专题8.1 条件概率（七个重难点突破）-2024-2025学年高二第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019选择性必修第二册）

专题8.1 条件概率 一、条件概率的计算（公式法） 五、全概率公式的应用 二、条件概率的计算（缩小样本空间法） 六、贝叶斯公式的应用 三、条件概率的乘法公式 七、全概率公式与递推数列 四、条件概率的性质 知识点1条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 知识点2全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 知识点3贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 重难点一、条件概率的计算（公式法） 【例1】2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知得，故. 故选：B. 【例2】甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设甲获胜为事件A，比赛进行了3局为事件B， 则，， 所以. 故选：C. 【变式1-1】（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A.由题意得，，A错误. B.由题意得，， ∴，B正确. C.对于事件B可分为两种情况：第一位出场的是男生，第二位出场的是女生；第一位出场的是女生，第二位出场的是女生， ∴， ∴，C正确. D.，D正确. 故选：BCD. 【变式1-2】某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（   ） A．0.4 B．0.9 C．0.8 D．0.75 【答案】D 【详解】同时爱好羽毛球和乒乓球的概率为：0.4+0.5-0.6=0.3， 设“该同学爱好羽毛球”为事件A，“该同学爱好乒乓球”为事件B. 则,, 所以. 故选：D. 【变式1-3】袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 . 【答案】 【详解】由题意得，事件为：甲和乙只有一人摸到红球， ∴. ∵事件的对立事件为：甲和乙都没有摸到红球， ∴， ∴. 故答案为：. 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 重难点二、条件概率的计算（缩小样本空间法） 【例3】口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件A=“第一次取出的是白球”，B=“剩下的球是黑球”，，， 所以，， 故选：C. 【例4】已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设{第一次拿到白球}，{第二次拿到红球}， 则， 所以, 故选：C 【变式2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试验的样本点用表示，则满足的基本事件有，，，，，，，，，，，，，，，共15个，所以. 又其中为奇数的有9个，即. 所以. 故选：D. 【变式2-2】现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为 ． 【答案】/0.375 【详解】设男生甲和女生乙至少有一人被选派为事件，甲乙两人均被选派为事件， ，， 所以. 故答案为：. 【变式2-3】五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ． 【答案】/0.4 【详解】设“学生甲、乙相邻出场”为事件，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件， 5名同学出场顺序共有种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种， 所以， 学生甲、乙相邻出场且学生甲在学生乙前面的情况共有种， 所以， 则． 故答案为： 利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 重难点三、条件概率的乘法公式 【例5】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设第一次取到白球为事件，则， 设第二次取到白球为事件，则， 所以. 故选：B 【例6】已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 ．（用数值表示） 【答案】 【详解】记感染新冠病毒为事件，标本为阳性为事件， 则，， 故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为． 故答案为：． 【变式3-1】已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”， 依题意，， 而，解得， 而， 则，而，解得. 故选：B 【变式3-2】（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】ABD 【详解】设在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，在班内任选一个学生，该学生是团员． 则由已知，， 所以，所以，故C正确． 故选：ABD. 【变式3-3】某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 【答案】 【详解】设表示选到的教师是数学教师，用表示选到的是女教师， 则，，而设女数学教师被选到的概率是， 由条件概率公式得． 故答案为：. 乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 重难点四、条件概率的性质 【例7】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，即，解得， 又因为，即，解得， 且，可得，所以. 故选：A 【例8】（多选）已知是两个随机事件，若且，则下列选项正确的是（    ） A．相互独立 B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于C，因为， 又因为， ， 所以，所以C正确 对于A，因为， 所以，所以， 因为，， 所以，所以不是相互独立事件，所以A错误， 对于B，由选项A可知，所以B正确， 对于D，由选项A可知，， 所以，所以D错误. 故选：BC 【变式4-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，又，所以， 因为，所以，所以， 所以. 故选：D. 【变式4-2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】A.，所以，， 所以，故A错误； B.，故B错误； C.，故C正确； D.，， 所以，，故D正确. 故选：CD 【变式4-3】对于随机事件A，B，若，，，则 . 【答案】/0.5 【详解】解：，且， ， ， ， 则 故答案为： 条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 重难点五、全概率公式的应用 【例9】在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记事件子三代中基因型为，记事件选择的是、，记事件选择的是、，记事件选择的是、， 则，，. 在子二代中任取颗豌豆作为父本母本杂交，分以下三种情况讨论： ①若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ②若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为； ③若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为. 综上所述， . 因此，子三代中基因型为是的概率是. 故选：D. 【例10】甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是. 所求概率为. （2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”， 则， ， . 【变式5-1】已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为这个人患流感，分别表示这个人来自A，B，C三个地区， 由已知可得， 又， 由全概率公式可得 . 故选：C. 【变式5-2】在孟德尔豌豆试验中，子二代基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因型为的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件：子三代中基因型为，因父本中含时子三代为的概率为0，故父本基因选择如下： 记事件：选择的是、，记事件：选择的是、，记事件：选择的是、， 则，，， 在子二代中任取2株豌豆杂交，分以下三种情况讨论： 若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；， 若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为；， 若选择的是、，则子三代中基因型为的概率为． 综上， . 因此，子三代中基因型为的概率是． 故选：A. 【变式5-3】某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 【答案】/0.6875 【详解】设“小胡从这8题中任选1题且作对”为事件A，“选到能完整做对的4道题”为事件B，“选到有思路的2道题”为事件C，“选到完全没有思路的题”为事件D， 则，，， ， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 重难点六、贝叶斯公式的应用 【例11】已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设从甲中取出2个球，其中红球的个数为个的事件为，事件的概率为，从乙中取出2个球，其中红球的个数为2个的事件为，事件的概率为，由题意： ①，； ②，； ③，； 根据贝叶斯公式可得，从乙袋中取出的是2个红球， 则从甲袋中取出的2只球是1红1白的概率为 . 故选：B. 【例12】电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 . 【答案】 【详解】文件未被丢失的概率为，此时文件均匀分布在88个文件夹中每个文件夹的概率为；文件丢失的概率为. 已知检查了个文件夹未找到文件，此时文件要么在剩下的个文件夹中，要么已丢失. 文件存在且未被检查到的概率：，所以总的未找到文件的概率：. 在已知未找到的条件下，文件存在于剩余文件夹中的概率为：. 故答案为：. 【变式6-1】一玩具制造厂的某一配件由三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂概率为 ． 【答案】/0.12 【详解】设设事件：抽到的是次品，事件：抽到的配件来自于制造厂， 事件：抽到的配件来自于制造厂，事件：抽到的配件来自于制造厂， 则，， 所以， ， 所以， 故答案为：. 【变式6-2】某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【答案】 【详解】用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子， 由题知，，， 又， 所以， 又， 故答案为：. 【点晴】关键点点睛：本题考查条件概率的求解、决策类问题，解题关键是能够根据奖品所在箱子号码，确定主持人可打开的箱子数，再由全概率公式及贝叶斯公式进行求解. 【变式6-3】“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元为事件，从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为男性为事件， ， 所以； （2）设从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者为女性为事件， ， 则. 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 重难点七、全概率公式与递推数列 【例13】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【答案】AD 【详解】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 【例14】某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【答案】(1)， (2)，第二次，证明见解析 【详解】（1）记该顾客第次摸球抽中奖品为事件，依题意，，． . （2）因为， 所以， 所以， 所以， 又因为，则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 故． 证明：当n为奇数时，， 当n为偶数时，，则随着n的增大而减小， 所以，． 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 【变式7-1】某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【答案】(1)，． (2)证明见解析，． 【详解】（1）设“第天去餐厅用餐”，“第天去餐厅用餐”， 则，且与互斥．根据题意得 ， ， ， ， 即． （2） 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 从而． 【变式7-2】某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 【答案】(1) (2)详见解析 【详解】（1） （2） , , , 为等比数列, 且公比为；. , 因为单调递增， 当n为奇数时， ，所以得获奖至少要玩9轮. 当n为偶数时，，得奖至少要玩10轮， 所以平均至少要玩9轮才可能获奖. 【变式7-3】某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率； (2)求该同学第二天选择餐厅的概率； (3)记该同学第天选择餐厅的概率为，求数列的通项公式. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率为; （2）设表示第1天选择餐厅,表示第2天选择餐厅,则表示第1天选择选择餐厅， 根据题意得, 所以. （3）设表示第天选择餐厅,则 根据题意得 由全概率公式得， , 即,整理得， 又 所以是以为首项,为公比的等比数列, 所以, 所以. 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 一、单选题 1．设A，B为两个事件，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以. 故选：D. 2．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】记事件A为“甲地下雨”，事件B为“乙地下雨”， 则， 所以. 故选：A. 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设{第一次拿到白球}，{第二次拿到红球}， 则， 所以, 故选：C 4．已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，， ， ，， ， 故选：C． 5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得 ，，， ，， ， ． 故选：B. 6．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 【答案】C 【详解】AC选项，由题意得，， ，， ，， 故，C正确； 由于，故， 故与B不互相独立，A错误； B选项，由条件概率得，B错误； D选项，，D错误； 故选：C 二、多选题 7．水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．以下说法正确的是（    ） A．在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量，则 B．记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量，则 C．甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为 D．记事件“第轮甲轮空”，则 【答案】ACD 【详解】对于A，在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜两局包括两类互斥的事件： ①第一、二局甲全胜；②甲在第一和第三局胜或者在第二和第三局胜， 故，故A正确； 对于B，依题意，易得，故B错误； 对于C，设“甲在第轮获胜”， 依题，甲在第三轮获胜包括甲在第一、二、三轮均胜；或者第一轮输，第三轮胜两类情况. 则甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为： ,故C正确； 对于D，因，且与互斥， 由全概率公式，, 故又， 则组成一个首项为，公比为的等比数列， 于是，，即，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题主要考查条件概率和全概率公式的应用，属于难题. 在解题时要充分理解题意，设出事件并准确表达所求事件，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式进行推理计算，通过条件概率公式和全概率公式求得结果. 8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 【答案】BCD 【详解】根据题意，设事件为“发送信号0”，事件为“发送信号1”，事件为“接收信号为0”，事件为“接收信号为1”， 则，，，. 若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为 ，A错误； 若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为 ，B正确； 若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为 ，C正确； 接收信号为1的概率为 ，解得 即发送信号为1的概率为0.8，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 9．已知事件A，B，，，，则 . 【答案】 【详解】依题意，，由全概率公式得， 即，解得，所以. 故答案为： 10．已知，，，则 . 【答案】 【详解】. . 故答案为： 11．中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 【答案】 【详解】解：设事件A表示“茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格”，则事件表示“茶叶加工中三道工序都不合格”， 所以 设事件B表示“绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格”，事件C表示“杀青加工合格”， 则 所以 故答案为：； 四、解答题 12．为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. (1)混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； (2)求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； (3)若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 【答案】(1)； (2)； (3). 【详解】（1）混双M在前4场中没有比赛的前提下，甲队伍在前4场比赛结束就获胜， 由题意，甲队伍在前4场比赛，每场胜率均为，且甲前3场胜2场且第4场获胜， 所以所求概率为； （2）甲在前3场比赛中，未出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 甲在前3场比赛中，出现的概率为，3场比赛甲全胜概率为， 所以甲在前3场比赛结束就获胜的概率. （3）设表示甲在前3场结束获胜，表示前3场比赛中出现， 所以. 13．在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中不放回地随机抽出道题． (1)求第次抽到代数题且第次也抽到代数题的概率； (2)求在第次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的概率； (3)判断事件“第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”是否互相独立． 【答案】(1) (2) (3)不相互独立 【详解】（1）设“第1次抽到代数题”,“第2次抽到代数题”.第1次抽到代数题且第2次也抽到代数题的概率为 . （2）在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到代数题的概率为 . （3）第1次抽到代数题的概率， 第2次抽到代数题的概率. 所以， 由（1）知， 所以， 则事件“第1次抽到代数题”与“第2次抽到代数题”不相互独立. 14．甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件“甲通关”、 “乙通关”、 “丙通关”， 则，. 甲、乙两人至少有1人“通关”的对立事件为甲、乙两人都不“通关”， 所以,甲、乙两人至少有1人“通关”的概率等于. 故甲、乙两人至少有1人“通关”的概率为. （2）由题意得. 事件“三人小组获得团体奖”， 则 . 甲乙丙同时通关的概率. 所以. 故该三人小组获得“团体奖”的条件下，甲乙丙同时通关的概率为. 15．三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是，第三台出现废品的概率是，加工出来的零件放在一起，已知第一台加工的零件与第二台加工的零件一样多，第三台加工的零件数是总加工零件数的一半． (1)求任意取出的1个零件是废品的概率； (2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设表示“第台机床加工的零件”表示“出现废品”；表示“出现合格品”． ． （2） ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 条件概率 一、条件概率的计算（公式法） 五、全概率公式的应用 二、条件概率的计算（缩小样本空间法） 六、贝叶斯公式的应用 三、条件概率的乘法公式 七、全概率公式与递推数列 四、条件概率的性质 知识点1条件概率 ①条件概率的概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． ②条件概率的解法 方法 公式或步骤 定义法 基本事件法 缩小样本空间法 去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解 ③乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 ④相互独立事件 （1）对于事件A，B，若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A，B是相互独立事件； （2）公式：，此时 ⑤条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质.设，则 （1）； （2）如果B和C是两个互斥事件，则． （3）设和B互为对立事件，则． 知识点2全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，有 图示： 知识点3贝叶斯公式 ①概念：设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意的事件，,有 ②作用：贝叶斯公式充分体现了，，，，，之间的转化关系，即，，之间的内在联系． 重难点一、条件概率的计算（公式法） 【例1】2025年3月14日是星期五.学校数学组于3月10日至3月14日举办为期5天的“数学节”活动，其中有一项抽奖活动.在一个不透明的纸箱中，放着5个质地、大小完全相同的小球，球上写着“星期一”、“星期二”、“星期三”、“星期四”、“星期五”，分别对应得分：.学生从中有放回地任取一个球，记下得分.设事件“第一次得分5”，事件“第二次得分5”，则（    ） A． B． C． D． 【例2】甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）某校开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】某校学生中有40%的同学爱好羽毛球，50%的同学爱好乒乓球，60%的同学爱好羽毛球或乒乓球．在该校的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好乒乓球的概率为（   ） A．0.4 B．0.9 C．0.8 D．0.75 【变式1-3】袋中有6个球，其中红黄绿蓝白黑球各一个，甲乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件：甲和乙至少一人摸到红球，事件：甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率 . 利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率和． (2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生． 重难点二、条件概率的计算（缩小样本空间法） 【例3】口袋中装有大小质地相同的3个白球、5个黑球，逐个取出，直到剩下的球为同一颜色时停止.已知第一次取出的是白球，则剩下的球是黑球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例4】已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的点数为，第二次正面向上的点数为b，记事件“a为奇数”，事件“”，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】现从5名男生、4名女生中分别选3名男生和2名女生参加社区服务，若其中男生甲和女生乙至少有一人被选派的情况下，这两人均被选派的概率为 ． 【变式2-3】五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ． 利用缩小样本空间法求条件概率的方法（1）缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB；（2）数：数出A中事件AB所包含的基本事件；（3）算：利用求得结果 重难点三、条件概率的乘法公式 【例5】已知在8个球中，有2个白球，6个红球，每次任取一个球，取出后不再放回，则经过2次取球恰好将2个白球全部取出的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6】已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，若市民感染新冠病毒，则标本检出阳性的概率为99%，若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率是 ．（用数值表示） 【变式3-1】已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-3】某学校办公室数学教师和英语教师的人数之比为5:3，其中数学教师中女教师占0.75，从中任选一位教师代表本办公室参加会议，则女数学教师被选到的概率是 ． 乘法公式：对任意两个事件A与B，若，则 重难点四、条件概率的性质 【例7】设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【例8】（多选）已知是两个随机事件，若且，则下列选项正确的是（    ） A．相互独立 B． C． D． 【变式4-1】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（多选）随机事件A，满足，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】对于随机事件A，B，若，，，则 . 条件概率的性质：设，则 （1）； （2）如果和是两个互斥事件，则； （3）设和互为对立事件，则 重难点五、全概率公式的应用 【例9】在孟德尔豌豆试验中，子二代的基因型为 其中 为显性基因， 为隐性基因，生物学中将 和 统一记为 )，且这三种基因型的比为 . 如果在子二代中任意选取 2 株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因为 的概率为（     ） A． B． C． D． 【例10】甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是. (1)若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率； (2)求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率. 【变式5-1】已知在A，B，C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%，5%，4%的人患了流感．假设这三个地区人口数量的比为3：2：1，现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】在孟德尔豌豆试验中，子二代基因型为，其中为显性基因，为隐性基因，且这三种基因型的比为，如果在子二代中任意选取2株豌豆进行杂交试验，那么子三代中基因型为的概率为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】某测试由8道四选一的单选题组成．学生小胡有把握答对其中4道题，且在剩下的4道题中，他对2道有思路，其余2道则完全不会．若小胡答对每道有思路的题的概率为，答对每道不会的题的概率为，则当他从这8道题中任抽1题作答时，能答对的概率为 ． 某一事件的发生可能有各种的原因,如果是由原因所引起,则发生的概率是,每一原因都可能导致发生,故A发生的概率是各原因引起发生概率的总和 重难点六、贝叶斯公式的应用 【例11】已知甲袋中有2只白球和3只红球，乙袋中有2只白球和2只红球，先从甲袋中取2只球放入乙袋，再从乙袋中取2只球放入甲袋，已知从乙袋取出的2只球都是红球，则从甲袋取出的2只球是1红1白的概率为（    ） A． B． C． D． 【例12】电脑中有88个文件夹，小明同学每次会将文件随机存入其中的一个文件夹或以的概率丢失.现小明同学想要找一个文件，他已经找过了个不同的文件夹，但都没有找到.则他在剩下未找过的文件夹中找到该文件的概率为 . 【变式6-1】一玩具制造厂的某一配件由三家配件制造厂提供，根据三家配件制造厂以往的制造记录分析得到数据：制造厂的次品率分别为，提供配件的份额分别为，设三家制造厂的配件在玩具制造厂仓库均匀混合且不区别标记，从中随机抽取一件配件，若抽到的是次品，则该次品来自制造厂概率为 ． 【变式6-2】某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子．当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率．已知甲先选择了号箱子，此时主持人打开号箱子的概率为 ，在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ． 【变式6-3】“茶文化”在中国源远流长，近年来由于人们对健康饮品的追求，购买包装茶饮料的消费者日趋增多，调查数据显示，包装茶饮料的消费者中男性占比，男性与女性购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率分别为. (1)从购买包装茶饮料的消费者中随机抽取1名消费者，求该消费者购买包装茶饮料的单价不超过10元的概率； (2)若1名消费者购买了单价不超过10元的包装茶饮料，求该消费者是女性的概率（结果用分数表示） 若随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知,那么如果第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率. 重难点七、全概率公式与递推数列 【例13】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（    ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【例14】某品牌女装专卖店设计摸球抽奖促销活动，每位顾客只用一个会员号登陆，每次消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率为；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为．记该顾客第次摸球抽中奖品的概率为． (1)求的值； (2)探究数列的通项公式，并求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出证明过程． 【变式7-1】某学校食堂有两家餐厅，张同学第1天选择餐厅用餐的概率为．从第2天起，如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为；如果前一天选择餐厅用餐，那么次日选择餐厅用餐的概率为．设他第天选择餐厅用餐的概率为． (1)求的值及关于的表达式； (2)证明数列是等比数列，并求出的通项公式． 【变式7-2】某商场拟在周末进行促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”的活动，游戏规则如下：该游戏进行10轮，若在10轮游戏中，参与者获胜5次就送2000元礼券，并且游戏结束：否则继续游戏，直至10轮结束．已知该游戏第一次获胜的概率是，若上一次获胜则下一次获胜的概率也是，若上一次失败则下一次成功的概率是．记消费者甲第次获胜的概率为，数列的前项和，且的实际意义为前次游戏中平均获胜的次数． (1)求消费者甲第2次获胜的概率； (2)证明：为等比数列；并估计要获得礼券，平均至少要玩几轮游戏才可能获奖． 【变式7-3】某校、两家餐厅，某同学每天都会在这两家餐厅中选择一家用餐，已知该同学第一天选择餐厅的概率是，若在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，而在前一天选择餐厅的条件下，后一天继续选择餐厅的概率为，如此往复． (1)求该同学第一天和第二天都选择餐厅的概率； (2)求该同学第二天选择餐厅的概率； (3)记该同学第天选择餐厅的概率为，求数列的通项公式. 解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度,只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题. 一、单选题 1．设A，B为两个事件，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为与，且两地同时下雨的概率为，则春季的一天里甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率为（   ） A． B． C． D． 3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为（   ） A． B． C． D． 4．已知事件，，若，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（    ） A． B． C． D． 6．设甲袋有3个红球，2个白球和5个黑球，乙袋有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则（   ） A．与B相互独立 B． C． D． 二、多选题 7．水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮在首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去．以下说法正确的是（    ） A．在有甲参与的一轮比赛中，甲获胜的局数为随机变量，则 B．记前6轮比赛中甲参与的轮次数为随机变量，则 C．甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率为 D．记事件“第轮甲轮空”，则 8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送0时，接收为0和1的概率分别为0.8和0.2；发送1时，接收为0和1的概率分别为0.1和0.9．以下叙述正确的是（   ） A．若重复发送信号0两次，则接收信号均为0的概率为0.96 B．若重复发送信号1两次，则两次接收信号不同的概率为0.18 C．若发送信号为1或0的概率均为0.5，则接收信号为1的概率为0.55 D．若接收信号为1的概率为0.76，则发送信号为1的概率为0.8 三、填空题 9．已知事件A，B，，，，则 . 10．已知，，，则 . 11．中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为每道工序的加工都相互独立，则茶叶加工中三道工序至少有一道工序合格的概率为 ；在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，杀青加工合格的概率为 . 四、解答题 12．为贯彻落实《全民健身条例》，进一步推动羽毛球运动发展，某市举办“北江杯”羽毛球团体赛，第一阶段是分组循环赛，每组前两名出线进行第二阶段的交叉淘汰赛.某小组有甲、乙、丙、丁四支队伍，每支队伍派出5对双打（三对男双、一对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场的队伍获胜并结束比赛（俗称“见三收”）.在甲、乙两支队伍的比赛中，甲队伍中混双M的胜率是，其余4对双打的胜率均是. (1)混双M在前4场中没有比赛的前提下，求甲队伍在前4场比赛结束就获胜的概率； (2)求甲队伍在前3场比赛结束就获胜的概率； (3)若甲队伍在前3场比赛结束就获胜，求混双M在前3场中有比赛的概率. 13．在道试题中有道代数题和道几何题，每次从中不放回地随机抽出道题． (1)求第次抽到代数题且第次也抽到代数题的概率； (2)求在第次抽到代数题的条件下，第次抽到代数题的概率； (3)判断事件“第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”是否互相独立． 14．甲、乙、丙三人组队参加某知识问答团体比赛．该比赛共分两轮，第一轮回答错误就直接出局，两轮都回答正确称为“通关”，小组三人中至少有2人“通关”就可获得“团体奖”．根据平时训练和测试可知，甲、乙、丙分别正确回答两轮比赛的概率情况如下表： 甲 乙 丙 第一轮回答正确的概率 第二轮回答正确的概率 若三人各自比赛时互不影响． (1)求甲、乙两人至少有1人“通关”的概率； (2)在该三人小组获得“团体奖”的条件下，求甲乙丙同时通关的概率． 15．三台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是，第三台出现废品的概率是，加工出来的零件放在一起，已知第一台加工的零件与第二台加工的零件一样多，第三台加工的零件数是总加工零件数的一半． (1)求任意取出的1个零件是废品的概率； (2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$