专题06 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾、双角平分线和高线模型解读与提分精练-2025年中考数学常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（安徽专用）

专题06 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾、双角平分线和高线模型 目录 1 模型1.“A”字模型 1 模型2.“8”字模型 3 模型3.燕尾模型 6 模型4.双内角角平分线模型 9 模型5.一内角一外角双角平分线模型 12 模型6.双外角角平分线模型 15 模型7.高线与角平分线分线模型 20 23 模型1.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 模型2.“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 例2．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 模型3.燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 例2．如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 模型4.双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 模型5.一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 模型6.双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 模型7.高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 例2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 一、单选题 1．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 3．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（    ） A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线 C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误 二、填空题 5．如图， 度． 6．如图，在中，，点在上，作于点，将绕点逆时针旋转至，点，分别落在，上．若，，则 ． 7．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 8．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 三、解答题 9．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 10．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 11．如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 12．已知，在四边形ABCD中，．       （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 13．(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    14．（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由． （2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由． （3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由． （4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由． 15．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    16．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 17．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，则__________； ②如图3，__________； （2）拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________； ②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________． 18．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）； ②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．                   原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形中的倒角模型之A字、8字、燕尾、双角平分线和高线模型 目录 1 模型1.“A”字模型 1 模型2.“8”字模型 3 模型3.燕尾模型 6 模型4.双内角角平分线模型 9 模型5.一内角一外角双角平分线模型 12 模型6.双外角角平分线模型 15 模型7.高线与角平分线分线模型 20 23 模型1.“A”字模型 如图，B、C分别是∠DAE两边上的点，连结BC，形状类似于英文字母A，故我们把它称为“A”字模型。 条件：如图，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 例1．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ． 【答案】235°/235度 【分析】此题考查了多边形的内角和，先利用三角形内角和为计算，然后根据邻补角的定义计算即可． 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 例2．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图1，直线与的边，分别相交于点，（都不与点重合）.           (1)若，①求的度数；②如图2，直线与边，相交得到和，直接写出的度数.(2)如图3，，分别平分和，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图4，在四边形中，点，分别是线段、线段上的点，，分别平分和，直接写出与，的关系. 【答案】(1)①；②(2)，理由见解析(3). 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形外角性质，掌握三角形内角和定理、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识是正确解答的关键．（1）①根据三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可；②根据①的结论即可解答；（2）由（1）的结论以及三角形内角和定理即可解答； （3）由（2）的结论可得，再根据三角形内角和定理进行解答即可． 【详解】（1）解：①如图1， ∵，∴， ∵，∴； ②由①方法可得：． （2）解：，理由如下：由（1）可得． ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． （3）解：，理由如下：由图2可得，， ∵，分别平分和，∴， ∴， ∴． 模型2.“8”字模型 图1 图2 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°； 在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD ∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 例1．（2023·重庆·八年级期中）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ） A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D 【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可． 【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC， ∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D． 【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键． 例2．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题 (1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______； (2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______； (3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）； (4)如图4，如果，，当时，则的度数为______． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明；（2）如图2，设，，根据外角的性质得：，，所以，最后由三角形内角和定理可得结论；(3)如图3，延长、交于点，根据（2）的结论，并将，代入可得 结论；（4）如图4，同理计算可得结论． 【详解】（1）在中，，在中，， ∵，∴故答案为： （2）设，， ∵，分别平分，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴， ∴，故答案为： （3）由（2）可知：， ∵，∴，∴，∴， （4）如图4，延长、交于点，设，， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴，，， ∴故答案为： 【点睛】本题考查三角形内角和，三角形的外角的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考问题． 模型3.燕尾模型 图1 图2 基本模型：条件：如图1，凹四边形ABCD； 结论：①；②。 证明：连接AC并延长至点P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D； 又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。 延长BC交AD于点P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。 即：，故。 拓展模型1：条件：如图2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC； 结论：∠O=（∠A+∠C）。 证明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC； 根据飞镖模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A； ∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。 例1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴,故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 例2．如图1所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这样图形叫做“箭头四角形”．    探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究与、、之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 ；②如图3，、的2等分线（即角平分线）、相交于点，若，，求的度数； 拓展：（3）如图4，，分别是、的2020等分线（），它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则 度． 【答案】（1），理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【分析】（1）连接AD并延长至点E，利用三角形外角的性质得出左右两边相加即可得出结论；（2）①直接利用（1）中的结论有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根据求出，然后结合角平分线的定义再利用即可求解； （3）先根据求出，再求出的度数，最后利用求解即可． 【详解】（1）如图，连接AD并延长至点E，∵    又∵∴ （2）①由（1）可知 ∵，∴ ②由（1）可知 ∵，∴ 平分 ，CF平分 （3）由（1）可知 ∵， ∴ ∵，分别是、的2020等分线（） ∴ ∴ 【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是解题的关键． 模型4.双内角角平分线模型 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P；结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=90°+∠A。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-（∠ABC+∠DCB）=180°-（360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）。即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P；结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE，∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-（∠BCD+∠CDE）=180°-（540°-∠A-∠D-∠E）=∠A+∠D+∠E-90°。即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 例1．如图，在中，点是内一点，且点到三边的距离相等，若，则 ． 【答案】 【分析】由条件可知平分和，利用三角形内角和可求得． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴平分，平分， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 例2．模型认识：我们学过三角形的内角和等于，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在中，、分别是和的角平分线． 解决问题：(1)若，，则______；（直接写出答案） (2)若，求出的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形中，、分别是和的角平分线，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°， ∴∠PBC=∠ABC=×40°=20°，∠PCB=∠ACB=×80°=40°． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-20°-40°=120°； 故答案为：120°； （2）∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠ACB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-（180°-∠BAC）=90°+ ∠BAC， ∵∠BAC=100°， ∴∠BPC=90°+∠BAC=90°+×100°=140°； （3）∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线， ∴∠PBC=∠ABC，∠PCB=∠DCB． ∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°- （360°-∠A-∠D）=（∠A+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键． 模型5.一内角一外角双角平分线模型 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P；结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推；结论：的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 例1．问题情境：如图1，点D是△ABC外的一点，点E在BC边的延长线上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．试探究∠D与∠A的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△ABC是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△ABC是等腰三角形，顶角∠A＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠A度数的比是   ；(2)猜想证明：如图1，△ABC为一般三角形，在（1）中获得的∠D与∠A的关系是否还成立？若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答案】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用和表示出，再根据角平分线的定义得到，，然后整理即可． 【详解】（1）解：如图2，是等边三角形，，， 平分，平分．，， ，； 如图3，是等腰三角形，，，， 平分，平分．，， ，；故答案为，，； （2）解：成立，如图1，在中，， 在中，，（1） 平分，平分，，， 又，，（2） 由（1）（2），，． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答是关键． 例2．（23-24七年级下·吉林四平·期末）【教材呈现】 对于上述问题，在解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）； 如图，在中，，，平分，平分，求的度数． 解：∵平分（已知）， ∴， 同理可得________． ∵（ ）， ∴（等式的性质）________． 【问题推广】 ° （1）如图1，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，求的度数； （2）如图2，在中，的角平分线与外角的角平分线交于点，过点作于点，若，则________． 【答案】25，三角形内角和定理，115；（1），（2）49 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质 【分析】教材呈现：根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； 问题推广：（1）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （2）先根据角平分线定义得出，，根据三角形外角性质得出， 得出，根据，得出，根据垂线定义得出，最后求出结果即可． 【详解】解：教材呈现：∵平分（已知）， ∴， 同理可得， ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． 问题推广：（1）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （2）平分，平分， ，， ，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，垂线的定义，熟知相关知识是解题的关键． 模型6.双外角角平分线模型 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线；结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF，∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-（∠EBC+∠BCF）=180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A）=90°+∠A。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN，∴DM=DN，∴AD平分∠CAD。, 例1．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，分别是的平分线，分别是的角平分线． (1)若，则________， ________； (2)当变化时，的值是否变化？请说明理由． 【答案】(1)， (2)不变，见解析 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，邻补角等知识．熟练掌握角平分线，三角形内角和定理，邻补角是解题的关键． （1）由题意得，，则，，，，； （2）同理（1），，则，，，则，，由，作答即可． 【详解】（1）解：∵分别是的平分线，分别是的角平分线，∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：当变化时，的值不变，理由如下； 同理（1）， ，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当变化时，的值不变． 例2．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)若，则的度数是 ； (2)如图②，作的外角，的角平分线交于点，试探索，之间的数量关系． (3)如图③，延长线段交于点，试探索，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形的角的计算，三角形的内角和定理，外角定理等知识． （1）先求出，进而求出，即可求出； （2）先求出，进而求出，即可求出； （3）延长至点，利用外角平分线和内角平分线性质即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：，， ， 点是和的角平分线的交点， ，， ， ； （3）解：如图③，延长至点， ，为的外角的角平分线， 是的外角的角平分线， ， 平分， ， ， ， 即， ， 即． 模型7.高线与角平分线分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，，，， ，． 例1．（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在中，，，是的角平分线．    （1）如图1，若是的高，则的度数为 ． （2）如图2，若是的角平分线，G是延长线上一点，过点G作于点H，则的度数为 ． 【答案】 /10度 /30度 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，高线的定义，求出是解本题的关键． （1）首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线概念得到，然后由三角形外角的性质得到，进而求解即可； （2）首先由角平分线的概念得到，然后由三角形外角的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴ ∴； （2）∵是的角平分线 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：；． 例2．已知：在中，，平分交于点．    (1)如图①，于点，若，求的度数； (2)如图①，于点，若，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图②，在中，于点，是上的任意一点（不与点，重合），过点作于点，且，请你运用（2）中的结论求出的度数； (4)在（3）的条件下，若点在的延长线上（如图③），其他条件不变，则的度数会发生改变吗？说明理由． 【答案】(1)(2)(3)(4)的度数不会发生改变，理由见解析 【分析】（1）首先根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可知，然后由“直角三角形两锐角互余”可得，进而可得，即可获得答案；（2）结合（1）可得结论； （3）结合，易得，再证明，由“两直线平行，同位角相等”可得，即可获得答案； （4）证明，由“两直线平行，内错角相等”可得，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵在中，，∴， ∵平分，∴， ∵，∴，∴， ∴， 当时，； （2）由（1）可知，，∴当时，∴； （3）∵，而，∴， ∵，，∴，∴； （4）的度数大小不发生改变．理由如下： ∵，，∴，∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、垂直的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 一、单选题 1．如图，把△ABC沿EF对折，折叠后的图形如图所示，，，则 的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形折叠中的角度问题、三角形内角和定理的应用 【分析】由三角形的内角和，得，由邻补角的性质得，根据折叠的性质得，即，所以，． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得： ， ∴， ∵， ∴， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角的性质、折叠的性质，熟悉掌握三角形的内角和为，互为邻补角的两个角之和为以及折叠的性质是本题的解题关键． 2．如图，，的角平分线交于点，若，，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用 【分析】法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，根据三角形的内角和定理得到∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°推出∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D，根据PB、PC是角平分线得到∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE，推出2∠P＝∠A−∠D，代入即可求出∠P． 法二：延长DC，与AB交于点E．设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC，可得∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD，代入计算即可． 【详解】解：法一：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F， ∵∠A＋∠ABF＋∠AFB＝∠P＋∠PCF＋∠PFC＝180°， ∵∠AFB＝∠PFC， ∴∠P＋∠PCF＝∠A＋∠ABF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PCD−∠D， ∴∠P＋∠PBE＝∠PCD−∠D， ∴2∠P＋∠PCF＋∠PBE＝∠A−∠D＋∠ABF＋∠PCD， ∵PB、PC是角平分线 ∴∠PCF＝∠PCD，∠ABF＝∠PBE， ∴2∠P＝∠A−∠D ∵∠A＝48°，∠D＝10°， ∴∠P＝19°． 法二：延长DC，与AB交于点E． ∵∠ACD是△ACE的外角，∠A＝48°， ∴∠ACD＝∠A＋∠AEC＝48°＋∠AEC． ∵∠AEC是△BDE的外角， ∴∠AEC＝∠ABD＋∠D＝∠ABD＋10°， ∴∠ACD＝48°＋∠AEC＝48°＋∠ABD＋10°， 整理得∠ACD−∠ABD＝58°． 设AC与BP相交于O，则∠AOB＝∠POC， ∴∠P＋∠ACD＝∠A＋∠ABD， 即∠P＝48°−（∠ACD−∠ABD）＝19°． 故选A. 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 3．如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】邻补角的定义理解、三角形的外角的定义及性质 【分析】如图标记，然后利用三角形的外角性质得，，再利用互为邻补角，即可得答案． 【详解】解：如下图标记， ， ， ， 又， ， ， ， 故选C． 【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键． 4．在一次数学实践活动课上，老师指导学生进行折纸活动，下图是小睿、小志、小芳三位同学的折纸示意图（的对应点是），分析他们折纸情况说法正确的是（    ） A．小睿折出的是中的平分线 B．小志折出的是边上的中线 C．小芳折出的是中边上的高 D．上述说法都错误 【答案】A 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求长度、折叠问题、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了折叠的性质、中线、高以及角平分线，可根据折叠的性质：折叠前后两个图形全等，对应边相等，对应角相等，进行作答． 【详解】A、根据折叠后对应角相等可知：，是的平分线，选项说法正确，符合题意； B、根据折叠后对应边相等可知：且，并非边中线，选项说法错误，不符合题意； C、根据折叠后对应角相等可知：且，，，但并不是的高，因此选项说法错误，不符合题意； D、由于选项A说法正确，因此该选项说法错误，不符合题意． 故选：A． 二、填空题 5．如图， 度． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理，如图，连连接，记、的交点为， 先证明，再利用三角形的内角和定理可得答案．作出合适的辅助线构建三角形是解本题的关键． 【详解】解：如图，连接，记、的交点为， ，，， ， ， ， 故答案为：． 6．如图，在中，，点在上，作于点，将绕点逆时针旋转至，点，分别落在，上．若，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】根据将绕点逆时针旋转至，，可得，，，即得，证明，可得，故，而，故：，可解得． 【详解】 将绕点逆时针旋转至． ，， 根据勾股定理可得： 在和中， ， 根据平行线分线段对应成比例可知： 即： 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质、平行线分线段对应成比例、勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形判定定理． 7．如图，在中，、分别平分，，的延长线交外角的角平分线于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 （填序号）． 【答案】①③/③① 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到，，，即可得出答案． 【详解】解：∵为外角的平分线，平分， ∴， 又∵是的外角， ∴， 即，故①正确； ∵、分别平分，， ∴， ∴ ，故④错误； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴，故②错误、③正确； 综上，正确的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及角平分线的定义． 8．如图，在中，，与的平分线交于点，得；与的平分线相交于点，得；；与的平分线相交于点，得，则 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得，同理得；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案． 【详解】根据题意，，与的平分线交于点 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 同理，得； ； ； … ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平分线、数字规律的性质，从而完成求解． 三、解答题 9．如图，平分，交于点F，平分交于点E，与相交于点G，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）． 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP= ，然后利用三角形外角的性质即可得解； （2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解． 【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF=， ∵， ∴， ∴； （2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA， ∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP， ∠C+∠CBP=∠P+∠PDF， ∴∠A+∠C=2∠P， ∵∠A=42°，∠C=38°， ∴∠P=（38°+42°）=40°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键． 10．（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数； （2）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数； （3）如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数． 【答案】（1）360°；（2）720°；（3）540° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和 【分析】（1）连接AD，根据三角形的内角和定理得∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA，进而将问题转化为求四边形ADEF的内角和， （2）与（1）方法相同转化为求六边形ABCDEF的内角和， （3）使用上述方法，转化为求五边形ABCDE的内角和． 【详解】解：（1）如图①，连接AD， 由三角形的内角和定理得，∠B＋∠C＝∠BAD＋∠CDA， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝∠BAF＋∠BAD＋∠CDA＋∠D＋∠E＋∠F 即四边形ADEF的内角和，四边形的内角和为360°， ∴∠BAF＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F＝360°， （2）如图②，由（1）方法可得： ∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H的度数等于六边形ABCDEF的内角和， ∴∠BAH＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠EFG＋∠G＋∠H＝（6－2）×180°＝720°， （3）如图③，根据（1）的方法得，∠F＋∠G＝∠GAE＋∠FEA， ∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G的度数等于五边形ABCDE的内角和， ∴∠BAG＋∠B＋∠C＋∠D＋∠DEF＋∠F＋∠G＝（5－2）×180°＝540°， 【点睛】本题考查三角形的内角和、多边形的内角和的计算方法，适当的转化是解决问题的关键． 11．如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”． （1）求证：； （2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）240° 【知识点】对顶角相等、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证，，运用角的等量转换即可证明． （2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证，，和是对顶角，可推出的度数等于2倍的度数，计算得出答案． 【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图： ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． （2）解：∵和是对顶角， ∴． 由（1）的结论可知， ， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键． 12．已知，在四边形ABCD中，．       （1）求证：． （2）如图1，若DE平分，BF平分的外角，写出DE与BF的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE分别平分，的外角，写出BF与DE的位置关系，并证明． 【答案】（1）证明见详解；（2）DE⊥BF，证明见详解；（3）DE∥BF，证明见详解 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据四边形内角和等于360°列式计算即可得解； （2）如图1，延长DE交BF于G，易证∠ADC=∠CBM，可得∠CDE=∠EBF，即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF； （3）如图2，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF． 【详解】（1）证明：∵∠A=∠C=90°， ∴∠ABC+∠ADC=360°－90°×2=180°； （2）DE⊥BF 延长DE交BF于点G ∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∠A=∠C=90° ∴∠ABC+∠ADC=180° ∵∠ABC+∠MBC=180° ∴∠ADC=∠MBC ∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC ∴∠EDC= ∠ADC，∠EBG= ∠MBC ∴∠EDC=∠EBG ∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°，∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°，∠DEC=∠BEG ∴∠EGB=∠C=90° ∴DE⊥BF （3）DE∥BF 连接BD ∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC ∴∠EDC= ∠NDC，∠FBC= ∠MBC ∵∠ADC+∠NDC=180°，∠ADC=∠MBC ∴∠MBC+∠NDC=180° ∴∠EDC+∠FBC=90° ∵∠C=90° ∴∠CDB+∠CBD=90° ∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°，即∠EDB+∠FBD=180° ∴DE∥BF． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质，掌握辅助线的作法是解题的关键． 13．(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由； (3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形内角和定理，以及角平分线的定义的； （2）根据平分，平分，可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （3）根据题意可得，根据三角形的内角和定理可得，进而，即可求解． 【详解】解：（1） 理由如下： 平分，平分， ，． 在中，， 在中，， ． ．    （3）． 理由如下： 由四边形内角和定理得 ． 、分别平分和， ． ． 即．    （3）． 理由如下，    ∵ 又∵是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角， ∴ ． 即． 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，三角形的角平分线的性质，多边形内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 14．（1）如图1所示，在中，和的平分线将于点O，则有，请说明理由． （2）如图2所示，在中，内角的平分线和外角的平分线交于点O，请直接写出与之间的关系，不必说明理由． （3）如图3所示，AP，BP分别平分，，则有，请说明理由． （4）如图4所示，AP，BP分别平分，，请直接写出与，之间的关系，不必说明理由． 【答案】(1)理由见解析；(2) ∠BAC=2∠BOC；(3) 理由见解析；(4) 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】(1)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果； (2)根据OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果； (3)根据AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C，分析等式即可得出结果； (4) AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线，设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y，利用三角形外角性质和内角和性质即可得出结果． 【详解】解：(1)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACB的角平分线 ∴∠ABO=OBC，∠ACO=∠OCB ∵∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠OCB+∠OBC= ∴∠BOC= (2)∵OB是∠ABC的角平分线，OC是∠ACD的角平分线 ∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCD ∵∠BAC +∠ABC=∠ACD，∠OBC+∠BOC =∠OCD ∴2∠OBC+2∠BOC =2∠OCD ∴∠ABC+2∠BOC =∠ACD ∴∠BAC=2∠BOC (3)∵AP是∠DAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线 ∴∠DAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC ∵∠D+∠DAP=∠P+∠DBP，∠P+∠PAC=∠PBC+∠C ∴∠D-∠P=∠P-∠C ∴ (4)∵AP是∠MAC的角平分线，BP是∠DBC的角平分线 ∴∠MAP=∠PAC，∠DBP=∠PBC 设∠DBP=∠PBC=x，∠MAP=∠PAC=y ∴∠AGB=∠C+2x ∴∠BEP=∠AEG=180°-（∠C+2x）-y ∴∠P=180°-∠BEP-∠DBP=∠C+x+y ∵∠D+∠AEG=∠MAP ∴∠D+180°-（∠C+2x）-y=y ∴x+y= ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键． 15．（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：． （2）如图（2），分别平分，若．求的度数． （3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______； （4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．    【答案】（1）见解析； （2）； （3）； （4） 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据三角形的内角和等于和对顶角的性质即可得证； （2）设，，解方程即可得到答案； （3）根据直线平分，平分的外角，得到 ，从而可以得到，再根据，得到即可求解； （4）连接,求得，，再根据，，，，即可求解． 【详解】解：（1）如图.   ，， ． ， ； （2）如图.   ，分别平分，，设，， 则有， ， （3）如图.   直线平分，平分的外角， ，， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 即． （4）连接   直线平分的外角，平分的外角， ，， ∵， ∴ 同理得到： ∴ ∴ ∵180°， ∴， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 16．阅读材料： 如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形． 结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C． 结论应用举例： 如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数． 解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2， 在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180° 即五角星的五个内角之和为180°． 解决问题： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　； （3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝　； （4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝　； 请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程． 【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、复杂图形的内角和 【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论； （3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论； （4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论． 【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°； （2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°； （3）连接BH、DE， ∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°； （4）连接ND、NE， ∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°． 故答案为：360°；540°；720°；1080°． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键． 17．模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有“”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用： ①如图2，，则__________； ②如图3，__________； （2）拓展应用： ①如图4，、的2等分线（即角平分线）、交于点，已知，，则__________； ②如图5，、分别为、的10等分线．它们的交点从上到下依次为、、、…、．已知，，则__________； ③如图6，、的角平分线、交于点D，已知，则__________； ④如图7，、的角平分线、交于点D，则、、之间的数量关系为__________． 【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0 【知识点】图形类规律探索、角n等分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质 【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可； ②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入计算即可； （2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入计算可得； ②同理可得∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A），代入计算即可； ③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-（∠BOC-∠C）计算可得； ④根据两个凹四边形ABOD和ABOC得到两个等式，联立可得结论． 【详解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°； ②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°； （2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1 =∠BOC-（∠ABO+∠ACO） =∠BOC-（∠BOC-∠A） =∠BOC-（120°-50°） =120°-35° =85°； ②∠BO7C=∠BOC-（∠BOC-∠A） =120°-（120°-50°） =120°-21° =99°； ③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD） =180°-（∠BOC-∠C） =180°-（120°-44°） =142°； ④∠BOD=∠BOC=∠B+∠D+∠BAC， ∠BOC=∠B+∠C+∠BAC， 联立得：∠B-∠C+2∠D=0． 【点睛】本题主要考查了新定义—箭头四角形，利用了三角形外角的性质，还考查了角平分线的定义，图形类规律，解题的关键是理解箭头四角形，并能熟练运用其性质． 18．【问题背景】 （1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说明∠A+∠B=∠C+∠D； 【简单应用】 （2）如图2， AP、CP分别平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度数； 【问题探究】 （3）如图3，直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，请猜想∠P的度数，并说明理由． 【拓展延伸】 （4） ①在图4中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为： （用α、β表示∠P）； ②在图5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论．                   【答案】（1）见解析；（2）36°；（3）26°，理由见解析；（4）①∠P=②∠P= 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可证明； （2）直接利用（1）中的结论两次，两式相加，然后根据角平分线的性质求解即可； （3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解决问题． （4）①同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题． ②同法利用（1）种的结论列出方程即可解决问题． 【详解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°． 在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°． ∵∠AEB=∠CED， ∴∠A+∠B=∠C+∠D； （2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P， ∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P． ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°， ∴∠P=36°． （3）∠P=26°，理由是：如图3： ∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3． ∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4， ∴∠P+∠1=∠B+∠4． ∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3）， ∴2∠P=∠B+∠D， ∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°． （4）①设∠CAP=m，∠CDP=n，则∠CAB=3m，，∠CDB=3n， ∴∠PAB=2m，∠PDB=2n． ∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB， ∵∠C=α，∠B=β， ∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n， ∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m）， ∴2α+β=3∠P ∴∠P=． 故答案为：∠P=． ②设∠BAP=x，∠PCE=y，则∠PAO=x，∠PCB=y． ∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D， ∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D， ∴∠P=． 故答案为：∠P=． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形的外角的性质、多边形的内角和等知识，解题的关键是学会用方程的思想思考几何问题，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$