线，，点E，F是AC上的动点，且，若，则的最小值为 ． 例2．（2024·四川广安·二模）如图，是直线上长度固定为1的一条动线段．已知点，，则的最小值为 ． 模型4.最值模型之将军造桥（过桥）模型 将军造桥（过桥）模型:已知，如图2，将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？（即：AM+MN+NB的值最小）。 图2-1 图2-2 将军造桥（过桥）模型：如图2-2，过A点作AA’∥MN，且AA’=MN，连接A’B， ∵AA’∥MN，且AA’=MN ∴四边形APQC为平行四边形，故AM=A’N， ∵MN为定值，∴求AM+MN+NB的最小值，即求AM+NB的最小值+MN。 再利用“两点之间线段最短”，可得AM+NB的最小值为A’B，故AM+MN+NB的最小值=A’B+MN。 例1．（23-24八年级下·福建漳州·期中）河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短．确定桥的位置的方案如下：作从A到河岸的垂线，分别交河岸，于F，G．在上取，连接，交于D．在D处作到对岸的垂线，那么就是造桥的位置，请你对方案可行性给出证明．    例2．（2023.山东中考二模）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点．(1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标；(2)连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；(3)在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN最小，并求出PM+PQ+QN的最小值． 模型5.最值模型之胡不归模型 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？” 看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题. 一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V1<V2，A、B为定点，点C在直线MN上，确定点C的位置使的值最小．（注意与阿氏圆模型的区分）。 1），记，即求BC+kAC的最小值. 2）构造射线AD使得sin∠DAN=k，，CH=kAC,将问题转化为求BC+CH最小值. 3）过B点作BH⊥AD交MN于点C，交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小． 【解题关键】在求形如“PA+kPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+kPB”型问题转化为“PA+PC”型．（若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。 【最值原理】垂线段最短。 例1．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 例2．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ． 模型6.最值模型之阿氏圆模型 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 例1．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值． 模型7.最值模型之瓜豆直线轨迹原理模型 瓜豆原理：一个主动点，一个从动点（根据某种约束条件，跟着主动点动），当主动点运动时，从动点的轨迹相同。 只要满足： 则两动点的运动轨迹是相似的，运动轨迹长度的比和它们到定点的距离比相同。 1、两“动”，一“定” 2、两动点与定点的连线夹角是定角 3、两动点到定点的距离比值是定值 动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型，主动点叫瓜（豆），从动点叫瓜（豆），瓜在直线上运动，豆也在直线上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。 模型1）如图，P是直线BC上一动点，A是直线BC外一定点，连接AP，取AP中点Q，当点P在直线上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中， 因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线． 模型2）如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ=为定值，当点P在直线BC上运动时，则Q点轨迹也是一条直线。 证明：在BC上任取一点P1，作三角形△AP1Q1，且满足∠P1AQ1=，AQ1=AP1，连结Q1Q交BC于点N， ∵AP=AQ，AQ1=AP1，∠P1AQ1=∠PAQ=，，∴∠APP1=∠AQQ1， ∵∠AMP=∠NMQ，∴∠MNQ=∠PAQ=，即Q点所在直线与BC的夹角为定值，故Q点轨迹是一条直线． 例1．（2024·四川达州·一模）如图，在矩形中，，，点P在线段上运动（含B，C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为 . 例2．（2024·山东济南·一模）【问题情境】：（1）如图1，四边形是正方形，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接，则与的数量关系是______． 【类比探究】：（2）如图2，四边形是矩形，，点是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接．判断线段与有怎样的数量关系：______，并说明理由： 【拓展提升】：（3）如图3，在（2）的条件下，连接，求的最小值．    模型8.最值模型之瓜豆圆弧轨迹原理模型 “主从联动”模型也叫“瓜豆”模型，出自成语“种瓜得瓜，种豆得豆”。这类动点问题中，一个动点随另一个动点的运动而运动，我们把它们分别叫作从动点和主动点，从动点和主动点的轨迹是一致的，即所谓“种”线得线，“种”圆得圆（而当主动点轨迹是其他图形时，从动点轨迹必然也是）。解决这一类问题通常用到旋转、全等和相似。 模型1、运动轨迹为圆弧 模型1-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？ 分析：如图，连接AO，取AO中点M，任意时刻，均有△AMQ ∽△AOP，QM：PO=AQ：AP=1：2。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO=AM；任意时刻均有△APO≌△AQM，且MQ=PO。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=kAQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？ 分析：如图，连结AO，作AM⊥AO，AO:AM=k:1；任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为k。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 模型1-4.为了便于区分动点P、Q，可称P为“主动点”，Q为“从动点”。 此类问题的两个必要条件：①主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；②主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP：AQ是定值）。 分析：如图，连结AO，作∠OAM=∠PAQ，AO:AM=AP：AQ；任意时刻均有△APO∽△AQM。 则动点Q是以M为圆心，MQ为半径的圆。 特别注意：很多题目中主动点的运动轨迹并未直接给出，这就需要我们掌握一些常见隐圆的轨迹求法。 （1）定义型：若动点到平面内某定点的距离始终为定值，则其轨迹是圆或圆弧。（常见于动态翻折中） 如图，若P为动点，但AB=AC=AP，则B、C、P三点共圆，则动点P是以A圆心，AB半径的圆或圆弧。 （2） 定边对定角（或直角）模型 1）一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。 2）一条定边所对的角始终为定角，则定角顶点轨迹是圆弧． 如图，若P为动点，AB为定值，∠APB为定值，则动点P的轨迹为圆弧。 例1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，中，，，点D是的中点，P是以A为圆心，以为半径的圆上的动点，连接，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 例2．（2024·四川泸州·二模）如图，正方形的边长为5，以为圆心，2为半径作，点为上的动点，连接，并将绕点逆时针旋转得到，连接，在点运动的过程中，长度的最大值是 ．    一、单选题 1．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（   ） A． B．5 C． D．7 2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）在平面直角坐标系中有三个点，点，，，以为直径作圆M，若点P是抛物线上一个动点，点Q为圆M上一个动点，则的最小值等于 4．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，在矩形中，，，点是线段上一动点，将线段绕点顺时针转得到线段，连接，则的最小值为 ．    6．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，．点在对角线上，点、分别在边、上，且，，则四边形周长的最小值为 ． 二、解答题 7．（2024九年级下·云南·专题练习）如图，在矩形中，，E，F分别为边的中点，点M，N分别为上的动点，求四边形周长的最小值． 8．（2020·江西·中考真题）已知抛物线（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表： … -2 -1 0 1 2 … … 0 -3 -3 … （1）根据以上信息，可知抛物线开口向 ，对称轴为 ； （2）求抛物线的表达式及的值； （3）请在图1中画出所求的抛物线，设点为抛物线上的动点，的中点为，描出相应的点，再把相应的点用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？ （4）设直线（）与抛物线及（3）中的点所在曲线都有两个交点，交点从左到右依次为，，，，请根据图象直接写出线段，之间的数量关系 ．    9．（24-25九年级上·四川德阳·期中）如图，直线和抛物线都经过点、点，且，点是抛物线与轴的交点． (1)求两个函数的解析式； (2)在轴上求点，使得的周长最小，并求出周长的最小值； (3)直接写出不等式的解集． 10．（2024·四川成都·模拟预测）探究式学习是新课程倡导的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究． 【尝试初探】 （1）如图①，在四边形中，若，，，求的长； 【深入探究】 （2）如图②，在四边形中，若，，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图③，在四边形中，若，，，延长相交于点，，是线段上一动点，连接，求的最小值． 11．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图，是正方形外一点，连接，，使是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，，，连接、、． (1)求证：； (2)①当点在何处时，的值最小； ②当点在何处时，的值最小，并说明理由； (3)当的最小值为时，求正方形的边长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$