第26章二次函数典例精讲与强化训练2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 以二次函数概念为核心，通过新定义、几何综合、实际应用三类典例构建“概念理解-方法迁移-模型应用”的递进式训练体系，强化抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例精讲|3道|新定义转化为方程、几何动态分类讨论、实际问题建模|从二次函数定义延伸至图像性质、几何综合及跨学科应用| |强化训练|21题|定义辨析法、图像平移法则、最值配方法|覆盖基础概念、图像性质到综合应用，形成知识网络|

第26章二次函数典例精讲与强化训练 典例精讲 1．定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”． (1)若抛物线的顶点与点互为“阶点”，求的值； (2)对于动点（），若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值． 2．如图，已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求线段的长； (2)若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点M的横坐标为m，过点M作轴，交直线于点N． ①当线段的长有最大值时，求点M的坐标； ②过点M作交抛物线于点D，是否存在点M使为等腰直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 3．掷实心球是某地中考体育考试的选考项目之一，女同学小蕙结合所学函数知识对其某次投掷进行了如下探索： 【发现问题】小蕙发现掷出的实心球从出手到落地的飞行过程中，实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离一直在相应地发生变化． 【提出问题】实心球相对地面的竖直高度与相对出手点的水平距离之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】小蕙利用先进的鹰眼系统记录了她一次投掷时，实心球在飞行过程中相对出手点的水平距离（单位：米）与相对地面的竖直高度（单位：米）的数据，部分数据如下表： 水平距离 1 2 3 4 5 6 竖直高度 根据表中数据建立如图所示的平面直角坐标系，并绘制出实心球的飞行路线，小蕙发现实心球的飞行路线是抛物线的一部分． 【解决问题】 (1)在小蕙这次的投掷过程中，出手点相对地面的竖直高度是________米，实心球在空中的最大竖直高度是________米； (2)求出此次投掷中，实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式； (3)根据该地中考体育掷实心球项目的评分标准（女生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离达到或超过米可得满分，小蕙此次投掷能否得到满分？请说明理由． 强化训练 一、单选题 1．下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是直线（     ） A． B． C． D． 3．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（     ） A． B． C． D． 4．已知抛物线，其中，该抛物线示意图是（     ） A．B． C．D． 5．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．已知二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，．下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．已知一个二次函数（a、b是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 1 4 6 … y … 12 4 7 19 … 则下列关于该函数的结论错误的是（    ） A．该函数图象开口向上 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数有最小值，且最小值为3 D．该函数图象与x轴有两个交点 8．二次函数（为常数）的图象如图，则一元二次方程有实数根的条件是（   ） A． B． C． D． 9．如图，边长为4的菱形中，，现将一条垂直于对角线的直线l从点A出发，以每秒1个单位的速度向点C匀速平移，交或于点M，交或于点N，设的面积为（当直线l过点A或点C时，规定），运动时间为t，则关于t的函数图象是（　　） A．B． C．D． 10．抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：①；②当时，y随x增大而减小；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题 11．二次函数，当时，随的增大而增大，写出一个符合条件的的值_______． 12．已知二次函数图像经过，则______． 13．已知在平面直角坐标系中，抛物线（k为常数）与x轴的一个交点是，则它与轴的另一个交点的坐标为______． 14．如图是搭建一座蔬菜大棚的横截面，其形状可以用抛物线表示，施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，点在抛物线上，若，则脚手架的高度为_________米． 15．已知抛物线． （1）当时，抛物线在范围内的函数值的取值范围是________； （2）点，为抛物线上两点，若，总有，则的取值范围是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，在x轴下方作垂直于y轴的直线交抛物线于点B、C，连接、，若点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍，则的面积为_____ ． 三、解答题 17．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 18．如图，抛物线与直线交于点和点，直线与 轴交于点． (1)求的值； (2)结合图象，求出关于的不等式的解集． 19．某茶庄经销一种绿茶，每千克成本为60元．经市场调查发现：在茶博会这段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）的关系式为．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）． (1)求w关于x的函数解析式； (2)若要获得销售利润为3000元，销售单价应定为多少元/千克? (3)当绿茶的销售单价是多少时，这种绿茶在这段时间内的销售利润最大?最大销售利润是多少? 20．某抛物线型拱桥示意图如图所示．水面宽与桥长均为米，在距离点米的处，测得桥面到桥拱的距离为米，以桥拱顶点为原点，桥面所在直线为 轴建立平面直角坐标系．如图，桥面上方有根高度均为米的支柱、、，过相邻支柱顶端的两根钢缆可以近似看做两条形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为米． (1)求拱桥和其中一条钢缆抛物线的函数解析式； (2)春节前夕，市政打算在钢缆和桥拱之间沿竖直方向装饰若干条灯带（见图），求出可以在竖直方向安装的灯带中最短的灯带长度． 21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点在抛物线（b，c为常数）上，该抛物线与y轴的交点为．点P在该抛物线上，其横坐标为m．当点P不在坐标轴上时，过点P分别向x轴与y轴作垂线，垂足分别为点M和点Q． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)当点Q在抛物线上时，求m的值． (3)当，且四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点与最低点的纵坐标的差为时，求m的值． (4)当四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，且此抛物线的顶点在四边形的对角线所在的直线上时，直接写出m的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 典例精讲解析 1．(1) (2)或 【分析】（1）把抛物线转化成顶点式，得到顶点坐标，根据“阶点”定义，代入两点坐标得到方程，解一元一次方程即可求出． （2）设与点互为“阶点”的这一点为，根据“阶点”定义，整理得到关于的一元二次方程，根据“只存在一个点”等价于方程只有个实数解，即判别式，解关于的一元二次方程，得到的值． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为，                 由题意，得：， 解得：； （2）解：设与点互为“阶点”的这一点为， 根据“阶点”的定义可得：， 整理得：，                                 ∵只存在一个点与点互为“阶点”， ∴， 解得或． 2．(1) (2)①；②或 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出a的值，即可求得抛物线解析式，再令y值为零，解一元二次方程即可求出A和B的坐标，进而可得到答案； （2）①易求点C的坐标为，则可得直线的解析式；点M的坐标为，点N的坐标为，表示出的长，利用二次函数的性质求解即可；②由得中，，则，分点M在对称轴右侧和点M在对称轴左侧，根据得出关于m的方程，从而求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 令，则， 解得，， ，， ；                         （2）解：①由（1）知抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 由题意知点M的坐标为，点N的坐标为， ， ∵， ∴当时，线段的长有最大值， 此时， ∴点M的坐标为；                    ②， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， 当点M在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意，得， 由（2）①得， ， 解得或（舍去）； 当点M在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得，， ， 解得或（舍去）， 综上所述，m的值为或．                  3．(1)； (2) (3)不能得到满分，理由： 把代入，得， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵，，， ∴，即， ∴， ∴， 小蕙在此次考试中不能得到满分． 【分析】根据图表可知当时，实心球在空中取得最大高度，设抛物线的解析式为，通过图表求出抛物线的顶点，再代入即可求出解析式，由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值，代入求解即可； （2）由（1）可知解析式； （3）把代入，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果． 【详解】（1）解：由图表可知当时，；当时，， ∴可得对称轴为直线， 则当时，实心球在空中取得最大高度，通过图表可得当时，， ∴实心球在空中的最大高度是米， 设抛物线的解析式为， 当时，， 则，解得：， 则， 由题意可知出手时实心球的竖直高度即为时y的值， 当时，， 得在小蕙投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是米； （2）由（1）可知实心球相对地面的竖直高度（单位：米）与相对出手点的水平距离（单位：米）之间的函数关系式为； （3）略 强化训练解析 1．B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 【详解】解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 2．B 【详解】解：因为抛物线的解析式为， 所以该抛物线的对称轴为直线． 3．C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 4．A 【分析】根据抛物线的顶点式确定顶点坐标以及开口方向，结合 确定顶点在坐标系中的位置即可解答． 【详解】解：∵ 抛物线的解析式为 ， ∴该抛物线的顶点坐标为 ，抛物线开口向上， ∵ ， ∴顶点 在 x轴的正半轴上，抛物线开口向上，即选项A符合题意． 5．C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 6．C 【分析】根据已知的两组，的对应值代入二次函数解析式，消去参数，整理得到关于的表达式，再将各选项的代入即可判断的正负，得到正确结论． 【详解】解：∵二次函数（，m，n为实数），当时，；当时，， ∴， 两式消去可得：， 解得：， A、若，，故A错误； B、若，，B错误； C、若，，C正确； D、若，，D错误． 7．D 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，再由二次函数的性质逐项分析即可得解． 【详解】解：将，代入二次函数， 得， 解得：， 则二次函数的解析式为：， ∴函数的开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，函数的最小值为3，该函数与x轴没有交点，则正确，选项D错误． 8．B 【分析】根据题意利用图象直接得出的取值范围即可． 【详解】解：一元二次方程有实数根， 可以理解为和有交点， 根据二次函数的图象可得二次函数的最小值是， 故， 解得：． 9．D 【分析】设交于点，分和，两种情况求出关于的函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形中，，， ∴， ∴和为等边三角形， ∴， ∵直线从点出发，以每秒1个单位的速度由点向点匀速平移，直线， ∴；运动时间为t时，， 当时， ∵直线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∴图象是开口向上的抛物线的一段； 当时，，则：， ∵直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， 图象为开口向下的抛物线的一段； 综上：符合题意的只有D选项． 10．C 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，根的判别式、抛物线与x轴的交点等知识，利用图象信息，以及二次函数的性质即可一一判断． 【详解】解：二次函数与轴有两个交点， ，故①错误， 观察图象可知：当时，随增大而减小，故②正确， 抛物线的顶点为，与x轴的一个交点A在点和之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， 时，，故③正确， 当时，抛物线与直线没有交点， 方程没有实数根，故④正确， 对称轴， ， ， ，故⑤正确. 11．（答案不唯一，任意负数均可） 【分析】根据顶点式得到对称轴，结合给定的增减性判断的取值范围，即可写出符合条件的的值． 【详解】解：二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 二次函数图象开口向下， ， （答案不唯一）． 12．2026 【分析】将已知点的坐标代入二次函数解析式，得到与的关系式，再将所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：将点代入，得 ， 整理得，即， ∴． 13． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标为， ∴它与轴的另一个交点的坐标为． 14．6 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点D的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用m表示D点的坐标，将D点坐标代入抛物线解析式求出m，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， D点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故答案为：6． 15． 或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意求出抛物线解析式，进而得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点的坐标为，则离对称轴越远，函数值越大，由此可确定当时，且当时，函数有最大值，求出函数的最大值，再结合顶点的坐标即可得到答案； （2）求出对称轴为直线，再分两种情况：当时，则抛物线开口向上，故离对称轴越远，函数值越大，当时，则抛物线开口向下，故离对称轴越远，函数值越小，据此讨论求解即可． 【详解】解：（1）当时，抛物线的解析式为， ∴此时抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点的坐标为， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴当，且当时，函数有最大值，最大值为， 又∵顶点的坐标为， ∴当时，函数的最小值为， ∴当时，， 故答案为：； （2）由题意得，对称轴为直线， 当时，则抛物线开口向上，故离对称轴越远，函数值越大， ∵点，为抛物线上两点，当，总有， ∴一定要大于的最大值， 又∵， ∴的最大值一定小于的函数值， ∴， ∴； 当时，则抛物线开口向下，故离对称轴越远，函数值越小， ∵点，为抛物线上两点，当，总有， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或． 故答案为：或． 16．8 【分析】根据抛物线解析式得到点的坐标，易得点到的距离、线段的长度，所以根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：由抛物线知，顶点． ∵点B到x轴的距离是点A到x轴距离的3倍， ∴． 则， 解得． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． 17．(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 18．(1) (2)或 【分析】（1）先求出直线的表达式，进而求出，将代入抛物线解方程即可得到答案； （2）先求出抛物线与直线交于点和点的坐标，找出抛物线在直线下方部分，得出对应的范围即可． 【详解】（1）解：直线与 轴交于点， ，则直线， 当时，，解得，即， 抛物线与直线交于点， ，解得； （2）解：关于的不等式的解集就是抛物线在直线下方部分对应的的取值范围， 联立，消去得， ，解得或， 或， 、， 当或时，抛物线在直线的下方， 关于的不等式的解集是或． 19．(1) (2)90元/千克或110元/千克 (3)当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元 【分析】（1）首先明确每千克利润为销售单价减成本，因为总利润=每千克利润×销售量，所以将已知的销售量y与x的关系式代入，即可得到w关于x的函数解析式． （2）如果利润为3000元，那么令，得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到销售单价的可能取值． （3）因为w是关于x的二次函数，所以可以通过配方法或者二次函数顶点公式，结合二次函数的开口方向，即可求出利润最大值及对应的销售单价． 【详解】（1）解：已知销售利润w(元)、销售单价x(元/千克)、成本60元/千克，以及销售量y(千克)的关系为， 又∵， ∴． 可得． 答：w关于x的函数解析式为． （2）解：当时，． 化简得．． 可得， 则或， 解得． 答：销售单价应定为90元/千克或110元/千克． （3）解：由， 得： ． ∵二次项系数， ∴该二次函数图象开口向下，有最大值． ∴当时，w有最大值3200． 答：当绿茶的销售单价是100元/千克时，销售利润最大，最大销售利润是3200元． 20．(1)拱桥抛物线表达式为；右边钢缆的抛物线表达式为；左边钢缆的抛物线表达式为 (2)灯带长度的最小值是 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设灯带长度为，则，即可得解． 【详解】（1）解：①由题意得，，右边钢缆的抛物线顶点为， 设右边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． ②由题意得，，左边钢缆的抛物线顶点为， 设左边钢缆的抛物线表达式为， ， ， ， ． 设拱桥抛物线表达式为，由题意得， ， ． ． （2）解：设灯带长度为， 则， ， 当时，有最小值为． 答：灯带长度的最小值是． 21．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）将点和代入解出，进而写出函数解析式； （2）由，向轴作垂线得垂足，因在抛物线上，代入抛物线方程得，即可解得的值； （3）先求出抛物线顶点，令得抛物线与轴交点，由题意，分、、三种情况讨论矩形内抛物线的最值，分别列方程求解的值即可； （4）由题意得矩形四个顶点坐标，抛物线顶点，分两种情况：顶点在对角线上，代入直线解析式；顶点在对角线上，代入直线解析式，分别解出的值，再结合函数图象，检验是否满足四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：由题意，点和在抛物线上， 可得，解得， 该抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点P在该抛物线上，其横坐标为m， ， 过点P分别向y轴作垂线，垂足为点Q， 则 ， 在抛物线上， ， 可得，解得或， 不在坐标轴上， ． （3）解：如图， 抛物线，顶点， 由（2）得，， 令，解得， ，， 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 当时，四边形内部（包括边界）与抛物线仅有一个交点，不符合题意； 当时，如图： 四边形内部（包括边界）的抛物线上的最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为， ，解得或（舍）， ， 综上， 或． （4）解：由题意，，，，． 抛物线顶点在对角线或 上． 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得 解得或， 如图， 当或时，四边形内部的抛物线上的点的纵坐标y随x的增大而减小，符合题意； 设对角线的函数解析式为， 可得，解得， ， 代入 可得，化简得， ， ， ， 如图，此时点在的右边， 此时，四边形内部没有抛物线上的点，不符合题意； 综上，或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $