第三单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分【从课内到奥数】-2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版）人教版

篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题 3 【课内精选二】正方体的表面展开图 4 【课内精选三】小正方体数量问题 6 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用 7 【奥数拓展一】最短路径问题 8 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题 9 【奥数拓展三】趣味展开图 11 【奥数拓展四】染色问题 14 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体） 15 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题。 一个长方体棱长的总和是60厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高。 解析： 设长方体的高是a厘米，那么宽是2a厘米，长是3a厘米.因为一个长体有四组相等的长、宽、高，所以，(a+2a+3a)×4=60，6a=15， a=2.5，2a=2×2.5=5，3a=3×2.5=7.5。 答：长方体的长、宽、高分别是7.5厘米、5厘米、2.5厘米。 【专项训练】 1.一个长方体的棱长总和是96厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高。 解析： 设高是a厘米，宽是2a厘米，长是3a厘米，按题意有 (a+2a+3a)×4=96，a=4，2a=8，3a=12，所以，长方体的长、宽、高分别是12厘米、8厘米、4厘米。 2.一个正方体的棱长总和是88.8厘米，它的棱长是多少? 解析：88.8÷12=7.4(厘米),所以，它的棱长是7.4厘米。 3.一个长方体的棱长总和是103.2厘米，已知长是宽的1.2倍，宽是高的1.5倍，求这个长方体的长、宽、高。 解析： 设高是a厘米，宽是1.5a厘米，长是1.2×1.5a厘米，(a+1.5a+1.2×1.5a)×4=103.2，a=6，1.5a=9，9×1.2=10.8，所以，长方体的长、宽、高分别是10.8厘米、9厘米、6厘米。 【课内精选二】正方体的表面展开图。 在如图所示的20个展开图中，哪些可以恢复成完整的正方体?在序号上打“√”。 解析： 正方体的展开图有“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型，对照着几种类型，图中只有(2)、(3)、(6)、(8)、(9)、(12)、(14)、(16)、(17)、(19)、(20)可以恢复成正方体。 【专项训练】 1．下面的图形中，（    ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体的展开图类型： （1）“1—4—1”型：中间4个一连串，两边各一随便放； （2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2—2—2”型：两两相连各错一； （4）“3—3”型：三个两排一对齐；据此判断。 【详解】 A．符合“1—4—1”型，是正方体的展开图； B．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图； C．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图； D．不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图。 故答案为：A 2．下面的折纸材料中，能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体展开图有：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3”型，共11种正方体展开图；据此解答。 【详解】A．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； B．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； C．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； D．属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体； 故答案为：D 3．下面的图形中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图有11种特征，分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2－2－2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形；据此解答。 【详解】A．属于“1－4－1”结构，能围成正方体，不符合题意； B．属于“2－2－2”结构，能围成正方体，不符合题意； C．虽然也是“3－3”结构，但不是这种结构，不能围成正方体，符合题意； D．属于“1－4－1”结构，能围成正方体，不符合题意。 故答案为：C 【课内精选三】小正方体数量问题。 用棱长为1厘米的小正方体摆放成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体? 解析：8个。 【专项训练】 1.用棱长为1厘米的小正方体摆放成棱长是3厘米的大正方体，需要多少个小正方体? 解析：27个。 2.用棱长为1厘米的小正方体摆放成一个大正方体，可能需要( )个小正方体。 A.4 B.16 C.50 D.64 解析：D 3.用棱长是2厘米的小正方体摆成长是8厘米、宽是4厘米、高是6厘米的长方体，需要多少个小正方体? 解析：24个。 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用。 公园的露天广场上有5根长方体的长柱子，底面长80厘米、宽40厘米，高3米，给这些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆0.5千克计算，漆这5根柱子一共需要油漆多少千克? 解析： 80厘米=0.8米，40厘米=0.4米 0.8×0.4+0.8×3×2+0.4×3×2=7.52(平方米) 7.52×5=37.6(平方米)，37.6×0.5=18.8(千克) 答：漆这5根柱子一共需要油漆18.8千克。 【专项训练】 1.一个正方体食品盒，棱长为4分米，在它四周贴一圈商标纸(上下面不贴)，这圈商标纸面积是多少? 解析： 4×4×4=64(平方分米) 所以，商标纸面积是64平方分米。 2.一个长方体，底面积是42平方厘米，底面周长是26厘米，高是5厘米，求这个长方体的表面积。 解析： 42×2+26×5=84+130=214(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积是214平方厘米。 3.李师傅根据下图所示的图纸做了一个无盖铁皮盒，他至少要用多少平方分米的铁皮?(单位：分米) 解析： (8-4)÷2=2(分米) 6×2×2+4×2×2+6×4=64(平方分米) 【奥数拓展一】最短路径问题。 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A，要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请你为它找一条最短路线。 解析： 如图所示，我们知道：两点之间，线段最短。因此，最短路线不能沿着棱走，而应该从面上穿过去.如下图，我们画出正方体的平面展开图，连结点A和点B,AB就是最短路径。 【专项训练】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一想，最短路线一共有几条？ 解析：6条 2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米? 解析：(6+5)×4+4=48(分米),所以，它最多爬48分米。 3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住? 解析： 将长方体盒子的前面和右面折放在同一平面，如图所示，由勾股定理可求得AB的距离，也就可求蜘蛛需要的最少时间了，所以，3×3+4×4=5×5，5÷4=1.25(分钟)。 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题。 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【答案】290厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】40×2＋30×2＋25×4＋50 ＝80＋60＋100＋50 ＝290（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要290厘米丝带。 【专项训练】 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要122厘米的彩带。 2．如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带） 【答案】288厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于两条长＋两条宽＋四条高＋打结用的长度，由此列式解答。 【详解】50×2＋36×2＋24×4＋20 ＝100＋72＋96＋20 ＝172＋96＋20 ＝268＋20 ＝288（厘米） 答：包装这个礼盒至少需要288厘米的丝带。 3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15厘米），需要多长的彩带？ 【答案】91厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩丝的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】12×2＋14×2＋6×4＋15 ＝24＋28＋24＋15 ＝91（厘米） 答：捆扎这个礼品盒需要91厘米长的彩带。 【奥数拓展三】趣味展开图。 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律：在通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中，隔两面寻找，剩下的两面自然相对。选项A1对4，2对3，鱼对猫；选项B1对3，2对4，桃对猴；选项C1对胡萝卜，2对4，3对兔子；选项D1对3，2对4，羊对草。据此选择即可。 【详解】 根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律可知，正方体中的动物不能吃到自己喜欢食物的是。 故答案为：C 【专项训练】 1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意可知，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须隔一个正方形，展开的图形符合正方体展开图的“1－4－1”结构，则上下两个单独的正方形相对；据此折叠成正方体，1点相对5点，2点相对6点，3点相对4点；由于前面看是3点，则后面是4点，右边是2点，则左面是6点，那么上面1点，下面就应该是5点，据此解答。 【详解】根据分析可知，下面盖住的是5点。 故答案为：D 2．如图的图形可以折成下面的（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】此平面展开图属于正方体展开图的“1－4－1”型，找出每个数字相对的面，利用排除法，找出折成的正方体。 【详解】折成正方体后，5号面与6号相对，排除A； 2号面与4号面相对，排除C； 2号、3号、5号面两两相邻，当5号面为正面时，2号面在右面，3号面在上面，B符合题意。 故答案为：B 3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（    ）。 A．B．C．D． 【答案】A 【分析】通过观察可知，立体图形折叠后，每个直角三角形的斜边可接成一个等边三角形，且每个直角三角形的直角边没有重合，据此将每个选项折叠再判断即可。 【详解】 A．不能折叠成要求的立体图形； B．能够折叠成要求的立体图形； C．能折叠成要求的立体图形； D．能折叠成要求的立体图形。 故答案为：A 【点睛】本题考查了立体图形的展开图，锻炼了学生的空间想象能力。 【奥数拓展四】染色问题。 把一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)? 解析： （1）8；36；52；（2）24 【专项训练】 1.把一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色? 解析： 三个面是红色的小正方体共有8个，两个面是红色的小正方体有12+4+8=24(个)，一个面是红色的小正方体有(3+6+2)×2=22(个)，切开后，没有染上红色的小正方体有(5-2)×(3-2)×(4-2)=6(个)或5×3×4-(8+24+22)=6(个)。 2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同的小正方体，其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体分别有多少个? 解析：10；35；52 3.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是多少平方厘米? 解析： 由1×1×1的小正方体构成的5×5×5的大正方体，其角有8块，棱有3×12=36(块)，面有3×3×6=54(块)，现在一共有62块蓝色的，所以选择8块放在角上，36块放在棱上，还有18块放在面上，综上，大正方体木块的表面上蓝色的面积最多是8×3+36×2+18×1=114(平方厘米)。 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体）。 如图1所示，这个立体图形由20个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成，求它的表面积。 解析： (9+8+7)×2×(1×1)=48(平方厘米) 答：它的表面积是48平方厘米。 【专项训练】 1.如图所示是由13个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表面积。 解析： (7+7+7)×2×(1×1)=42(平方厘米) 所以，它的表面积是42平方厘米。 2.如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少? (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少? 解析： (1)(7+7+6)×2×(1×1)=40(平方厘米) 所以，这个物体的表面积是40平方厘米。 (2)(1×1)×9×6=54(平方厘米) 所以，至少是54平方厘米。 3.如图是由22个棱长为2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面积(含下底面)为多少平方厘米? 解析： (9+8+9)×2×(2×2)=208(平方厘米) 所以，此物体的表面积(含下底面)为208平方厘米。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 目 录 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题 ........................................................ 3 【课内精选二】正方体的表面展开图 .................................................................................... 4 【课内精选三】小正方体数量问题 ........................................................................................ 5 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用 ................................................................ 5 【奥数拓展一】最短路径问题 ................................................................................................ 7 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题 .................................................................... 8 【奥数拓展三】趣味展开图 .................................................................................................... 9 【奥数拓展四】染色问题 ...................................................................................................... 10 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体） .............................................................. 12 第 3 页 共 13 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题。 一个长方体棱长的总和是 60厘米，已知长是宽的 1.5倍，宽是高的 2倍，求这 个长方体的长、宽、高。 【专项训练】 1.一个长方体的棱长总和是 96厘米，已知长是宽的 1.5倍，宽是高的 2倍，求这 个长方体的长、宽、高。 2.一个正方体的棱长总和是 88.8厘米，它的棱长是多少? 3.一个长方体的棱长总和是 103.2厘米，已知长是宽的 1.2倍，宽是高的 1.5倍， 求这个长方体的长、宽、高。 第 4 页 共 13 页 【课内精选二】正方体的表面展开图。 在如图所示的 20个展开图中，哪些可以恢复成完整的正方体?在序号上打“√”。 【专项训练】 1．下面的图形中，（ ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 2．下面的折纸材料中，能围成正方体的是（ ）。 A． B． C． D． 3．下面的图形中，不能围成正方体的是（ ）。 A． B． C． D． 第 5 页 共 13 页 【课内精选三】小正方体数量问题。 用棱长为 1 厘米的小正方体摆放成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方 体? 【专项训练】 1.用棱长为 1厘米的小正方体摆放成棱长是 3厘米的大正方体，需要多少个小正 方体? 2.用棱长为 1厘米的小正方体摆放成一个大正方体，可能需要( )个小正方 体。 A.4 B.16 C.50 D.64 3.用棱长是 2厘米的小正方体摆成长是 8厘米、宽是 4厘米、高是 6厘米的长方 体，需要多少个小正方体? 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用。 公园的露天广场上有 5 根长方体的长柱子，底面长 80 厘米、宽 40 厘米，高 3 米，给这些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆 0.5千克计算，漆这 5 根柱子一共需要油漆多少千克? 第 6 页 共 13 页 【专项训练】 1.一个正方体食品盒，棱长为 4分米，在它四周贴一圈商标纸(上下面不贴)，这 圈商标纸面积是多少? 2.一个长方体，底面积是 42平方厘米，底面周长是 26厘米，高是 5厘米，求这 个长方体的表面积。 3.李师傅根据下图所示的图纸做了一个无盖铁皮盒，他至少要用多少平方分米的 铁皮?(单位：分米) 第 7 页 共 13 页 【奥数拓展一】最短路径问题。 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点 A，要爬到距它最远的另一个顶点 B去，哪条 路最短呢？请你为它找一条最短路线。 【专项训练】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点 A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶 点 B去，想一想，最短路线一共有几条？ 2.如图所示，一条小虫沿长 6分米、宽 4分米、高 5分米的长方体的棱爬行，如 果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米? 第 8 页 共 13 页 3.如图所示，有一个长 2米、宽 2米、高 3米的长方体盒子，盒子的 A角上停着 一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒 子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟 4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过 多少分钟才能把苍蝇捉住? 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题。 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要 50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【专项训练】 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、 高分别是 25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 第 9 页 共 13 页 2．如图是一个长为 50厘米，宽为 36厘米，高为 24厘米的长方体礼盒，包装这 个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了 20厘米长的丝带） 3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有 15厘米），需要多长的彩带？ 【奥数拓展三】趣味展开图。 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它 才能吃到，下面图（ ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【专项训练】 1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（ ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 第 10 页 共 13 页 2．如图的图形可以折成下面的（ ）。 A． B． C． 3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（ ）。 A． B． C． D． 【奥数拓展四】染色问题。 把一个长 6厘米、宽 4厘米、高 5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切 成棱长为 1厘米的小正方体木块，如图 1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)? 第 11 页 共 13 页 【专项训练】 1.把一个长 5厘米、宽 3厘米、高 4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后 切成棱长为 1厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色? 2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同 的小正方体，其中 3面涂色、2面涂色和 1面涂色的小正方体分别有多少个? 3.有 125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为 1平方厘米，其中 63个表面涂上白色，还有 62个表面涂上蓝色.将这 125个正方体木块粘在一起， 形成一个棱长为 5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的 面积最多是多少平方厘米? 第 12 页 共 13 页 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体）。 如图 1所示，这个立体图形由 20个棱长为 1厘米的小正方体木块堆放而成，求 它的表面积。 【专项训练】 1.如图所示是由 13个棱长为 1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表 面积。 2.如图所示是一个用棱长为 1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少? (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少? 第 13 页 共 13 页 3.如图是由 22个棱长为 2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面 积(含下底面)为多少平方厘米? 第 1 页 共 17 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 17 页 目 录 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题 ........................................................ 3 【课内精选二】正方体的表面展开图 .................................................................................... 4 【课内精选三】小正方体数量问题 ........................................................................................ 6 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用 ................................................................ 7 【奥数拓展一】最短路径问题 ................................................................................................ 8 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题 .................................................................... 9 【奥数拓展三】趣味展开图 .................................................................................................. 11 【奥数拓展四】染色问题 ...................................................................................................... 14 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体） .............................................................. 15 第 3 页 共 17 页 2024-2025 学年五年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第三单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题。 一个长方体棱长的总和是 60厘米，已知长是宽的 1.5倍，宽是高的 2倍，求这 个长方体的长、宽、高。 解析： 设长方体的高是 a 厘米，那么宽是 2a 厘米，长是 3a 厘米.因为一个长体有四组 相等的长、宽、高，所以，(a+2a+3a)×4=60，6a=15， a=2.5，2a=2×2.5=5，3a=3×2.5=7.5。 答：长方体的长、宽、高分别是 7.5厘米、5厘米、2.5厘米。 【专项训练】 1.一个长方体的棱长总和是 96厘米，已知长是宽的 1.5倍，宽是高的 2倍，求这 个长方体的长、宽、高。 解析： 设高是 a厘米，宽是 2a厘米，长是 3a厘米，按题意有 (a+2a+3a)×4=96，a=4，2a=8，3a=12，所以，长方体的长、宽、高分别是 12厘 米、8厘米、4厘米。 2.一个正方体的棱长总和是 88.8厘米，它的棱长是多少? 解析：88.8÷12=7.4(厘米),所以，它的棱长是 7.4厘米。 3.一个长方体的棱长总和是 103.2厘米，已知长是宽的 1.2倍，宽是高的 1.5倍， 求这个长方体的长、宽、高。 解析： 设高是 a厘米，宽是 1.5a厘米，长是 1.2×1.5a厘米，(a+1.5a+1.2×1.5a)×4=103.2， 第 4 页 共 17 页 a=6，1.5a=9，9×1.2=10.8，所以，长方体的长、宽、高分别是 10.8厘米、9厘米、 6厘米。 【课内精选二】正方体的表面展开图。 在如图所示的 20个展开图中，哪些可以恢复成完整的正方体?在序号上打“√”。 解析： 正方体的展开图有“1-4-1”、“2-3-1”、“2-2-2”、“3-3”型，对照着几种类型，图中 只有(2)、(3)、(6)、(8)、(9)、(12)、(14)、(16)、(17)、(19)、(20)可以恢复成正方 体。 【专项训练】 1．下面的图形中，（ ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正方体的展开图类型： （1）“1—4—1”型：中间 4个一连串，两边各一随便放； （2）“2—3—1”型：二三紧连错一个，三一相连一随便； （3）“2—2—2”型：两两相连各错一； （4）“3—3”型：三个两排一对齐；据此判断。 第 5 页 共 17 页 【详解】 A． 符合“1—4—1”型，是正方体的展开图； B． 不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图； C． 不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图； D． 不符合正方体的展开图类型，不是正方体的展开图。 故答案为：A 2．下面的折纸材料中，能围成正方体的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体展开图有：“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型、“3－3” 型，共 11种正方体展开图；据此解答。 【详解】A．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； B．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； C．不属于正方体展开图的四种类型，不能围成正方体； D．属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体； 故答案为：D 3．下面的图形中，不能围成正方体的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 第 6 页 共 17 页 【分析】正方体展开图有 11种特征，分四种类型：第一种：“1－4－1”结构，即 第一行放 1个，第二行放 4个，第三行放 1个；第二种：“2－2－2”结构，即每 一行放 2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3－3”结构，即每一行 放 3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1－3－2”结构，即第一行放 1个正 方形，第二行放 3个正方形，第三行放 2个正方形；据此解答。 【详解】A．属于“1－4－1”结构，能围成正方体，不符合题意； B．属于“2－2－2”结构，能围成正方体，不符合题意； C．虽然也是“3－3”结构，但不是 这种结构，不能围成正方体， 符合题意； D．属于“1－4－1”结构，能围成正方体，不符合题意。 故答案为：C 【课内精选三】小正方体数量问题。 用棱长为 1 厘米的小正方体摆放成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方 体? 解析：8个。 【专项训练】 1.用棱长为 1厘米的小正方体摆放成棱长是 3厘米的大正方体，需要多少个小正 方体? 解析：27个。 2.用棱长为 1厘米的小正方体摆放成一个大正方体，可能需要( )个小正方 体。 A.4 B.16 C.50 D.64 解析：D 3.用棱长是 2厘米的小正方体摆成长是 8厘米、宽是 4厘米、高是 6厘米的长方 第 7 页 共 17 页 体，需要多少个小正方体? 解析：24个。 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用。 公园的露天广场上有 5 根长方体的长柱子，底面长 80 厘米、宽 40 厘米，高 3 米，给这些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆 0.5千克计算，漆这 5 根柱子一共需要油漆多少千克? 解析： 80厘米=0.8米，40厘米=0.4米 0.8×0.4+0.8×3×2+0.4×3×2=7.52(平方米) 7.52×5=37.6(平方米)，37.6×0.5=18.8(千克) 答：漆这 5根柱子一共需要油漆 18.8千克。 【专项训练】 1.一个正方体食品盒，棱长为 4分米，在它四周贴一圈商标纸(上下面不贴)，这 圈商标纸面积是多少? 解析： 4×4×4=64(平方分米) 所以，商标纸面积是 64平方分米。 2.一个长方体，底面积是 42平方厘米，底面周长是 26厘米，高是 5厘米，求这 个长方体的表面积。 解析： 42×2+26×5=84+130=214(平方厘米) 所以，这个长方体的表面积是 214平方厘米。 3.李师傅根据下图所示的图纸做了一个无盖铁皮盒，他至少要用多少平方分米的 铁皮?(单位：分米) 第 8 页 共 17 页 解析： (8-4)÷2=2(分米) 6×2×2+4×2×2+6×4=64(平方分米) 【奥数拓展一】最短路径问题。 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点 A，要爬到距它最远的另一个顶点 B去，哪条 路最短呢？请你为它找一条最短路线。 解析： 如图所示，我们知道：两点之间，线段最短。因此，最短路线不能沿着棱走，而 应该从面上穿过去.如下图，我们画出正方体的平面展开图，连结点 A和点 B,AB 就是最短路径。 【专项训练】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点 A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶 点 B去，想一想，最短路线一共有几条？ 解析：6条 第 9 页 共 17 页 2.如图所示，一条小虫沿长 6分米、宽 4分米、高 5分米的长方体的棱爬行，如 果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米? 解析：(6+5)×4+4=48(分米),所以，它最多爬 48分米。 3.如图所示，有一个长 2米、宽 2米、高 3米的长方体盒子，盒子的 A角上停着 一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒 子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟 4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过 多少分钟才能把苍蝇捉住? 解析： 将长方体盒子的前面和右面折放在同一平面，如图所示，由勾股定理可求得 AB 的距离，也就可求蜘蛛需要的最少时间了，所以，3×3+4×4=5×5，5÷4=1.25(分 钟)。 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题。 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要 50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 第 10 页 共 17 页 【答案】290厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼物一共需要丝带的长度＝2条长＋2条宽＋4 条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】40×2＋30×2＋25×4＋50 ＝80＋60＋100＋50 ＝290（厘米） 答：捆扎这个礼物一共需要 290厘米丝带。 【专项训练】 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、 高分别是 25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长 18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽 ＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要 122厘米的彩带。 2．如图是一个长为 50厘米，宽为 36厘米，高为 24厘米的长方体礼盒，包装这 个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了 20厘米长的丝带） 第 11 页 共 17 页 【答案】288厘米 【分析】根据题意和图形可知，所需丝带的长度等于两条长＋两条宽＋四条高＋ 打结用的长度，由此列式解答。 【详解】50×2＋36×2＋24×4＋20 ＝100＋72＋96＋20 ＝172＋96＋20 ＝268＋20 ＝288（厘米） 答：包装这个礼盒至少需要 288厘米的丝带。 3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有 15厘米），需要多长的彩带？ 【答案】91厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个礼品盒至少需要彩丝的长度＝2条长＋2条宽 ＋4条高＋打结用的长度，据此解答。 【详解】12×2＋14×2＋6×4＋15 ＝24＋28＋24＋15 ＝91（厘米） 答：捆扎这个礼品盒需要 91厘米长的彩带。 【奥数拓展三】趣味展开图。 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它 才能吃到，下面图（ ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． 第 12 页 共 17 页 C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律：在通过正方体展 开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中，隔两面寻找，剩下 的两面自然相对。选项 A1对 4，2对 3，鱼对猫；选项 B1对 3，2对 4，桃对猴； 选项 C1对胡萝卜，2对 4，3对兔子；选项 D1对 3，2对 4，羊对草。据此选择 即可。 【详解】 根据正方体展开图，结合正方体展开图找对面的规律可知，正方体中的动物不能 吃到自己喜欢食物的是 。 故答案为：C 【专项训练】 1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（ ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】根据题意可知，正方体的平面展开图中，相对面的特点是中间必须隔一 个正方形，展开的图形符合正方体展开图的“1－4－1”结构，则上下两个单独的 正方形相对；据此折叠成正方体，1点相对 5点，2点相对 6点，3点相对 4点； 由于前面看是 3点，则后面是 4点，右边是 2点，则左面是 6点，那么上面 1 点，下面就应该是 5点，据此解答。 【详解】根据分析可知，下面盖住的是 5点。 故答案为：D 第 13 页 共 17 页 2．如图的图形可以折成下面的（ ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】此平面展开图属于正方体展开图的“1－4－1”型，找出每个数字相对的 面，利用排除法，找出折成的正方体。 【详解】折成正方体后，5号面与 6号相对，排除 A； 2号面与 4号面相对，排除 C； 2号、3号、5号面两两相邻，当 5号面为正面时，2号面在右面，3号面在上面， B符合题意。 故答案为：B 3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过观察可知，立体图形折叠后，每个直角三角形的斜边可接成一个等 边三角形，且每个直角三角形的直角边没有重合，据此将每个选项折叠再判断即 可。 【详解】 A． 不能折叠成要求的立体图形； 第 14 页 共 17 页 B． 能够折叠成要求的立体图形； C． 能折叠成要求的立体图形； D． 能折叠成要求的立体图形。 故答案为：A 【点睛】本题考查了立体图形的展开图，锻炼了学生的空间想象能力。 【奥数拓展四】染色问题。 把一个长 6厘米、宽 4厘米、高 5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切 成棱长为 1厘米的小正方体木块，如图 1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)? 解析： （1）8；36；52；（2）24 【专项训练】 1.把一个长 5厘米、宽 3厘米、高 4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后 切成棱长为 1厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色? 第 15 页 共 17 页 解析： 三个面是红色的小正方体共有 8个，两个面是红色的小正方体有 12+4+8=24(个)， 一个面是红色的小正方体有(3+6+2)×2=22(个)，切开后，没有染上红色的小正方 体有(5-2)×(3-2)×(4-2)=6(个)或 5×3×4-(8+24+22)=6(个)。 2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同 的小正方体，其中 3面涂色、2面涂色和 1面涂色的小正方体分别有多少个? 解析：10；35；52 3.有 125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为 1平方厘米，其中 63个表面涂上白色，还有 62个表面涂上蓝色.将这 125个正方体木块粘在一起， 形成一个棱长为 5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的 面积最多是多少平方厘米? 解析： 由 1×1×1的小正方体构成的 5×5×5的大正方体，其角有 8块，棱有 3×12=36(块)， 面有 3×3×6=54(块)，现在一共有 62块蓝色的，所以选择 8块放在角上，36块放 在棱上，还有 18块放在面上，综上，大正方体木块的表面上蓝色的面积最多是 8×3+36×2+18×1=114(平方厘米)。 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体）。 如图 1所示，这个立体图形由 20个棱长为 1厘米的小正方体木块堆放而成，求 第 16 页 共 17 页 它的表面积。 解析： (9+8+7)×2×(1×1)=48(平方厘米) 答：它的表面积是 48平方厘米。 【专项训练】 1.如图所示是由 13个棱长为 1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表 面积。 解析： (7+7+7)×2×(1×1)=42(平方厘米) 所以，它的表面积是 42平方厘米。 2.如图所示是一个用棱长为 1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少? (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少? 解析： 第 17 页 共 17 页 (1)(7+7+6)×2×(1×1)=40(平方厘米) 所以，这个物体的表面积是 40平方厘米。 (2)(1×1)×9×6=54(平方厘米) 所以，至少是 54平方厘米。 3.如图是由 22个棱长为 2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面 积(含下底面)为多少平方厘米? 解析： (9+8+9)×2×(2×2)=208(平方厘米) 所以，此物体的表面积(含下底面)为 208平方厘米。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 目 录 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题 3 【课内精选二】正方体的表面展开图 4 【课内精选三】小正方体数量问题 5 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用 5 【奥数拓展一】最短路径问题 7 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题 8 【奥数拓展三】趣味展开图 9 【奥数拓展四】染色问题 10 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体） 12 2024-2025学年五年级数学下册典型例题系列「2025版」 第三单元长方体和正方体·思维素养篇·第一部分 【从课内到奥数】 【课内精选一】长方体和正方体的棱长与棱长和问题。 一个长方体棱长的总和是60厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高。 【专项训练】 1.一个长方体的棱长总和是96厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的长、宽、高。 2.一个正方体的棱长总和是88.8厘米，它的棱长是多少? 3.一个长方体的棱长总和是103.2厘米，已知长是宽的1.2倍，宽是高的1.5倍，求这个长方体的长、宽、高。 【课内精选二】正方体的表面展开图。 在如图所示的20个展开图中，哪些可以恢复成完整的正方体?在序号上打“√”。 【专项训练】 1．下面的图形中，（    ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 2．下面的折纸材料中，能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面的图形中，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【课内精选三】小正方体数量问题。 用棱长为1厘米的小正方体摆放成稍大一些的正方体，至少需要多少个小正方体? 【专项训练】 1.用棱长为1厘米的小正方体摆放成棱长是3厘米的大正方体，需要多少个小正方体? 2.用棱长为1厘米的小正方体摆放成一个大正方体，可能需要( )个小正方体。 A.4 B.16 C.50 D.64 3.用棱长是2厘米的小正方体摆成长是8厘米、宽是4厘米、高是6厘米的长方体，需要多少个小正方体? 【课内精选四】长方体的表面积与生活实际应用。 公园的露天广场上有5根长方体的长柱子，底面长80厘米、宽40厘米，高3米，给这些柱子的表面涂上新的油漆，按每平方米用油漆0.5千克计算，漆这5根柱子一共需要油漆多少千克? 【专项训练】 1.一个正方体食品盒，棱长为4分米，在它四周贴一圈商标纸(上下面不贴)，这圈商标纸面积是多少? 2.一个长方体，底面积是42平方厘米，底面周长是26厘米，高是5厘米，求这个长方体的表面积。 3.李师傅根据下图所示的图纸做了一个无盖铁皮盒，他至少要用多少平方分米的铁皮?(单位：分米) 【奥数拓展一】最短路径问题。 有一只蜘蛛在正方体的一个顶点A，要爬到距它最远的另一个顶点B去，哪条路最短呢？请你为它找一条最短路线。 【专项训练】 1.有一只蚂蚁在正方体的一个顶点A，要从正方体表面爬到距它最远的另一个顶点B去，想一想，最短路线一共有几条？ 2.如图所示，一条小虫沿长6分米、宽4分米、高5分米的长方体的棱爬行，如果它只能进不能退，并且同一条棱不能爬两次，那么，它最多爬多少分米? 3.如图所示，有一个长2米、宽2米、高3米的长方体盒子，盒子的A角上停着一只蜘蛛，B角上有一只苍蝇被蜘蛛丝缠住了，蜘蛛觉察到了，就沿着长方体盒子的表面去捉苍蝇，它爬行的速度是每分钟4米。请你算一算，蜘蛛最少要经过多少分钟才能把苍蝇捉住? 【奥数拓展二】棱长与生活实际综合应用问题。 妈妈给奶奶买了一件生日礼物，她用丝带把礼物按照下图的方法捆扎打结处需要50厘米。捆扎这个礼物一共需要多少厘米丝带？ 【专项训练】 1．小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 2．如图是一个长为50厘米，宽为36厘米，高为24厘米的长方体礼盒，包装这个礼盒至少需要多长的丝带？（打结处用了20厘米长的丝带） 3．如图所示，捆扎这个礼品盒（打结处有15厘米），需要多长的彩带？ 【奥数拓展三】趣味展开图。 在下面的正方体展开图中，只有当动物和它喜欢的食物在正方体的相对面上时它才能吃到，下面图（    ）正方体中的动物不能吃到自己喜欢的食物。 A． B． C． D． 【专项训练】 1．观察正方体展开图，试着折一折，再想一想，下面盖住的是（    ）点。 A．1 B．4 C．6 D．5 2．如图的图形可以折成下面的（    ）。 A． B． C． 3．下列展开图不能折成如图所示的立体图形的是（    ）。 A．B．C．D． 【奥数拓展四】染色问题。 把一个长6厘米、宽4厘米、高5厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图1所示。 (1)切开后有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后有多少个小正方体木块没有染上红色(切面都是白色)? 【专项训练】 1.把一个长5厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体木块表面全部涂成红色，然后切成棱长为1厘米的小正方体木块，如图所示，问： (1)切开后，有多少个小正方体木块分别有三个面、两个面、一个面被涂成红色? (2)切开后，有多少个小正方体木块没有染上色? 2.如图所示，在大正方体的棱上挖掉一个小正方体后涂上颜色，再锯成大小相同的小正方体，其中3面涂色、2面涂色和1面涂色的小正方体分别有多少个? 3.有125个同样大小的正方体木块，木块的每个面的面积均为1平方厘米，其中63个表面涂上白色，还有62个表面涂上蓝色.将这125个正方体木块粘在一起，形成一个棱长为5厘米的大正方体木块，则这个大正方体木块的表面上，蓝色的面积最多是多少平方厘米? 【奥数拓展五】露在外面的面（堆砌的正方体）。 如图1所示，这个立体图形由20个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成，求它的表面积。 【专项训练】 1.如图所示是由13个棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体，求它的表面积。 2.如图所示是一个用棱长为1厘米的小正方体木块堆放而成的物体。 (1)这个物体的表面积是多少? (2)要把这个物体补成一个大正方体，这个大正方体的表面积至少是多少? 3.如图是由22个棱长为2厘米的小正方体组成的立体图形，那么此物体的表面积(含下底面)为多少平方厘米? 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$