精品解析：湖北省武汉市东湖新技术开发区2024-2025学年九年级上学期1月期末考试（元调）数学试卷

九年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 从一定高度落下的图钉，落地后针尖着地．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查基本事件，熟练掌握基本事件的定义是解题的关键．根据题意有多种可能性即可判断． 【详解】解：从一定高度落下的图钉，落地后针尖着地．这个事件是随机事件． 故选D． 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的识别是解题的关键．根据中心对称图形的特征，将图形旋转后与原图形重合即为中心对称图形，即可得到答案． 【详解】解：不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 是中心对称图形，故选项B符合题意； 不是中心对称图形，故选项C不符合题意； 不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选B． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤求解，即可解题． 【详解】解： 即， 故选：A． 4. 如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（ ） A. 点在上 B. 点在外 C. 直线与相切 D. 直线与只有一个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系以及直线与圆的位置关系，熟练掌握位置关系是解题的关键．根据点在圆外，点在圆上判断选项A B错误；再根据直线与圆的位置关系判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：， 故点在外，故选项A错误； ，故点在上，故选项B错误； ，故直线与相切，故选项C正确； 直线与有两个交点，故选项D错误． 故选C． 5. 中国光谷持续推动改革创新，地区生产总值不断增长．根据有关统计数据显示，2021年生产总值约为2400亿元，2023年生产总值约为2715亿元，设这两年生产总值的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，可得2023年生产总值为元，进而可求解； 掌握增长率的典型模型（）的解法是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，函数图像的平移法则：左加右减、上加下减，熟记函数图像平移法则是解决问题的关键．按照函数图像平移法则求解即可得到答案． 【详解】解：抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到 故选：A． 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于9的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，解题时还要注意是放回试验还是不放回试验． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与点数和大于9的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：由题意可列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 由表可知一共有36种情况，点数和大于9的有6种情况． 所以点数和大于9的概率为． 故选：B． 8. 如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，三角函数等. 连接，过作交于，由正多边形的性质得，由正弦函数得，结合三角形的面积，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作交于点， 正八边形内接于， ， ， 是直径， ， ， ， ， 解得：， 的半径为； 故选：B． 9. 如图，按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据每次旋转得出绕原点顺时针旋转6次回到起始位置，根据，得出第2024次旋转结束时，点对应点的坐标和第2次旋转结束时点对应点的坐标相同，然后根据旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识求出，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴将绕原点顺时针旋转6次回到起始位置， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点对应点的坐标和第2次旋转结束时点对应点的坐标相同， 第2次旋转结束图形如下： 过轴于C， ∵点的坐标为， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵旋转两次， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转，点的坐标规律探索，勾股定理，含角的直角三角形的性质，正确找出规律是解题的关键． 10. 如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取中点M，连接，由圆周角定理得到，由含30度角的直角三角形的性质求出，得到，由直角三角形斜边中线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形三边关系定理得到，于是线段的最小值是． 【详解】解：取中点M，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴线段的最小值是． 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，圆周角定理，关键是由三角形三边关系定理得到． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置） 11. 若点与点关于原点成中心对称，则点的坐标是______． 【答案】（2，﹣3） 【解析】 【分析】根据点（x，y）关于原点成中心对称的点的坐标为（﹣x，﹣y）求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点P坐标是（2，﹣3）， 故答案为：（2，﹣3）． 【点睛】本题考查关于原点对称点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则是解答的关键． 12. 小刚将二维码打印在面积为10的正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 0.64 0.59 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握用频率估计概率是解题的关键．根据总面积乘以“点落在阴影部分”的频率的稳定值即可得到答案． 【详解】解：估计此二维码中黑色阴影部分的面积为， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查根与系数的关系、一元二次方程的解，将化为，分别求出、，再代入求值即可． 【详解】解：∵α、β是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：5． 14. 如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，连接，过点O作于D，根据垂径定理得到，求出，进而求出，再根据扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，过点O作于D， 则， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 设圆锥的底面圆的半径为r， 则， 解得：， 故答案为：． 15. 已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是__________（填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据抛物线经过点，，可得，对称轴为，推出，，再结合，，可判断①和②；根据抛物线上的两点，，且，结合抛物线的对称轴为，列出关于的不等式，求出的范围，可判断③；代入，到方程，再利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴，对称轴为， ∴，， ∵，， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ∵，，， ∴，故②正确； ∵， ∴抛物线的图象开口向下， ∵抛物线上的两点，，且， ∴， 解得：， ∴，故③错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的方程无实数根，故④正确； ∴综上所述，一定正确的是①②④． 故答案为：①②④． 16. 如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、直角三角形、勾股定理．作于点，于点，交的延长线于点，则，先由两条平行线之间的距离处处相等得到，再证明得到，然后在中由求出，，，，再利用得到，接着利用勾股定理依次求出，，，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根，解一元二次方程，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键．将代入中，可解得，将代入中，得到一元二次方程，最后解方程即可． 【详解】解：将代入中，得 解得． 将代入 中，得 ， 解得 ，． 故，方程的另一个根为 ． 18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 【答案】（1）等腰三角形 （2）的度数为 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【小问1详解】 解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 19. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中的两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及能使小灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有3种等可能的结果，其中能够让小灯泡发光的结果有：，共1种， ∴能够让小灯泡发光的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据题意， 可以画出如下的树状图 ： 由树状图可以看出， 所有可能出现的结果共有 12 种， 这些结果出现的可能性相等， 能够让灯泡发光的有 6 种结果， 能够让灯泡发光的概率为： ． 20. 如图，是半圆的直径，是上一点，点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定，熟知垂径定理、圆周角定理及平行线的判定是解题的关键． （1）先根据点D是的中点，结合圆周角定理得出，进一步得出即可解决问题． （2）连接，交于点M，先根据勾股定理求出，进而得出的长，再利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再连接，求出的长，最后在中利用勾股定理即可解决问题． 【小问1详解】 证明：点是的中点， ． ． 在中，， ． ． ． 【小问2详解】 解：连接交于点，连接． 为的直径， ． 在中，， 由勾股定理得，． 点是的中点， ． 为的半径， 根据圆的对称性可知，． 即． 在中，，由勾股定理得， ． ． 在中，， 由勾股定理得，． 为的直径， ． 中，，由勾股定理得， ． 21. 如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． （1）在图（1）中，点为与格线交点．作出圆心，作出的中点： （2）在图（2）中，点为与格线的交点．在上作出点，使得，在上作出点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作直径，交于点，连接交格点于，连接，延长交于点，点，点即为所求； （2）连接，得到是等腰三角形，交于点，连接交圆于，连接，得到． 【小问1详解】 解：如图，点为圆的圆心，点为的中点； 【小问2详解】 解：如图，点、点即为所求作的点． 22. 小周同学自行设计了一盏台灯，台灯的，灯泡在点处，灯泡周围是纸质灯罩，台灯底座中心在点处（底座厚度不计）．以点为原点，以为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，灯罩关于轴对称．已知点到轴距离为，到轴距离为，从侧面看，纸质灯罩部分（部分）近似为二次函数的一部分． （1）求二次函数的解析式； （2）如图（1），连接并延长与轴相交于点，将的长称为可视范围半径．若点到轴的距离为，求台灯的可视范围半径为多少？ （3）小周同学为了用眼健康，需将可视范围半径扩大至，但限于灯杆长度和灯泡的位置无法改变，小周同学想到一个解决办法：先在段选取一点，作点关于轴的对称点，将纸质灯罩上的点下面部分剪掉即可，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式等知识点． （1）先根据题意求出点B坐标，然后代入抛物线解析式得到a值即可； （2）先根据抛物线解析求出点C横坐标，再由A、C两点通过待定系数法求得直线的解析式，最后由点D纵坐标为0求出其横坐标，即可得到的长度； （3）在轴上取点，根据A、E两点坐标求出直线的解析式，再联立抛物线解析式求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：根据题意，点A的坐标为，则点B坐标为， 将代入中， 得， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由题可知，点的纵坐标为3，可列方程， 解得，（舍）， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中，得 ， 解得， 即直线的解析式为， 当时，， 解得， 即， 故台灯的可视范围半径为； 【小问3详解】 解：在轴上取点， 设直线的解析式为， 将代入中，得 ， 解得， 即直线， 联立：， 解得，（舍）， 将代入中， 得， 点的坐标为． 23. 问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； 拓展创新： （3）如图（3），在中，，点为线段上一动点，在左侧作，当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为___________． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，相似三角形的应用，巧妙运算三角函数值证明相似是解题关键． （1）根据旋转的性质和等边对等角的性质，即可证明； （2）延长交于点，连接、，由旋转和等腰三角形的性质，得出，，再结合特殊角的正弦值，证明，得到，即可得到结论； （3）作，作于点，连接，先利用特殊角的正弦值，证明，从而说明、、三点共线，进而得到点在直线上运动线段为点的运动路径，再利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，，， ， ， 平分； （2）解：如图，延长交于点，连接、， 由旋转的性质可知，，，， ， 点为的中点，点为的中点， ，，，， ，即， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，作，作于点，连接， ，， ， ，， ，即， ， ， ， ， 、、三点共线， 点在直线上运动， 当点在点处时，点在点处；当点在点处时，点在点处，即线段为点的运动路径， ， ，， 在中，， ， ， ， ， 点的运动路径为1． 24. 如图，二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． （1）直接写出点的坐标； （2）如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； （3）如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）对于，当时，，当时，则或，即可求解； （2）点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ，由抛物线的对称性可得，，证明得，求出直线的解析式为，联立，求解即可； 点在轴下方时，同理可求得，联立：，求解即可； （3）设，求出直线，同理可得，直线，直线，因为直线经过定点，得到，求出直线解析式为，即可求解． 【小问1详解】 解：二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点， 令，得或，令，得， ； 【小问2详解】 解：当时，，即顶点的坐标为， 点在轴上方时，过点作于点，过点向上作交于点 ， ， ， 由抛物线的对称性可得，， ， ， 又， ， ， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为，将、两点坐标代入得： ， 解得：， 直线， 联立：， 解得：， 当时，， 点的坐标为； 点在轴下方时， 同理可求得， 联立：， 解得：， 当时，， 点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或； 【小问3详解】 解：设， 设直线的解析式为， 联立：， 得， 由根与系数关系可知，， 直线， 同理可得，直线，直线， ， 即， 直线经过定点， ， 整理得， 将代入中，得， 整理得， 直线解析式为， 当时，， 直线必过定点． 【点睛】本题考查了二次函数与轴、轴的交点坐标，顶点坐标，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数与一次函数的交点，一次函数过定点问题，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 从一定高度落下的图钉，落地后针尖着地．这个事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件 2. 下列图形是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以为圆心，为半径作，则下列说法正确的是（ ） A. 点在上 B. 点在外 C. 直线与相切 D. 直线与只有一个交点 5. 中国光谷持续推动改革创新，地区生产总值不断增长．根据有关统计数据显示，2021年生产总值约为2400亿元，2023年生产总值约为2715亿元，设这两年生产总值的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，点数的和大于9的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正八边形内接于，连接，，若，则的半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 9. 如图，按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，点的坐标为，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是⊙的直径，是上半圆上一点，且满足是下半圆上一个动点，过点作的垂线，垂足为，则点从点运动到点的过程中，线段的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接写在答题卡指定位置） 11. 若点与点关于原点成中心对称，则点的坐标是______． 12. 小刚将二维码打印在面积为10正方形纸片上，如图所示．为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，多次试验后获得如下数据： 重复试验次数 30 50 100 300 800 点落在阴影部分次数 19 32 59 183 483 “点落在阴影部分”的频率（结果保留两位小数） 0.67 064 059 0.61 0.60 由此可以估计此二维码中黑色阴影部分的面积为_____．（结果保留整数） 13. 若是一元二次方程的两个根，则的值为____． 14. 如图，从一块直径为6的圆形铁皮上剪出一个圆周角为的扇形，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是_____． 15. 已知抛物线（，a，b，c为常数）经过点，，且满足，．下列四个结论：①；②；③抛物线上的两点，，当时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是__________（填写序号） 16. 如图，在中，，点为外一点，且满足，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卡指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形） 17. 已知关于的一元二次方程的一个根为，求的值及方程的另一个根． 18. 如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． （1）判断的形状为__________； （2）若，求的度数． 19. 为实施学科知识融合，数学李老师在黑板上画了一个电路图．如图所示，根据物理知识“在开关闭合的情况下，再闭合中的任意一个开关，小灯泡就会发光．”李老师提出了如下的数学问题． （1）在开关闭合的情况下，随机闭合中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为___________： （2）当随机闭合中两个开关时，请用画树状图或列表的方法求出能使小灯泡发光的概率． 20. 如图，是半圆直径，是上一点，点是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，是由边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题． （1）在图（1）中，点为与格线的交点．作出圆心，作出的中点： （2）在图（2）中，点为与格线的交点．在上作出点，使得，在上作出点，使得． 22. 小周同学自行设计了一盏台灯，台灯的，灯泡在点处，灯泡周围是纸质灯罩，台灯底座中心在点处（底座厚度不计）．以点为原点，以为单位长度，建立如图所示的平面直角坐标系，灯罩关于轴对称．已知点到轴距离为，到轴距离为，从侧面看，纸质灯罩部分（部分）近似为二次函数的一部分． （1）求二次函数的解析式； （2）如图（1），连接并延长与轴相交于点，将的长称为可视范围半径．若点到轴的距离为，求台灯的可视范围半径为多少？ （3）小周同学为了用眼健康，需将可视范围半径扩大至，但限于灯杆长度和灯泡的位置无法改变，小周同学想到一个解决办法：先在段选取一点，作点关于轴的对称点，将纸质灯罩上的点下面部分剪掉即可，求点的坐标． 23. 问题背景： （1）如图（1），将绕点逆时针旋转得到，此时三点在同一直线上，求证：平分； 尝试运用： （2）如图（2），在（1）的条件下，，连接，点为的中点，点为的中点，连接，求证：； 拓展创新： （3）如图（3），在中，，点为线段上一动点，在左侧作，当点从点运动至点的过程中，点的运动路径长为___________． 24. 如图，二次函数与轴相交于点（点在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点． （1）直接写出点的坐标； （2）如图（1），连接，，点为抛物线上一点，使，求点的坐标； （3）如图（2），过定点的直线与抛物线相交于，两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点的直线与抛物线交于点，求证：直线必过定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $