第5讲 长方体和正方体的体积（十二大考点）-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（人教版）

考点剖析及分层精练 第5讲 长方体和正方体的体积 知识点一体积和体积单位 1、体积单位 （1）物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。 棱长是1cm的正方体，体积是1cm3; 棱长是1dm的正方体，体积是1dm3; 棱长是1m的正方体，体积是1m3。 2、体积计算公式 （1）长方体的体积=长×宽×高。 用字母表示:V=abh。 （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 用字母表示:V=a3。 知识点二体积单位间的进率 1、体积单位换算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米 相邻的两个体积单位间的进率是1000。 知识点三容积和容积单位 1、容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 （2）计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。 （3）容积单位的换算:1升=1000毫升 容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 考点01 体积和体积单位的认识 1．比较图中物体的体积，在（    ）中填“＞”或“＜”。 （1）图1中，两杯水的体积比较：甲（ ）乙。 （2）图2中，两块石头的体积比较：甲（ ）乙。 （3）图3中，两个立体图形的体积比较：甲（ ）乙。 【答案】（1）＞ （2）＜ （3）＜ 【分析】（1）体积是指物体所占空间的大小，用目测法，哪杯水多，那杯水的体积大； （2）用目测法，哪个石块大，那个石块的体积就大； （3）都是用一样大小的小正方体拼成，分别数出小正方体的个数，用小正方体多的立体图形体积大。 【解答】（1）图1中，两杯水的体积比较：甲杯水多，甲杯水体积大，甲＞乙。 （2）图2中，两块石头的体积比较：乙石块大，乙石块体积大，甲＜乙。 （3）图3中，两个立体图形的体积比较：甲由7个小正方体组成，乙由9个小正方体组成，7＜9，甲＜乙。 2．下面的图形是用棱长1cm的小正方体拼成的，它们的体积各是多少立方厘米？ （ ）cm3    （ ）cm3    （ ）cm3    （ ）cm3 【答案】16 13 10 8 【分析】由题意可知，每个图形都是用棱长1cm的小正方体拼成的，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，可以求得一个小正方体的体积，然后再数出每个立方体图形中小正方体的数量来计算它们的体积，据此解答即可。 【解答】1×1×1 ＝1×1 ＝1（cm3） 第一个图形有16个小正方体，所以体积是16cm3； 第二个图形有13个小正方体，所以体积是13cm3； 第三个图形有10个小正方体，所以体积是10cm3； 第四个图形有8个小正方体，所以体积是8cm3； 因此它们的体积从左往右分别是16cm3；13cm3；10cm3；8cm3。 3．下面物体中体积比1cm3小的有（ ），比1cm3大的有（ ）。 【答案】①④ ②③ 【分析】1cm3相当于棱长为1cm的正方体体积大小，根据实际生活中判断得出答案。 【解答】下面物体中体积比1cm3小的有①黄豆、④大米，比1cm3大的有②草莓、③乒乓球。 【点评】本题主要考查的是体积单位的应用，解题的关键是熟练掌握体积单位的大小，进而得出答案。 考点02 容积和容积单位的认识 4．一个瓶子最多能装2dm3的水，则2dm3既是瓶子的（ ），又是水的（ ）。 【答案】容积 体积 【分析】根据容积的意义，物体所能容纳物体的体积叫物体的容积。 2dm3是指这个水瓶所能容纳水的体积，也是这个水瓶的容积。 【解答】根据分析可知，一个瓶子最多能装2dm3的水，则2dm3既是瓶子的容积，又是水的体积。 5．计量液体的体积通常用升和（ ）作单位。一个容积可以装60立方分米的水，我们就说这个容器的容积是60（ ）。 【答案】毫升/mL 升/L 【分析】计量液体常用体积单位“升”和“毫升”作单位，当液体体积较小的时候一般用毫升做单位； 容积是指容器所能容纳物体的体积。比如一个杯子能装多少水，这个杯子容纳水的体积就是它的容积。容器的容积一般是用“升”和“毫升”作单位。 【解答】由分析得： 计量液体的体积通常用升和毫升作单位。 1升液体的体积就是1立方分米，1升＝1立方分米 1毫升液体的体积就是1立方厘米，1毫升＝1立方厘米 即一个容积可以装60立方分米的水，我们就说这个容器的容积是60升。 6．在下面的（    ）里填上合适的单位名称。 一间教室所占空间大约120（ ）；数学书的封面大约是550（ ）； 一桶纯净水大约10（ ）；一瓶牛奶大约是280（ ）。 【答案】立方米/m3 平方厘米/cm2 升/L 毫升/mL 【分析】根据生活经验、对体积单位、面积单位、容积单位和数据大小的认识可知， 棱长1米的正方体，体积是1立方米，所以计量教室所占的空间用“立方米”作单位比较合适； 1平方厘米大约是一个手指甲的面积，结合单位前面的数据，所以数学书的封面用“平方厘米”作单位比较合适； 1升液体的体积就是1立方分米，结合单位前的数据，所以计量一桶纯净水的体积用“升”作单位比较合适； 1毫升液体的体积就是1立方厘米，计量比较少的液体，通常用“毫升”作单位，所以计量一瓶牛奶的体积用“毫升”作单位比较合适。 【解答】一间教室所占空间大约120立方米； 数学书的封面大约是550平方厘米； 一桶纯净水大约10升； 一瓶牛奶大约是280毫升。 考点03 体积单位间的换算 7．1080立方分米＝（ ）立方米    2时15分＝（ ）时 【答案】1.08 2.25 【分析】根据1立方米＝1000立方分米，1时＝60分，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中复名数换单名数，只换算单位不同的部分，再与单位相同的部分合起来即可。 【解答】1080÷1000＝1.08（立方米）；15÷60＝0.25（时）、2＋0.25＝2.25（时） 1080立方分米＝1.08立方米；2时15分＝2.25时 8．8立方米＝（ ）立方分米      2800立方厘米＝（ ）立方分米 【答案】8000 2.8 【分析】①1立方米＝1000立方分米，高级单位换算成低级单位，乘进率； ②1立方分米＝1000立方厘米，低级单位换算成高级单位，除以进率。 【解答】①8×1000＝8000（立方分米） ②2800÷1000＝2.8（立方分米） 【点评】本题主要考查单位之间的换算，低级单位变高级单位除以进率，高级单位变低级单位乘进率。 9．15秒＝（ ）分    3.85m3＝（ ）dm3 【答案】0.25 3850 【分析】1分＝60秒；1m3＝1000dm3；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。 【解答】15秒＝15÷60＝0.25分 3.85m3＝3.85×1000＝3850dm3 考点04 容积单位间的换算 10．＝（ ）L＝（ ）mL。 【答案】6.08 6080 【分析】1dm3＝1L，1L＝1000mL，根据高级单位化低级单位乘进率，低级单位化高级单位除以进率，据此解答。 【解答】＝6.08L＝6080mL 11．6小时15分＝（ ）时；6升50毫升＝（ ）升。 【答案】6.25 6.05 【分析】根据进率：1时＝60分，1升＝1000毫升；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】（1）15÷60＝0.25（时） 6＋0.25＝6.25（时） 6小时15分＝6.25时 （2）50÷1000＝0.05（升） 6＋0.05＝6.05（升） 6升50毫升＝6.05升 12．1.03m2＝（ ）dm2    380dm3＝（ ）m3    0.72dm3＝（ ）cm3 960mL＝（ ）L    5.4dm3＝（ ）L＝（ ）mL 【答案】103 0.38 720 0.96 5.4 5400 【分析】1m2＝100dm2，1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1L＝1dm3，高级单位换算低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率，据此解答。 【解答】1.03×100＝103（dm2） 380÷1000＝0.38（m3） 0.72×1000＝720（cm3） 960÷1000＝0.96（L） 5.4×1000＝5400（mL） 所以，1.03m2＝103dm2，380dm3＝0.38m3，0.72dm3＝720cm3，960mL＝0.96L，5.4dm3＝5.4L＝5400mL。 考点05 体积或容积单位的选择 13．在括号里填上适当的单位。 （1）小朋友每天要饮水1000（ ）。 （2）一瓶可口可乐约1.5（ ）。 （3）粉笔盒的体积约是0.8（ ）。 （4）一个集装箱能容纳货物50（ ）。 【答案】（1）毫升/mL （2）升/L （3）立方分米/dm3 （4）立方米/m3 【分析】根据体积（容积）单位和数据大小的认识，结合生活实际可知，容积的单位有升、毫升；一瓶水的容积有500毫升，一般情况下，小朋友一天喝2瓶水，也就是1000毫升水，所以小朋友每天要饮水的容积用毫升比较合适；一桶油大约有5升，一瓶可口可乐比一桶油小，所以一瓶可口可乐容积用升比较合适；体积单位中，粉笔盒尺寸较小，通常长宽高约10厘米，体积约1立方分米，所以粉笔盒的体积用立方分米比较合适；棱长是1米的正方体的体积是1立方米，所以一个集装箱的能容纳物体体积用立方米比较合适。 【解答】（1）小朋友每天要饮水1000毫升。 （2）一瓶可口可乐约1.5升。 （3）粉笔盒的体积约是0.8立方分米。 （4）一个集装箱能容纳货物50立方米。 14．在括号里填上合适的单位。 一盒牛奶大约有250（ ）            一个微波炉的体积大约是46（ ） 课桌桌面的面积约是260（ ）        一棵大树的高约是120（ ） 【答案】毫升/mL 立方分米/dm3 平方厘米/cm2 分米/dm 【分析】常见的容积单位有毫升、升，计量比较少的液体，通常用毫升作单位，1升相当于2瓶矿泉水的容积。 常见的体积单位有立方米、立方分米、立方厘米。洗衣机的体积大约为1立方米；粉笔盒的体积大约为1立方分米；骰子的体积大约为1立方厘米。 常见的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米，1平方米大约1张方桌面的大小，1平方分米大约1个手掌面的大小，1平方厘米大约1个指甲盖面的大小。 常见的长度单位有米、分米、厘米，扫帚的长度约为1米，普通的铅笔长度通常在1分米左右，成人的指甲宽度通常约为1厘米。结合生活实际解答。 【解答】一盒牛奶大约有250毫升（或mL）      一个微波炉的体积大约是46立方分米（或dm3） 课桌桌面的面积约是260平方厘米（或cm2）   一棵大树的高约是120分米（或dm） 15．填写适当的单位名称。 一块橡皮的体积约是6（ ）    货车车厢容积大约120（ ） 一个牛奶盒的容积约是250（ ）    一台冰箱体积约是2（ ） 【答案】立方厘米/cm3 立方米/m3 毫升/mL 立方米/m3 【分析】选择合适的体积或容积单位：2个矿泉水瓶的容积大约是1升，电脑桌的体积大约是1立方米，手指尖的体积大约是1立方厘米，粉笔盒的体积大约是1立方分米，据此结合给出的数据大小解答即可。 【解答】一块橡皮的体积约是6立方厘米；货车车厢容积大约120立方米； 一个牛奶盒的容积约是250毫升；一台冰箱体积约是2立方米。 考点06 计算长方体或正方体的体积 16．计算下面长方体和正方体的体积。 【答案】300；216；2040 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高和正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答。 【解答】（1）10×6×5 ＝60×5 ＝300（） 此长方体的体积是300。 （2）6×6×6 ＝36×6 ＝216（） 此正方体的体积是216。 （3）15×8×17 ＝120×17 ＝2040（） 此长方体的体积是2040。 17．计算下列图形的表面积和体积。      【答案】正方体的表面积是77.76m2，体积是46.656m3； 长方体的表面积是36.54cm2，体积是13.23cm3 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2、长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可解答。 【解答】表面积：3.6×3.6×6 ＝12.96×6 ＝77.76（m2） 体积：3.6×3.6×3.6 ＝12.96×3.6 ＝46.656（m3） 正方体的表面积是77.76m2，体积是46.656m3。 表面积：（4.2×1.5＋4.2×2.1＋1.5×2.1）×2 ＝（6.3＋8.82＋3.15）×2 ＝18.27×2 ＝36.54（cm2） 体积：4.2×1.5×2.1 ＝6.3×2.1 ＝13.23（cm3） 长方体的表面积是36.54cm2，体积是13.23cm3。 18．求出下列图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积dm2；体积729dm3 （2）表面积386 cm2；体积420 cm3 【分析】（1）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，，分别代入数据计算即可得解。 （2）根据，，分别代入数据计算即可得解。 【解答】（1）表面积： （dm2） 体积： （dm3） （2）表面积：2×（15×4 ＋ 15×7 ＋ 4×7） ＝ 2 × （60 ＋ 105 ＋ 28） ＝ 2 × 193 ＝ 386 （cm2） 体积：15×4×7＝420（cm3） 考点07 计算组合体的体积 19．求下图物体的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】534平方厘米；660立方厘米 【分析】根据对图的观察，该组合图形的表面积为上面长方体的表面积加上下面长方体的表面积，再减去它们的接触面，即两个长方形的面积，该长方形长为7厘米，宽为5厘米； 该组合图形的体积为上面长方体的体积加上下面长方体的体积； 根据长方体表面积S＝（ab＋ah＋bh）×2，长方体体积V＝abh，长方形面积公式：长方形面积＝长×宽，据此将数据代入计算即可。 【解答】12－6＝6（厘米） （7×5＋7×6＋5×6）×2＋（15×5＋15×6＋5×6）×2－（7×5×2） ＝（35＋42＋30）×2＋（75＋90＋30）×2－70 ＝107×2＋195×2－70 ＝214＋390－70 ＝534（平方厘米） 7×5×6＋15×5×6 ＝35×6＋75×6 ＝210＋450 ＝660（立方厘米） 物体的表面积是534平方厘米，体积是660立方厘米。 20．求下列组合图形的体积。（单位：cm） 【答案】27cm3；232cm3 【分析】左边：组合图形的体积＝两个长方体体积之和，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可； 右边：组合图形的体积＝长方体的体积－正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【解答】5×3×1＋2×2×3 ＝15＋4×3 ＝15＋12 ＝27（cm3） 8×6×5－2×2×2 ＝48×5－4×2 ＝240－8 ＝232（cm3） 左边组合图形的体积为27cm3，右边组合图形的体积为232cm3。 21．计算下列图形的体积。              【答案】100cm3；848dm3 【分析】左图根据长方体的体积＝底面积×高，代入数据解答即可； 右图＝长方体的体积＋正方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【解答】25×4＝100（cm3） 15×8×7＋23 ＝120×7＋8 ＝840＋8 ＝848（dm3） 左图的体积是100cm3，右图的体积是848dm3。 考点08 体积的等积变形 22．在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？ 【答案】72厘米 【分析】根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，求出左图形里水深24厘米的水的体积，由于体积不变，再用水的体积÷（右图的长×宽），即可求出这时水深，据此解答。 【解答】90×60×24÷（60×30） ＝90×60×24÷1800 ＝5400×24÷1800 ＝129600÷1800 ＝72（厘米） 答：这时水深72厘米。 23．把一块长是3分米、宽是6厘米、高是9厘米的长方体铁块，锻造成边长是3厘米的小正方体铁块，能锻造成多少块？ 【答案】60块 【分析】根据题意，3分米＝30厘米，结合长方体的体积公式：长×高×宽，先求出长方体铁块的体积，再根据正方体的体积公式：边长×边长×边长，用长方体的体积除以正方体的体积，即可求出答案。 【解答】3分米＝30厘米 30×6×9 ＝180×9 ＝1620（立方厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 1620÷27＝60（块） 答：能锻造成60块。 24．把一块棱长是20厘米的正方体钢坯锻成长是25厘米、宽是16厘米的长方体钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 【答案】20厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出钢坯体积，再根据长方体的高＝体积÷底面积，列式解答即可。 【解答】20×20×20÷（25×16） ＝8000÷400 ＝20（厘米） 答：锻成的长方体钢材的高是20厘米。 考点09 立体图形的切拼 25．把一个长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米的长方体锯成一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方分米？剩下部分的体积是多少立方分米？ 【答案】27立方分米；117立方分米 【分析】由题意可知，锯成的这个最大的正方体的棱长等于长方体的高，再根据长方体的体积＝长×宽×高、正方体的体积＝棱长×棱长×棱长分别求出长方体和正方体的体积，最后用长方体的体积减去锯成的正方体体积就是剩下部分的体积，据此解答即可。 【解答】3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方分米） 8×6×3 ＝48×3 ＝144（立方分米） 144－27＝117（立方分米） 答：这个正方体的体积是27立方分米，剩下部分的体积是117立方分米。 26．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？ 【答案】93立方厘米 【分析】由题意可知，截去最大的正方体，这个正方体的棱长是长方体的最短边，即3厘米，根据和，用长方体的体积减正方体的体积即可得解。 【解答】 （立方厘米） 答：剩下的体积是93立方厘米。 27．用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，拼成一个大长方体，大长方体的体积是多少立方厘米，表面积最大是多少平方厘米？ 【答案】体积：9000立方厘米；表面积：3300平方厘米 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，先用20×15×10，求出1个小长方体的体积，再乘3，求出3个小长方体的体积，即大长方体的体积。 用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，拼成一个大长方体，要想使拼成的大长方体表面积最大，就需要把最小的面拼在一起，20＞15＞10，即把左、右面拼在一起，如图：，拼成一个长是（20×3）厘米，宽是15厘米，高是10厘米的大长方体，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【解答】20×15×10×3 ＝300×10×3 ＝3000×3 ＝9000（立方厘米） 拼成表面积最大的长方体，长方体的长：20×3＝60（厘米），宽是15厘米，高是10厘米。 （60×15＋60×10＋15×10）×2 ＝（900＋600＋150）×2 ＝（1500＋150）×2 ＝1650×2 ＝3300（平方厘米） 答：大长方体的体积是9000立方厘米，表面积最大是3300平方厘米。 考点10 体积单位和容积单位间的换算 28．一种用薄铁皮制成的长方体油箱长80厘米，横截面是边长为50厘米的正方形。 （1）忽略接头，制作这个油箱需铁皮多少平方分米？ （2）这个油箱最多可装油约多少升？ 【答案】（1）210平方分米 （2）200升 【分析】（1）横截面是边长为50厘米的正方形，说明这个长方体油箱的宽和高都是50厘米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可；根据1平方分米＝100平方厘米，统一单位。 （2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出这个油箱的容积即可。根据1升＝1000立方厘米，统一单位。 【解答】（1）（80×50＋80×50＋50×50）×2 ＝（4000＋4000＋2500）×2 ＝10500×2 ＝21000（平方厘米） ＝210（平方分米） 答：制作这个油箱需铁皮210平方分米。 （2）80×50×50＝200000（立方厘米）＝200（升） 答：这个油箱最多可装油约200升。 29．一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 【答案】24升 【分析】求缸里的水会溢出多少，就是求正方体铁块的体积比长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积多多少，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，分别求出正方体铁块的体积和长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，再用正方体铁块的体积减去长方体玻璃水缸还能容纳物体的体积，求出缸里的水溢出多少立方分米，再根据1立方分米＝1升，把立方分米化为升即可解答。 【解答】4×4×4－8×5×（5－4） ＝16×4－40×1 ＝64－40 ＝24（立方分米） 24立方分米＝24升 答：缸里的水会溢出24升。 30．给一个底面长和宽都是3分米的长方体鱼缸中倒入10升，再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出。此时水深1.4分米。这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计） 【答案】2.6立方分米 【分析】求石头的体积就是上升水的体积，可以利用长方体的体积＝长×宽×高，先求出放入石头后水的体积，再减去原有水的体积，即可求出上升部分水的体积，也就是石头的体积，由此即可列式解答，注意升要换算成立方分米。 【解答】10升＝10立方分米 （立方分米） （立方分米） 答：这块观赏石的体积是2.6立方分米。 考点11 长方体、正方体的容积 31．如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 【答案】90立方厘米 【分析】长方体容器的长＝长方形硬纸板的长－小正方形的边长×2，长方体容器的宽＝长方形硬纸板的宽－小正方形的边长×2，长方体容器的高＝小正方形的边长，根据长方体体积＝长×宽×高，即可求出容积。 【解答】（13－2×2）×（9－2×2）×2 ＝（13－4）×（9－4）×2 ＝9×5×2 ＝90（立方厘米） 答：这个容器的容积是90立方厘米。 32．用下图中的5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 【答案】900平方厘米；9升 【分析】根据长方体的特征，它的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等．由题意可知，用图中的5块玻璃拼成一个水缸，由此确定把长45厘米、宽20厘米的作底面，用长45厘米，宽10厘米的两块作前、后面，长20厘米，宽10厘米的两块作左、右面；占地面积就是它的底面积，再根据长方体的容积（体积）公式：V＝abh，计算出它的容积是多少立方厘米，根据1升＝1立方分米＝1000立方厘米，换算成容积单位即可。 【解答】45×20＝900（平方厘米） 45×20×10＝9000（立方厘米）＝9（升） 答：这只水缸放在桌子上占的面积是900平方厘米，能装水9升。 33．一个长方体的容器，长8分米，宽6分米，高4分米。 （1）它的容积是多少？ （2）这个容器里原有一些水，再放入一个棱长3分米的正方体铁块，容器中的水溢出了3升。则原来容器中的水深多少分米？ 【答案】（1）192升； （2）3.5分米 【分析】（1）长方体容积＝长×宽×高，由此计算出容积是多少立方分米，再根据“1立方分米＝1升”进行单位换算； （2）正方体体积＝棱长×棱长×棱长，由此计算出正方体铁块的体积。将容器的容积减去铁块的体积，求出剩下水的体积，再将剩下水的体积加上溢出水的体积，求出原来水的体积。原来的水自成一个长方体，根据“长方体高＝体积÷底面积”求出原来的水深，计算时注意单位换算。 【解答】（1）8×6×4＝192（立方分米）＝192（升） 答：它的容积是192升。 （2）192升＝192立方分米 3升＝3立方分米 （192－3×3×3＋3）÷（8×6） ＝（192－27＋3）÷48 ＝168÷48 ＝3.5（分米） 答：原来容器中的水深3.5分米。 考点12 测量不规则物体的体积 34．有一个长方体容器，从里面量底面积是12平方分米，高是1.5分米，里面装有1 分米深的水，放入两块石子后（石子完全淹没），水面升高0.2分米，这两块石子的体积是多少立方分米？ 【答案】2.4立方分米 【分析】根据题意，两块石子完全淹没在水中，水面升高0.2分米，那么水上升部分的体积就是这两块石子的体积；根据长方体的体积公式V＝Sh，代入数据计算求解。 【解答】12×0.2＝2.4（立方分米） 答：这两块石子的体积是2.4立方分米。 35．贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（    ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 【答案】（1）①③④ （2）50立方厘米 【分析】（1）水面上升的体积就是浸没在水中酥李的体积，要求平均每个酥李的体积，必须知道容器的长和宽，以及水面原来高度和水面上升后的高度，据此选择信息； （2）长方体容器的长×宽×水面上升的高度＝5个酥李的体积和，再除以5，即可求出平均每个酥李的体积。 【解答】（1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到①③④。 （2）25×20×（8.5－8） ＝500×0.5 ＝250（立方厘米） 250÷5＝50（立方厘米） 答：平均每个酥李的体积是50立方厘米。 36．下图是一个长方体形状的玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米，请你回答下面的问题。 （1）这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ （2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？（无盖） （3）石块沉入前玻璃鱼缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算这个石块的体积？ 【答案】（1）96平方分米 （2）496平方分米 （3）192立方分米 【分析】（1）玻璃钢的占地面积就是玻璃钢与地面的接触面积，玻璃钢与地面的接触面积是长为12分米、宽为8分米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽解答。 （2）无盖的玻璃鱼缸的表面积是一个下面的面积、两个前面的面积、两个右面的面积，这个玻璃鱼缸的表面积＝长×宽＋（宽×高＋长×高）×2，据此代入数据解答。 （3）升高的水的体积就是这个石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据列式为：12×8×2。 【解答】（1）12×8＝96（平方分米） 答：这个玻璃鱼缸占地面积是96平方分米。 （2）12×8＋（8×10＋12×10）×2 ＝96＋（80＋120）×2 ＝96＋200×2 ＝96＋400 ＝496（平方分米） 答：做这个玻璃鱼缸需要496平方分米的玻璃。 （3）12×8×2 ＝96×2 ＝192（立方分米） 答：这个石块的体积是192立方分米。 基础试炼 一、填空题 1．一根长方体木料，长4m，横截面的面积是0.03m2。这根木料的体积是（ ）m3。 【答案】0.12 【分析】根据长方体的体积＝底面积×高，在此题中，这个横截面积就是长方体的底面积，这个长方体木料的长度就是长方体的高，把数据代入公式计算即可解答。 【解答】0.03×4＝0.12（m3） 所以，这根木料的体积是0.12m3。 2．填上合适的单位名称。 体积约40（ ）。可运货物的体积约40（ ）。体积约200（ ）。 【答案】立方分米/dm3 立方米/m3 立方厘米/cm3 【分析】常见的体积单位有：立方厘米、立方分米、立方米，1立方厘米相当于一个手指尖的体积，一个粉笔盒的体积接近1立方分米，棱长为1米的正方体的体积是1立方米，结合题中数据联系生活实际选择合适的体积单位，据此解答。 【解答】分析可知，微波炉的体积大约是40立方分米，货车可运货物的体积约40立方米，铅笔盒的体积大约是200立方厘米。 3．某海岛上的战士为当地居民修建了一个长24m、宽13m、深1.7m的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水（ ）m3。 【答案】530.4 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出蓄水池容积即可。 【解答】24×13×1.7＝530.4（m3） 这个蓄水池最多可蓄水530.4m3。 4．3500mL＝（ ）dm3＝（ ）L    6500dm3＝（ ）m3 1.5m2＝（ ）dm2        2430cm3＝（ ）dm3 【答案】3.5 3.5 6.5 150 2.43 【分析】高级单位换算低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率。再根据1升＝1000毫升，1立方分米＝1000立方厘米，1立方分米＝1升，1立方厘米＝1毫升，1平方米＝100平方分米换算单位即可。 【解答】3500÷1000＝3.5（L） 3500mL＝3.5dm3＝3.5L 6500÷1000＝6.5（m3） 6500dm3＝6.5m3 1.5×100＝150（dm2） 1.5m2＝150dm2 2430÷1000＝2.43（dm3） 2430cm3＝2.43dm3 5．张师傅把一根长方体木料，沿着长截去3分米后，剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是（ ）立方分米。 【答案】125 【分析】根据题意可知，长方体木料的宽和高相等，减少面积是4个长为3分米，宽为长方体的宽的长方形的面积，据此就可以求出原来长方体的宽，就是剩下的正方体的棱长，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可解答。 【解答】60÷4÷3 ＝15÷3 ＝5（分米） 5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方分米） 所以，剩下的正方体木料的体积是125立方分米。 6．棱长为3cm的正方体的体积是（ ），把两个这样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ），拼成的长方体表面积是（ ）。 【答案】27 18 90 【分析】正方体的体积公式：，据此求出一个正方体的体积。 把两个棱长是3cm的正方体拼成一个长方体，表面积减少了正方体的两个面的面积，根据正方形的面积公式：，求出一个面的面积再乘2，即可求出减少的表面积。 正方体的表面积公式：，拼成的长方体的表面积等于两个正方体的表面积和减去减少的表面积，据此解答。 【解答】（cm3） （cm2） （cm2） 正方体的体积是27cm3，把两个这样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了18cm2，拼成的长方体表面积是90cm2。 7．如图所示，一段长方体木料的长是a厘米，宽是b厘米，高是h厘米。如果锯去m厘米高，则它的表面积减少（ ）平方厘米，体积减少（ ）立方厘米。 【答案】2am＋2bm abm 【分析】根据题意，一段长方体木料锯去m厘米高，则减少的表面积是4个侧面的面积，即2个长为a厘米、宽为m厘米的长方形的面积与2个长为b厘米、宽为m厘米的长方形的面积之和；根据“长方形的面积＝长×宽”求出减少的表面积； 减少的体积是长为a厘米、宽为b厘米、高为m厘米的长方体的体积；根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出减少的体积。 【解答】a×m×2＋b×m×2＝（2am＋2bm）（平方厘米） a×b×m＝abm（立方厘米） 填空如下： 则它的表面积减少（2am＋2bm）平方厘米，体积减少（abm）立方厘米。 8．如图，将一个长方形纸板剪去4个角后，折成一个无盖的长方体的纸盒，这个纸盒的容积是（ ）。 【答案】1500 【分析】根据题意可知，折成长方体后，长方体的长是（30－5×2）cm，宽是（25－5×2）cm，高是5cm；根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【解答】（30－5×2）×（25－5×2）×5 ＝（30－10）×（25－10）×5 ＝20×15×5 ＝300×5 ＝1500（cm3） 1500cm3＝1500mL 这个纸盒的容积是1500。 9．把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 【答案】0.729 【分析】根据题意，将一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个体积最大的正方体，这个正方体的棱长等于长方体的宽，再根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出正方体的体积，最后把结果根据1立方分米＝1000立方厘米换算成立方分米为单位即可。 【解答】9×9×9 ＝81×9 ＝729（立方厘米） 729立方厘米＝0.729立方分米 这个正方体的体积是0.729立方分米。 10．一个长方体中相邻两个面的面积分别是15cm2，21cm2，这个长方体（长、宽、高都是质数）的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 【答案】142 105 【分析】长方体相对的面面积相等，其中前或后面的面积＝长×高，上、下面的面积＝长×宽，左或右面的面积＝宽×高。这个长方体的长、宽、高都是质数，且相邻两个面的面积分别是15cm2、21cm2，那么把15和21分别分解质因数，从而确定长方体的长、宽、高，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【解答】15＝5×3 21＝7×3 则这个长方体的长、宽、高分别是7cm、5cm、3cm。 表面积：（7×5＋7×3＋5×3）×2 ＝（35＋21＋15）×2 ＝71×2 ＝142（cm2） 体积：7×5×3＝105（cm3） 则这个长方体的表面积是142cm2，体积是105cm3。 二、选择题 11．如图，小禾在一个长方体容器中摆了若干个体积为1cm3的小正方体。这个容器的容积是（    ）cm3。 A．72 B．84 C．90 D．108 【答案】C 【分析】因为小正方体的体积是1 cm3，所以小正方体的棱长是1cm。从图中可以看出，长方体容器的长、宽、高分别可以摆6个、5个、3个小正方体，那么长方体的长、宽、高分别是6 cm、5 cm、3 cm，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出长方体容器的容积，据此解答即可。 【解答】6×5×3 ＝30×3 ＝90（cm3） 因此，这个容器的容积是90cm3。 故答案为：C 12．一个正方体的棱长是5dm，它的体积是（    ）dm3。 A．150 B．125 C．25 【答案】B 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，把题目中的数据代入公式计算即可求得这个正方体的体积，据此解答。 【解答】5×5×5 ＝25×5 ＝125（dm3） 所以，它的体积是125dm3。 故答案为：B 13．一部电梯从里面量，长15dm、宽12dm、高25dm，如果一个人乘电梯平均占地约15dm2，占空间约250dm3。这部电梯一次最多能容纳（    ）个人。 A．10 B．12 C．18 D．28 【答案】B 【分析】根据生活经验可知，人站在电梯里，人身高一定小于电梯的高度，所以根据每个人占地面积确定最多能容纳的人数，根据长方形的面积＝长×宽，求出电梯的底面积，再根据“包含”除法的意义，用除法解答。 【解答】15×12÷15 ＝180÷15 ＝12（个） 所以，这部电梯一次最多能容纳12个人。 故答案为：B 14．把一个棱长为4dm的正方体铁块熔铸成一个长是8dm、宽是4dm的长方体铁块，这个长方体铁块的高是（    ）dm。 A．1 B．2 C．6 【答案】B 【分析】把一个正方体铁块熔铸成一个长方体铁块，体积不变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据求出正方体铁块的体积，也是长方体铁块的体积，再根据长方体的体积＝长×宽×高，用长方体铁块的体积除以长和宽，即可求出它的高。 【解答】4×4×4＝64（dm3） 64÷8÷4＝2（dm） 则这个长方体铁块的高是2dm。 故答案为：B 15．长方体过同一顶点的三个面的面积分别是3、6、18，则这个长方体的体积是（    ）。 A．324 B．36 C．12 D．18 【答案】D 【分析】根据题意可知，长方体过同一顶点的三个面的面积分别等于长×宽、长×高、宽×高，据此可知，长×宽×高×长×宽×高＝3×6×18；因为长方体的体积＝长×宽×高，所以长方体体积的平方＝3×6×18，据此算出3×6×18，再推出哪两个相同数相乘，即可得出长方体的体积。 【解答】根据分析可知，长方体体积的平方＝3×6×18 3×6×18＝18×18 所以长方体体积为18。 故答案为：D 【点评】解答本题的关键是明确长方体的每个面面积和长方体体积之间的关系。 16．一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 【答案】B 【分析】如果高增加2厘米，则其增加的体积等于长a厘米、宽b厘米、高2厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可解答。 【解答】a×b×2＝2ab（立方厘米） 所以一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加2ab立方厘米。 故答案为：B 17．一盒酸奶的外包装是一个长方体纸盒，包装纸上标有“净含量250mL”。实际外包装长5cm，宽5cm。如果你来设计，你认为酸奶盒比较合适的高度是（    ） A．5cm B．10cm C．10.5cm D．15cm 【答案】C 【分析】包装的高度一定大于酸奶的高度，“净含量250mL”说明酸奶一共有250mL，先根据公式高＝长方体体积÷长÷宽，求出酸奶的高度，然后再跟选项进行比较，选择略微高出酸奶高度的酸奶盒即可。 【解答】250mL＝250cm³ 250÷5÷5＝10（cm） 10.5cm＞10cm 故答案为：C 18．把一个棱长是8厘米的正方体钢锭，熔铸成一个长方体钢锭，已知长方体的长是5厘米，宽是8厘米，它的高是（    ）厘米。 A．12.6 B．12 C．9.6 D．12.8 【答案】D 【分析】根据题意，正方体的钢锭的体积等于长方体钢锭的体积，根据得出正方体的体积是512立方厘米，即长方体的体积也是512立方厘米，根据，得出长方体的高＝体积÷长÷宽。 【解答】8×8×8＝512（平方厘米） 512÷5÷8＝12.8（厘米） 它的高是12.8厘米。 故答案为：D 19．家具厂订购50根方木，每根方木横截面的面积是0.024平方米，长3米。这些木料一共是（    ）立方米。 A．0.072 B．36 C．3.6 【答案】C 【分析】根据长方体的体积＝横截面的面积×长，据此求出一根方木的体积，再乘方木的数量，即可求出这些木料的体积。据此解答。 【解答】0.024×3×50 ＝0.072×50 ＝3.6（立方米） 这些木料一共是3.6立方米。 故答案为：C 20．把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了18平方分米，原来正方体的体积是（    ）立方分米。 A．27 B．54 C．729 【答案】A 【分析】把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了2个正方形的面，增加的表面积÷2＝1个正方形的面，根据正方形面积＝边长×边长，确定原来正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，列式计算即可。 【解答】18÷2＝9（平方分米） 9＝3×3 原来正方体的棱长是3分米。 3×3×3＝27（立方分米） 原来正方体的体积是27立方分米。 故答案为：A 三、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积：288cm2；体积：280cm3 【分析】据图可知，这个图形的表面积就等于长是12cm宽是6cm高是4cm的长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据求出图形的表面积；这个图形的体积等于长是12cm宽是6cm高是4cm的长方体的体积减去一个棱长是2cm的正方体的体积，据此结合正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高代入数据列式计算即可。 【解答】（12×6＋12×4＋6×4）×2 ＝（72＋48＋24）×2 ＝144×2 ＝288（cm2） 12×6×4－2×2×2 ＝72×4－8 ＝288－8 ＝280（cm3） 表面积是：288cm2，体积是：280cm3。 22．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】（1）表面积220cm2；体积200cm3 （2）表面积484cm2；体积637cm3 【分析】（1）分别根据和，代入数据计算即可。 （2）该立体图形的表面积就是用大正方体的表面积加上小正方体的侧面积，即可解答；体积根据，代入数据计算两个正方体的体积之和即可。 【解答】（1）表面积： （cm2） 体积： （cm3） 表面积是220cm2；体积是200cm3。 （2）表面积： （cm2） 体积： （cm3） 表面积是484cm2；体积是637cm3。 高阶突破 四、解答题 23．一个长方体，底面是个正方形，它的高是12厘米，所有棱长的和是112厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】768立方厘米 【分析】由题意可知，这个长方体的长和宽相等，长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，根据长方体的棱长之和与高求出长方体的长和宽，最后利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。 【解答】（112÷4－12）÷2 ＝（28－12）÷2 ＝16÷2 ＝8（厘米） 8×8×12 ＝64×12 ＝768（立方厘米） 答：这个长方体的体积是768立方厘米。 24．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？ 【答案】45平方分米；27立方分米 【分析】由正方体的棱长和＝棱长×12可推导出，棱长＝正方体的棱长和÷12，据此先用铁丝长度除以12求出正方体灯笼的棱长；正方体灯笼5个面要糊上安全阻燃纸，再用棱长×棱长×5即可求出安全阻燃纸的面积；最后根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个灯笼的体积。 【解答】（分米） （平方分米） （立方分米） 答：至少需要45平方分米的安全阻燃纸。这个灯笼的体积是27立方分米。 25．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？ 【答案】1500立方厘米 【分析】根据题意，在长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮的四个角上分别剪去边长为5厘米的正方形，做成一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒，那么这个长方体的长是（40－5－5）厘米，宽是（20－5－5）厘米，高是5厘米。根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出这个铁皮盒的容积。 【解答】长：40－5－5＝30（厘米） 宽：20－5－5＝10（厘米） 容积：30×10×5＝1500（立方厘米） 答：做出的铁皮盒容积是1500立方厘米。 26．张叔叔一家自驾去游玩，在加油站加满了一箱油。加油站距离目的地有390千米。到达目的地，这一箱油够用吗？写出你的思考过程。 【答案】够用；思考过程见详解 【分析】用加油站距离目的地的距离÷100，求出总路程包含几个100千米，求需要几个8.6升的油，再与油箱容积比较即可。 【解答】390÷100×8.6 ＝3.9×8.6 ＝33.54（升） 33.54＜40 答：这一箱油够用。 27．一个长方体水箱，从里面量长30厘米，宽20厘米。水箱内盛有一些水，把一块石头放入水中，如下图。这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】2400立方厘米 【分析】根据题意，已知长30厘米，宽20厘米，一块石头放入水中，求的是石头的体积，即求增加的水体积即可。图1示水面离水箱上边缘5厘米，图2示水面离水箱上边缘1厘米，增加的水面高度5－1＝4（厘米），根据长方体体积计算公式：长方体体积＝长×宽×高，将数据代入公式计算即可。 【解答】30×20×（5－1） ＝600×4 ＝2400（立方厘米） 答：这块石头的体积是2400立方厘米。 28．一间长方体仓库从里面量得长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米。（如图）。 （1）现需要给仓库内部的四壁及天花板粉刷涂料，每千克涂料可刷5平方米，共需多少千克涂料？ （2）这个仓库能容纳的体积是多少？ 【答案】（1）31.2千克 （2）192立方米 【分析】（1）粉刷涂料的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2－门的面积，粉刷涂料的面积÷每千克涂料可刷面积＝需要的涂料质量，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【解答】（1）8×6＋8×4×2＋6×4×2－2×2 ＝48＋64＋48－4 ＝156（平方米） 156÷5＝31.2（千克） 答：共需31.2千克涂料。 （2）8×6×4＝192（立方米） 答：这个仓库能容纳的体积是192立方米。 29．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 【答案】8厘米 【分析】水的体积＝容器的底面积×水深，可以列方程求解，设水深是x厘米，等量关系为：容器甲的底面积×水深＋容器乙的底面积×水深＝容器乙的底面积×24厘米。 【解答】解：设这时水深是x厘米。 40×30×x＋20×30×x＝20×30×24 1200x＋600x＝14400 1800x＝14400 1800x÷1800＝14400÷1800 x＝8 答：这时水深是8厘米。 30．望谟县地处亚热带湿润季风气候，独特的地理气候条件，使望谟芒果具有糖分高、果肉细腻、味道香甜等优势。2022年2月，望谟芒果获农业农村部农产品地理标志登记产品。小芳把1升水倒入一个高12厘米的长方体塑料盒里，水面高8厘米。放入一个芒果后，水面高10厘米。 （1）盒子的底面积是多少平方厘米？ （2）芒果的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）125平方厘米 （2）250立方厘米 【分析】（1）根据“底面积＝长方体体积÷高”列式计算出盒子的底面积； （2）放入芒果后，水面上升的部分的体积是芒果的体积。水面上升部分形成了一个长方体，根据“长方体体积＝底面积×高”求出上涨部分的体积，即芒果的体积。 【解答】（1）1升＝1000立方厘米 1000÷8＝125（平方厘米） 答：盒子的底面积是125平方厘米。 （2）125×（10－8） ＝125×2 ＝250（立方厘米） 答：芒果的体积是250立方厘米。 31．某品牌巧克力1盒的尺寸如图： 厂家计划将2盒巧克力合在一起出售，有下面3种不同的包装方案（如图）。 （1）哪种包装方案最省材料？至少需要多少平方厘米的包装材料？（接头忽略不计） （2）设计师设计了一种包装盒（如图），从包装盒的平面展开图看，是根据第几种包装方案设计的？它的容积是多少？（盒子厚度忽略不计） 【答案】（1）③包装方案；1070平方厘米； （2）①包装方案；1500立方厘米 【分析】（1）根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，分别算出三种包装方案各需要多少平方厘米的包装材料，然后比较即可； （2）看展开图的长、宽、高和哪种方案的长、宽、高分别相等；求长方体的容积用长方体的体积公式，根据长方体的体积＝长×宽×高求解即可。 【解答】（1）①长是15＋15＝30（厘米）、宽是25厘米、高是2厘米 （30×25＋30×2＋25×2）×2 ＝（750＋60＋50）×2 ＝860×2 ＝1720（平方厘米） ②长是25＋25＝50（厘米）、宽是15厘米、高是2厘米 （50×15＋50×2＋15×2）×2 ＝（750＋100＋30）×2 ＝880×2 ＝1760（平方厘米） ③长是25厘米、宽是15厘米、高是2＋2＝4（厘米） （25×15＋25×4＋15×4）×2 ＝（375＋100＋60）×2 ＝535×2 ＝1070（平方厘米） 1070＜1720＜1760 答：③包装方案最省材料，至少需要1070平方厘米的包装材料。 （2）包装盒的长是30厘米、宽是25厘米、高是2厘米和①方案的长、宽、高分别相等。 30×25×2 ＝750×2 ＝1500（立方厘米） 答：是根据①包装方案设计的，它的容积是1500立方厘米。 32．王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6分米的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计） （1）如果要给这个正方体框架安装上玻璃板，已知每平方分米玻璃隔板0.35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？ （2）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计） （3）在这个正方体玻璃箱中，倒入一定的水，水面高度恰好是3分米，再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了3.5分米，求这个铁块的体积。 （4）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8分米，宽3分米的长方体框架。这个长方体框架的高是多少分米？ 【答案】（1）63元 （2）216升 （3）18立方分米 （4）7分米 【分析】（1）先求出这个正方体玻璃箱5个面的面积之和，再用5个面的总面积乘0.35，所得结果即为制作这个正方体玻璃箱需要的费用。 （2）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数值计算，所得结果即为这个正方体玻璃箱的容积。 （3）水面高度由原来的3分米变成了3.5分米，水面上升了（3.5－3＝0.5）分米，上升这部分水的体积等于这个铁块的体积；用这个正方体玻璃箱的底面积乘0.5，所得结果即为这个铁块的体积。 （4）根据正方体的棱长总和＝棱长×12，计算出一根钢材的总长度；再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用钢材的总长度÷4，再分别减去长和宽，所得结果即为这个长方体框架的高。 【解答】（1）6×6×5×0.35 ＝36×5×0.35 ＝180×0.35 ＝63（元） 答：制作这个正方体玻璃箱需要63元。 （2）6×6×6＝216（立方分米） 216立方分米＝216升 答：这个正方体玻璃箱的容积是216升。 （3）6×6×（3.5－3） ＝36×0.5 ＝18（立方分米） 答：这个铁块的体积是18立方分米。 （4）钢材的总长度：6×12＝72（分米） 72÷4－（8＋3） ＝18－11 ＝7（分米） 答：这个长方体框架的高是7分米。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点剖析及分层精练 第5讲 长方体和正方体的体积 知识点一体积和体积单位 1、体积单位 （1）物体所占空间的大小叫做物体的体积。 （2）常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3、m3。 棱长是1cm的正方体，体积是1cm3; 棱长是1dm的正方体，体积是1dm3; 棱长是1m的正方体，体积是1m3。 2、体积计算公式 （1）长方体的体积=长×宽×高。 用字母表示:V=abh。 （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 用字母表示:V=a3。 知识点二体积单位间的进率 1、体积单位换算：1立方分米=1000立方厘米　1立方米=1000立方分米 相邻的两个体积单位间的进率是1000。 知识点三容积和容积单位 1、容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 （2）计量容积，一般用体积单位。计量液体的体积，如水、油等，常用容积单位升和毫升，也可以写作L或mL。 （3）容积单位的换算:1升=1000毫升 容积单位和体积单位的关系:1升=1立方分米 1毫升=1立方厘米 考点01 体积和体积单位的认识 1．比较图中物体的体积，在（    ）中填“＞”或“＜”。 （1）图1中，两杯水的体积比较：甲（ ）乙。 （2）图2中，两块石头的体积比较：甲（ ）乙。 （3）图3中，两个立体图形的体积比较：甲（ ）乙。 2．下面的图形是用棱长1cm的小正方体拼成的，它们的体积各是多少立方厘米？ （ ）cm3    （ ）cm3    （ ）cm3    （ ）cm3 3．下面物体中体积比1cm3小的有（ ），比1cm3大的有（ ）。 考点02 容积和容积单位的认识 4．一个瓶子最多能装2dm3的水，则2dm3既是瓶子的（ ），又是水的（ ）。 5．计量液体的体积通常用升和（ ）作单位。一个容积可以装60立方分米的水，我们就说这个容器的容积是60（ ）。 6．在下面的（    ）里填上合适的单位名称。 一间教室所占空间大约120（ ）；数学书的封面大约是550（ ）； 一桶纯净水大约10（ ）；一瓶牛奶大约是280（ ）。 考点03 体积单位间的换算 7．1080立方分米＝（ ）立方米    2时15分＝（ ）时 8．8立方米＝（ ）立方分米      2800立方厘米＝（ ）立方分米 9．15秒＝（ ）分    3.85m3＝（ ）dm3 考点04 容积单位间的换算 10．＝（ ）L＝（ ）mL。 11．6小时15分＝（ ）时；6升50毫升＝（ ）升。 12．1.03m2＝（ ）dm2    380dm3＝（ ）m3    0.72dm3＝（ ）cm3 960mL＝（ ）L    5.4dm3＝（ ）L＝（ ）mL 考点05 体积或容积单位的选择 13．在括号里填上适当的单位。 （1）小朋友每天要饮水1000（ ）。 （2）一瓶可口可乐约1.5（ ）。 （3）粉笔盒的体积约是0.8（ ）。 （4）一个集装箱能容纳货物50（ ）。 14．在括号里填上合适的单位。 一盒牛奶大约有250（ ）            一个微波炉的体积大约是46（ ） 课桌桌面的面积约是260（ ）        一棵大树的高约是120（ ） 15．填写适当的单位名称。 一块橡皮的体积约是6（ ）    货车车厢容积大约120（ ） 一个牛奶盒的容积约是250（ ）    一台冰箱体积约是2（ ） 考点06 计算长方体或正方体的体积 16．计算下面长方体和正方体的体积。 17．计算下列图形的表面积和体积。      18．求出下列图形的表面积和体积。 考点07 计算组合体的体积 19．求下图物体的表面积和体积。（单位：厘米） 20．求下列组合图形的体积。（单位：cm） 21．计算下列图形的体积。              考点08 体积的等积变形 22．在一个封闭的水箱内装入水，从里面量，水箱的长、宽、高如下左图所示。水深24厘米，如果把这个水箱立起来放（如下右图），这时水深有多少厘米？ 23．把一块长是3分米、宽是6厘米、高是9厘米的长方体铁块，锻造成边长是3厘米的小正方体铁块，能锻造成多少块？ 24．把一块棱长是20厘米的正方体钢坯锻成长是25厘米、宽是16厘米的长方体钢材。锻成的长方体钢材的高是多少厘米？ 考点09 立体图形的切拼 25．把一个长、宽、高分别是8分米、6分米、3分米的长方体锯成一个最大的正方体。这个正方体的体积是多少立方分米？剩下部分的体积是多少立方分米？ 26．下面长方体截去一个最大的正方体后，剩下的体积是多少？ 27．用三个长20厘米，宽15厘米，高10厘米的小长方体，拼成一个大长方体，大长方体的体积是多少立方厘米，表面积最大是多少平方厘米？ 考点10 体积单位和容积单位间的换算 28．一种用薄铁皮制成的长方体油箱长80厘米，横截面是边长为50厘米的正方形。 （1）忽略接头，制作这个油箱需铁皮多少平方分米？ （2）这个油箱最多可装油约多少升？ 29．一个长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深4分米。如果竖直放入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水会溢出多少升？ 30．给一个底面长和宽都是3分米的长方体鱼缸中倒入10升，再将一块观赏石浸没在水中，水无溢出。此时水深1.4分米。这块观赏石的体积有多大？（玻璃厚度忽略不计） 考点11 长方体、正方体的容积 31．如图所示，在长为13厘米、宽为9厘米的长方形硬纸板的四个角各去掉边长为2厘米的小正方形硬纸板，然后沿虚线折叠成长方体容器。这个容器的容积是多少立方厘米？ 32．用下图中的5块玻璃拼成一个水缸，（单位：厘米、厚度不计）。这只水缸放在桌子上占的面积是多少平方厘米？能装水多少升？ 33．一个长方体的容器，长8分米，宽6分米，高4分米。 （1）它的容积是多少？ （2）这个容器里原有一些水，再放入一个棱长3分米的正方体铁块，容器中的水溢出了3升。则原来容器中的水深多少分米？ 考点12 测量不规则物体的体积 34．有一个长方体容器，从里面量底面积是12平方分米，高是1.5分米，里面装有1 分米深的水，放入两块石子后（石子完全淹没），水面升高0.2分米，这两块石子的体积是多少立方分米？ 35．贵州贵定盘江酥李味甜汁多、酥脆爽口，深受大家欢迎。为测量一个酥李的体积，小丽和爸爸拿了5个差不多大的酥李做了如下实验： ①测量出一个长方体容器内的长是25厘米，宽是20厘米。 ②测量出长方体容器内的高是20厘米。 ③在容器内注入一定量的水，量出水面高度是8厘米。 ④将5个酥李完全浸没在水中（水未溢出），量出水面高度是8.5厘米。 （1）要求平均每个酥李的体积，上面的信息必须用到（    ）。（填序号） （2）根据选出的信息，求出平均每个酥李的体积是多少立方厘米。 36．下图是一个长方体形状的玻璃鱼缸，长、宽、高分别是12分米、8分米、10分米，请你回答下面的问题。 （1）这个玻璃鱼缸占地面积是多少平方分米？ （2）做这个玻璃鱼缸需要多少平方分米的玻璃？（无盖） （3）石块沉入前玻璃鱼缸中水的高度是5分米，石块完全沉入水中，水面升高2分米，请你计算这个石块的体积？ 基础试炼 一、填空题 1．一根长方体木料，长4m，横截面的面积是0.03m2。这根木料的体积是（ ）m3。 2．填上合适的单位名称。 体积约40（ ）。可运货物的体积约40（ ）。体积约200（ ）。 3．某海岛上的战士为当地居民修建了一个长24m、宽13m、深1.7m的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水（ ）m3。 4．3500mL＝（ ）dm3＝（ ）L    6500dm3＝（ ）m3 1.5m2＝（ ）dm2        2430cm3＝（ ）dm3 5．张师傅把一根长方体木料，沿着长截去3分米后，剩下的木料正好是一个正方体，表面积比原来减少了60平方分米。剩下的正方体木料的体积是（ ）立方分米。 6．棱长为3cm的正方体的体积是（ ），把两个这样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了（ ），拼成的长方体表面积是（ ）。 7．如图所示，一段长方体木料的长是a厘米，宽是b厘米，高是h厘米。如果锯去m厘米高，则它的表面积减少（ ）平方厘米，体积减少（ ）立方厘米。 8．如图，将一个长方形纸板剪去4个角后，折成一个无盖的长方体的纸盒，这个纸盒的容积是（ ）。 9．把一个长是18厘米，宽是9厘米，高是10厘米的长方体削成一个最大的正方体，这个正方体的体积是（ ）立方分米。 10．一个长方体中相邻两个面的面积分别是15cm2，21cm2，这个长方体（长、宽、高都是质数）的表面积是（ ）cm2，体积是（ ）cm3。 二、选择题 11．如图，小禾在一个长方体容器中摆了若干个体积为1cm3的小正方体。这个容器的容积是（    ）cm3。 A．72 B．84 C．90 D．108 12．一个正方体的棱长是5dm，它的体积是（    ）dm3。 A．150 B．125 C．25 13．一部电梯从里面量，长15dm、宽12dm、高25dm，如果一个人乘电梯平均占地约15dm2，占空间约250dm3。这部电梯一次最多能容纳（    ）个人。 A．10 B．12 C．18 D．28 14．把一个棱长为4dm的正方体铁块熔铸成一个长是8dm、宽是4dm的长方体铁块，这个长方体铁块的高是（    ）dm。 A．1 B．2 C．6 15．长方体过同一顶点的三个面的面积分别是3、6、18，则这个长方体的体积是（    ）。 A．324 B．36 C．12 D．18 16．一个长方体的长，宽，高分别是a厘米，b厘米，h厘米，如果高增加2厘米，则其体积增加（    ）立方厘米。 A．abh B．2ab C．2ah D．ab（h＋2） 17．一盒酸奶的外包装是一个长方体纸盒，包装纸上标有“净含量250mL”。实际外包装长5cm，宽5cm。如果你来设计，你认为酸奶盒比较合适的高度是（    ） A．5cm B．10cm C．10.5cm D．15cm 18．把一个棱长是8厘米的正方体钢锭，熔铸成一个长方体钢锭，已知长方体的长是5厘米，宽是8厘米，它的高是（    ）厘米。 A．12.6 B．12 C．9.6 D．12.8 19．家具厂订购50根方木，每根方木横截面的面积是0.024平方米，长3米。这些木料一共是（    ）立方米。 A．0.072 B．36 C．3.6 20．把一个正方体木块切成两个完全相同的长方体，表面积增加了18平方分米，原来正方体的体积是（    ）立方分米。 A．27 B．54 C．729 三、计算题 21．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 22．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 高阶突破 四、解答题 23．一个长方体，底面是个正方形，它的高是12厘米，所有棱长的和是112厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 24．孔明灯是一种古老的手工艺品，相传由三国时期的诸葛亮发明而得名，在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用一根36分米长的铁丝，做了一个正方体灯笼框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？这个灯笼的体积是多少立方分米？ 25．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一个深5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出的铁皮盒容积是多少立方厘米？ 26．张叔叔一家自驾去游玩，在加油站加满了一箱油。加油站距离目的地有390千米。到达目的地，这一箱油够用吗？写出你的思考过程。 27．一个长方体水箱，从里面量长30厘米，宽20厘米。水箱内盛有一些水，把一块石头放入水中，如下图。这块石头的体积是多少立方厘米？ 28．一间长方体仓库从里面量得长8米，宽6米，高4米。仓库装有一扇门，门宽2米，高2米。（如图）。 （1）现需要给仓库内部的四壁及天花板粉刷涂料，每千克涂料可刷5平方米，共需多少千克涂料？ （2）这个仓库能容纳的体积是多少？ 29．有空的长方体容器甲和装有24厘米深的长方体容器乙。将容器乙中水倒一部分到容器甲，使两个容器里的水的高度相同，这时水深是多少厘米？（容器壁厚度忽略不计） 30．望谟县地处亚热带湿润季风气候，独特的地理气候条件，使望谟芒果具有糖分高、果肉细腻、味道香甜等优势。2022年2月，望谟芒果获农业农村部农产品地理标志登记产品。小芳把1升水倒入一个高12厘米的长方体塑料盒里，水面高8厘米。放入一个芒果后，水面高10厘米。 （1）盒子的底面积是多少平方厘米？ （2）芒果的体积是多少立方厘米？ 31．某品牌巧克力1盒的尺寸如图： 厂家计划将2盒巧克力合在一起出售，有下面3种不同的包装方案（如图）。 （1）哪种包装方案最省材料？至少需要多少平方厘米的包装材料？（接头忽略不计） （2）设计师设计了一种包装盒（如图），从包装盒的平面展开图看，是根据第几种包装方案设计的？它的容积是多少？（盒子厚度忽略不计） 32．王叔叔用一根钢材正好可以焊成棱长为6分米的正方体框架。（钢材的宽度和厚度忽略不计） （1）如果要给这个正方体框架安装上玻璃板，已知每平方分米玻璃隔板0.35元，制作这个正方体玻璃箱（无盖）需要多少钱？ （2）这个正方体玻璃箱的容积是多少升？（玻璃隔板的厚度忽略不计） （3）在这个正方体玻璃箱中，倒入一定的水，水面高度恰好是3分米，再向容器中放入一个形状不规则的铁块，铁块完全浸没于水中，发现水面高度变成了3.5分米，求这个铁块的体积。 （4）王叔叔准备用同样长的钢材再焊一个长8分米，宽3分米的长方体框架。这个长方体框架的高是多少分米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$