精品解析：天津市静海区第四中学2024-2025学年高二下学期第一次诊断练习数学试卷

2024—2025学年度第二学期高二数学第一次诊断性练习 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分120分.考试时间100分钟. 第I卷 一､选择题（共10题；每题4分，共40分） 1. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据求导公式和法则计算、逐一判断即可． 【详解】解 ，故A正确； 故B正确； 故C正确， 故D错误. 故选： 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 【答案】C 【解析】 【分析】由导数的定义可得； 【详解】. 故选：C. 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对求导，再令求得，进而得到与，再依次求即可得解. 【详解】因为，所以， 则，得，故B错误； 所以，， 则，， ，故AD错误，C正确. 故选：C. 5. 函数的单调递减区间为，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的单调递减区间为，而的定义域为，的一个极值点为1，利用即可得解，然后再代入验证是否满足题意即可. 【详解】， 因为的单调递减区间为，而的定义域为， 所以的一个极值点为1， 所以，解得． 所以，， 令，，解得， 所以的单调递减区间为，符合题意， 综上， 故选：B． 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 7. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 【答案】A 【解析】 【分析】根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率． 【详解】根据导函数图象可知当时，，在时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确； 易知是函数的极值，故B正确； 因为在上单调递增，则不是函数的最小值，故A错误； 因为函数在处的导数大于0，即切线的斜率大于零，故D正确. 故选：A． 8. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数研究函数在区间上的单调性，结合单调性求函数的最大值. 【详解】因为， 所以函数的导函数为， 令，可得或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，。函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又，， 所以在区间上的最大值为. 故选：B. 9. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由求出，再检验是否符合题意即可. 【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或， 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极小值，符合题意， 所以函数在处取得极大值为； 当时，，， 所以当时，，当时，， 所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4. 故选：A 10. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题化为与有三个交点，导数研究的性质并确定极值，列不等式求参数范围. 【详解】由题意，与有三个交点， 由，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 当趋向时趋向于0，趋向时趋向于，且，， 所以，，即. 故选：C 第Ⅱ卷 二､填空题（每题4分，共20分） 11. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算求出原函数的导函数，应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，且，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为： 12. 设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数，得在上恒成立，问题转化为求函数在上的最小值.利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值. 【详解】因为，由，得：恒成立，即. 记，则， 由得：；由得：. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取到最小值，且. 所以. 故答案为： 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的取值范围是. 故答案为： 14. 若函数在上的最大值为4，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】先利用导函数求得在上单调递减，在上单调递增，可得，可求得. 【详解】由题， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 又. 因为，所以在上，，所以. 故答案为：. 15. 设.若是函数的极大值点，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，再结合函数极大值点导数值为0建立关于a的关系式，最后结合极大值的定义，讨论最终a的取值. 【详解】由题意得，， 因为是函数的极大值点， 所以有， 解得或. 又当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极小值点，不符题意； 而当时，， 或， ， 故函数在和递增，在递减， 此时是函数的极大值点. 故答案为：. 三､解答题（共60分） 16. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）函数在区间上的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用求导公式结合求解即可； （2）利用导数求出函数的单调区间，然后求解最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，即方程， 解得 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 令，即， 解得． 列表如下： 2 3 + 0 - 0 + 当时，单调递增： 当时，单调递减： 当时，单调递增． 所以有极大值；有极小值 又． 所以函数在区间上的最大值为，最小值为． 17. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 【答案】（1）2 （2）极小值为，无极大值. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得，可求的值. （2）求导，分析函数的单调性，可得函数的极值. 【小问1详解】 因为，. 所以，. 由题意. 【小问2详解】 因为，. 所以，. 由；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，函数取得极小值，且. 18. 已知函数 （1）求的单调增区间和单调减区间 （2）若在区间上的最小值为，求实数的值 【答案】（1）单调递增区间是，单调递减区间是和； （2） 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）根据（1）的单调性，计算端点值和极值，根据最小值求实数的值. 【小问1详解】 ，令，得或， 如图，的变化关系如下表， 0 0 单调递减 单调递增 单调递减 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是和； 【小问2详解】 根据（1）的结果，得到如下表， (-3,-1) (-1,3) (3,4) 4 0 0 9+a 单调递减 +a 单调递增 9+a 单调递减 +a 如表可知，的最小值为，得. 19. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设， （ⅰ）求函数的单调区间； （ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）(i)单调递增区间为和；单调递减区间为；(ii)． 【解析】 【分析】（1）求导数，可得切线斜率，进而得出曲线在点处的切线方程； （2）(i)求导数，利用导数的正负，即可求函数的单调区间；(ii)方程有3个不同的实数根，则极大值大于0，极小值小于0，即可求实数的取值范围． 【小问1详解】 对，求导得，，当时，， 又切点为切线方程为即； 【小问2详解】 依题意得 (i) 由，可得或， 由，可得． 函数的单调递增区间为和；单调递减区间为. (ii)由(i)可知：当变化时，的变化情况如表： 1 2 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 单调递减 单调递增 当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为， 若方程有3个不同的实数根，则， 解得． 20. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调递减区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）、 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间； （2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，利用导数求出函数在时的最小值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域与，且， 令，得或， 所以，函数的单调递减区间为、. 【小问2详解】 对任意的，. 由于，则， 令，其中，则， 令，则. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以，，则，因此，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期高二数学第一次诊断性练习 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，试卷满分120分.考试时间100分钟. 第I卷 一､选择题（共10题；每题4分，共40分） 1. 下面导数运算错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. 6 C. 3 D. -3 3. 已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间为，则（ ） A. B. 1 C. D. 6. 若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数 的导函数 的图像如图所示，以下命题错误的是（ ） A. 是函数的最小值 B. 是函数的极值 C. 在区间上单调递增 D. 在处的切线的斜率大于0 8. 已知函数，则在区间上的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在处取得极小值，则的极大值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 10. 已知函数有三个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二､填空题（每题4分，共20分） 11. 已知函数，曲线在点处的切线方程为__________． 12. 设不等式；在时恒成立．则实数的最大值为______． 13. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________. 14. 若函数在上的最大值为4，则__________. 15. 设.若是函数的极大值点，则________. 三､解答题（共60分） 16. 已知函数，且满足 （1）求实数的值； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 17. 已知函数，曲线在点处的切线与平行． （1）求的值； （2）求的极值． 18. 已知函数 （1）求的单调增区间和单调减区间 （2）若在区间上的最小值为，求实数的值 19. 已知函数，. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）设， （ⅰ）求函数的单调区间； （ⅱ）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 20. 已知函数（为自然对数的底数）. （1）求函数的单调递减区间； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $