重难点03 辅助圆中常见的几何模型综合训练（3大题型+高分技巧+限时提升练）-2025年中考数学【热点·重点·难点】专练（四川专用）

重难点03 辅助圆中常见的几何模型综合训练 中考数学中《辅助圆中常见的几何模型综合训练》部分主要考向分为三类： 一、辅助圆之定点定长模型 二、辅助圆之90°圆周角模型 三、辅助圆之四点共圆模型 圆在四川中考中是常考题型，往往出现在几何压轴题位置，辅助圆是我们在解此类题型中常见的辅助线模型，掌握这几类常见的模型能大大降低压轴圆的难度，此小节主要是讲解常见的几种辅助圆的解题思路，帮助广大考试解决此类型题目。 考向一：辅助圆之定点定长模型 题型分析：当题目出现共端点、等线段时，可以构建辅助圆进行求解。 如图所示OA=OB=OC，则点A、点B、点C在以O为圆心、OA为半径的圆上； 其他结论：∠BOC=2∠BAC，∠AOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB； 1．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 2．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 3．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 5．如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 6．如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是 ． 7．如图，等腰中，，点为斜边中点，点在上且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的最小值为 ，最大值为 ． 8．如图，在中，，将△ABC绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段长度的最大值是 ． 考向二：辅助圆之90°圆周角模型 题型分析：在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹为以AB为直径的圆上（A、B除外）。通过构造辅助圆，把动态问题转换为圆的性质问题。 解题步骤 ①识别直角：明确题目中是否存在或隐含90°角条件(如垂直、直角三角形等)； ②确定直径：将90°角的对边视为圆的直径，构造辅助圆； ③几何转化：利用圆心、半径、圆周角等性质，结合勾股定理、相似三角形等方法解题 1．如图，△ABC中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）． A．5 B． C． D． 2．如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，四边形是矩形，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点作直线的垂线，垂足为，连接．设，，的最大值为．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 4．如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 5．如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为 ． 6．在中，，，，直线l经过△ABC的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ． 7．如图，已知两条平行线，，是上的定点，于点，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点．则，的数量关系为 ；当最大时，的值为 ． 8．如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为 9．如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值 ． 10．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 11．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点． （1）的度数为 ； （2）连接，线段的最小值为 ． 12．如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为 ． 13．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 考向三：辅助圆之四点共圆模型 ①对角互补型四点共圆 题型分析：（1）如图1所示在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，则A、B、C、D四点在同一个圆上，称为四点共圆。 （2）如图3所示BA、CD的延长线相较于点P，PA×PB=PD×PC，所以A、B、C、D四点共圆。 ②定边对定角四点共圆 题型分析：（1）如图1，平面上A、B、C、D四点满足∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆； （2）如图2，AC、BD相较于点E，AE×CE=DE×BE，则A、B、C、D四点共圆； ③定边对双直角四点共圆 题型分析：如图1图2所示，∠ABC=∠ADC=90°,则A、B、C、D四点共圆。 1．如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点逆时针旋转，得到，和的对应点分别是和，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．A，C，D三点在一条直线上 3．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 5．如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论： ①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 6．如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 7．如图，△ABC中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．如图，△ABC中，，．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形，连结．若与△ABC面积比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在等腰△ABC中，，，点是延长线上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ． 10．如图，在中，，点是△ABC内部的一个动点，连接，且满足，过点作交于点．当线段最短时，的面积为 ． 11．如图，在△ABC中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 12．如图，在四边形中，，且，则的度数为 ． 13．如图，在中，，，平分交于点，是延长线上的点，是的中点，连接、，若△CPM是等腰三角形，则 ． （建议用时：90分钟） 1．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 2．如图，中，，是△ABC内部的一个动点，且满足则线段的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 3．如图，在中，，将△ABC绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 5．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 6．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．如图，矩形中，，，动点分别从点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿向终点运动，过点作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．3 8．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 9．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ． 10．如图，在△ABC中，，，．点是边上一动点，过点作，交的延长线于点，当最大时，的长为 ． 11．如图，在正方形中，，点是边的中点，点在对角线上，且不与点，重合，连接交于点．若，则线段的长为 ． 12．如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为 ． 13．如图，在中，，，，E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，．则点C到的距离为 ，面积的最小值为 ． 14．如图，在矩形中，，，点在对角线上，点、分别在边、上，且，与互补，则四边形周长的最小值为 ． 15．如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 16．如图，在矩形中，，点E在对角线上，连接，作，垂足为E，直线交线段于点F，则 ． 17．如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 辅助圆中常见的几何模型综合训练 中考数学中《辅助圆中常见的几何模型综合训练》部分主要考向分为三类： 一、辅助圆之定点定长模型 二、辅助圆之90°圆周角模型 三、辅助圆之四点共圆模型 圆在四川中考中是常考题型，往往出现在几何压轴题位置，辅助圆是我们在解此类题型中常见的辅助线模型，掌握这几类常见的模型能大大降低压轴圆的难度，此小节主要是讲解常见的几种辅助圆的解题思路，帮助广大考试解决此类型题目。 考向一：辅助圆之定点定长模型 题型分析：当题目出现共端点、等线段时，可以构建辅助圆进行求解。 如图所示OA=OB=OC，则点A、点B、点C在以O为圆心、OA为半径的圆上； 其他结论：∠BOC=2∠BAC，∠AOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB； 1．如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（   ）． A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设的中点为，连接， ∵四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ∴点在点为圆心，4为半径的圆上． ， ， ∵的最小值为2． 故选：A． 2．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ）    A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：    ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴在中，， ∴， ∵， ， 在与中， ， ， ，，共线， ，是中点， ∴在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧． ∴的最大值为的长，即． 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，为原点，，点为平面内一动点，，连接，点是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图1，在上取一点，使得， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和△ABC中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点在以点为圆心、长为半径的圆上运动， ∴如图2，当点共线，且点在点中间时，的长取最大值， 延长交轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴， 在中，，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴当线段的长取最大值时，点的坐标为， 故选：D． 4．如图，在正方形中，，点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段，连接，，当最大时，的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵点E在边上，，将线段绕点A旋转，得到线段， ∴点P的运动轨迹是以点A为圆心，1为半径长的圆， ∴当与相切时，最大 如解图1，当点P在左侧时， 根据题意得，，， ∵ 过点P作，交的延长线于点H， ∴ ∴， 又∵ ，即 ， ； 如解图2，当点P在右侧时， 同理，可得， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：或． 5．如图，在中，，，，点是边上的一动点，连接，作于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：如下图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵，为的中点， ∴， 由于点，可得点在以为圆心，半径为的圆上运动， 当三点在同一直线上时，最短， 此时， ∴，即的最小值为4． 故答案为：4． 6．如图，正三角形和的边长分别是、，点是中点，将正三角形绕点旋转，在旋转过程中，的面积的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵△ABC是等边三角形，点是中点， ∴，， ∴，， ∵在△ABC绕点的旋转过程中，， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径长为的圆， 过点作于点， 利用直线到圆上一点的距离可知， 当、、依次共线时，最小，此时点为如图的点； 当、、依次共线时，最大，此时点为如图的点； ∵△ADE是等边三角形，， ∴， ∴，， ∴， ， ∴点到的距离的取值范围， ∵的面积， ∴， 故答案为：． 7．如图，等腰中，，点为斜边中点，点在上且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接．则的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 1 3 【详解】解： 等腰中，，点为斜边中点， ， 绕点在平面内旋转，， 如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和， 点在以点为圆心，为半径的圆上， 当点、、三点共线，的最小值为,的最大值为， 8．如图，在中，，将△ABC绕点顺时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段长度的最大值是 ． 【答案】6 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 由旋转的性质得：， ∵是的中点， ∴， ∴在绕点旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， 由圆的性质可知，当点共线，且点在的中间时，线段的长度最大，最大值为， 即线段长度的最大值是6， 故答案为：6． 考向二：辅助圆之90°圆周角模型 题型分析：在△ABC中，∠C=90°，点C为动点，则点C的轨迹为以AB为直径的圆上（A、B除外）。通过构造辅助圆，把动态问题转换为圆的性质问题。 解题步骤 ①识别直角：明确题目中是否存在或隐含90°角条件(如垂直、直角三角形等)； ②确定直径：将90°角的对边视为圆的直径，构造辅助圆； ③几何转化：利用圆心、半径、圆周角等性质，结合勾股定理、相似三角形等方法解题 1．如图，△ABC中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）． A．5 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ∴当有最大值时，有最大值， ， ∴点，点，点，点四点共圆， ∴最大值为直径， ， ∴是直径， ∴的最大值为， ∴的最大值为， 故选：C． 2．如图，正方形的边长为，点与点分别为射线，射线上一点，且，连接，并交于点，点为边上一点，，连接，则线段长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，取的中点， 四边形是正方形， ，， 点是的中点， ， ，， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动，连接，当点在上时，线段长度的值最小， ， 过作于， ，， ， ， ， 即线段长度的最小值为， 故选：C． 3．如图，四边形是矩形，分别是边，上的动点（不与端点重合），且，过点作直线的垂线，垂足为，连接．设，，的最大值为．给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．① B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， 如图所示，连接，交与点，取的中点为，连接， ∴， ∵分别是边，上的动点（不与端点重合），且， ∴，即， 当点在中点时，则点在中点， ∴，且，， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，， ∴，故①正确； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即点是的中点， ∵， ∴， 当点运动时，点在以为直径，点为圆心的上运动， ∴当点与点重合时，为的直径，此时的最大值为， ∴，故②错误； 在中，，即， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴， 当点三点共线时，取到等号， ∴， ∴，故③正确； 综上所述，正确的有①③， 故选：C ． 4．如图，已知两条平行线、，点A是上的定点，于点B，点C、D分别是、上的动点，且满足，连接交线段于点E，于点H，则当最大时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵两条平行线、，点A是上的定点，于点B， ∴点B为定点，的长度为定值， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点H在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点O，以点O为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， ∴当与相切时最大， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，为矩形外一点，，，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 即点共线时，取最大值，最大值为， 故答案为：． 6．在中，，，，直线l经过△ABC的内心O，过点C作，垂足为D，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【解答】解：如图，圆O与三边的切点分别为E，F，G，连接，，， ∵圆O是的内切圆，，，， ∴，，，， ∴四边形是正方形， 设正方形的边长为x， 则，， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴点D在以为直径的圆Q上，如图， 连接，过点Q作于点P， 当点D运动到线段上时，取得最小值， ∴， ∴，圆Q的半径， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 7．如图，已知两条平行线，，是上的定点，于点，点，分别是，上的动点，且满足，连接交线段于点，于点．则，的数量关系为 ；当最大时，的值为 ． 【答案】 【详解】解：两条平行线，，是上的定点，于点， 点为定点，的长度为定值， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取线段的中点，以点为圆心，为半径画圆， 则点在上运动， 当与相切时最大， ， ， ， ， ； 故答案为：， 8．如图，正方形中，，点P为直线上的动点，连接、，Q为上一动点，连接，使，在点P运动过程中，的最小值为 【答案】/ 【详解】解：连接，取中点E，连接，， ∵，， ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上运动， ∴当B、Q、E三点共线，且Q在线段上时，最小，最小值为， ∵E为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 9．如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为 ，最大值 ． 【答案】 / / 【详解】解：根据题意，得，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2， 连接，并延长交于点E，F， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，由最小值，当点D与点F重合时，由最大值， 故答案为：，． 故答案为：；． 10．如图，已知正方形的边长为2，点O是边的中点，G为正方形内一动点，且．点P是边上另一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：正方形的边长为2，点O是边的中点， ，，， 如图，作点关于直线的对称点，连接，以为圆心，长为半径作圆，点在圆上运动，与与交于点、， 则，，， ， 当点、在、位置时，此时点、、、四点共线，有最小值为长， 过点作于点，则四边形是矩形， ，， ， ， 的最小值为， 的最小值为，即， 故答案为：． 11．如图，在边长为2的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点． （1）的度数为 ； （2）连接，线段的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解：四边形 是正方形， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由于点P在运动中保持， ∴点P的路径是一段以为直径的弧， 取的中点Q，连接，此时的长度最小， 则， 在中，根据勾股定理得，， 所以，． 故答案为：；． 12．如图，正方形的边长为4，M，N为线段上的两个动点，，交对角线于点E，连接，交于点F，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点F在以为直径的圆的圆上运动，设圆心为O，连接交于点，此时最小， ∴， ∴线段的最小值为， 故答案为：． 13．如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为 ． 【答案】4 【详解】解：以的中点O为圆心，长为半径作圆，连接交于点，如图， ∵， ∴点P在圆上， ∴当点P在的位置时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 考向三：辅助圆之四点共圆模型 ①对角互补型四点共圆 题型分析：（1）如图1所示在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，则A、B、C、D四点在同一个圆上，称为四点共圆。 （2）如图3所示BA、CD的延长线相较于点P，PA×PB=PD×PC，所以A、B、C、D四点共圆。 ②定边对定角四点共圆 题型分析：（1）如图1，平面上A、B、C、D四点满足∠ADB=∠ACB，则A、B、C、D四点共圆； （2）如图2，AC、BD相较于点E，AE×CE=DE×BE，则A、B、C、D四点共圆； ③定边对双直角四点共圆 题型分析：如图1图2所示，∠ABC=∠ADC=90°,则A、B、C、D四点共圆。 1．如图，正方形中，点分别是和边的点，满足，连接，过点作，连接是上一点，且，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点D、C、F、G四点共圆，且为直径，由可知点H为圆心，如图所示，    ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 2．如图，在△ABC中，，将△ABC绕点逆时针旋转，得到，和的对应点分别是和，连接，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D．A，C，D三点在一条直线上 【答案】D 【详解】解：连接， 将△ABC绕点逆时针旋转，得到， ，，，，， ， ， 点，点，点，点四点共圆， ， ， 点，点，点三点共线， 故选：D． 3．如图，正方形的边长为4，点是正方形外一动点，且点在的右侧，，为的中点，当运动时，线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，如图所示，连接交于点， ∴点四边共圆，即在上，为直径， ∴，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得，点在上， ∵正方形的边长为，即， ∴， 如图所示，连接， ∵点是中点，点是中点， ∴， ∵点在上， ∴， 当点三点共线时，的值最大， ∴， 故选：D． 4．如图，在正方形中，对角线与相交于点，点为边的中点，于点，，交的延长线于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示：过点作于点， 设， 为边的中点， ， 四边形是正方形， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 的面积， ， ， ， 的面积， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，，，四点共圆， ， ， 故选：B． 5．如图，正方形的边长为4，点E从点A出发沿着线段向点D运动（点E不与点A，点D重合），同时，点F从点D出发沿着线段向点C运动（点F不与点D，点C重合），点E与点F的运动速度相同，与相交于点G，则有下列结论： ①；②；③当点F运动到的中点时，；④当时，四边形的面积为；其中正确结论的个数有（    ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【详解】解：由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 连接，    当点F运动到的中点时， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵由结论①正确可知，， ∴， ∴， 若，即， ∵在中，， ∴，则， ∴， ∴四边形的面积是，故结论④正确； ∴正确的个数为4， 故选：D． 6．如图，菱形中，，点是边上的点，，，点是上的一点，是以点为直角顶点，为角的直角三角形，连结．当点在直线上运动时，线段的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【详解】解：如图，过E作于点M，作于点H，作于点I， ∵， ∴点E、M、F、G四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴最小值是． 故选：C． 7．如图，△ABC中，，， ，点P是上一动点，于D，于E，在点P的运动过程中，线段的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵于D，于E， ∴， ∴， ∴A、D、P、E四点共圆，且直径为， ∵，是定值，所以直径最小时，所对的弦最小，此时， 在中， ∴是等腰直角三角形，， ∴△APE也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 则， ∵， ∴， 过D作于M， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 则线段的最小值为 故选：D． 8．如图，△ABC中，，．分别以△ABC三边为底边向外作等腰直角三角形，连结．若与△ABC面积比为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在等腰直角三角形中， ， 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴四点共圆． 连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴到的距离相等，到的距离相等， ∴是以为底的，高相等的三角形；都是以为底的，高相等的三角形， ∴，， ∴ ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令， ∴， ∴， ∴，， ∵， 即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 9．如图，在等腰△ABC中，，，点是延长线上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点， 在等腰中， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 连接，取的中点，连接，， ∵于点，于点． ∴， ∴，、、四点共圆． ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴求的最小值，即求的最小值 ，当时．最小，此时的值最小， ∴的最小值为， 故答案为：． 10．如图，在中，，点是△ABC内部的一个动点，连接，且满足，过点作交于点．当线段最短时，的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的位于三角形内部的一段圆弧上运动， 如图，记的中点为，连接，交于，此时线段最短， 由题意知，， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， 故答案为：． 11．如图，在△ABC中，，点D为边上一动点，连接，以为斜边在右侧作，，连接，随着点D的运动，的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图：过C作于H， ∵， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， 如图：取的中点O，连接， ∴， ∴点C、D、H、E四点共圆， ∵， ∴， ∴点E在过H且与夹角为的直线上，记该直线为l， ∴ 当时，取最小值，则， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，在四边形中，，且，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在中，，，平分交于点，是延长线上的点，是的中点，连接、，若△CPM是等腰三角形，则 ． 【答案】或或 【详解】解：若△CPM是等腰三角形，存在三种情况： ①当时，如图1，过作于，于，连接， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ，， 四边形为矩形， ， 是的中点， ， 、、、四点共圆， ， ， ， 设，则，， ，解得， ， ； ②当时，如图2， 在中，，， ， 是的中点， ； ③当时，如图3，作的中垂线交于，则， 过作于， 由①知：根据三线合一，可得点为的中点，， ， ，， ， ， ，， 综上所述，的长是或或， 故答案为：或或． （建议用时：90分钟） 1．如图，在正方形中，，点E是对角线上的一个动点，且不与端点B、D重合，连接，过点B作，垂足为F，连接．则的最小值是（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，取的中点，连接， ∵ ∴， ∴在以为直径的上运动， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 故选：C． 2．如图，中，，是△ABC内部的一个动点，且满足则线段的最小值为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， 如图，取的中点O， 由直角三角形斜边中线等于斜边一半， ， ∴点P在以为直径的上，连接交于点P，此时最小， 在中， ， ， ， 最小值为2． 故选：B． 3．如图，在中，，将△ABC绕顶点逆时针旋转得到，是的中点，是的中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：如图，连接， ∵在中，，，，是的中点， ∴，， 由旋转的性质得：， ∵是的中点， ∴， ∴在△ABC绕顶点逆时针旋转的过程中，点的运动轨迹是在以点为圆心、长为半径的圆上， ∴当点共线，且点位于点中间时，线段的值最大，最大值是， 故选：C． 4．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ） A． B．4 C．3 D． 【答案】B 【详解】解：，点是矩形内一动点， 点在为直径，在矩形内的半圆上运动， 矩形中，，， ， 如图所示，取的中点，则 点到的最短距离为， 面积的最小值为， 故选：B． 5．如图，E，F是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点G，连接交于点H．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：延长交于，如图1 ∵四边形是正方形， ，，， ，，， ， 且，， ， 且， 且，， ， ， ， ，即， 点是以为直径的圆上一点． 如图2，取中点，连接，， ，是中点， ， 在中，， ， ， 的最小值为． 故选：C． 6．如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，取的中点，，连接，延长交于点，连接，取的中点，连接； ∵点为坐标平面内一点，， ∴ ∴在为直径的圆上运动， 当点C与点F重合时，最长，即为 ∵点，的坐标分别为，，是的中点，是的中点 当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大， ∴， ∴ ∴     即点与点重合时，最大，最大值为 故选：D． 7．如图，矩形中，，，动点分别从点同时出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿向终点运动，过点作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．3 【答案】A 【详解】连接交于点，取中点为，连接，如图所示， 四边形为矩形， ， 在中，， ， ， ， 在与中， ， ≌， ， 三点共线， ，是的中点， 在中，， 的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧， 的最大值为的长，即． 8．如图，正方形的边长为4，点与点是线段与线段上的两个动点，在运动过程中线段与始终保持垂直，则线段的最小值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【详解】解：于， 点在以为直径的圆上，如图，设的中点为，当点，，共线时线段的值最小， 正方形的边长为4， ，， ， ， 线段的最小值是， 故选：D． 9．如图，在矩形中，，动点E从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向右运动，同时动点F从点D出发、以每秒4个单位长度的速度沿向左运动，当点F到达点A时运动停止，连接，过点C作于点G，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：连接交于点M，取中点，连接， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即得到点M为定点， ∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，即点G在上运动， 当重合时，有最大值，最大值为的长，此时，过点M作于点H，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：． 10．如图，在△ABC中，，，．点是边上一动点，过点作，交的延长线于点，当最大时，的长为 ． 【答案】5 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在以为直径的圆上， 连接交于，当时，最小， 由垂径定理得到， ∵， ∴， ∵， ∴的最大值为， ∵，， ∴∽， ∴， ∵，的最大值是， ∴的最大值为， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图，在正方形中，，点是边的中点，点在对角线上，且不与点，重合，连接交于点．若，则线段的长为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，又， ∴， ∴即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆周上，设为中点，连接，与圆交于， 即此时最短， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 13．如图，在中，，，，E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，．则点C到的距离为 ，面积的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解：在中，，， ，， ， E为边的中点， ， 将沿翻折得， ， 点在以E为圆心，4为半径的圆上运动， 如图，过C作于N，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，此时面积最小， ， ， 在中，，， ， ， ， 面积的最小值为：， 故答案为：，． 14．如图，在矩形中，，，点在对角线上，点、分别在边、上，且，与互补，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】18 【详解】解：过点F作于点P，连接 ∵四边形为矩形， ∴， ∴ ∵与互补， ∴与互补， ∴四点共圆， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， 同理， ∴， ∴， ∴四边形周长为， ∴当最小时，四边形周长， ∴当，即点重合时，最小，即为， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， 而， ∴， ∴四边形周长为：， 故答案为：18． 15．如图， 已知正方形的边长为3， P是中点， 点F在上且满足，延长分别交于点M，交的延长线于点E，则 的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，过作于，交于， ∵正方形， ∴四边形，四边形为矩形，， ，， ∴，， ∵P是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四点在同一个圆上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， ∵， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∵，， 同理：， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 16．如图，在矩形中，，点E在对角线上，连接，作，垂足为E，直线交线段于点F，则 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，连接，取的中点，连接． ∵四边形是矩形，， ∴四边形对角互补， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴四点在以为圆心的圆上， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 17．如图，在矩形中，，，F是对角线上的动点，连接，将直线绕点F顺时针旋转使，且过B作，连接，则最小值为 ．    【答案】 【详解】解：如图，过点B作于点H，连接，    ∵， ∴E，B，F，H四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴定值， ∴点E在射线上运动， ∴当时，的值最小， ∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$