专题10 解直角三角形模型之实际应用模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（湖北专用）

专题10 解直角三角形模型之实际应用模型模型 目录 1 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 1 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 4 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 10 15 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A为80米，点A处的俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为 （结果保留根号）．    【答案】米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用一仰角俯角问题，过P作于H，过C作于Q，而，则四边形是矩形，先解求出得到的长度，再解得到的长，即可解决问题． 【详解】解：如图所示：    过P作于H，过C作于Q，而， 则四边形是矩形， ，， 由题意可得：米，，，米， 米，米， 米， 米， 米， 大楼的高度为米． 故答案为：米． 例2．（2024·湖北·模拟预测）学校安排一项综合实践活动，要求测量两栋楼之间的距离．已知对面的楼高为，小明从点A观测对面楼顶部的仰角为，观测楼底部的俯角为，则这两栋楼之间的距离为 ．（参考数据：） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作垂线构造直角三角形，在两个直角三角形中，由锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】如图，过点作于，则， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 答：这栋楼的高度大约为． 例3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 【答案】 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】根据矩形的判定和性质，坡比的意义，解直角三角形的知识解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，坡比的计算，解直角三角形，熟练掌握坡比的计算，解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：由题意得：四边形为矩形， ∴， 在中，，， ∴． ∵斜坡的坡度为， ∴， 则， 答：坝底的长为． 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 ．（结果精确到米，参考数据： ， ， ，） 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，解直角三角形的应用是解题的关键． 由题意知，，如图，作于，则四边形是矩形，，则，，，，根据，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 如图，作于， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．（2024·湖北鄂州·模拟预测）李明同学用自己学到的知识测量某古塔的高度，他利用测角仪在点C处测得塔顶A的仰角，在点E处测得此时塔顶A的仰角（B，F，D三点在同一条直线上），测角仪的高为1.5米，的水平距离为30米，求古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：，，，） 【答案】米 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，设米，由题知，米，利用解直角三角形得到，，根据的水平距离为30米，建立等式求解，得到，再根据计算求解，即可解题． 【详解】解：设米， 由题易知，四边形为矩形， 有米， ， ， ， ， 的水平距离为30米， ， 解得， 米． 例3．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 【答案】(1)山脚到河岸的距离为 (2)河宽的长度约 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键． （1）在中，根据的坡度求出，在中，根据等腰直角三角形的性质可得，由线段的和差即可求得； （2）在中，由三角函数的定义求出的长，根据线段的和差即可求出的长度． 【详解】（1）解：在中，， 的坡度， ， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：山脚到河岸的距离为； （2）解：在中，，，， ， ， ， 答：河宽的长度约． 例4．（2025·湖北·一模）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点D处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°，测得国旗杆AB底端B的俯角为60°，求国旗杆AB的高度（，，结果精确到0.1米）． 【答案】学校国旗杆的高度约为21.2米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用．过点作于．证明，在中，，，得到即可． 【详解】解：过点作于． ， ， ， 在中，， ， ． 答：学校国旗杆的高度约为21.2米． 例5．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东方向有一我国渔政执法船C． (1)求的值．（保留2个有效数字，，） (2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 【答案】(1) (2)海里 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）过点B作于点D，首先得到，，然后根据三角形内角和定理求出即可； （2）在中，利用，，求出即可． 【详解】（1）解：过点B作于点D， 由题意可知：，， ∴， ∴； （2）解：在中，， 在中，． 答：此时船C与船B的距离是海里． 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024·山西大同·模拟预测）如图，某兴趣小组想利用所学过的测量知识来测量学校内旗杆和居民楼的高度，首先在旗杆与居民楼之间的A点放置测角仪，记为，测得点C和点E的仰角分别为和，然后向居民楼方向前进米到达点B处放置测角仪，记作，测得点C和点E的仰角分别为和，已知所有点都在同一竖直平面内，且点D、B、A、F在同一直线上，测角仪的高度为米，求旗杆的高度和居民楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 【答案】旗杆高度为米，居民楼高度为米 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，连接并延长分别交于点H、G，证明，再证明，得到.在中，，得到.证明四边形是矩形，则，即可得到，在中，，设，，则，在中，.则.得到，解得，则，由四边形是矩形，得到，即可得到． 【详解】解：连接并延长分别交于点H、G， 则，， ∴四边形是矩形. ∴， 根据题意得到，. ∴. ∴， ∴. 在中，， ∴. ∵ ∴四边形是矩形， ∴， ∴ 在中，，设，， ∴， 在中，. ∴. ∴ ∴ ， ∵四边形是矩形， ∴， ∴. 答：旗杆高度为米，居民楼高度为米 例2．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 【答案】(1) (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握解直角三角形的计算是解题的关键． （1）根据题意可得，，在中，根据角的正切值的计算即可求解； （2）在中，，，根据正弦值的计算可得，由此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ， ， ， 在中，， ， 的长约为． （2）解：由题意得，在中，，， ， 旗杆的高约为． 例3．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________； (2)求“美”字的高度． 【答案】(1)，2 (2) 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）证明是等腰直角三角形，即可求得，解直角三角形即可求得； （2）根据等腰直角三角形的性质得到，进一步求得，然后解直角三角形即可求得，即可求得． 【详解】（1）解：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， ， ； 故答案为：，2； （2）， ， ， ， 由题意可知， ， ， 在中， ， ， 即“美”字的高度约为． 一、单选题 1．（2024·湖北襄阳·一模）如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的上弦，，测跨度的长为     A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三线合一、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，先利用直角三角形的边角关系在中求出，再利用等腰三角形的性质求出． 【详解】解：在中， ， ，， ． 故选：B． 2．（2024·湖北孝感·三模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，阳光垂直照射地面时雕塑的影长，则雕塑的高的长约为（    ） （参考数据：，，，结果保留两位小数） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知正切值求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意得：，在中，，代入数据计算即可．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， 在中，，，， ∴， ∴雕塑的高的长约为． 故选：A． 3．（2024·湖北·三模）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为（   ） A． B． C． D．2.4m 【答案】B 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】由得，在中，根据三角函数的定义求出的长，即可得的长．在中，根据三角函数的定义即可求出的长． 本题主要考查了利用三角函数的定义解直角三角形，熟练掌握是解题的关键． 【详解】， ， 在中，， ，， ， ， 在中，， ， 故选：B． 4．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角，则建筑物与的高度之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 过D点作于点，得四边形是矩形，得出，，根据平行的性质，，根据锐角的正切值表示出和，然后利用，即可求解． 【详解】如图，过D点作于点， 根据题意可得：，， ， 四边形是矩形， ，， 从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角， ，， 在中 ， ， 在中， ， ， 故选：C． 5．（2024·湖北孝感·模拟预测）如图，坡角的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为4米，则大树的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查锐角三角函数的应用.需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法． 过点作水平线与的延长线交于点，则，进而利用三角函数求解． 【详解】解：如图，过点作水平线与的延长线交于点，则， ∴. 在中，米,米， 在中， 米， ∴米， 故选:A． 二、填空题 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形．在中，利用直角三角形的边角间关系可得结论． 【详解】解：， ， 在中， ， 故答案为：． 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 【答案】m/10.3米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，，根据正切的定义求出，再计算即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， 则， 答：改造后的自动扶梯增加的占地长度的长约为 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）某大桥其主体工程是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高为163米，大桥主跨的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为，那么大桥主跨的长为 米．（参考数据：，，，结果保留整数） 【答案】 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用特殊角的三角函数解答． 【详解】解：在直角三角形中，， 米， ∴米， 故答案为：． 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 【答案】58 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题意可得：海里，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求的长． 【详解】解：由题意得：（海里）， 在中，海里， ∴（海里） （海里）， 在中，， ∴（海里）， （海里）， 即乙船向正东方向航行了58海里， 故答案为：58 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）某市为了加快网格信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是，向前走60米到达B点测得P点的仰角是，测得发射塔底部Q点的仰角是，则信号发射塔的高度约为 米．（结果精确到0.1米，） 【答案】 【知识点】根据等角对等边求边长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形——仰角问题，等角对等边，特殊角的三角函数值，解题的关键是利用解直角三角形构造方程，利用方程求解． 先证，设米，用含的代数式表示、，再利用建立方程求解即可． 【详解】由题意，得，，， ∴， ∴， 设米，则米， ∴（米），（米）， ∵， ∴， 即， 解得：（米）． 即的高度约为米． 故答案为：． 三、解答题 11．（2024·湖北襄阳·一模）如图，一枚火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得，仰角，1s后火箭到达B点，此时测得仰角，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．（结果取小数点后两位，参考数据：，，，，，） 【答案】 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，根据解直角三角形得到，，再结合求解，即可解题． 【详解】解：在中， ∵， ， ∴，， 在中， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ． （）， 答：这枚火箭从点A到点B的平均速度． 12．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点在同一平面内，求古塔的高度．（结果保留一位小数，） 【答案】古塔的高度为 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】利用坡度比，在中，设，，由勾股定理列方程求解即可得到和，在中，由特殊角的三角函数定义求出，数形结合，由代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在中，斜坡的斜面坡度，， 设，， 由勾股定理可得，解得， ，， ， ， 在中，，，则，解得， ， 答：古塔的高度为． 【点睛】本题考查解三角形的实际应用-测高，涉及坡度定义、俯角仰角定义、勾股定理、特殊角的三角函数值定义等知识，根据题意，数形结合构造直角三角形求解是解决问题的关键． 13．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图是新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的横梁，，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，） (1)求屋顶到横梁的距离AG； (2)求房屋的高AB．（结果精确到） 【答案】(1)屋顶到横梁的距离约为 (2)房屋的高约为 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形： （1）根据题意得到，解直角三角形即可得到结论； （2）如图，设，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：∵房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ∴， 在中，， ∵， ∴； 答：屋顶到横梁的距离约为； （2）解：如图，设，    在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：房屋的高约为． 14．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 【答案】树的高度为8米 【知识点】相似三角形实际应用、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用题，解直角三角形的实际应用题． 方案一：作，在中，解直角三角形即可求解； 方案二：由光的反射规律知入射角等于反射角得到相似三角形后列出比例式求解即可． 【详解】解：方案一：作，垂足为， 则四边形是矩形， ∴米， 在中，， ∴（米）， 树的高度为米． 方案二：根据题意可得， ∵， ∴ ∴，即 解得：米， 答：树的高度为8米． 15．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，在教室前面墙壁处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点时，摄像头俯角约为，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为，已知摄像头安装点高度约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计． (1)求教室的长（教室前后墙壁之间的距离的值）； (2)若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离为1.2米，桌子的高度为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内？请说明理由．，，，精确到0.1米） 【答案】(1)9.0米 (2)不在 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】此题主要考查了解直角三角形仰角与俯角问题、以及锐角三角函数的应用，得出与的长是解题关键． （1）在中，由三角函数，即可求出； （2）作于，延长交直线于，在中，由三角函数求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，， ， ， 答：教室的长约为9.0米． （2）结论：不在， 理由：作于，延长交直线于， 在中，， ， ， 不在监控范围内． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 解直角三角形模型之实际应用模型模型 目录 1 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 1 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 4 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 10 15 模型1.解直角三角形模型之背靠背模型 背靠背模型：如图，若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 图5 重要等量关系：如图1，CD为公共边，则AD+BD=AB；如图2，CE=DA，CD=EA，则CE+BD=AB； 如图3，CD=EF，CE=DF，则AD+CE+BF=AB；如图4，DE=BF，BD=EF，则AE+EF=AF； 如图5，BE=CF，CE=BF，则AE+EB=AB。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中点P处，测得点P距地面上点A为80米，点A处的俯角为，楼顶C点处的俯角为，已知点A与大楼的距离为70米（点A，B，C，P在同一平面内），则大楼的高度为 （结果保留根号）．    例2．（2024·湖北·模拟预测）学校安排一项综合实践活动，要求测量两栋楼之间的距离．已知对面的楼高为，小明从点A观测对面楼顶部的仰角为，观测楼底部的俯角为，则这两栋楼之间的距离为 ．（参考数据：） 例3．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，拦水坝的横断面为梯形，，坝高，斜坡的坡度为，斜坡的坡角，求坝底的长． 模型2.解直角三角形模型之叠合模型 图1 图2 图3 图4 母子模型：若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 重要等量关系：如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；如图2，BC为公共边，DC- BC= DB； 如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。 图5 图6 图7 图8 图9 如图5，BE+EC= BC；如图6，EC- BC= BE；如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG； 如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG； 如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。 例1．（2024·湖北武汉·模拟预测）图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面的倾斜角为，长为3米的真空管与水平线的夹角为，安装热水器的铁架竖直管的长度为米．则安装热水器的铁架水平横管的长度约为 ．（结果精确到米，参考数据： ， ， ，） 例2．（2024·湖北鄂州·模拟预测）李明同学用自己学到的知识测量某古塔的高度，他利用测角仪在点C处测得塔顶A的仰角，在点E处测得此时塔顶A的仰角（B，F，D三点在同一条直线上），测角仪的高为1.5米，的水平距离为30米，求古塔的高．（精确到0.1米，参考数据：，，，） 例3．（2024·湖北·模拟预测）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高，坡面的坡度（注：坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），点、与河岸、在同一水平线上，从山顶处测得河岸和对岸的俯角分别为，．（参考数据：，， (1)求山脚到河岸的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽的长度．（结果精确到） 例4．（2025·湖北·一模）数学课外兴趣小组决定利用无人机测量学校国旗杆的高度（如图）无人机起飞到点D处时距离地面的垂直高度CD为50米，DE为水平线测得国旗杆AB顶端A的俯角为45°，测得国旗杆AB底端B的俯角为60°，求国旗杆AB的高度（，，结果精确到0.1米）． 例5．（2024·湖北恩施·一模）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡航管理．如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B，B船在A船的正东方向，且两船保持40海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东方向有一我国渔政执法船C． (1)求的值．（保留2个有效数字，，） (2)求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号） 模型3.解直角三角形模型之拥抱模型 拥抱模型：如图，分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。 图1 图2 图3 图4 重要等量关系：如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE； 如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。 例1．（2024·山西大同·模拟预测）如图，某兴趣小组想利用所学过的测量知识来测量学校内旗杆和居民楼的高度，首先在旗杆与居民楼之间的A点放置测角仪，记为，测得点C和点E的仰角分别为和，然后向居民楼方向前进米到达点B处放置测角仪，记作，测得点C和点E的仰角分别为和，已知所有点都在同一竖直平面内，且点D、B、A、F在同一直线上，测角仪的高度为米，求旗杆的高度和居民楼的高度．（结果保留一位小数，参考数据：，，，） 例2．（2024·贵州·模拟预测）黔东南“村超”足球赛自开赛以来，持续火爆，每场球赛吸引万名观众到场观看．如图，榕江县体育馆内一看台与地面所成夹角为，看台最低点到最高点的距离，，两点正前方有垂直于地面的旗杆，在，两点处用仪器测量旗杆顶端的仰角分别为和． (1)求的长； (2)求旗杆的高．（结果精确到，，，，） 例3．（2024·贵州遵义·模拟预测）赤水河畔的“美酒河”三个大字，是世界上最大的摩崖石刻汉字．小茜想测量绝壁上“美”字的高度，根据平面镜反射原理可推出入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（如图中，），具体操作如下：将平面镜水平放置于处，小茜站在处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字顶端处（为小茜眼睛到地面的高度），再将平面镜水平放置于处观测，俯角时，恰好通过平面镜看到“美”字底端处．测得，，点，，，在同一水平线上，点，，在同一铅垂线上．（参考数据：，，） (1)的高度为__________，的长为__________； (2)求“美”字的高度． 一、单选题 1．（2024·湖北襄阳·一模）如图，厂房屋顶人字架(等腰三角形)的上弦，，测跨度的长为     A． B． C． D． 2．（2024·湖北孝感·三模）图1是某红色文化主题公园内的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图．测得，阳光垂直照射地面时雕塑的影长，则雕塑的高的长约为（    ） （参考数据：，，，结果保留两位小数） A． B． C． D． 3．（2024·湖北·三模）如图，某一时刻太阳光从窗户射入房间内，与地面的夹角，窗户的高度，窗台的高度，窗外水平遮阳篷的宽，则的长度为（   ） A． B． C． D．2.4m 4．（2024·湖北随州·模拟预测）如图，两座建筑物在同一水平面上，从A点测得D点的俯角为，测得C点的俯角，则建筑物与的高度之比为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北孝感·模拟预测）如图，坡角的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为4米，则大树的高为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 6．（2024·湖北武汉·模拟预测）光从空气射入液体中会发生折射现象．如图，水平放置的容器中装有某种液体，光线斜射到液面发生折射，折射光线为，折射角为，测得，，，则线段的长是 ．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 7．（2024·湖北武汉·模拟预测）某商场从安全和便利的角度出发，为提升顾客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的阶梯式改造成斜坡式，如图，已知商场的层高为，坡角为，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角，请你计算改造后的自动扶梯增加的占地长度 （结果精确到，参考数据：，，） 8．（2024·湖北武汉·模拟预测）某大桥其主体工程是一座双塔双索面钢箱梁斜拉桥，两座索塔及索塔两侧的斜拉索对称分布，塔高为163米，大桥主跨的中点为E，记斜拉索与大桥主梁所夹锐角为，那么大桥主跨的长为 米．（参考数据：，，，结果保留整数） 9．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，甲船从A处向正北方向的C岛航行，同时，乙船在C岛正东方向80海里的D处向正东方向航行，此时甲船观察到乙船在北偏东45°方向，甲船正北方向航行30海里后在B处观察到乙船在北偏东70°方向的E处，则乙船向正东方向航行了 海里．（精确到1海里，参考数据：，，） 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）某市为了加快网格信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示．小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是，向前走60米到达B点测得P点的仰角是，测得发射塔底部Q点的仰角是，则信号发射塔的高度约为 米．（结果精确到0.1米，） 三、解答题 11．（2024·湖北襄阳·一模）如图，一枚火箭从地面L处发射，当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得，仰角，1s后火箭到达B点，此时测得仰角，求这枚火箭从点A到点B的平均速度．（结果取小数点后两位，参考数据：，，，，，） 12．（2024·湖北襄阳·模拟预测）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔的高度，他从古塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为，已知斜坡的斜面坡度，且点在同一平面内，求古塔的高度．（结果保留一位小数，） 13．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图是新建房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为，房屋的横梁，，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：，，，） (1)求屋顶到横梁的距离AG； (2)求房屋的高AB．（结果精确到） 14．（2024·湖北·中考真题）小明为了测量树的高度，经过实地测量，得到两个解决方案： 方案一：如图（1），测得地与树相距10米，眼睛处观测树的顶端的仰角为： 方案二：如图（2），测得地与树相距10米，在处放一面镜子，后退2米到达点，眼睛在镜子中恰好看到树的顶端． 已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树的高度．（结果保留整数，） 15．（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，在教室前面墙壁处安装了一个摄像头，当恰好观测到后面墙壁与底面交接处点时，摄像头俯角约为，受安装支架限制，摄像头观测的俯角最大约为，已知摄像头安装点高度约为2.7米，摄像头与安装的墙壁之间距离忽略不计． (1)求教室的长（教室前后墙壁之间的距离的值）； (2)若第一排桌子前边缘与前面墙壁的距离为1.2米，桌子的高度为0.8米，那么第一排桌子是否在监控范围内？请说明理由．，，，精确到0.1米） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$