第4讲 长方体、正方体的认识及表面积（十二大考点）-2024-2025学年五年级下册数学考点剖析及分层精练（人教版）

考点剖析及分层精练 第4讲 长方体、正方体的认识及表面积 知识点一长方体和正方体的认识 1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（特殊情况下由2个相对的面是正方形）围成的立体图形。长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。 2、相交与一个顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的12条棱中有4条长、4条宽和4调高。 3、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方形有12条棱，每条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。 4、正方体可以堪称长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。 5、认识长方体和正方体的展开图。 知识点二长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。 3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。 用字母表示:S=6a2。 考点01 长方体和正方体的认识及特征 1．在下图长方体的各个顶点间连线，使得从每个顶点出发所连的线段均大于线段，则“从A点出发可以连（ ）条大于的线段，这个长方体中一共可以连（ ）条大于的线段”。 【答案】3 12 【分析】从A点出发的对角线有AC、AF、AG、AH，其中AH 小于线段AB； 长方体有8个顶点，从每个顶点出发的情况是一样的。 从一个顶点出发可以连3条大于AB的线段，若直接用8×3＝24来计算，会出现每条线段都被重复计算了2次的情况（因为一条线段有两个端点）。 所以长方体中大于AB的线段总数为8×3÷2＝12条。    【解答】从A点出发的对角线有AC、AF、AG都大于AB； 前后面的对角线（4条），上下面的对角线（4条），AG、BH、EC、DF，一共有12条。 8×3÷2＝12（条） 则“从A点出发可以连3条大于的线段，这个长方体中一共可以连12条大于的线段”。 2．一个正方体的六个面写有红、黄、绿、蓝、白、黑六个字。如图所示，则黄和（ ）相对。 【答案】绿 【分析】正方体中有六个面，有3组面相对，相对的两个面不相邻，据此可得出答案。 【解答】根据题意：黄与白、黑、蓝、红相邻，即不可能与白、黑、蓝、红相对，则黄和绿相对。 3．用小棒拼搭长方体。 果果：我用4根1.5厘米、4根2.8厘米、4根7厘米的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用8根2厘米、4根6厘米的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ）。（填序号） 【答案】① ③ 【分析】长方体一共有12条棱，其中4条长相等，4条宽相等，4条高相等；当有8条棱长相等的长方体，说明有两个相对的面是正方形，其余四个面是完全相同的长方形。 正方体有12条棱，长度都相等。 根据小棒的长度和数量来判断所搭成长方体的形状，据此解答。 【解答】果果用4根1.5厘米、4根2.8厘米、4根7厘米的小棒，可知搭果果的长方体的长宽高各不相同，因此果果搭成的长方体是①； 贝贝用8根2厘米、4根6厘米的小棒，可知贝贝搭的长方体有相邻的两边长度相等，有两个相对的面是正方形，因此贝贝搭成的长方体是③； 天天用12根长度相同的小棒，可知搭的长方体十二条边长度都相等即是正方体，因此天天搭成的是正方体②。 即果果搭成的长方体是①，贝贝搭成的长方体是③。 考点02 长方体有关棱长的应用 4．至少需要（ ）cm长的铁丝，才能做一个底面周长是10cm，高是5cm的长方体框架。 【答案】40 【分析】求需要铁丝的长度，就是求这个长方体棱长总和；已知一个底面周长是10cm，一个底面周长是2个长、2个宽的和，一个长方体有4条长，4条宽、4条高，用一个底面周长×2，求出4条长与4条宽的长度和，再用高×4，求出4条高的和，再把它们相加，即可解答。 【解答】10×2＋5×4 ＝20＋20 ＝40（cm） 至少需要40cm长的铁丝，才能做一个底面周长是10cm，高是5cm的长方体框架。 5．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带（ ）cm。 【答案】125 【分析】从图中可知：所用绸带的长度=长×2＋宽×2＋高×4＋打结长度，代入数据计算即可。 【解答】20×2＋15×2＋10×4＋15 =40＋30＋40＋15 =125（cm） 共用绸带125cm。 6．李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的长度分别是30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要（ ）根30cm长的铁丝，（ ）根10cm长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有（ ）个面，其中有（ ）个面是正方形。 【答案】4 8 6 2 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为3组，每一组有4条棱，长方体有8个顶点，每个顶点连接3条棱，3条棱分别叫作长方体的长、宽、高。 【解答】这个长方体框架的长为30cm，宽、高都是10cm，焊这个长方体框架共需要4根30cm长的铁丝，8根10cm的铁丝，这个长方体框架焊好后，它共有6个面，其中有2个面是正方形。 考点03 正方体有关棱长的应用 7．一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长（ ）cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是（ ）cm。 【答案】36 3 【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出这根铁丝的长度；如果把这根铁丝刚好能围成一个正方体框架，棱长总和不变，根据正方体的棱长＝棱长总和÷12，即可求出正方体框架的棱长，据此解答。 【解答】（4＋3＋2）×4 ＝9×4 ＝36（cm） 36÷12＝3（cm） 一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长36cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是3cm。 8．一根铁丝可焊棱长8厘米的正方体，如果焊长10厘米，宽7厘米的长方体，则高是（ ）厘米。（接头忽略不计） 【答案】7 【分析】从题意可知：这根铁丝的长度＝正方体的棱长总和＝长方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用8×12求出正方体的棱长总和，即长方体的棱长总和，再根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用棱长总和÷4－长－宽，即可求出高。 【解答】8×12÷4－10－7 ＝24－10－7 ＝7（厘米） 高是7厘米。 9．用布做一个棱长为8cm的正方体沙包（如下图），如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长是（ ）cm。 【答案】96 【分析】接缝相当于正方体棱长，根据正方体棱长总和＝棱长×12，列式计算即可。 【解答】花边总长：（cm） 所以花边的总长是96cm。 考点04 长方体的展开图 10．跳跳把一张长14厘米、宽6厘米的纸板沿虚线折起，做出了长方体相邻的两个面（如图所示），然后再用纸板做出其他4个面，围成长方体。这个长方体的长、宽、高分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。 【答案】10 6 4 【分析】已知这种长方形的长是14厘米，宽是6厘米，折成的长方体的长是10厘米，宽就是原来长方形的宽6厘米，那么高是（14－10）厘米。据此解答即可。 【解答】高：14－10＝4（厘米） 所以，这个长方体的长、宽、高分别是10厘米、6厘米、4厘米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用。 11．在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。 【答案】见详解 【分析】根据长方体展开图的特征，右图属于长方体展开图的“1－4－1”型，再根据长方体对面是相同的长方形（特殊情况有一组对面是正方形），即可确定右图各面分别是原长方体的哪个面。最大的两个面是上下的两个面，根据掀开的顺序可以看出，最上面的那个面是上面，中间的那个大的面是下面；最左边的面是左面，最右边的面是右面；最下面的一个面是前面，剩下的就是后面。 【解答】如图： 12．在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是（ ）。 【答案】①⑥④⑦②⑧ 【分析】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等。长方体的面也是两两相等，由此即可判断。 【解答】由分析可得：在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是①⑥④⑦②⑧。 【点评】本题考查对长方体展开图的运用，以及对长方体展开图特点的掌握。 考点05 正方体的展开图 13．下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你”字对面的字是（ ）。 你 我 的 中 国 梦 【答案】梦 【分析】根据正方体展开图11种特征，此图属于正方体展开图的“1－4－1”型，根据相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，解答即可。 【解答】该展开图折成正方体后，“你”和“梦”相对，“我”和“中”相对，“的”和“国”相对。 即，“你”字对面的字是“梦”。 14．将下图折成一个正方体，的对面是（ ），的对面是（ ），的对面是（ ）。（填序号） ①    ②    ③ 【答案】① ③ ② 【分析】根据“折成正方体后相对的2个面的图形是不会相邻的，且在折之前相对的面中间隔着一个面”来解决此题。 故，的对面是，的对面是，的对面是。 【解答】由题意分析得： 将下图折成一个正方体，的对面是①，的对面是③，的对面是②。 ①    ②    ③ 15．红红在一张卡纸上剪下了一个正方体的平面展开图，并在上面写下了“我”“爱”“老”“家”“河”“南”六个字（如图），将平面图折成正方体后，“河”的对面是“（ ）”字，“南”字和“（ ）”字是相对的。 【答案】老 爱 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，本题正方体展开图属于“2－3－1”结构，折成正方体后，“老”的对面是“河”；“我”的对面是“家”；“爱”的对面是“南”，据此解答。 【解答】根据分析可知，红红在一张卡纸上剪下了一个正方体的平面展开图，并在上面写下了“我”“爱”“老”“家”“河”“南”六个字，将平面图折成正方体后，“河”的对面是“老”字，“南”字和“爱”字是相对的。 考点06 计算长方体的表面积 16．计算下面长方体的表面积。 【答案】4536cm2 【分析】根据，代入数据计算即可。 【解答】 （cm2） 长方体的表面积是4536cm2。 17．图形计算。 （1）计算各长方体前面的面积。 （2）计算各长方体右侧面的面积。 （3）计算各长方体上面的面积。 【答案】（1）8cm2；4cm2 （2）6cm2；6cm2 （3）12cm2；6cm2 【分析】（1）长方体前面的面积＝长×高； （2）长方体右侧面的面积＝宽×高； （3）长方体上面的面积＝长×宽，据此列式计算。 【解答】（1）4×2＝8（cm2） 2×2＝4（cm2） 各长方体前面的面积是8cm2、4cm2。 （2）3×2＝6（cm2） 3×2＝6（cm2） 各长方体右侧面的面积是6cm2、6cm2。 （3）4×3＝12（cm2） 2×3＝6（cm2） 各长方体上面的面积是12cm2、6cm2。 18．计算下面图形的表面积。 【答案】248m2；13.5cm2 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此列式计算。 【解答】（10×4＋10×6＋4×6）×2 ＝（40＋60＋24）×2 ＝124×2 ＝248（m2） 1.5×1.5×6＝13.5（cm2） 长方体表面积是248m2，正方体表面积是13.5cm2。 考点07 计算正方体的表面积 19．求下面图形的表面积。 【答案】1.5平方分米 【分析】图中正方体，棱长为0.5分米，正方体表面积＝棱长×棱长×6，运用小数乘法计算得出答案。 【解答】0.5×0.5×6 ＝0.25×6 ＝1.5（平方分米） 图形的表面积为1.5平方分米。 20．求下面图形的棱长和与表面积。      【答案】左图：120dm；600dm2 右图：76cm；232cm2 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据解答即可。 【解答】棱长和：10×12＝120（dm） 表面积：10×10×6 ＝100×6 ＝600（dm2） （24－8－8）÷2 ＝（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 棱长和：（8＋7＋4）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 表面积：（8×4＋8×7＋4×7）×2 ＝（32＋56＋28）×2 ＝（88＋28）×2 ＝116×2 ＝232（cm2） 正方体的棱长总和是120dm，表面积是600dm2；长方体的棱长总和是76cm，表面积是232cm2。 21．计算下列各图形的表面积。 【答案】52cm2；294dm2 【分析】左图先确定长方体的长、宽、高，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可。 【解答】1×4＝4（cm） 1×2＝2（cm） 1×3＝3（cm） （4×2＋4×3＋2×3）×2 ＝（8＋12＋6）×2 ＝26×2 ＝52（cm2） 7×7×6＝294（dm2） 长方体表面积是52cm2，正方体表面积是294dm2 考点08 组合体的表面积 22．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】844平方分米 【分析】根据图示，组合图形的表面积＝长方体表面积＋正方体表面积，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，因为正方体有一个面是与长方体相接的，所以只有4个面，所以，可以直接计算4个面的面积。最后将得出的结果相加即可。 【解答】长方形的表面积： （15×10＋15×8＋10×8）×2 ＝（150＋120＋80）×2 ＝350×2 ＝700（平方分米） 正方体的表面积： 6×6×4 ＝36×4 ＝144（平方分米） 700＋144＝844（平方分米） 图形的表面积为844平方分米。 23．计算下面图形的表面积。 （1）（2） 【答案】（1）150cm2 （2）432m2 【分析】（1）根据正方形边长＝周长÷4，求出底面边长，可知这是一个正方体，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式计算即可； （2）看图可知，在长方体的顶点挖去一个长方体，看上去表面积少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积就是完整的长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【解答】（1）20÷4＝5（cm） 5×5×6＝150（cm2） 正方体的表面积是150cm2。 （2）（12×6＋12×8＋6×8）×2 ＝（72＋96＋48）×2 ＝216×2 ＝432（m2） 这个立体图形的表面积是432m2。 24．计算下图的表面积。（单位：分米） 【答案】248平方分米 【分析】表面积是指物体外表面积，通常是指物体表面的总面积。上面的两个小长方形和凹进去的长方形合在一起恰好就是一个长方体的表面积。则表面积＝长方体的表面积＋4个长方形的面积＋4个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方形的长是6分米，宽是2分米，面积＝长×宽。正方形的边长是2分米，面积＝边长×边长。 【解答】 ＝ ＝ ＝（平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 则图形的表面积是248平方分米。 考点09 长方体表面积的应用 25．在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 【答案】8000块 【分析】根据题意，在长方体游泳池内贴瓷砖，则贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，就是贴瓷砖的面积； 已知每块瓷砖是边长0.2米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出每块瓷砖的面积；用贴瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积，即是一共需要这样瓷砖的块数。 【解答】20×10＋20×2×2＋10×2×2 ＝200＋80＋40 ＝320（平方米） 0.2×0.2＝0.04（平方米） 320÷0.04＝8000（块） 答：共需要8000块这样的瓷砖。 26．一间教室长8米、宽7米、高4米，门窗面积为20平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，如果每平方米用涂料0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 【答案】39千克 【分析】利用“长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2”求出教室的表面积，因为教室的地面和门窗不用粉刷，所以需要减去地面和门窗的面积，一共需要涂料的质量＝需要粉刷的面积×每平方米需要涂料的质量，据此解答。 【解答】（8×7＋8×4＋7×4）×2－8×7－20 ＝（56＋32＋28）×2－8×7－20 ＝116×2－8×7－20 ＝232－56－20 ＝176－20 ＝156（平方米） 156×0.25＝39（千克） 答：共需要涂料39千克。 27．为了保护书籍，王老师打算用硬纸板为某套图书做一个封套（如下图），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计。） 【答案】850平方厘米 【分析】根据题意，王老师制作这套图书的封套包裹了书的上下面、左右面和后面共5个面，根据“长×宽×2＋宽×高×2＋长×高”求出这5个面的面积之和，即是至少需要硬纸板的面积。 【解答】5×15×2＋15×20×2＋5×20 ＝150＋600＋100 ＝850（平方厘米） 答：至少需要850平方厘米的硬纸板。 考点10 正方体表面积的应用 28．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 【答案】126.96平方分米 【分析】根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据解答即可，最后根据1平方分米＝100平方厘米，把结果转化为以“平方分米”为单位。 【解答】46×46×6 ＝2116×6 ＝12696（平方厘米） 12696平方厘米＝126.96平方分米 答：他们至少需要126.96平方分米的红纸。 29．要给一个棱长是5分米的正方体玻璃鱼缸镶上不锈钢角边，至少需要多少分米长的不锈钢角铁？制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？（鱼缸的上面没有盖） 【答案】60分米；125平方分米 【分析】在正方体鱼缸镶上不锈钢角边，即要求出正方体的棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，得出答案；由于正方体鱼缸没有上面的盖子，则需要5个面，需要玻璃面积＝棱长×棱长×5，据此可得出答案。 【解答】制作角铁需要：（分米） 需要玻璃面积为：（平方分米） 答：至少需要60分米长的不锈钢角铁；制作鱼缸至少需要125平方分米玻璃。 30．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 【答案】53.7平方分米 【分析】这个募捐箱的表面积等于正方体的表面积减去长1分米，宽3厘米的长方形的面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方形的面积＝长×宽，代入数据解答即可。 【解答】3×3×6＝54（平方分米） 3厘米＝0.3分米 1×0.3＝0.3（平方分米） 54－0.3＝53.7（平方分米） 答：这个募捐箱的表面积是53.7平方分米。 考点11 立体图形的切拼 31．下图是一个边长为5分米的正方体，如果在它的左上方截去一个长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米的小长方体，那么这个正方体的表面积减少了多少？ 【答案】12平方分米 【分析】看图可知，表面积减少了4个小长方形，里面又出现了2个小长方形，因此表面积最终减少了2个长是3分米，宽是2分米的小长方形，根据长方形面积＝长×宽，求出一个小长方形的面积，再乘2即可。 【解答】3×2×2＝12（平方分米） 答：这个正方体的表面积减少了12平方分米。 32．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？ 【答案】600平方厘米 【分析】看图可知，在正方体顶点处截取一个小长方体，表面积减少了3个小长方形，里面又出现了同样的3个小长方形，因此表面积不变，还剩原来正方体的表面积，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【解答】10×10×6＝600（平方厘米） 答：剩下的几何体的表面积是600平方厘米。 33．想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以） （2）分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 【答案】（1）见详解 （2）最大164平方厘米；最小148平方厘米 【分析】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大；将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，据此作图。 （2）得到的表面积最大的长方体的长是cm，宽是4cm，高是3cm；表面积是小的长方体的长是5cm，宽是4cm，高是cm。根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此代入数值进行计算即可。 【解答】（1）将长、宽分别为4cm，3cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最大，如图： 将长、宽分别为5cm、4cm的长方形拼接在一起时，拼成的长方体的表面积最小，如图： （2）[（5＋5）×4＋（5＋5）×3＋4×3]×2 ＝[10×4＋10×3＋4×3]×2 ＝[40＋30＋12]×2 ＝82×2 ＝164（平方厘米） [5×4＋5×（3＋3）＋4×（3＋3）]×2 ＝[5×4＋5×6＋4×6]×2 ＝[20＋30＋24]×2 ＝74×2 ＝148（平方厘米） 答：表面积最大是164平方厘米，表面积最小是148平方厘米。 考点12 表面涂色的正方体 34．如图是由3层没有缝隙的小立方体组成的。如果它的外表面（包括底面）全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方体时，有多少个小立方体恰有三面是红色的？ 【答案】16个 【分析】观察上图可知，从下往上数，第一层最外围（不含四个角）的小正方体都是三面是红色的，共有3×4＝12（个）；第二层4个角上的小正方体是三面是红色，共有4个；第三层的小正方体是五面是红色，没有三面是红色的小正方体；所以三面是红色的小正方体共有12＋4＝16（个），据此即可解答。 【解答】3×4＋4 ＝12＋4 ＝16（个） 答：12个小立方体恰有三面是红色的。 35．一个由1×1×1的小正方体组成的6×7×8的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？ 【答案】一面148个；二面60个；三面8个 【分析】三面有色的处在8个顶点上，所以三面被涂成红色的小正方体有8个；两面有色的处在12条棱上（不含顶点上的小正方体），12条棱上有（4＋5＋6）×4＝60（个）小正方体两面被涂成红色；一面有色的处在每个面的中间，6个面上有（4×5＋4×6＋5×6）×2＝148（个）小正方体一面被涂成红色；据此即可解答。 【解答】三面涂色：8个 两面涂色：（4＋5＋6）×4 ＝15×4 ＝60（个） 一面涂色：（4×5＋4×6＋5×6）×2 ＝（20＋24＋30）×2 ＝74×2 ＝148（个） 答：一面被涂成红色的小正方体有148个，二面被涂成红色的小正方体有60个，三面被涂成红色的小正方体有8个。 【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上（不含顶点上的小正方体），一面有色的处在每个面的中间，无色的处在中心。 36．一个长方体的长、宽、高分别为6分米、5分米、4分米，把它的表面涂满红漆，然后切成棱长为1分米的小正方体若干块。这些小正方体中，三面有红色的有多少块？两面有红色的有多少块？一面有红色的有多少块？没有红色的有多少块？ 【答案】这些小正方体中，三面有红色的有8块，两面有红色的有36块，一面有红色的有52块，没有红色的有24块 【分析】根据分析可知，根据长方体的体积＝长×宽×高，用（4×5×6）÷（1×1×1）即可求出被切成的小正方体的块数；三个面均为油漆的是各顶点处的小正方体，长方体有8个顶点，所以三面涂色的有8个； 在各棱处，除去顶点处的正方体，其他的是两面油漆，长被切成6个小正方体，所以一条长有（6－2）个两面油漆的小正方体，宽被切成5个小正方体，所以一条宽有（5－2）个两面油漆的小正方体，高被切成4个小正方体，所以一条高有（4－2）个两面油漆的小正方体，所以用（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4即可求出有几个两面涂色的小正方体； 在每个面上，除去棱上的正方体都是一面油漆，用[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2即可求出几个一面涂色的小正方体； 最后用所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体。根据上面的结论，即可求得答案。 【解答】小正方体的总个数：（4×5×6）÷（1×1×1） ＝120÷1 ＝120（块） 有8个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个， 两面涂色的有：（6－2）×4＋（5－2）×4＋（4－2）×4 ＝4×4＋3×4＋2×4 ＝16＋12＋8 ＝36（块） 一面涂色的有：[（6－2）×（5－2）＋（6－2）×（4－2）＋（5－2）×（4－2）]×2 ＝[4×3＋4×2＋3×2]×2 ＝[12＋8＋6]×2 ＝26×2 ＝52（块） 没有涂色的有：120－8－36－52＝24（块） 答：这些小正方体中，三面有红色的有8块，两面有红色的有36块，一面有红色的有52块，没有红色的有24块。 【点评】此题主要考查了染色问题，解题的关键是抓住三面涂色的在顶点处，两面涂色的在棱长上，一面涂色的在正方体的面中间上。 基础试炼 一．填空题 1．如图，用彩带捆扎一个礼盒，打结处用了24厘米彩带，捆扎这个礼盒一共要用去 　　厘米的彩带。 【分析】根据长方体的特征，彩带长度（长高），再加上打结处即可。 【解答】解： （厘米） 答：捆扎这个礼盒一共要用去184厘米的彩带。 故答案为：184。 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法。 2．有12根长9分米的铁棒，8根长7分米的铁棒，4根长5分米的铁棒，用这些铁棒可以焊成 　　种不同的长方体或正方体框架。（每条棱上只用一根铁棒） 【分析】根据长方体的特征，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等；按长度可分为三组，每一组有4条棱。根据正方体的特征可知，正方体有12条棱且都相等。据此解答。 【解答】解：可以选长度是4根长5分米的铁棒，4根长7分米的铁棒，4根长9分米的铁棒；4根长5分米的铁棒，8根长7分米的铁棒；4根长5分米的铁棒，8根长9分米的铁棒；8根长7分米的铁棒，4根长9分米的铁棒；4根长7分米的铁棒，8根长9分米的铁棒组成长方体；12根长9分米的铁棒组成正方体。所以，用这些铁棒可以焊成6种不同的长方体或正方体。 故答案为：6。 【点评】本题主要考查长方体的特征。 3．（1）有三种大小不同的纸箱，“长宽高”分别是：①；②；③。商家会用 　　号纸箱打包一个水杯。（填序号） （2）一个高的长方体礼盒，底面是边长的正方形，在它的外面打上“十字形”彩带（如图），接头处用了，一共需要 　　厘米的彩带。 【分析】（1）根据生活经验可知，水杯一般都是圆柱形的，所以圆柱形水杯的包装盒是底面是正方形的长方体包装盒，据此解答即可。 （2）通过观察图形可知捆扎这个长方体礼品盒需要彩带的长度等于这个长方体的两条长加上两条宽加上4条高，再加上打结用的20厘米，据此解答即可。 【解答】解：（1）由分析得：水杯一般都是圆柱形的，所以圆柱形水杯的包装盒是底面是正方形的长方体包装盒，所以商家会用②号纸箱打包一个水杯。 （2） （厘米） 答：一共需要172厘米的彩带。 故答案为：②；172。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用，长方体的棱长总和公式及应用。 4．美术课上，萱萱用硬纸板制作了一个正方体盒子，并在每个面上分别写上一个字。如图是这个正方体盒子的平面展开图，那么“核”字对面的字是 　　。 【分析】根据正方体展开图可知，与“核”相邻的面是“数”“心”“养”“素”，相对的面是“学”，据此解答即可。 【解答】解：根据分析可知，与“核”相邻的面是“数”“心”“养”“素”，相对的面是“学”，所以与“核”字对面的字是“学”字。 故答案为：学。 【点评】此题考查正方体展开图的认识。 5．如图所示，一个长方体包装盒长16厘米、宽12厘米、高5厘米，包装礼物的时候至少需要 　 　平方厘米的彩纸才能把它完全包上；用彩带捆扎（打结处需用20厘米），至少需要 　 　厘米长的彩带。 【分析】依据题意结合图示可知，彩纸的面积等于长16厘米、宽12厘米、高5厘米的长方体的表面积，彩带的长度等于2个长加上2个宽加上4个高再加上打结处长度，由此解答本题。 【解答】解： （平方厘米） （厘米） 答：需要664平方厘米的彩纸，96里面的彩带。 故答案为：664、96。 【点评】本题考查的是长方体的表面积的应用。 6．一根铁丝长，如果做成一个宽和高都是的长方体框架（铁丝无剩余且接头处忽略不计），长是 　　；如果做成一个正方体框架，再在各个面蒙上一层硬纸板，需要 　　的硬纸板（铁丝无剩余且接头处忽略不计，硬纸板粘贴处忽略不计）。 【分析】依据题意可知，长方体有4个宽，4个高，4个高，由此计算长方体的长，正方体的棱长，然后利用正方体的表面积公式计算硬纸板的面积。 【解答】解： 答：长是，需要硬纸板。 故答案为：10，216。 【点评】本题考查的是正方体的表面积公式的应用。 7．铭铭将一个正方体的展开图画在如图的方格图上。 （1）用数对表示下面各点的位置。 　　，　　、 　　，　　； （2）与③号面相对的是 　　号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是，则它的表面积是 　　。 【分析】（1）用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，据此用数对表示出各点的位置即可。 （2）根据正方体展开图知识，将这个展开图折成正方体，与③号面相对的是⑤号面；根据正方体的棱长和棱长，结合正方体的棱长之和是48厘米，可以求出正方体的棱长，然后根据正方体的表面积棱长棱长，解答即可。 【解答】解：（1）用数对表示下面各点的位置。 、； （2）（厘米） （平方厘米） 答：与③号面相对的是⑤号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是，则它的表面积是96平方厘米。 故答案为：1，6，2，5；⑤，96。 【点评】本题考查了数对表示位置以及正方体展开图知识，结合正方体的棱长和公式、正方体的表面积公式解答即可。 8．用小棒拼搭长方体。 果果：我用4根、4根、4根的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用8根、4根的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是 　　，贝贝搭成的长方体是 　　。（填序号） 【分析】根据长方体和正方体的特征填写即可。 【解答】解：果果搭成的长方体是①，贝贝搭成的长方体是③。 故答案为：①；③。 【点评】此题主要考查长方体和正方体特征的实际应用。 9．如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去个最大的正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米。锯下正方体木料的表面积是 　　平方厘米。 【分析】根据题意可知：把这根长方体木料锯下一个最大的正方体，这个正方体的棱长等于原来长方体的底面边长．表面积减少的是锯下的正方体的4个面的面积，由此可以求出锯下的正方体的一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方厘米） 答：锯下正方体木料的表面积是30平方厘米。 故答案为：30。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体、正方体的表面积的意义及应用，关键是求出原来长方体木料的底面的面积，即锯下的正方体的一个面的面积。 10．如图这个领奖台是由3个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。 涂黄色油漆的面积是 　　，涂红色油漆的面积是 　　。 【分析】由题意可知：涂黄色油漆的面，是颁奖台的前后两个面，是由三个长方体的前后两个面组成，共6个面；涂红色油漆的面，可以看作三个长方体的3个上面和中间长方体的左右两个面组成，据此分别求出涂黄色油漆和红色油漆的面积即可。 【解答】解： 答：涂黄色油漆的面积是，红色油漆的面积是。 故答案为：10800，13000。 【点评】解答本题需准确分析涂不同颜色的面，熟练掌握长方形的面积公式。 二．选择题 11．“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，甜甜将这六个字分别写在一个正方体的六个面上，如图是这个正方体的平面展开图，在这个正方体中和“礼”相对的字是　　 A．仁 B．孝 C．信 D．智 【分析】此图属于正方体展开图的“”型，折成正方体后，“礼”与“智”相对，“义”与“信”相对，“仁”与“孝”相对。 【解答】解：如图： 在这个正方体中和“礼”相对的字是“智”。 故选：。 【点评】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，掌握规律是解答本题的关键。 12．一个尺寸为的物体，它最可能是　　 A．一台冰箱 B．一台微波炉 C．一台笔记本电脑 D．一部手机 【分析】根据长方体的特征，结合实际情况进行解答即可。 【解答】解：一个尺寸为的物体，它最可能是一台冰箱。 故选：。 【点评】本题考查长方体的认识。 13．如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长，要捆扎这种礼品盒需准备　　的丝带比较合理。 A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 【分析】由图形可知：丝带的长度等于长方体的两条长两条宽条高，然后再加上打结用的25厘米就是所需要的长度，列式解答即可。 【解答】解： （厘米） 215厘米米 答：要捆扎这种礼品盒需准备的丝带比较合理。 故选：。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征，相对棱的长度相等，关键是弄清如何捆扎的，进而确定是求哪几条棱的长度和。 14．一个长方体的三条棱的长度如图，这个长方体可能是　　 A．体育馆 B．教室 C．公共汽车 【分析】这个长宽高的长度，对于体育馆来说有点小，对于公共汽车来说有点大。 【解答】解：一个长方体的长是10米，宽是8米，高是3.5米，这个长方体可能是教室。 故选：。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体体积的意义，长方体的特征及应用。 15．下面四组小棒中，不可以搭成一个长方体或正方体框架的是　　 A． B． C． D． 【分析】长方体和正方体都有12条棱，长方体相对的棱长度相等，正方体12条棱的长度相等，只要能分成3组，每组4根小棒长度相等，可以搭成一个长方体；如12条棱的长度相等，可以搭成一个正方体，据此分析。 【解答】解：．每组6根小棒长度相等，只能分出2组，不可以搭成一个长方体； ．能分成3组，且每组4根小棒长度相等，可以搭成一个长方体； ．能分成3组，且每组4根小棒长度相等，可以搭成一个长方体； ．12条棱的长度相等，可以搭成一个正方体； 故选：。 【点评】本题考查了长方体和正方体的特征，结合题意分析解答即可。 16．如图是一个长方体的展开图，如果合起来后面在前，从上面看是面，那么　　面在左面。 A． B． C． D． 【分析】根据长方体的展开图可知，和相对、和相对、和相对。据此解答。 【解答】解：根据图示可知：和相对、和相对、和相对 在前，则在后，在上，则在下，在左，在右。 答：面在左面。 故选：。 【点评】本题考查了长方体的展开图的应用。 17．如图，将三个棱长为1分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积与三个正方体的表面积之和比较，　　 A．一样大。 B．增加了4平方分米。 C．减少了4平方分米。 D．减少了2平方分米。 【分析】三个正方体木块拼成一个长方体减少4个面的面积，求出一个面的面积，再乘4即可求出减少的面积。 【解答】解：（平方分米） 故选：。 【点评】此题考查长方体、正方体表面积计算公式的应用。 18．如图，甲与乙的表面积相比　　 A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 【分析】从图中可知，乙是一个完整的立体图形，甲在顶点处挖掉了一块，露出了3个面，这3个面可以向外移，正好补齐缺口，补成一个与乙一样的完整的立体图形，所以两个物体的表面积一样大。 【解答】解：根据分析可知，两个物体的表面积一样大，甲乙。 故答案为：。 【点评】求有缺口的立体图形的表面积时，要注意缺口的位置，原来这个位置有几个面，挖掉后露出了几个面，与原来的面相比较，是否一样，还是多或少了，进而得出结论。 19．用两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了　　平方厘米． A．25 B．50 C．75 D．100 【分析】根据两个正方体拼组一个长方体的特点可知，拼组后的表面积正好减少了原来正方体的2个面的面积，所以此题只要求出小正方体的2个面的面积即可解决问题． 【解答】解：根据题干分析，拼组后的表面积正好减少了原来正方体的2个面的面积， （平方厘米） 答：表面积比原来两个表面积之和减少50平方厘米． 故选：。 【点评】根据题干，得出表面积减少部分是指原来正方体的2个面，是解决此类问题的关键． 20．把2个完全相同的长方体礼品盒拼在一起，下面的拼法中，　　可使外包装材料最节省。 A． B． C． D． 【分析】把2个完全相同的长方体礼品盒拼在一起，减少的面积最大，可使外包装材料最节省。据此选择即可。 【解答】解：根据分析观察选项可知：选项减少了2个最大的面积，可使外包装材料最节省。 故选：。 【点评】本题考查长方体和正方体的表面积，明确：拼在一起，减少的表面积越大，可使外包装材料最节省。 三．计算题 21．计算下面长方体或正方体的表面积。 【分析】先求出正方体的棱长，再根据长方体的表面积公式：，正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方分米） （厘米） （平方厘米） 答：长方体的表面积是256平方分米，正方体的表面积是384平方厘米。 【点评】此题主要考查长方体、正方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 22．计算下面图形的表面积。（单位： 【分析】由图分析，图形的表面积等于下面这个长方体的表面积加上上面这个正方体的前、后、左、右四个面的面积。据此解答即可。 【解答】解： （平方厘米） 答：上面图形的表面积是150平方厘米。 【点评】解答本题的关键是熟练掌握长方体和正方体的表面积计算公式。 高阶突破 四．操作题 23．如图方格纸上是一个长方体纸盒展开图的3个面（每个方格的边长为1厘米），请你先补画出其他的3个面，再算出这个纸盒的表面积。 【分析】根据长方体展开图的27种特征，可补成长方体展开图的“”形（补画方法不唯一，即使补成“”型，方法也不唯一）。这个长方体纸盒的长是7厘米，宽是3厘米，高是2厘米。根据长方体的表面积计算公式“”即可计算出这个纸盒的表面积。 【解答】解： （平方厘米） 【点评】此题主要是考查长方体展开图的特征、长方体表面积的计算方法。 五．解答题 24．小明的好朋友要过生日了，小明准备用彩色纸把礼品盒包装一下（如图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长，需要多少米的丝带？ 【分析】根据题意，所需丝带的长度等于两条长两条宽条高结头用的10分米，由此列式解答即可。 【解答】解： （分米） 25分米米 答：需要2.5米的丝带。 【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，首先分清是如何捆扎的，然后根据棱长总和的计算方法解答即可。 25．三种不同长度的小棒，分别装了3袋。 小棒长度 1号袋 2号袋 3号袋 8根 10根 2根 4根 3根 12根 4根 3根 2根 （1）我选择 　1　号袋小棒搭成长方体，搭成的是一个长 　　、宽 　　、高 　　长方体。 （2）选一选，　　号袋小棒一定搭不成长方体？ 你的理由是 　　。 【分析】长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同；长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；长方体有8个顶点；每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫作长方体的长，宽，高；长方体相邻的两条棱互相垂直。 【解答】解：（1）我选择 1号袋小棒搭成长方体，搭成的是一个长、宽、高长方体。 （2）选一选，3号袋小棒一定搭不成长方体？ 我的理由是：3号袋12根5厘米的只能搭成正方体。 故答案为：1，7，5，3；3；3号袋12根5厘米的只能搭成正方体。 【点评】本题考查了长方体的特征。 26．聪聪和爸爸利用家里的废木板制作一个长方体形状的储物凳，已经将两个面组合在一起，如图所示。 （1）聪聪说根据爸爸目前的制作情况，他已经能想象出这个储物凳的形状和大小了。你知道这是为什么吗？请解释。 （2）如果在储物凳的每条棱上加固木条（衔接处忽略不计），买一根长的木条够用吗？请写出判断过程。 【分析】（1）根据图示可知，储物凳是一个长为，宽为，高为的长方体，根据“长方体体积长宽高”即可计算出储物凳的体积，即大小。 （2）长方体有12条棱，长宽高棱长各有4条，计算出棱长的总长后即可判断。 【解答】解：（1）因为图示已经知道了储物凳的长、宽、高，故可以推知该储物凳为长方体，根据“长方体体积长宽高”即可计算出储物凳的体积，即大小。 （2） ，即够用。 答：买一根长的木条够用。 【点评】本题考查了长方体特征的应用。 27．已知②号正方体的棱长是①号的2倍。王师傅给①号正方体的表面刷油漆，正好用了1罐。钱师傅准备给②号正方体的表面刷油漆，钱师傅说“那我准备这样的2罐油漆就够了。”钱师傅说对了吗？为什么？（可以写一写，算一算） 【分析】根据“正方体表面积六个正方形面积之和”分别求出①号和②号正方体的表面积，用②号正方体的表面积除以①号正方体的表面积即是②号正方体刷油漆需要的罐数。 【解答】解：钱师傅说得不对。 假设①号正方体的棱长是1，则②号正方体的棱长是2。 ①号正方体的表面积是： ②号正方体的表面积是： （罐 即王师傅给①号正方体的表面刷油漆，正好用了1罐。钱师傅准备给②号正方体的表面刷油漆，钱师傅需要4罐。 答：钱师傅说得不对，因为他需要4罐。 【点评】本题考查了正方体表面积计算的应用。 28．一个巧克力盒的长、宽、高如图所示，将这样的3盒巧克力包装成一个礼包，从节约出发，至少需要多大面积的包装纸？（重叠处不计）（单位： 【分析】将3盒摞在一起，包装成长、宽、高的礼包最节省包装纸。根据长方体表面积计算公式代入数据计算即可，其中长方体表面积：六个面积之和。公式：表示底面长方形的长，表示底面长方形的宽，表示高）。 【解答】解： 答：至少需要面积的包装纸。 【点评】本题考查了长方体表面积计算的应用。 29．孔明灯是一种古老的汉族手工艺品。它利用了空气受热后会膨胀变轻而上升的原理，在古代多用于军事。聪聪也想做一个长、宽、高的长方体孔明灯。要把孔明灯的五个面糊上纸（底面不糊纸，接缝处忽略不计），聪聪至少需要多大的纸？ 【分析】根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解： （平方分米） 答：聪聪至少需要170.5平方分米的纸。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 30．某小学新建一个长方体游泳池，长50米，宽5米，深2米。 （1）游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 【分析】（1）根据长方形的面积公式：，把数据代入公式解答。 （2）根据无盖长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）（平方米） 答：游泳池的占地面积是250平方米。 （2） （平方米） 答：抹水泥部分的面积是470平方米。 【点评】此题主要考查长方形的面积公式、无盖长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 31．乐乐买来3个盒装的宇宙飞船玩具模型，他要将这3盒宇宙飞船玩具模型包装在一起寄给朋友，怎样包才能节约包装纸？至少需要多大面积的包装纸？（接口处不计） 【分析】通过观察图形，要想最节省包装纸，也就是3盒宇宙飞船玩具模型的最大面重合摞起来进行包装，3本盒摞起来的高是厘米，根据长方体的表面积公式：，把数据代入公式解答。 【解答】解：3本书摞起来的高是：（厘米） （平方厘米） 答：把3盒宇宙飞船玩具模型的最大面重合摞起来进行包装最节省包装纸，至少需要5200平方厘米的包装纸。 【点评】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 32．刘师傅加工一个长，宽，高的长方体玉石，他想把这个玉石切成两块相同的长方体玉石。请你帮他画出切线—在图标识出来，并解决问题。 （1）裁切成两个相同的长方体玉石，有 　3　种不同的切法； （2）切成两个表面积最小的长方体，应该怎样切，在图中简要的标示出来。 （3）按照（2）裁切后，其中一块玉石的表面积是多少？（裁切的损耗忽略不计） 【分析】（1）平行于长、宽、高且在长、宽、高的中点位置都可裁切成两个相同的长方体玉石； （2）根据长方体表面积（长宽长高宽高），分别求出所有切法的长方体表面积，找到表面积最小的切法即可； （3）根据长方体表面积（长宽长高宽高），列式解答即可。 【解答】解：（1） 裁切成两个相同的长方体玉石，有3种不同的切法； （2） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （厘米） （平方厘米） （3） （平方厘米） 答：其中一块玉石的表面积是112平方厘米。 故答案为：3。 【点评】关键是熟悉长方体特征，掌握长方体表面积公式。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点剖析及分层精练 第4讲 长方体、正方体的认识及表面积 知识点一长方体和正方体的认识 1、长方体的特征：长方体是由6个长方形（特殊情况下由2个相对的面是正方形）围成的立体图形。长方体有6个面，相对的面完全相同；有12条棱，相对的棱长度相等；有8个顶点。 2、相交与一个顶点的3条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体的12条棱中有4条长、4条宽和4调高。 3、正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。正方形有12条棱，每条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。 4、正方体可以堪称长、宽、高都相等的长方体。正方体是特殊的长方体。 5、认识长方体和正方体的展开图。 知识点二长方体和正方体的表面积 1、长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积=(长×宽+长×高+宽×高)×2。 用字母表示:S=(ab+ah+bh)×2。 3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。 用字母表示:S=6a2。 考点01 长方体和正方体的认识及特征 1．在下图长方体的各个顶点间连线，使得从每个顶点出发所连的线段均大于线段，则“从A点出发可以连（ ）条大于的线段，这个长方体中一共可以连（ ）条大于的线段”。 2．一个正方体的六个面写有红、黄、绿、蓝、白、黑六个字。如图所示，则黄和（ ）相对。 3．用小棒拼搭长方体。 果果：我用4根1.5厘米、4根2.8厘米、4根7厘米的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用8根2厘米、4根6厘米的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是（ ），贝贝搭成的长方体是（ ）。（填序号） 考点02 长方体有关棱长的应用 4．至少需要（ ）cm长的铁丝，才能做一个底面周长是10cm，高是5cm的长方体框架。 5．下图是用绸带捆扎的长方体礼品盒，打结用去15cm，共用绸带（ ）cm。 6．李师傅用不同长度的铁丝焊一个长方体框架，他已经焊好了三根（如图）。这三根铁丝的长度分别是30cm、10cm、10cm，焊这个长方体框架共需要（ ）根30cm长的铁丝，（ ）根10cm长的铁丝；这个长方体框架焊好后，它共有（ ）个面，其中有（ ）个面是正方形。 考点03 正方体有关棱长的应用 7．一根铁丝正好做成一个长4cm、宽3cm、高2cm的长方体框架，这根铁丝长（ ）cm，如果把它做成一个正方体框架，棱长最长是（ ）cm。 8．一根铁丝可焊棱长8厘米的正方体，如果焊长10厘米，宽7厘米的长方体，则高是（ ）厘米。（接头忽略不计） 9．用布做一个棱长为8cm的正方体沙包（如下图），如果在接缝处都缝上花边，则花边的总长是（ ）cm。 考点04 长方体的展开图 10．跳跳把一张长14厘米、宽6厘米的纸板沿虚线折起，做出了长方体相邻的两个面（如图所示），然后再用纸板做出其他4个面，围成长方体。这个长方体的长、宽、高分别是（ ）厘米、（ ）厘米、（ ）厘米。 11．在下面的展开图中找出相对的面，并用“上”“下”“前”“后”“左”“右”标明6个面。 12．在下面的8个面中找出6个面，使它们能组成长方体，这6个面的编号分别是（ ）。 考点05 正方体的展开图 13．下面是一个正方体的展开图（如图），把这个正方体展开图折叠成正方体后，“你”字对面的字是（ ）。 你 我 的 中 国 梦 14．将下图折成一个正方体，的对面是（ ），的对面是（ ），的对面是（ ）。（填序号） ①    ②    ③ 15．红红在一张卡纸上剪下了一个正方体的平面展开图，并在上面写下了“我”“爱”“老”“家”“河”“南”六个字（如图），将平面图折成正方体后，“河”的对面是“（ ）”字，“南”字和“（ ）”字是相对的。 考点06 计算长方体的表面积 16．计算下面长方体的表面积。 17．图形计算。 （1）计算各长方体前面的面积。 （2）计算各长方体右侧面的面积。 （3）计算各长方体上面的面积。 18．计算下面图形的表面积。 考点07 计算正方体的表面积 19．求下面图形的表面积。 20．求下面图形的棱长和与表面积。      21．计算下列各图形的表面积。 考点08 组合体的表面积 22．计算下图的表面积。（单位：分米） 23．计算下面图形的表面积。 （1）（2） 24．计算下图的表面积。（单位：分米） 考点09 长方体表面积的应用 25．在一个长20米、宽10米、深2米的长方体游泳池内贴瓷砖，每块瓷砖是边长0.2米的正方形，一共需要多少块这样的瓷砖？ 26．一间教室长8米、宽7米、高4米，门窗面积为20平方米，要粉刷教室的四壁和屋顶，如果每平方米用涂料0.25千克，则共需要涂料多少千克？ 27．为了保护书籍，王老师打算用硬纸板为某套图书做一个封套（如下图），至少需要多少平方厘米的硬纸板？（硬纸板的厚度及接缝处忽略不计。） 考点10 正方体表面积的应用 28．5月21日是全国助残日。五（1）中队委员把一个棱长46厘米的正方体纸箱的各面都帖上红纸，将它作为募捐“爱心箱”，他们至少需要多少平方分米的红纸？ 29．要给一个棱长是5分米的正方体玻璃鱼缸镶上不锈钢角边，至少需要多少分米长的不锈钢角铁？制作这个鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？（鱼缸的上面没有盖） 30．如图，是一个棱长为3分米的正方体募捐箱，上面留有一个长1分米，宽3厘米的长方形入口，这个募捐箱的表面积是多少？ 考点11 立体图形的切拼 31．下图是一个边长为5分米的正方体，如果在它的左上方截去一个长、宽、高分别是5分米、3分米、2分米的小长方体，那么这个正方体的表面积减少了多少？ 32．如图所示，在一个棱长为10厘米的正方体上截取一个长为8厘米、宽为3厘米、高为2厘米的小长方体，那么剩下的几何体的表面积是多少？ 33．想一想、画一画、算一算。 下面有两个相同的长方体教具，请你把这两个长方体教具拼成一个大长方体。 （1）想一想，都可以怎么拼，请你画出表面积最大和表面积最小的两种拼法的草图。（或者能用语言描述出拼成表面积最大的长方体的长宽高和表面积最小的长方体的长宽高也可以） （2）分别计算：拼出的大小两个长方体的表面积各是多少平方厘米？ 考点12 表面涂色的正方体 34．如图是由3层没有缝隙的小立方体组成的。如果它的外表面（包括底面）全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方体时，有多少个小立方体恰有三面是红色的？ 35．一个由1×1×1的小正方体组成的6×7×8的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、三面被涂成红色的小正方体各有多少个？ 36．一个长方体的长、宽、高分别为6分米、5分米、4分米，把它的表面涂满红漆，然后切成棱长为1分米的小正方体若干块。这些小正方体中，三面有红色的有多少块？两面有红色的有多少块？一面有红色的有多少块？没有红色的有多少块？ 基础试炼 一．填空题 1．如图，用彩带捆扎一个礼盒，打结处用了24厘米彩带，捆扎这个礼盒一共要用去 　　厘米的彩带。 2．有12根长9分米的铁棒，8根长7分米的铁棒，4根长5分米的铁棒，用这些铁棒可以焊成 　　种不同的长方体或正方体框架。（每条棱上只用一根铁棒） 3．（1）有三种大小不同的纸箱，“长宽高”分别是：①；②；③。商家会用 　　号纸箱打包一个水杯。（填序号） （2）一个高的长方体礼盒，底面是边长的正方形，在它的外面打上“十字形”彩带（如图），接头处用了，一共需要 　　厘米的彩带。 4．美术课上，萱萱用硬纸板制作了一个正方体盒子，并在每个面上分别写上一个字。如图是这个正方体盒子的平面展开图，那么“核”字对面的字是 　　。 5．如图所示，一个长方体包装盒长16厘米、宽12厘米、高5厘米，包装礼物的时候至少需要 　　平方厘米的彩纸才能把它完全包上；用彩带捆扎（打结处需用20厘米），至少需要 　　厘米长的彩带。 6．一根铁丝长，如果做成一个宽和高都是的长方体框架（铁丝无剩余且接头处忽略不计），长是 　　；如果做成一个正方体框架，再在各个面蒙上一层硬纸板，需要 　　的硬纸板（铁丝无剩余且接头处忽略不计，硬纸板粘贴处忽略不计）。 7．铭铭将一个正方体的展开图画在如图的方格图上。 （1）用数对表示下面各点的位置。 　　，　　、 　　，　　； （2）与③号面相对的是 　　号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是，则它的表面积是 　　。 8．用小棒拼搭长方体。 果果：我用4根、4根、4根的小棒搭成一个长方体。 贝贝：我用8根、4根的小棒搭成一个长方体。 天天：我用12根长度相同的小棒搭成一个长方体。 果果搭成的长方体是 　　，贝贝搭成的长方体是 　　。（填序号） 9．如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去个最大的正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米。锯下正方体木料的表面积是 　　平方厘米。 10．如图这个领奖台是由3个长方体拼成的。它的前后两面涂黄色油漆，其他露出来的面涂红色油漆。 涂黄色油漆的面积是 　　，涂红色油漆的面积是 　　。 二．选择题 11．“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德，甜甜将这六个字分别写在一个正方体的六个面上，如图是这个正方体的平面展开图，在这个正方体中和“礼”相对的字是　　 A．仁 B．孝 C．信 D．智 12．一个尺寸为的物体，它最可能是　　 A．一台冰箱 B．一台微波炉 C．一台笔记本电脑 D．一部手机 13．如图，用丝带捆扎一种礼品盒，接头处长，要捆扎这种礼品盒需准备　　的丝带比较合理。 A．1.85 B．1.9 C．2.15 D．4 14．一个长方体的三条棱的长度如图，这个长方体可能是　　 A．体育馆 B．教室 C．公共汽车 15．下面四组小棒中，不可以搭成一个长方体或正方体框架的是　　 A． B． C． D． 16．如图是一个长方体的展开图，如果合起来后面在前，从上面看是面，那么　　面在左面。 A． B． C． D． 17．如图，将三个棱长为1分米的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积与三个正方体的表面积之和比较，　　 A．一样大。 B．增加了4平方分米。 C．减少了4平方分米。 D．减少了2平方分米。 18．如图，甲与乙的表面积相比　　 A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 19．用两个棱长为5厘米的正方体拼成一个长方体，表面积减少了　　平方厘米． A．25 B．50 C．75 D．100 20．把2个完全相同的长方体礼品盒拼在一起，下面的拼法中，　　可使外包装材料最节省。 A． B． C． D． 三．计算题 21．计算下面长方体或正方体的表面积。 22．计算下面图形的表面积。（单位： 高阶突破 四．操作题 23．如图方格纸上是一个长方体纸盒展开图的3个面（每个方格的边长为1厘米），请你先补画出其他的3个面，再算出这个纸盒的表面积。 五．解答题 24．小明的好朋友要过生日了，小明准备用彩色纸把礼品盒包装一下（如图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长，需要多少米的丝带？ 25．三种不同长度的小棒，分别装了3袋。 小棒长度 1号袋 2号袋 3号袋 8根 10根 2根 4根 3根 12根 4根 3根 2根 （1）我选择 　　号袋小棒搭成长方体，搭成的是一个长 　　、宽 　　、高 　　长方体。 （2）选一选，　　号袋小棒一定搭不成长方体？ 你的理由是 　　。 26．聪聪和爸爸利用家里的废木板制作一个长方体形状的储物凳，已经将两个面组合在一起，如图所示。 （1）聪聪说根据爸爸目前的制作情况，他已经能想象出这个储物凳的形状和大小了。你知道这是为什么吗？请解释。 （2）如果在储物凳的每条棱上加固木条（衔接处忽略不计），买一根长的木条够用吗？请写出判断过程。 27．已知②号正方体的棱长是①号的2倍。王师傅给①号正方体的表面刷油漆，正好用了1罐。钱师傅准备给②号正方体的表面刷油漆，钱师傅说“那我准备这样的2罐油漆就够了。”钱师傅说对了吗？为什么？（可以写一写，算一算） 28．一个巧克力盒的长、宽、高如图所示，将这样的3盒巧克力包装成一个礼包，从节约出发，至少需要多大面积的包装纸？（重叠处不计）（单位： 29．孔明灯是一种古老的汉族手工艺品。它利用了空气受热后会膨胀变轻而上升的原理，在古代多用于军事。聪聪也想做一个长、宽、高的长方体孔明灯。要把孔明灯的五个面糊上纸（底面不糊纸，接缝处忽略不计），聪聪至少需要多大的纸？ 30．某小学新建一个长方体游泳池，长50米，宽5米，深2米。 （1）游泳池的占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁抹一层水泥，抹水泥部分的面积是多少平方米？ 31．乐乐买来3个盒装的宇宙飞船玩具模型，他要将这3盒宇宙飞船玩具模型包装在一起寄给朋友，怎样包才能节约包装纸？至少需要多大面积的包装纸？（接口处不计） 32．刘师傅加工一个长，宽，高的长方体玉石，他想把这个玉石切成两块相同的长方体玉石。请你帮他画出切线—在图标识出来，并解决问题。 （1）裁切成两个相同的长方体玉石，有 　　种不同的切法； （2）切成两个表面积最小的长方体，应该怎样切，在图中简要的标示出来。 （3）按照（2）裁切后，其中一块玉石的表面积是多少？（裁切的损耗忽略不计） 学科网（北京）股份有限公司 $$